第五章 二元一次方程组（17大易错题型）（专项训练）数学新教材北京版七年级下册

第五章 二元一次方程组（17大易错题型） 【易错必刷一 二元一次方程的定义】 1．（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）若方程是关于，的二元一次方程，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数且未知数的次数是1的整式方程，根据二元一次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：原方程整理后得， ∵原方程是关于，的二元一次方程， ∴， ∴ 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）写一个关于x，y的二元一次方程组 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程组的定义：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做一元一次方程，叫做二元一次方程组．据此写出一个方程组即可． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（22-23六年级下·上海静安·期中）若，是关于x，y的二元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程，进行求解即可 【详解】解∶∵方程是关于的二元一次方程， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题关键．二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次． 【易错必刷二 二元一次方程的解】 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知方程的一个解是，则m的值为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】此题主要考查了解二元一次方程的解．直接把代入可得答案． 【详解】解：方程的一个解是， ∴， 解得：， 故选：B． 5．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知是方程的一个解，则实数m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把二元一次方程的解代入到方程中，得到关于m的一元一次方程是解题的关键．把二元一次方程的解代入到方程中，得到关于m的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：把代入方程得：， ∴， 故答案为：2． 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）李阿姨要为家里添加餐具，分别买了型号不同的大、小两种碗，共花了80元．已知小碗每只6元，大碗每只8元，李阿姨买了大、小碗各几只？ 【答案】小碗4只，大碗7只或小碗8只，大碗4只或小碗12只，大碗1只 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出方程的解．根据题意设大碗个，小碗个，列出相应的二元一次方程，然后根据、均为正整数，即可解答本题． 【详解】解：设大碗个，小碗个 、均为正整数 或或 答：小碗4只，大碗7只或小碗8只，大碗4只或小碗12只，大碗1只． 【易错必刷三 判断是否是二元一次方程组】 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数且含有未知数的项最高次数是1的方程组叫做二元一次方程组．依据二元一次方程组的定义求解即可． 【详解】解：A．方程组是二元一次方程组，与要求不符； B．方程组是二元一次方程组，与要求不符； C．方程组中，含有未知数的项最高次数不是1，不是二元一次方程组，符合要求； D．方程组是二元一次方程组，与要求不符． 故选：C． 8．（22-23七年级下·河南洛阳·期中）解二元一次方程组的基本思想是通过 将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解． 【答案】消元 【分析】根据解二元一次方程组的基本思想是化二元为一元． 【详解】解：解二元一次方程组的基本思想是通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解． 故答案为：消元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程组的基本思想． 9．（22-23七年级下·四川泸州·期中）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 【分析】根据二元一次方程组的定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组，即可进行解答． 【详解】（1）解：中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程， ∴该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （2）解：中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程， ∴该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是掌握：二元一次方程定义∶一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程．二元一次方程组定义∶两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组． 【易错必刷四 判断是否是二元一次方程组的解】 10．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列各组数是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义．要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解是本题的关键．二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解． 【详解】解：A．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故A不符合题意； B．将代入方程，左边右边，所以是方程的解，故B符合题意； C．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故C不符合题意； D．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故D不符合题意． 故选：B． 11．（2024七年级下·全国·专题练习）写出一个解为的二元一次方程组，可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．二元一次方程组中两个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解．据此求解即可． 【详解】解：解为的二元一次方程组可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12．（22-23七年级下·全国·课后作业）判断，是不是二元一次方程组的，的解.以下是小华对本题的解答过程，请判断是否正确，如果不正确，请写出正确的解答过程． 解：把代入，左边右边， ，是二元一次方程组，的解． 【答案】见详解 【分析】根据二元一次方程组的解的定义可知解答过程不正确，应把分别代入两个方程验证即可. 【详解】解： 小华的解答过程不正确，正确的解答过程如下： 把，代入方程， ∵左边，右边，左边=右边， ∴，是方程的解； 把，代入方程， ∵左边，右边，， ∴不是方程的解 ∴，不是方程的解. 综上所述，不是二元一次方程组的解. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 【易错必刷五 已知二元一次方程组的解求参数】 13．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，把代入先求出，再代入求出．解题的关键是理解方程组解的定义． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴分别为方程和的解， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴被“”“”遮住的两个数分别是，． 故选：A． 14．（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）已知，是二元一次方程的一个解，则m的值为 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题关键．将代入二元一次方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入二元一次方程得：， 解得， 故答案为：2． 15．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，以及了二元一次方程（组）的解，通过解方程组求解x，y是解题的关键． 根据题意将和联立组成方程组，解方程组可求解x，y值，再将x，y值代入代入方程可得关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解；∵关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解， ①②，得 ， 把代入①，得， ， 把，代入，得 ， 解得 【易错必刷六 代入消元法】 16．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形可得到（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用代入消元法变形即可得到结果． 【详解】解：用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形得． 故选：B． 17．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知方程，用含x的式子表示y，则 ；用含y的式子表示x，则 ． 【答案】 【分析】本题考查消元法，解答的关键是掌握解方程的基本运算技能：移项，合并同类项，系数化为1等，要表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项，系数化1即可．据此求解即可． 【详解】解：方程移项，得， 化系数为1，得， 方程移项，得， 化系数为1，得 故答案为，． 18．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的求解方法，熟练掌握代入消元法求解二元一次方程组是解题的关键． 根据代入消元法求解，先消去y，求得x，再将x代入即可求解． 【详解】解： 把代入得：， 解得：， 将 代入可得， 方程组的解为： 【易错必刷七 加减消元法】 19．（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）已知，满足方程组，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，把两个方程相加即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 得，， ∴， 故选：． 20．（24-25七年级下·全国·随堂练习）方程组中的x的系数特点是 ，方程组中的y的系数特点是 ，这两个方程组用 法比较方便． 【答案】 相同 互为相反数 加减消元 【分析】此题考查的是解方程组．解二元一次方程组最常用的方法是加减消元法和代入消元法．当方程组中两方程的未知数互为相反数或相等时用加减消元法，反之则考虑用代入消元法． 【详解】解：方程组中的x的系数特点是相同， 方程组中的y的系数特点是互为相反数， 这两个方程组用加减消元法比较方便． 故答案为：相同；互为相反数；加减消元． 21．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键． 将方程组中的第二个方程的两边同乘以2，与第一个方程相加消去可求出的值，再将的值代入第二个方程可求出的值，由此即可得． 【详解】解：， 得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 则方程组的解为． 【易错必刷八 二元一次方程组的特殊解法】 22．（24-25八年级上·山西太原·期末）学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组的解是，在不解方程组的情况下，求方程组的解，小明经过思考后得到，小明这样解方程的思想是（   ） A．公理化思想 B．数形结合思想 C．换元思想 D．方程思想 【答案】C 【分析】本题考查利用“换元”法解二元一次方程组．令，，根据题意可得出，解出x，y即可． 【详解】解：令，， ∴原方程组可化为， 依题意，得， ∴，解得． 小明这样解方程的思想是换元思想． 故选：C． 23．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法，掌握“利用整体未知数的方法解决问题”是解本题的关键． 利用方程①减去方程②，得到，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：， 得：，即， ， ， ， 故答案为：1． 24．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解得，所以，再解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，运用换元法进行变形得，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：设，， 方程组变形得： 整理得： 得：， 即， 把代入①得：， ∴， ，得， 解得， 把代入，解得， 解得：． 【易错必刷九 方程组相同解问题】 25．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同解方程组．将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，把两个含参方程组成方程组，将未知数的值代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴与的解相同， 由，解得， ∴，解得， ∴； 故选D． 26．（24-25八年级上·四川成都·期末）若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了方程组的解，先求出第二个方程组的解，代入第一个方程组，求得新方程组的解即可． 【详解】解：解方程组得， 把代入得入， 解得：， 故答案为：，． 27．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）已知方程组和方程组的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求a，b的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组；方程组的解； （1）根据题意得，解方程组，即可求解； （2）把代入得到关于a，b的方程组，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得 ，得，③ ，得，解得． 将代入①中，得，解得， 所以这两个方程组的相同解为； （2）把代入 得 解得 【易错必刷十 三元一次方程组的定义及解】 28．（24-25七年级下·全国·随堂练习）用加减法解方程组较为简便的方法是（   ） A．先消x B．先消y C．先消z D．都一样 【答案】B 【分析】本题考查解三元一次方程组．观察方程组，第一个方程不含有未知数y，因此将第二和第三个方程联立，首先消去y，进而选择即可． 【详解】解：， ∵方程①只有两个未知数x和z组成，而方程②③中y前面的系数是倍数关系， ∴方程②③消去y较容易， 故选：B． 29．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知方程组，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键． 将三个方程相加计算即可． 【详解】解：， 由①+②+③可得，解得， 故答案为：8． 30．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程和解三元一次方程，熟练掌握加减消元法是解题关键． （1）首先将原式整理为，由，可解得，将代入②，解得，即可获得答案； （2）由，可得 ④，由，可得 ⑤，再由，可解得，将代入④，可解得，将，代入②，可解得，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 整理可得， 由，可得， 解得， 将代入②，可得， 解得， 所以，该方程组的解为； （2）解：， 由，可得 ④， 由，可得 ⑤， 由，可得 ，解得 ， 将代入④，可得，解得， 将，代入②，可得， 解得， 所以，该方程组的解为． 【易错必刷十一 三元一次方程组的应用】 31．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（    ） A．10元 B．9元 C．8元 D．6元 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元，则，再解方程组即可得到答案． 【详解】解：设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元， 由题意得， 得：， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴是正整数， ∴当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴， ∴黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款6元， 故选：D． 32．（24-25七年级下·全国·单元测试）一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，则原来的三位数是 ． 【答案】287 【分析】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，设原来的三位数的百位数字为x、十位数字为y、个位数字为z，则原来的三位数表示为：，新数表示为：，故根据题意列三元一次方程组即可求得． 【详解】解：设原来的三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为， 根据题意，得， 解得， 故原来的三位数是287． 故答案为：287． 33．（24-25八年级上·全国·假期作业）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）6；（2）450元． 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 【易错必刷十二 二元一次方程组的错解复原问题】 34．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，则原方程组中a的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 把小李、小张计算结果代入方程，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a的值． 【详解】解：将、代入得： 得：， 把代入①得：， 解得：． 故选：B 35．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）甲乙两人共同解关于，的方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则关于，的方程组的正确解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握求解方法从而准确计算得到答案． 由于甲看错了，将甲计算得到的解代入等式（2），可求得的值；同理，由于乙看错了，将乙计算得到的解代入等式（1），可计算得的值，然后代入即可求出方程组的解． 【详解】解：将代入方程组中的． 得，解得：． 将代入方程组中的， 得，解得：． 所以原方程组， 解得：． 故答案为：． 36．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的m，解得，乙解题时看错了②中的n，解得，试求原方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组，把甲的解代入中求出的值，把乙的解代入中求出的值，把与的值代入方程组求解即可得到答案，掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值是解题关键． 【详解】解：∵甲解题时看错了中的， ∴代入得， ∴， ∵乙解题时看错了中的， 把代入①得， ∴， ∴， 则， ∴原方程组为 得：， 得：，解得：， 把代入得：，解得：， ∴方程组的解为：． 【易错必刷十三 构造二元一次方程组求解】 37．（23-24七年级下·广东汕头·期末）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为，，例如1，2对应的密文是，4．当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是（　  ） A．，1 B．1，1 C．1，3 D．3，1 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据接收方收到的密文是1，7可得，求解即可． 【详解】解：根据题意，得 ，解得， ∴解密得到的明文是3，1． 故选：D 38．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）已知中每个数只能取，0，2中的一个，且满足，则 ． 【答案】500 【分析】本题考查了解二元一次方程组．列出关于p、q的二元一次方程组是解答此题的关键． 设有p个x取，q个x取2，根据，可得出关于p，q的二元一次方程组，求出p，q的值，再把p，q及x的值代入求解． 【详解】解：设有个，q个2， ∵， ∴， 解得， ∴原式． 故答案为：500． 39．（2025七年级下·全国·专题练习）当，，，，0，1，3，23，124，1000时，等式可以得到10个关于和的二元一次方程，问：这10个方程有无公共解？若有，求出公共解；若没有，求出其中两个方程的公共解． 【答案】有公共解， 【分析】本题主要考查二元一次方程的性质和求解方法，解题关键在于理解方程结构，采用合理的方法寻找公共解，并进行验证； 选取两个特定的值得到两个方程组成方程组求解，然后将解代入原方程进行验证，并且通过验证确保得到的解是所有方程的公共解． 【详解】解：设当，时，有，这两个方程的公共解， 解得：， 把代入等式，得 左边， ∴无论m取何值恒为0， ∴是原方程的解， ∴这 10 个方程有公共解，公共解为． 【易错必刷十四 根据几何图形列二元一次方程组】 40．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组，能根据题意正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据大长方形的宽为以及小长方形的长与宽之间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 41．（23-24七年级下·河南南阳·期中）如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的长是 ． 【答案】/35厘米 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题中的相等关系列方程组是解题的关键． 设每块墙砖的长为，宽为，根据“三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低”列方程组求解可得． 【详解】解：设每块墙砖的长为，宽为，根据题意得： 解得：， ． 42．（21-22八年级上·陕西铜川·阶段练习）如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．    【答案】，见解析 【分析】由图形观察得到线段间的数量关系，设小长方形，构建方程组，求解进而求得小长方形面积； 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，由题意，得 ，变形得 解得 ∴小长方形的面积为． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用；由几何图形确定线段间数量关系构建方程是解题的关键． 【易错必刷十五 方案问题(二元一次方程组的应用)】 43．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）某超市用600元同时购进了单价分别为30元和20元的A、B两种商品，且购进的A种商品不少于10件，则该超市的购进方案有（    ）． A．4种 B．5种 C．9种 D．10种 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设购买A商品x件，购买B商品y件，根据用600元同时购进了单价分别为30元和20元的A、B两种商品列二元一次方程，结合购进的A种商品不少于10件求解即可． 【详解】解：设购买A商品x件，购买B商品y件，由题意，得 ， ∴， ∵进的A种商品不少于10件， ∴，，，，， 故选B． 44．（23-24七年级下·吉林长春·期中）年级花费元用来购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励知识竞赛中的获奖同学，若甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，则购买方案有 种. 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设购买件甲种奖品，件乙种奖品，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可求解． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或， 共有种购买方案． 故答案为：． 45．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）【综合与实践】设计运动会物资的购买方案． 【背景素材】八年级（1）班要为运动会购买物资，计划从某超市购入A、B两种品牌的运动饮料．若买25瓶A品牌运动饮料，25瓶B品牌运动饮料共需325元；若买20瓶A品牌运动饮料，30瓶B品牌运动饮料共需340元． 【问题解决】为设计方案，可以逐步进行探究． 【确定售价】（1）A、B两种品牌的运动饮料的销售单价分别是多少元/瓶？ 【方案探究】（2）购买A、B两种品牌的运动饮料（两种都要），班级预算是200元，要使预算刚好花完，有哪几种购买方案？ 【答案】（1）A品牌运动饮料的销售单价是5元，B品牌运动饮料的销售单价是8元；（2）共有4种购买方案，方案1：购买32瓶A品牌运动饮料，5瓶B品牌运动饮料；方案2：购买24瓶A品牌运动饮料，10瓶B品牌运动饮料；方案3：购买16瓶A品牌运动饮料，15瓶B品牌运动饮料；方案4：购买8瓶A品牌运动饮料，20瓶B品牌运动饮料． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设A品牌运动饮料的销售单价是x元，B品牌运动饮料的销售单价是y元，根据“买25瓶A品牌运动饮料，25瓶B品牌运动饮料需325元；买20瓶A品牌运动饮料，30瓶B品牌运动饮料需340元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m瓶A品牌运动饮料，n瓶B品牌运动饮料，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】解：（1）设A品牌运动饮料的销售单价是x元，B品牌运动饮料的销售单价是y元， 根据题意得， 解得， 答：A品牌运动饮料的销售单价是5元，B品牌运动饮料的销售单价是8元； （2）设购买m瓶A品牌运动饮料，n瓶B品牌运动饮料， 根据题意得：， ∴， 又∵m,n均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种购买方案， 方案1：购买32瓶A品牌运动饮料，5瓶B品牌运动饮料； 方案2：购买24瓶A品牌运动饮料，10瓶B品牌运动饮料； 方案3：购买16瓶A品牌运动饮料，15瓶B品牌运动饮料； 方案4：购买8瓶A品牌运动饮料，20瓶B品牌运动饮料． 【易错必刷十六 和差倍分问题(二元一次方程组的应用)】 46．（22-23七年级下·湖南娄底·期末）某校七年级学生开展义务植树活动，参加者是未参加者人数的3倍，若该年级人数减少6人，未参加人数增加6人，则参加者是未参加者人数的2倍，则该校七年级学生共有（   ）人． A．72人 B．80人 C．96人 D．100人 【答案】C 【分析】设参加者为x人，未参加者为y人，根据参加者是未参加者人数的3倍，若该年级人数减少6人，未参加人数增加6人，则参加者是未参加者人数的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：设参加者为x人，未参加者为y人， 由题意得，， 解得， ∴， ∴该校七年级学生共有96人， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组是解题的关键． 47．（23-24七年级下·湖南永州·期末）5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界记录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为 条． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条，根据：本次比赛共计条龙船参赛，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，可列出方程组，求解即可．正确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条， 依题意，得：， 解得：， ∴参赛的“金凤银麒”龙船为条． 故答案为：． 48．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）某电器公司计划装运甲、乙两种家电到农村销售(规定每辆汽车按规定满载，且每辆汽车只能装同一种家电)，下表为每辆汽车装运甲、乙两种家电的台数．若用8辆汽车装运甲、乙两种家电300台到A地销售，问装运甲、乙两种家电的汽车各有多少辆？（用二元一次方程组解决） 家电种类 甲 乙 每辆汽车能装满的台数 30 40 【答案】装运甲家电的汽车有2辆，装运乙家电的汽车有6辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系．设装运甲家电的汽车有x辆，装运乙家电的汽车有y辆．根据题目中的等量关系列出方程组，求解即可． 【详解】设装运甲家电的汽车有x辆，装运乙家电的汽车有y辆． 根据题意，得 解得 . 答：装运甲家电的汽车有2辆，装运乙家电的汽车有6辆． 【易错必刷十七 实际问题与二元一次方程组】 49．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）中国古今诗歌中蕴含着很多有趣的数学问题，下列一首古诗歌中就蕴含着方程的数量关系：“老头提篮去赶集，一共花去一百七十七．满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．”其意思是：老头用177元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱数等于5斤鱼的钱数，问每斤肉和鱼各是多少钱？如果设每斤肉x元，每斤鱼y元，那么可列二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据老头用177元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱数等于5斤鱼的钱数，可以列出相应的方程组，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：B． 50．（24-25七年级下·全国·随堂练习）某校春季运动会比赛中，七年级（1）班、（2）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：“（1）班与（2）班得分比为．”乙同学说：“（1）班得分比（2）班得分多38分．”若设（1）班得分，（2）班得分，根据题意列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设（1）班得分，（2）班得分，根据题意列出方程组，即可求解． 【详解】解：设（1）班得分，（2）班得分， 由题意得出：． 故答案为：． 51．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市两次购进两种大米数量和进货款如下表： 种大米数量（袋） 种大米数量（袋） 进货款（元） 第一次 第二次 (1)求两种大米每袋的进价； (2)为刺激销量，超市决定在月份增加购进种大米作为赠品，进价为每袋元，并推出两种促销方案．甲方案：“买袋种大米送袋种大米”；乙方案：“买袋种大米送袋种大米．”若进货款为元，月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种大米各多少袋？ 【答案】(1)种大米每袋的进价为元，种大米每袋的进价为元； (2)方案一：购进种大米袋，种大米袋，种大米袋，方案二：购进种大米袋，种大米袋，种大米袋 【分析】（）设种大米每袋的进价为元，种大米每袋的进价为元，根据题意列出方程组即可求解； （）设购进种大米袋，购进种大米袋，则购进种大米袋，根据题意列出二元一次方程，解二元一次方程即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设种大米每袋的进价为元，种大米每袋的进价为元， 由题意得，， 解得， 答：种大米每袋的进价为元，种大米每袋的进价为元； （2）解：设购进种大米袋，购进种大米袋，则购进种大米袋， 由题意得，， ∴， ∵为正整数， ∴或， 当，时，，，； 当，时，，，； ∴有两种购买方案： 方案一：购进种大米袋，种大米袋，种大米袋， 方案二：购进种大米袋，种大米袋，种大米袋． 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 二元一次方程组（17大易错题型） 【易错必刷一 二元一次方程的定义】 1．（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）若方程是关于，的二元一次方程，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）写一个关于x，y的二元一次方程组 ． 3．（22-23六年级下·上海静安·期中）若，是关于x，y的二元一次方程，求的值． 【易错必刷二 二元一次方程的解】 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知方程的一个解是，则m的值为（   ） A．2 B． C． D．1 5．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知是方程的一个解，则实数m的值为 ． 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）李阿姨要为家里添加餐具，分别买了型号不同的大、小两种碗，共花了80元．已知小碗每只6元，大碗每只8元，李阿姨买了大、小碗各几只？ 【易错必刷三 判断是否是二元一次方程组】 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23七年级下·河南洛阳·期中）解二元一次方程组的基本思想是通过 将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解． 9．（22-23七年级下·四川泸州·期中）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) 【易错必刷四 判断是否是二元一次方程组的解】 10．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列各组数是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024七年级下·全国·专题练习）写出一个解为的二元一次方程组，可以是 ． 12．（22-23七年级下·全国·课后作业）判断，是不是二元一次方程组的，的解.以下是小华对本题的解答过程，请判断是否正确，如果不正确，请写出正确的解答过程． 解：把代入，左边右边， ，是二元一次方程组，的解． 【易错必刷五 已知二元一次方程组的解求参数】 13．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 14．（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）已知，是二元一次方程的一个解，则m的值为 15．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，求m的值． 【易错必刷六 代入消元法】 16．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形可得到（   ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知方程，用含x的式子表示y，则 ；用含y的式子表示x，则 ． 18．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）解方程组： 【易错必刷七 加减消元法】 19．（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）已知，满足方程组，则的值为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·全国·随堂练习）方程组中的x的系数特点是 ，方程组中的y的系数特点是 ，这两个方程组用 法比较方便． 21．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）解方程组：． 【易错必刷八 二元一次方程组的特殊解法】 22．（24-25八年级上·山西太原·期末）学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组的解是，在不解方程组的情况下，求方程组的解，小明经过思考后得到，小明这样解方程的思想是（   ） A．公理化思想 B．数形结合思想 C．换元思想 D．方程思想 23．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 24．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解得，所以，再解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组 【易错必刷九 方程组相同解问题】 25．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·四川成都·期末）若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则 ， ． 27．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）已知方程组和方程组的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求a，b的值． 【易错必刷十 三元一次方程组的定义及解】 28．（24-25七年级下·全国·随堂练习）用加减法解方程组较为简便的方法是（   ） A．先消x B．先消y C．先消z D．都一样 29．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知方程组，则 ． 30．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 【易错必刷十一 三元一次方程组的应用】 31．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（    ） A．10元 B．9元 C．8元 D．6元 32．（24-25七年级下·全国·单元测试）一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，则原来的三位数是 ． 33．（24-25八年级上·全国·假期作业）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【易错必刷十二 二元一次方程组的错解复原问题】 34．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，则原方程组中a的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 35．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）甲乙两人共同解关于，的方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则关于，的方程组的正确解为 ． 36．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的m，解得，乙解题时看错了②中的n，解得，试求原方程组的解． 【易错必刷十三 构造二元一次方程组求解】 37．（23-24七年级下·广东汕头·期末）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为，，例如1，2对应的密文是，4．当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是（　  ） A．，1 B．1，1 C．1，3 D．3，1 38．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）已知中每个数只能取，0，2中的一个，且满足，则 ． 39．（2025七年级下·全国·专题练习）当，，，，0，1，3，23，124，1000时，等式可以得到10个关于和的二元一次方程，问：这10个方程有无公共解？若有，求出公共解；若没有，求出其中两个方程的公共解． 【易错必刷十四 根据几何图形列二元一次方程组】 40．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）      A． B． C． D． 41．（23-24七年级下·河南南阳·期中）如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的长是 ． 42．（21-22八年级上·陕西铜川·阶段练习）如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．    【易错必刷十五 方案问题(二元一次方程组的应用)】 43．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）某超市用600元同时购进了单价分别为30元和20元的A、B两种商品，且购进的A种商品不少于10件，则该超市的购进方案有（    ）． A．4种 B．5种 C．9种 D．10种 44．（23-24七年级下·吉林长春·期中）年级花费元用来购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励知识竞赛中的获奖同学，若甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，则购买方案有 种. 45．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）【综合与实践】设计运动会物资的购买方案． 【背景素材】八年级（1）班要为运动会购买物资，计划从某超市购入A、B两种品牌的运动饮料．若买25瓶A品牌运动饮料，25瓶B品牌运动饮料共需325元；若买20瓶A品牌运动饮料，30瓶B品牌运动饮料共需340元． 【问题解决】为设计方案，可以逐步进行探究． 【确定售价】（1）A、B两种品牌的运动饮料的销售单价分别是多少元/瓶？ 【方案探究】（2）购买A、B两种品牌的运动饮料（两种都要），班级预算是200元，要使预算刚好花完，有哪几种购买方案？ 【易错必刷十六 和差倍分问题(二元一次方程组的应用)】 46．（22-23七年级下·湖南娄底·期末）某校七年级学生开展义务植树活动，参加者是未参加者人数的3倍，若该年级人数减少6人，未参加人数增加6人，则参加者是未参加者人数的2倍，则该校七年级学生共有（   ）人． A．72人 B．80人 C．96人 D．100人 47．（23-24七年级下·湖南永州·期末）5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界记录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为 条． 48．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）某电器公司计划装运甲、乙两种家电到农村销售(规定每辆汽车按规定满载，且每辆汽车只能装同一种家电)，下表为每辆汽车装运甲、乙两种家电的台数．若用8辆汽车装运甲、乙两种家电300台到A地销售，问装运甲、乙两种家电的汽车各有多少辆？（用二元一次方程组解决） 家电种类 甲 乙 每辆汽车能装满的台数 30 40 【易错必刷十七 实际问题与二元一次方程组】 49．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）中国古今诗歌中蕴含着很多有趣的数学问题，下列一首古诗歌中就蕴含着方程的数量关系：“老头提篮去赶集，一共花去一百七十七．满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．”其意思是：老头用177元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱数等于5斤鱼的钱数，问每斤肉和鱼各是多少钱？如果设每斤肉x元，每斤鱼y元，那么可列二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 50．（24-25七年级下·全国·随堂练习）某校春季运动会比赛中，七年级（1）班、（2）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：“（1）班与（2）班得分比为．”乙同学说：“（1）班得分比（2）班得分多38分．”若设（1）班得分，（2）班得分，根据题意列方程组为 ． 51．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市两次购进两种大米数量和进货款如下表： 种大米数量（袋） 种大米数量（袋） 进货款（元） 第一次 第二次 (1)求两种大米每袋的进价； (2)为刺激销量，超市决定在月份增加购进种大米作为赠品，进价为每袋元，并推出两种促销方案．甲方案：“买袋种大米送袋种大米”；乙方案：“买袋种大米送袋种大米．”若进货款为元，月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种大米各多少袋？ 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$