【专项练】平行线分类讨论问题-北师大版七年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 平行线分类讨论问题 1．【探究】（1）如图 1， AB CD∥ ，点 E在直线 AB与CD之间，连接 AE，CE，试说明： BAE DCE AEC    ．请完成下面的解题过程． 解：过点 E作 EF AB∥ ， 1   （ ）． AB CD∥ ， EF AB∥ ， CD EF ∥ （ ）， 2   ， 1 2BAE DCE    ， BAE DCE AEC   ； 【应用】（2）如图 2， AB CD∥ ，点 F在 AB，CD之间，FE与 AB交于点 M， FG与CD交于点 N．若 115EFG  ， 55EMB  ，求 DNG 的度数； 【拓展】（3）如图 3，直线CD在直线 AB， FE之间，且 AB CD EF∥ ∥ ，点 G，H分别在 AB， FE上，Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连接QG，QH．若 70GQH  ，直接写 出 AGQ EHQ  的度数． 2．小星在学习完《平行线的证明》一章后，想利用一副三角板探究平行线的相关问题．于是 他将两块三角板的直角顶点 C重叠，固定 ACB△ ，将 DCE△ 绕着点 C在平面内转动．其中 60 30 45A B D E� 靶 = 靶 =�, , ，假设这一副三角板的直角边DC AC ．图中所有点均在一个平 面内． 【问题解决】 （1）如图①，当点 D、E均在直线 AC的上方，且 30BCE  时，求证：CE AB∥ ； 【问题探究】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 （2）如图②，当点 D在直线 AC的上方，点 E在直线 AC的下方，且CD AB∥ 时，设 ACE 的 度数为  0 180     ，求 的值； 【拓展延伸】 （3）设 ACE 度数为  0 180     ，当  等于多少时， DE AB∥ ．请画出图形并完成相应解 答． 3．如图，将一副三角板的两个直角顶点C叠放在一起，其中 30 , 60 , 45A B D E          ． (1)如图①，点 E在直线 BC的上方，若 25BCD  ，则 ACD ______ ， ACE  ______ ； (2)如图②，点 E在直线 BC的下方，若CE AB∥ ，求 BCD 的度数； (3)若保持三角板 ABC不动，三角板DCE绕直角顶点C顺时针旋转一周，当CE AB∥ 时，直接写 出 BCD 的度数． 4．将一副直角三角板如图 1摆放在直线MN上（直角三角板 ABC和直角三角板EDC， 90EDC  ， 60DEC  ， 90ABC  ， 45BAC  ），保持三角板EDC不动，将三角板 ABC绕点 C以每秒 5的速度顺时针旋转，旋转时间为 t秒，当 AC与射线CN 重合时停止旋转． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 (1)如图 2，当 AC为 DCE 的角平分线时， t  ___________． (2)当 18t  时，求 BCD 的度数？ (3)在旋转过程中，当三角板 ABC的 AB边平行于三角板EDC的某一边时（不包含重合的情形）， 求此时 t的值为 ___________．（直接写出答案即可） 5．如图 1，把一块含30的直角三角板 ABC的 BC边放置于长方形直尺DEFG的 EF边上． (1)填空： 1  ， 2  ； (2)如图 2，现把三角板绕 B点逆时针旋转 n，当0 90n  ，且点 C恰好落在DG边上时，若 2 恰好是 1 的 3 2 倍，求 n的值； (3)如图 1三角板 ABC的放置，现将射线 BF绕点 B以每秒 2的转速逆时针旋转得到射线 BM ，同 时射线QA绕点 Q以每秒3的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至第一次与QB重 合时，则射线BM QN、 均停止转动，设旋转时间为  st ．在旋转过程中，是否存在 BM QN∥ ； 若存在，求出此时 t的值；若不存在，请说明理由． 6．已知直线 AB CD∥ ， E为平面内一点．点 P，Q分别在直线 AB，CD上．连接 PE， EQ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 (1)如图 1，若点 E在直线 AB，CD之间，求证： PEQ BPE DQE   ； (2)如图 2，若点 E在直线 AB，CD之间，PF平分 APE ，QF 平分 CQE ，当 100PEQ  时．求 PFQ 的度数； (3)如图 3，若点 E在直线 AB的上方，QF 平分 CQE ，PH 平分 APE ，PH 的反向延长线交QF 于点 F，当 50PEQ  时，求 PFQ 的度数． 7．亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世 界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问 题．如图①所示的是一副三角尺， 90 , 45 , 30 , 60C F A B D E               ． (1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点 A与点 F重合，点 E在 AC上， AB与DE相 交于点 G，求 BGD 的度数； (2)如图③，将三角尺 ABC的直角顶点放在直线MN上，使 AB MN∥ ，三角尺DEF的顶点 E在 直线MN上，DF与 AB相交于点 P，则 DEM 与 DPB 有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图④，将三角尺DEF固定不动，改变三角尺 ABC的摆放位置，但始终保持两个三角尺的 顶点 C，F重合．当点 A在直线 EC的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并 直接写出 ACE 所有可能的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 8．如图， PQ MN∥ ，A、 B分别为直线MN、 PQ上两点，且 45BAN  ，若射线 AM 绕点A顺 时针旋转至 AN后立即回转，射线 BQ绕点 B逆时针旋转至 BP后立即回转，两射线分别绕点A、 点 B不停地旋转，若射线 AM 转动的速度是 /a 秒，射线 BQ转动的速度是 /b 秒，且 a、b满足  28 2 0a b    ． (1) a ______，b  ______； (2)若射线 AM、射线 BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线 AM、射线 BQ互相垂直． (3)若射线 AM绕点A顺时针先转动 15秒，射线 BQ才开始绕点 B逆时针旋转，在射线 BQ第一次 到达 BA之前，问射线 AM再转动多少秒时，射线 AM、射线 BQ互相平行？ 9．如图 ① ，直线 1 2l l∥ ，直线 EF和直线 1 2l l、 分别交于 C、D两点，点 A、B分别在直线 1 2l l、 上，点 P在直线EF上，连接 PA、 PB． (1)猜想：如图①，若点 P在线段CD上， 15PAC  ， 40PBD  ，求 APB 的大小 (2)探究：如图 ① ，若点 P在线段CD上，写出 PAC 、 APB 、 PBD 之间的数量关系并说 明理由． (3)拓展：如图 ② ，若点 P在射线CE上或在射线DF上时，写出 PAC 、 APB 、 PBD 之间 的数量关系并说明理由． 10．如图，直线 AB CD∥ ，EF GH∥ ， AEF 的角平分线交CD于点 P． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 (1) EPF 与 PEF 相等吗？请说明理由． (2)若 3FHG EPF   ，求 EFD 的度数． (3)点 Q为射线GH上一点，连接 EQ，FQ．若 QFH FQH  ，且 50PEQ EQF   ，求 EQF 的度数． 11．如图， 80AEC  ，在 AEC 的两边上分别过点A和点C向同方向作射线 AB和CD，且 AB CD∥ ． （1）若 60A  ，则 DCE 的度数为 ． （2）若 EAB 和 ECD 的平分线所在的直线交于点 P（ P与C不重合），则 APC 的度数 为 ． 12．如图 1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有 A，B两点， 连接 AB，点 P是正方形纸片上一点，过点 P翻折纸片，使点 B落在直线 AB上的点B处，折 痕MN交 AB于点 Q． (1)①判断折痕MN与 AB的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点 P再也折不出其它折痕与 AB有①中的位置关系， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 其中的数学道理是_______； (2)在图 1的基础上，展平纸片，得到图 2，在图 2中过点 P折出并画出．．与 AB平行的折痕DE（折 痕左端点记为点 D，右端点记为点 E），请简要阐述折叠方法并说明理由； (3)将图 2的纸片展平得到图3，点 S是线段 FG上一动点（不与点E重合），若 26DEF  ， EDS   ， CAS   ，请直接写出 DSA 的度数．（用 、β的代数式表示） 13．如图，直线 AB CD∥ ，BEC是一条折线段， BP平分 ABE ． (1)如图①，若 BP CE∥ ，探究 BEC 和 DCE 的数量关系； (2)CQ平分 DCE ，直线 ,BP CQ交于点 F ①如图②，探究 E 和 F 的数量关系，并说明理由； ②当点 E在直线 ,AB CD之间时，若 40BEC  ，直接写出 BFC 的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 平行线分类讨论问题 1．（1）A，两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，C；（2）60； （3）70或 290 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； （1）由平行线的判定方法得 AB CD EF∥ ∥ ，由平行线的性质得 1 A   ， 2 C   ，则 BAE DCE AEC    ，即可得证； （2）利用（1）中的结论可知， MFN AMF CNF   ，则可得 CNF 的度数为60，由对顶角 相等可得 60DNG  ，即可求解； （3）结合（1）中的结论可得，分类讨论： AGQ 是钝角或 AGQ 是锐角时两种情况，分别根 据平行线的性质求解即可． 掌握平行线的判定及性质，并能利用平行线的判定及性质进行熟练求解是解题的关键． 【详解】解：（1）过点 E作 EF AB∥ ， 1 A  （两直线平行，内错角相等）． AB CD∥ ， EF AB∥ ， CD EF ∥ （平行于同一条直线的两条直线平行）， 2 C  ， 1 2BAE DCE    ， BAE DCE AEC   ； （2）由（1）中探究可知， MFN AMF CNF   ， 55AMF EMB     ，且 115MFN  ， 115 55 60CNF     ， 60DNG CNF   ； 故答案为：A，两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，C； （3）如图，当 AGQ 为钝角时， 由（1）中结论可知， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 70GQH BGQ FHQ     ， AGQ EHQ   360 BGQ FHQ    290 ； 当 AGQ 为锐角时，如图， 由（1）中结论可知， GQH AGQ EHQ    ， 即 70AGQ EHQ   ， 综上， AGQ EHQ  的度数为70或 290． 2．（1）证明见解析；（2） 150  ；（3）当  等于75或105时，DE AB∥ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质， （1）先证明 30B BCE   即可证明结论； （2）根据平行线的性质得出 30B BCD   即可求出结论； （3）分两种情况：当点 E在 AC上方时或当点 E在 AC下方时，分别根据平行线的性质求出即 可． 【详解】解：（1） 30B   ， 30BCE  ， 30B BCE\ Ð = Ð = °， CE AB ∥ ； （2） CD AB ∥ ， 30B BCD   ， 360 90 90 30 150a\ = °- °- °- °= °； （3）当点 E在 AC上方时，设DE与 AC交于点 G， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 DE AB ∥ ， 60A EGC\ Ð = Ð = °， 45E   ， 180 60 45 75ACEb\ = Ð = °- °- °= °； 当点 E在 AC下方时，设DE与直线 AC交于点 H， DE AB ∥ ， 60A EHC\ Ð = Ð = °， 45E   ， 60 45 105ACE E EHCb\ = Ð = Ð +Ð = °+ °= °； 综上所述，当  等于75或105时，DE AB∥ ． 3．(1)65, 25； (2)150； (3)30或150． 【分析】本题考查的是平行线的性质，角的和差运算； （1）先求解 90 65ACD BCD    ， 90 25ACE ACD    ，即可得结论； （2）由平行线的性质可得 60BCE B    ，再结合角的和差运算可得答案； （3）如图，当点 E在直线 BC的上方时，证明 30ACE A   ，如图，当点 E在直线 BC的下方 时，证明 60BCE B    ，再进一步可得答案. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【详解】（1）解：∵ 25BCD  ， 90ACB DCE    ， ∴ 90 65ACD BCD    ， 90 25ACE ACD    ； （2）解：∵ AB CE∥ ， =60B ， ∴ 60BCE B    ， ∵ 90DCE  ， ∴ 90 60 150BCD     ； （3）解：如图，当点 E在直线 BC的上方时， ∵CE AB∥ ， 30A  ， ∴ 30ACE A   ， ∵ 90BCD ACD ACE     ， ∴ 30BCD  ； 如图，当点 E在直线 BC的下方时， ∵ AB CE∥ ， =60B ， ∴ 60BCE B    ， ∵ 90DCE  ， ∴ 90 60 150BCD     ； 综上： BCD 为30或150 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 4．(1)3 (2)15 (3) 15t  或 27或 33 【分析】本题考查与三角板有关的计算，平行线的性质，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想， 是解题的关键： （1）根据角平分线的定义，求出 ECA 的度数，再根据旋转的速度即可求解． （2）当 18t  时，旋转角为90，可求出 ACD ，即可求出 BCD ． （3）数形结合，分三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：由题意，可知： 30ECD  ， 当 AC为 DCE 的角平分线时，则： 1 15 2 ECA ECD    ， 即：旋转角为15， ∴ 15 35 t   ， 故答案为 3． （2）当 18t  时，则： 18 5 90ECA     ，如图： ∵ 30DCE  ， 45ACB  ， ∴ 90 15BCD ACB ECD     ． （3）当三角板 ABC的 AB边平行于三角板EDC的某一边时，有 3种情况： ①当 AB DE∥ 时，如图： 此时， BC与CD重合，  30 45 5 15t     ， ②当 AB CE时，如图： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∵ AB CE， ∴ 90BCE B    ， ∴ 90 45 135ACE     ， ∴ 135 5 27t    ， ③当 AB CD∥ 时，如图： ∵ AB CD∥ ， ∴ 90BCD ABC   ， ∴ 30 90 45 165ACE         ， ∴ 165 5 33t    ． 综上所述， 15t  或 27或 33． 5．(1)120，90 (2)36 (3)存在，t的值为 12或 48 【分析】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． （1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）根据 2 恰好是 1 的 3 2 倍列方程，计算可求解； （3）分两种情况，根据 AQN ABM  画出图形，列方程可解得答案． 【详解】（1）解：由题意，得： 60ABC  ， 90ACF  ， ∵DG EF∥ ， ∴ 60AQG ABC    ， 2 90ACF   ， ∴ 1 180 60 120     ； 故答案为：120，90； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 （2）解：∵ 2 恰好是 1 的 32 倍， ∴  390 1202n n   ， 解得 36n  ， ∴n的值是 36； （3）解：存在 BM NQ∥ ，理由如下： 如图：由题意，得：  2FBM t  ，  3AQN t  ， ∵BM NQ∥ ， ∴ AQN ABM ABF FBM      ， ∴3 60 2t t  ， 解得 12t  ； 如图： ∵BM NQ∥ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∴ ABM BQN  ， ∴2 60 180 3t t   ， 解得 48t  ， 综上所述，t的值为 12或 48． 6．(1)见解析 (2)130 (3)155 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）如图1，过点 E作 EF AB∥ ，根据平行线的性质得到 BPE PEF  ， DQE QEF   ，等量代 换即可得到结论； （2）如图 2，过点 F作 FG AB∥ ，根据平行线的性质得到  360 260APE EQC BPE DQE       ，根据角平分线的定义得到 1 2 APF APE   ， 1 2 CQF EQC   ，得到  1 130 2 APF CQF APE EQC      ，进而求解即可； （3）如图3，过点 E作 EG AB∥ ，根据平行线的性质得到 50DQE EPB    ，根据角平分线的 定义得到 190 2 APF EPB    ， 190 2 CQF DQE    ，进而求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，过点 E作 EF AB∥ ， BPE PEF  ， EF AB ∥ ， AB CD∥ ， EF CD ， DQE QEF   ， PEQ PEF QEF    ， PEQ BPE DQE    ； （2）解：如图 2，过点F作 FG AB∥ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 同理（1）可得， 100PEQ BPE DQE      ， 180APE BPE   ， 180EQC DQE  ，  360 260APE EQC BPE DQE       ， ∵PF平分 APE ，QF平分 CQE ， 1 2 APF APE   ， 1 2 CQF EQC   ，  1 130 2 APF CQF APE EQC      ， 同理（1）可得， 130PFQ APF CQF     ； （3）解： 如图3，过点 E作 EG AB∥ ， ∴ 50PEQ GEQ GEP      ∵EG AB∥ ∴ GEP EPB  ∵ AB CD∥ ∴GE CD∥ ∴ GEQ DQE   ∴ 50DQE EPB    ∵PH平分 APE ， ∴  1 1 1180 902 2 2BPF APH EPH APE EPB EPB             ∴ 1 1180 180 90 90 2 2 APF BPF EPB EPB              ∵QF平分 CQE ， ∴  1 1 1180 902 2 2CQF EQF CQE DQE DQE           原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 由（1）可得，  1 1 1 190 90 180 180 50 155 2 2 2 2 PFQ APF CQF EPB DQE DQE EPB                     ． 7．(1)75 (2) 30DEM DPB   ，见解析 (3)135或150或60或 45或15 【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关 键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）过点D作GH DF∥ ，则GH DF BC ，进而得 30HGD D   ， 45BGH B    ，由此可 得 BGD 的度数； （2）过点D作DH MN∥ ，则DH AB MN∥ ∥ ，进而得 HDE DEM   ， HDP DPB  ，再根据 30HDE HDP EDF    可得出答案； （3）依题意由以下 5种情况：①当 AB EC∥ 时，则 45ECB B   ，再根据 ACE ACB ECB    可得出答案；②当BC DE∥ 时，则 60ECB E   ，再根据 ACE ACB ECB    可得出答案；③ 当 AC DE∥ 时，则 60ACE E    ；④当 AB CD∥ 时，则 45ECB B   ，再根据 ACE ACB ECB    可得出答案；⑤当 AB DE∥ 时，设 BC于DE交于点T，则 45ETC B    ， 进而得 180 ( ) 75ECT ETC E        ，然后根据 AEC ACB ET    可得出答案，综上所述即可得出 ACE 角度所有可能的值． 【详解】（1）解：过点D作GH DF∥ ，如图 2所示 依题意得： 90C  ， 90DFE  ， 45B  ， 30D  ， 90 90 180C DFE       ， BC DF ∥ ， 又 GH DF BC ， 30HGD D    ， 45BGH B    ， 30 45 75BGD HGD BGH       ， （2）解： 30DEM DPB   ，理由如下： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 过点D作DH MN∥ ，如图 3所示， AB MN ， DH AB MN ∥ ∥ ， HDE DEM  ， HDP DPB  ， HDE HDP EDF   ，且 30EDF  ， 30DEM DPB   ； （3）解： ACE 角度所有可能的值是135或150或60或 45或15，理由如下： 依题意由以下 5种情况： ①当 AB EC∥ 时，如图 4①所示： 则 45ECB B   ， 90 45 135ACE ACB ECB         ； ②当BC DE∥ 时，如图 4②所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 则 60ECB E   ， 90 60 150ACE ACB ECB         ； ③当 AC DE∥ 时，如图 4③所示： 则 60ACE E    ； ④当 AB CD∥ 时，如图 4④所示： 则 45DCB B   ， ∴ 90 45ECB DCB    ， 90 45 45ACE ACB ECB        ； ⑤当 AB DE∥ 时，设 BC于DE交于点T，如图 4⑤所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 则 45ETC B    ， 180 ( ) 180 (45 60 ) 75ECT ETC E              ， 90 75 15AEC ACB ET       ． 综上所述： ACE 角度所有可能的值是135或150或60或 45或15． 8．(1)8；2 (2)9秒 (3)6秒或 10秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解方程的运 用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为 0，则这两 个非负数均等于 0． （1）依据非负数的性质即可得到 a，b的值； （2）依据 90ABO BAO   ， 180ABQ BAM   ，即可得到射线 AM、射线 BQ第一次互相垂直 的时间； （3）分两种情况讨论，依据 ABQ BAM    时， BQ AM ∥ ，列出方程即可得到射线 AM、射 线 BQ互相平行时的时间． 【详解】（1）解：∵  28 2 0a b    ，  28 0 2 0a b   ， ， ∴  28 2 0a b    8 0a   ， 2 0b   ， 8a  ， 2b  ， 故答案为：8；2； （2）解：设至少旋转 t秒时，射线 AM、射线 BQ互相垂直． 如图，设旋转后的射线 AM、射线 BQ交于点O，则BO AO ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 90ABO BAO   ， PQ MN∥ ， 180ABQ BAM    ， 90OBQ OAM   ， 又 2OBQ t   ， 8OAM t  ， 2 8 90t t   ， 9t  ， ∴至少旋转 9秒时，射线 AM、射线 BQ互相垂直； （3）解：设射线 AM再转动 t秒时，射线 AM、射线 BQ互相平行． 如图，射线 AM绕点A顺时针先转动 15秒后， AM转动至 AM 的位置，则 15 8 120MAM     ， ∴ 180 45 120 15M AB        ∠ ； 分两种情况： ①当 180 45 120 1.875 7.58 t         时， 2QBQ t  ， 8MAM t   ， ∵PQ MN∥ ， ∴ 45BAN ABQ     ， 45 2ABQ t    ， 8 15BAM MAM MAB t          ， 当 ABQ BAM    时， BQ AM ∥ ， ∴ 45 2 8 15t t   ， 解得 6t  ； ②当 7.5 13.125t  时， 2QBQ t  ，  8 7.5 8 60NAM t t      ， 45 2ABQ t    ，  45 8 60 105 8BAM t t       ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 当 ABQ BAM    时， BQ AM ∥ ， 此时， 45 2 105 8t t   ， 解得 10t  ； 综上所述，射线 AM再转动 6秒或 10秒时，射线 AM、射线 BQ互相平行． 9．(1)55 (2) APB PAC PBD   ，理由见解析 (3) APB PBD PAC   或 APB PAC PBD   ，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握好平行线的性质是解本题的关键是． （1）根据平行线的性质和 15PAC  ， 40PBD  即可得 APB 的大小． （2）过点 P作 1,PG l∥ 1 2l l∥ ，根据平行线的性质可得 APG PAC  ， GPB PBD  ，即可得出 PAC 、 APB 、 PBD 之间的数量关系． （3）如图②所示：分两种情况画出图形，当点 P在DC延长线上时或当点 P在CD延长线 【详解】（1）如图①所示：过点 P作 1,PG l∥ ∵ 1,PG l∥ 15 ,PAC   ∴ 15 ,APG CAP     ∵ 1 2 ,l l∥ ∴ 2 ,PG l∥ 40 ,PBD   ∴ 40 ,GPB PBD     ∴ 15 40 55APB APG BPG       ； （2）猜想： APB PAC PBD   如图①所示：过点 P作 1,PG l∥ ∵ 1,PG l∥ ∴ APG PAC  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 ∵ 1 2 ,l l∥ ∴ 2 ,PG l∥ ∴ GPB PBD  ， ∴ APB APG GPB PAC PBD     ， APB PAC PBD   ； （3）①当点 P在DC延长线上时，有 APB PBD PAC   ．理由如下： 过点 P作 1PG l∥ ， ,PAC APG    1 2l l∥ ，  2 ,PG l∥  ,PBD GPB    ,APB GPB APG PBD PAC        ,APB PBD PAC    ②当点 P在CD延长线上时，有 APB PAC PBD   ．理由如下： 过点 P作 1PG l∥ ，  1 2l l PG∥ ∥ ，  APG PAC  ， BPG PBD   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17  ,APB APG BPG PAC PBD       ∴综上所述：当点 P不在线段 DC上时， APB PBD PAC   或 APB PAC PBD   ． 10．(1) EPF 与 PEF 相等，理由见解析 (2)72 (3)65或 20 【分析】（1）根据角平分线得 PEA PEF  ，再根据 AB CD∥ 得 PEA EPF  ，由此可得出结 论； （2）设 EPF   ，则 3FHG   ，由（1）可知 EPF PEF PEA       ，根据 AB CD∥ 得 2EFD AEF     ，然后根据EF GH∥ 得 2 3 180   ，由此解出 即可得出 EFD 的度数； （3）设 EQF   ，则 50PEQ    ，分两种情况讨论如下：①当点 Q在线段GH上时，证明 11 2 EFD   ， 12 2 AEF   ，根据 AB CD∥ 得 1 2   ，则PE FQ∥ ，再根据平行线的性质得 50 180    ，由此解出  即可得出 EQF 的度数；②当点 Q在线段GH的延长线上时，过 点 Q作QR CD∥ 交EF的延长线于 R，证明 3 2 90   ， AB QR∥ ，则 180AEQ EQR   ，进 而得 2 50 3 180       ，由此解出  即可得出 EQF 的度数；综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解： EPF 与 PEF 相等，理由如下： ∵ EP是 AEF 的平分线， ∴ PEA PEF  ， ∵ AB CD∥ ， ∴ PEA EPF  ， ∴ EPF PEF  ； （2）解：设 EPF   ， ∴ 3 3FHG EPF     ， 由（1）可知： EPF PEF PEA       ， ∴ 2AEF   ， ∵ AB CD∥ ， ∴ 2EFD AEF     ， ∵EF GH∥ ， ∴ 180EFH FHG   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 即 2 3 180   ， 解得： 36  ， ∴ 2 72EFD    ； （3）解：设 EQF   ， ∵ 50PEQ EQF   ， ∴ 50PEQ    ， ∵点 Q为射线GH上一点， ∴有以下两种情况： ①当点 Q在线段GH上时，如图 1所示： ∵EF GH∥ ， ∴ 1 FQH  ， ∵ QFH FQH  ， ∴ 1 QFH  ， ∴ 11 2 EFD   ， ∵ EP是 AEF 的平分线， ∴ 12 2 AEF   ， ∵ AB CD∥ ， ∴ AEF EFD   ， ∴ 1 2   ， ∴PE FQ∥ ， ∴ 180PEQ EQF   ， 即50 180    ， 解得： 65  ， 即 65EQF    ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 ②当点 Q在线段GH的延长线上时， 过点 Q作QR CD∥ 交EF的延长线于 R，如图 2所示： ∵EF GH∥ ， ∴ 1 FQH  ， 3 QFH  ， ∵ QFH FQH  ， ∴ 1 3QFH   ， ∴ 2 1 2 3RFH     ， ∵ RFH PFE   ， ∴ 2 3PFE   ， ∵ EP是 AEF 的平分线， ∴ 2 2AEF   ， ∵ AB CD∥ ， ∴ 180AEF CFE   ， ∴2 3 2 2 180    ， ∴ 3 2 90   ， ∵ AB CD∥ ，QR CD∥ ， ∴ AB QR∥ ， ∴ 180AEQ EQR   ， 即 2 50 3 180       ， 解得： 20  ， ∴ 20EQF    ， 综上所述： EQF 的度数为65或 20． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决 问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 11． 140 40或140 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点 E作EF AB∥ ，而 AB CD∥ ，可得 AB CD EF∥ ∥ ，证明 180A AEF   ， 180CEF DCE   ，再进一步解答即可； （2）分两种情况当 EAB 为锐角时，过点 E作EF AB∥ ，过点 P作PQ AB∥ ，利用平行线的性质 可得 80ECD EAB AEC     ， PCD PAB APC    ，再结合角平分线即可求得；当 EAB 为钝 角时， 360BAE AEF DCE CEF     ， 280BAE DCE   ，再根据角平分线及平行线性 质得  1 140 2 APC BAE DCE     ． 【详解】解：（1）过点 E作EF AB∥ ，而 AB CD∥ ， ∴ AB CD EF∥ ∥ ， ∴ 180A AEF   ， 180CEF DCE   ， ∵ 60A  ， ∴ 180 60 120AEF     ， ∵ 80AEC  ， ∴ 120 80 40CEF     ， ∴ 180 40 140DCE     ； 故答案为：140 （2）①当 EAB 为锐角时，如图所示： 过点 E作EF AB∥ ，过点 P作PQ AB∥ ，  AB CD∥ ，  AB CD EF PQ∥ ∥ ∥ ，  EF AB∥ ， EF CD∥ ，  180EAB AEC CEF    ， 180CEF ECD   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 21  EAB AEC ECD    ，即 80ECD EAB AEC     ，  PQ AB∥ ，PQ CD∥ ，  180PAB APC CPQ     ， 180CPQ PCD    ，  PAB APC PCD   ，即 PCD PAB APC    ， 又点 P为 EAB 和 ECD 的角平分线所在的直线的交点，  1 2 PAB EAB   ， 1 2 PCD ECD   ，  1 1 1 40 2 2 2 APC PCD PAB ECD EAB AEC           ， ②当 EAB 为钝角时，如图所示： 过点 E作EF AB∥ ，过点 P作HQ AB∥ ，  AB CD∥ ，  AB CD EF PQ∥ ∥ ∥ ，  EF AB∥ ， EF CD∥ ， 180BAE AEF   ， 180DCE CEF   ， 360BAE AEF DCE CEF     ， 80AEC AEF CEF    Q ， 280BAE DCE   ，  PQ AB∥ ，PQ CD∥ ， DCP HPC  ， BAP HPA  ， 又点 P为 EAB 和 ECD 的角平分线所在的直线的交点，  1 2 BAP BAE   ， 1 2 DCP DCE   ，  1 140 2 BAP DCP BAE DCE      ， 140APC HPC HPA     原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 22 综上所述 40APC  或140 故答案案为：40或140． 12．(1)①MN AB ，理由见解析；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂 直 (2)折叠方法：过点 P翻折纸片，使点 M落在直线 PQ上，折痕为DE，理由见解析 (3) 26DSA      或 26DSA       【分析】（1）①根据折叠的性质得出 BQM BQM   ，根据 180BQM BQM   ，求出 1 180 90 2 BQM     ，即可得出结论； ②根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行解答即可； （2）过点 P翻折纸片，使点 M落在直线PQ上，折痕为DE，根据平行线的判定进行证明即可； （3）分两种情况进行讨论：当点 S在线段EF上时，当点 S在线段EG上时，分别画出图形， 进行求解即可． 【详解】（1）解：①MN AB ；理由如下： 根据折叠可知： BQM BQM   ， ∵ 180BQM BQM   ， ∴ 1 180 90 2 BQM     ， ∴MN AB ； ②除了上面的折法，过点 P再也折不出其它折痕与 AB有①中的位置关系，其中的数学道理是 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）解：折叠方法：过点 P翻折纸片，使点 M落在直线 PQ上，折痕为DE；如图所示： 理由：根据解析（1）可得： 90MPE  ， ∵ 90BQM  ， ∴ 90MPE BQM   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 23 ∴DE AB∥ ； （3）解：当点 S在线段EF上时，如图所示： ∵正方形纸片中FG AC∥ ， ∴ 180CAS ASG   ， ∵ CAS   ， ∴ 180ASG    ， ∵ 26DEF  ， EDS   ， ∴ 180DSE SDE SED    ， ∴ 180DSF DSE    180 180 SDE SED    180 180 SDE SED      DEF EDS   26   ， ∴ 180DSA DSF ASG       180 26 180      180 26 180      26    ； 当点 S在线段EF上时，如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 24 ∵正方形纸片中FG AC∥ ， ∴ 180CAS ASG   ， ∵ CAS   ， ∴ 180ASG    ， ∵ 26DEF  ， ∴ 180 180 26DES DEF      ， ∵ EDS   ， ∴ 180 26DSF DES EDS       ， ∴ 180DSA DSF ASG       180 26 180      180 26 180      26    ； 综上分析可得： 26DSA      或 26DSA      ． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质和判定，三角形内角和定理应用，解题的 关键是熟练掌握平行线的判定和性质，注意分类讨论． 13．(1) 180BEC DCE    (2)① 2 180E F    ．理由见解析；②70或 20或160 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，综合较强，正确分情况 讨论，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点 E作 EF CD，根据平行线的性质可得 180DCE CEF   ，再根据平行公理推论可 得 AB EF∥ ，根据平行线的性质可得 ABE BEF  ，根据角平分线的定义可得 1 1 2 2 PBE ABE BEF     ，然后根据平行线的性质可得 BEC PBE  ，从而可得 BEC CEF   ， 由此即可得； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 25 （2）①先根据角平分线的定义可得 12 ABP ABE   ， 1 2 DCQ DCE   ，再过点 E作MN CD∥ ， 过点F作GH CD∥ ，则 AB CD MN GH∥ ∥ ∥ ，根据平行线的性质可得 GFP ABP  ， HFQ DCQ   ， ABE BEN  ， DCE MEC  ，从而可得 180ABE DCE BEC    ，然后根 据 180 GFP HPFQ FQ     求解即可得； ②分四种情况：（Ⅰ）当点 E在直线 ,AB CD之间，且 ABE 为锐角， DCE 为钝角时，（Ⅱ）当 点 E在直线 ,AB CD之间，且 ABE 和 DCE 均为钝角时，（Ⅲ）当点 E在直线 ,AB CD之间，且 ABE 和 DCE 均为锐角时，（Ⅳ）当点 E在直线 ,AB CD之间，且 ABE 为钝角， DCE 为锐 角时，参照（2）①的方法，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点 E作 EF CD， ∴ 180DCE CEF   ， ∵ AB CD∥ ， ∴ AB EF∥ ， ∴ ABE BEF  ， ∵BP平分 ABE ， ∴ 1 2 PBE ABE   ， ∴ 12 PBE BEF   ， ∵ BP CE∥ ， ∴ BEC PBE  ， ∴ 12 BEC BEF   ，即 2BEF BEC   ， 又∵ BEF BEC CEF   ， ∴ BEC CEF   ， ∴ 180BEC DCE   ． （2）解：① 2 180BEC PFQ    ，理由如下： ∵BP平分 ABE ，CQ平分 DCE ， ∴ 12 ABP ABE   ， 1 2 DCQ DCE   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 26 如图，过点 E作MN CD∥ ，过点F作GH CD∥ ， ∴ AB CD MN GH∥ ∥ ∥ ， ∴ 12 GFP ABP ABE     ， 1 2 HFQ DCQ DCE     ， ABE BEN BEC NEC    ， DCE MEC BEC BEM    ， ∴ 180BEC NEC BEM       180 ABE BEC DCE BEC       2180 ABE DCE BEC      ， ∴ 180ABE DCE BEC    ， ∴ 180 GFP HPFQ FQ     2 180 1 1 2 ABE DCE       1180 2 ABE DCE      1180 180 2 BEC     1 2 90 BEC    ， ∴ 2 180BEC PFQ    ． ②∵BP平分 ABE ，CQ平分 DCE ， ∴ 12 ABP ABE   ， 1 2 DCQ DCE   ． （Ⅰ）如图 1，当点 E在直线 ,AB CD之间，且 ABE 为锐角， DCE 为钝角时，过点 E作 EM CD， 过点F作FN CD， ∵ AB CD∥ ， EM CD， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 27 ∴ AB CD EM∥ ∥ ， ∴ ABE BEM  ， 180CEM DCE   ， ∵ 40BEM CEM BEC    ， ∴ 180 40ABE DCE    ，即 140DCE ABE   ， ∵ AB CD∥ ，FN CD， ∴ AB CD FN， ∴ 12 ABPNFB ABE    ， 1 2 NFC DCQ DCE     ， ∴  1 1 1 702 2 2BFC NFC NFB DCE ABE DCE ABE            ； （Ⅱ）如图 2，当点 E在直线 ,AB CD之间，且 ABE 和 DCE 均为钝角时，过点 E作 EM CD， 过点F作FN CD， ∵ AB CD∥ ， EM CD， ∴ AB CD EM∥ ∥ ， ∴ 180BEM ABE   ， 180CEM DCE   ， ∵ 40BEM CEM BEC    ， ∴180 180 40ABE DCE    ，即 320DCE ABE   ， ∵ AB CD∥ ，FN CD， ∴ AB CD FN， ∴ 12 ABPNFB ABE    ， 1 2 NFC DCQ DCE     ， ∴  1 1 1 1602 2 2BFC NFC NFB DCE ABE DCE ABE            ； （Ⅲ）如图 3，当点 E在直线 ,AB CD之间，且 ABE 和 DCE 均为锐角时，过点 E作 EM CD， 过点F作FN CD， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 28 ∵ AB CD∥ ， EM CD， ∴ AB CD EM∥ ∥ ， ∴ BEM ABE  ， CEM DCE， ∵ 40BEM CEM BEC    ， ∴ 40ABE DCE   ， ∵ AB CD∥ ，FN CD， ∴ AB CD FN， ∴ 12 ABPNFB ABE    ， 1 2 NFC DCQ DCE     ， ∴  1 1 1 202 2 2BFC NFC NFB DCE ABE DCE ABE            ； （Ⅳ）如图 4，当点 E在直线 ,AB CD之间，且 ABE 为钝角， DCE 为锐角时，过点 E作 EM CD， 过点F作FN CD， ∵ AB CD∥ ， EM CD， ∴ AB CD EM∥ ∥ ， ∴ 180BEM ABE   ， CEM DCE， ∵ 40BEM CEM BEC    ， ∴180 40ABE DCE   ，即 140ABE DCE   ， ∵ AB CD∥ ，FN CD， ∴ AB CD FN， ∴ 12 ABPNFB ABE    ， 1 2 NFC DCQ DCE     ， ∴  1 1 1 702 2 2BFC NFB NFC ABE DCE ABE DCE            ； 综上， BFC 的度数为70或 20或160． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 29