（篇二）第三单元长方体和正方体·表面积篇【十四大考点】-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）人教版

第 1 页 共 23 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 23 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元长方体和正方体·表面积篇【十四大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元长方体和正方体·概念认识篇 专题内容 本专题以长方体和正方体的表面积为主，其中包括长方体和 正方体表面积的公式、生活实际应用、扩倍问题、切拼问题 等内容，立体图形的切拼引起的表面积增减变化问题是本专 题的重点和难点。 总体评价 讲解建议 本专题综合性较强，考点划分较多，又有大量细分题型，其 中部分考点难度较大，理解较为困难，建议作为本章核心内 容，并侧重于不同考点进行讲解。 考点数量 十四个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】长方体的表面积 ...............................................................................................4 【考点二】长方体的表面积在我们生活中其一 ................................................................ 5 【考点三】长方体的表面积在我们生活中其二 ................................................................ 6 【考点四】在长方体的展开图中求表面积 ........................................................................ 7 【考点五】正方体的表面积 ...............................................................................................9 【考点六】正方体的表面积在我们生活中其一 ................................................................ 9 【考点七】正方体的表面积在我们生活中其二 .............................................................. 11 第 3 页 共 23 页 【考点八】长方体和正方体的棱长扩倍关系 .................................................................. 12 【典型例题 1】问题一：正方体的表面积与棱长扩倍关系 ................................................... 12 【典型例题 2】问题二：长方体的表面积与棱长扩倍关系 ................................................... 12 【考点九】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其一：切割问题 ..... 13 【典型例题 1】长方体和正方体的切割变化 .......................................................................... 14 【典型例题 2】切割引起的表面积最值问题 .......................................................................... 14 【考点十】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其二：拼接问题 ..... 15 【典型例题 1】正方体的拼接问题 ..........................................................................................15 【典型例题 2】长方体的拼接引起的表面积最值问题 ........................................................... 16 【考点十一】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其三：高的变化问题 .................................................................................................................................................. 17 【典型例题 1】高的减少引起的表面积变化 .......................................................................... 17 【典型例题 2】高的增加引起的表面积变化 .......................................................................... 18 【考点十二】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其四：特殊的切拼问 题 .............................................................................................................................................. 19 【典型例题 1】问题一：将长方体切割成若干个正方体 ....................................................... 19 【典型例题 2】问题二：将多个小正方体拼成一个不规则组合体 ........................................19 【考点十三】不规则或组合立体图形的表面积 .............................................................. 21 【典型例题 1】不规则立体图形 ............................................................................................. 21 【典型例题 2】组合立体图形 ................................................................................................. 21 【考点十四】立方体表面染色问题 ..................................................................................22 第 4 页 共 23 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】长方体的表面积。 【方法点拨】 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体 6个面的总面积，包括上下、前后、左右 6个长方形（或 特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为 S=2ab＋2ah+2bh=2 （ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有 6个面，因此，在计算长方体表面积的 过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通 风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有 时候也可能省去上下面等。 【典型例题】 一个长方体的长是 4m，宽是 3m，高是 2m，它的表面积是( )m2。 【对应练习 1】 一个长方体的长、宽、高分别是 5dm、2dm、2dm，那么在这个长方体中有 ( )个面是边长为 2dm的正方形，这个长方体的底面积是( )dm2。 【对应练习 2】 一个长方体纸箱，长是 5分米，宽是 4分米，高是 2分米，做这样一个纸箱至少 需要( )平方分米的纸板。 第 5 页 共 23 页 【对应练习 3】 一个长方体木箱的长是 6分米，宽是 5分米，高是 4分米，它的棱长和是( ) 分米，占地面积是( )平方分米，表面积是( )平方分米。 【考点二】长方体的表面积在我们生活中其一。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有 6个面，因此，在计算长方体表面积的 过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通 风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有 时候也可能省去上下面等。 【典型例题】 要制作一个 50分米长的通风管道，管道口是长 6分米，宽 5分米的长方形。至 少需要多少平方分米铁皮？合多少平方米？ 【对应练习 1】 一个长方体包装盒，长 3分米，宽 2分米，高 1.5分米。分别在它的侧面和上面 贴商标纸（下底不贴）。贴商标纸的面积有多大？ 【对应练习 2】 孔明灯是一种古老的手工艺品，相传由三国时期的诸葛亮发明而得名，在古代作 为军事用途。涛涛和爸爸一起用 48分米长的铁丝，做了一个正方体灯笼框架， 除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，至少需要多少平方米的安全阻燃纸？ 第 6 页 共 23 页 【对应练习 3】 为积极推动治理塑料污染，国家倡导商场、超市等场所推广使用环保布袋、纸袋 等可降解、可循环、易回收的环保购物袋。某商场要制作一种如下图所示的纸袋 （单位：cm），制作一个这种纸袋至少需要多少平方厘米的纸？（重叠部分约 需要 400cm2的纸） 【考点三】长方体的表面积在我们生活中其二。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有 6个面，因此，在计算长方体表面积的 过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通 风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有 时候也可能省去上下面等。 【典型例题】 在一个长 20米、宽 10米、深 2米的长方体游泳池内贴瓷砖，每块瓷砖是边长 0.2米的正方形，一共需要多少块这样的瓷砖？ 【对应练习 1】 学校要粉刷一间会议室，会议室的长是 15米，宽是 8米，高是 4米。扣除门窗 和黑板的面积 25.4平方米，粉刷的面积是多少平方米？ 第 7 页 共 23 页 【对应练习 2】 一间教室长 8米、宽 7米、高 4米，门窗面积为 20平方米，要粉刷教室的四壁 和屋顶，如果每平方米用涂料 0.25千克，则共需要涂料多少千克？ 【对应练习 3】 礼堂门口有两根长 5分米、宽 4分米、高 3.5米的长方体柱子，现在要给这两根 柱子粉刷涂料，需要粉刷涂料的面积是多少？如果每平方米需要 0.4千克涂料， 那么至少需要购买多少千克的涂料？ 【考点四】在长方体的展开图中求表面积。 【方法点拨】 我们学习了长方体的表面展开图，现在需要在展开图的基础上求表面积，问题的 关键在于根据展开图的特点找到对应的长、宽、高，然后再根据表面积计算公式 求出面积。 【典型例题】 下图是长方体盒子的展开图，原来长方体盒子的表面积是多少平方米？ 第 8 页 共 23 页 【对应练习 1】 如图是长方体的展开图，求这个长方体的表面积。 【对应练习 2】 下图是一个长方体的展开图，这个长方体的表面积是多少？（单位：cm） 【对应练习 3】 下面是一个长方体的展开图，如果将它还原成长方体。（所有字母露在外面） （1）如果C面在下面，那么（ ）面在上面。 （2）如果A面在前面，从右面看到的是 B 面，那么（ ）在左面，（ ） 在上面。 （3）求出这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 第 9 页 共 23 页 【考点五】正方体的表面积。 【方法点拨】 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为 S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体 6个面面积的情况， 例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 【典型例题】 一个正方体棱长和是 60cm，求它的表面积，列式是( )。 【对应练习 1】 一个正方体的底面积是 4平方厘米，它的表面积是( )平方厘米。 【对应练习 2】 用 120厘米长的铁丝做一个正方体框架，这个正方体的棱长是( )厘米， 如果要在它的外面糊一层厚纸，至少需要需要( )平方厘米纸。 【对应练习 3】 聪聪用纸板做了一个棱长 5厘米的正方体，正方体的棱长总和是( )厘米， 它的表面积是( )平方厘米。 【考点六】正方体的表面积在我们生活中其一。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体 6个面面积的情况， 例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 【典型例题】 徐老师用玻璃做了一个棱长是 4分米的正方体金鱼缸（无盖），做这个鱼缸至少 用玻璃多少平方分米？ 第 10 页 共 23 页 【对应练习 1】 有一个棱长 10厘米的正方体包装盒，在它的四壁贴上商标纸（上下面不贴）， 这张商标纸的面积是多少？ 【对应练习 2】 做一个棱长为 0.6米的无底正方体玻璃罩，至少需要多少平方米的玻璃？ 【对应练习 3】 如图，是一个棱长为 3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长 1分米，宽 3厘米 的长方形入口，这个募捐箱的表面积是多少？ 第 11 页 共 23 页 【考点七】正方体的表面积在我们生活中其二。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体 6个面面积的情况， 例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 【典型例题】 中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，自古以来，茶就被誉为中华民族的“国 饮”。下图是一种正方体茶叶礼品包装盒，包装盒上的彩带总长是 128厘米（彩 带打结处忽略不计）。做这个礼品包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 【对应练习 1】 制作一个棱长为 2分米的正方体灯笼框架，至少需要多少分米长的木条？若在灯 笼的各个面糊上彩纸（上面不糊），至少需要多少平方分米的彩纸？ 【对应练习 2】 明明的卧室长、宽、高均为 3米，门窗总面积为 5平方米。妈妈要给明明卧室的 四壁贴上壁纸，每平方米壁纸需要花费 38元，买壁纸需要多少元？ 【对应练习 3】 一个正方体木箱棱长是 6分米，在它的表面涂漆，涂漆部位的面积是多少？如果 每平方分米涂油漆 6克，涂这个木箱，需要油漆多少克？ 第 12 页 共 23 页 【考点八】长方体和正方体的棱长扩倍关系。 【方法点拨】 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系。 如果正方体的棱长扩大到原来的 n倍，那么它的表面积就扩大到原来的 n2倍。 例如： 棱长扩大 3倍，表面积扩大 32=9倍； 棱长扩大 10倍，表面积扩大 102=100倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系。 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的 n倍，那么它的表面积就扩大 到原来的 n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面 面积之和。 【典型例题 1】问题一：正方体的表面积与棱长扩倍关系。 一个正方体的棱长扩大 2倍，表面积就扩大( )倍。 【对应练习 1】 一个正方体的棱长扩大 3倍，它的表面积就( )。 A．扩大 9倍 B．扩大 6倍 C．扩大 27倍 【对应练习 2】 把一个正方体的棱长缩小 4倍，表面积( )。 A．缩小 4倍 B．缩小 16倍 C．扩大 8倍 【典型例题 2】问题二：长方体的表面积与棱长扩倍关系。 一个长方体如果长、宽、高都分别扩大 2倍，那么它的表面积扩大( )倍。 A．2 B．4 C．8 【对应练习 1】 长方体的长、宽、高都扩大 3倍，那么表面积扩大( )。 A．3倍 B．9 C．27倍 【对应练习 2】 一个长方体，长扩大 2倍，宽扩大 3倍，高扩大 4倍，表面积扩大( )。 A．24倍 B．52倍 C．无法确定 D．以上都不是 第 13 页 共 23 页 【考点九】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题） 其一：切割问题。 【方法点拨】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题， 表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会 增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面 积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段， 需切（ n－1）刀，每刀增加 2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体 的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的 正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 第 14 页 共 23 页 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面 面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排 除被遮挡的面。 【典型例题 1】长方体和正方体的切割变化。 一个正方体切成两个长方体，表面积增加了 8平方厘米，原正方体的表面积是 ( )平方厘米。 【对应练习 1】 一个长方体木块，长 20厘米，宽 6厘米，高 5厘米。如果将木块沿虚线位置截 成两部分，表面积将增加( )平方厘米。 【对应练习 2】 一个表面积是 60cm2的长方体按下图所示切三刀，分割成( )个小长方体， 这些小长方体的表面积之和比原来的长方体增加( )cm2。 【典型例题 2】切割引起的表面积最值问题。 把一个长 9cm、宽 8cm、高 6cm的长方体木块截成两个相同的长方体，表面积 最多增加( )cm2。 【对应练习 1】 把一个长、宽、高分别是 5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体， 这两个小长方体表面积之和最大能增加( )平方分米。 第 15 页 共 23 页 【对应练习 2】 把一个长、宽、高分别是 5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体， 表面积最少增加( )平方分米，表面积最多增加( )平方分米。 【对应练习 3】 一个长方体长 24cm，宽 10cm，高 6cm。如果把它切成 2个完全一样的长方体， 表面积增加最小是( )cm2，最大是( )cm2。 【考点十】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题） 其二：拼接问题。 【方法点拨】 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体 的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的 正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 【典型例题 1】正方体的拼接问题。 如图： (1)两个完全相同的正方体拼在一起，表面积减少( )个面，三个正方体拼 在一起减少( )个面；每增加一个正方体减少( )面。 (2)n个小正方体拼在一起减少( )面。 (3)如果小正方体的棱长是 1厘米，5个小正方体如上图一样拼在一起表面积是 ( )平方厘米，n个小正方体拼在一起表面积是( )平方厘米。 【对应练习 1】 两个完全相同的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了 50平方厘米，原来每 个正方体的表面积是( )平方厘米。 第 16 页 共 23 页 【对应练习 2】 用 3个棱长是 5厘米的小正方体拼成一个长方体，它的表面积是( )平方 厘米，比原来表面积减少( )平方厘米。 【对应练习 3】 小明有 30个棱长是 1厘米的小正方体，用这些小正方体拼成一个最大的正方体 后，还剩( )个小正方体。拼成的这个大正方体的表面积是( )平 方厘米。 【典型例题 2】长方体的拼接引起的表面积最值问题。 用三个长 20厘米，宽 15厘米，高 10厘米的小长方体，摆成一个大长方体，大 长方体的表面积最大是( )平方厘米。 【对应练习 1】 两个长 5厘米、宽 3厘米，高 2厘米的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是 ( )平方厘米。 【对应练习 2】 用两个长 3cm、宽 3cm、高 1cm的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的 表面积最大是( )cm2，最小是( )cm2。 【对应练习 3】 将长、宽、高分别为 5cm、4cm、3cm的两个完全相同的长方体拼成一个新的长 方体，则拼成后的长方体表面积最大是( ) 2cm ，最小是( ) 2cm 。 第 17 页 共 23 页 【考点十一】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题） 其三：高的变化问题。 【方法点拨】 高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体中高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体中高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的 是前后左右四个面。 【典型例题 1】高的减少引起的表面积变化。 一个长方体，如果高减少6cm，就变成了一个棱长10cm的正方体。那么长方体变 成正方体后的表面积减少了多少？ 【对应练习 1】 一个长方体，如果高减少2cm就变成了一个正方体，表面积比原来减少 272cm 。 原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【对应练习 2】 一个长方体，如果高减少 4厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少 112平方厘米，原来长方体的侧面积是多少？ 【对应练习 3】 一个长方体，如果高减少 3厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来减少了 96平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 第 18 页 共 23 页 【典型例题 2】高的增加引起的表面积变化。 一个长方体，如果高增加 4厘米，那么就变成一个正方体，这时表面积比原来增 加 128平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【对应练习 1】 一个正方体，它的高增加 2厘米后就成了长方体，这个长方体的表面积比原正方 体表面积增加了 96平方厘米，求原正方体的表面积。 【对应练习 2】 一个长方体（如图），如果高增加 4厘米，就变成棱长 10厘米的正方体，求原 来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【对应练习 3】 如图，长方体的长 9cm，宽 6cm，高 1dm。如果高增加 3cm，则表面积增加多少？ 第 19 页 共 23 页 【考点十二】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题） 其四：特殊的切拼问题。 【方法点拨】 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面 面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排 除被遮挡的面。 【典型例题 1】问题一：将长方体切割成若干个正方体。 （如图）把一个长、宽、高分别为 15厘米、5厘米、5厘米的长方体切成 3个小 正方体，此时三个小正方体的表面积之和比原来增加( )平方厘米。 【对应练习 1】 把长 6分米、宽 2分米、高 2分米的长方体切成 3个相同的小正方体，表面积增 加了( )平方分米。 A．12 B．16 C．24 D．36 【对应练习 2】 把一个长方体切成三个完全相同的小正方体后，表面积增加了 36平方厘米，则 原来长方体的表面积是( )平方厘米。 【对应练习 3】 一个长方体可以切成 7个完全一样的小正方体，每个小正方体的表面积是 6平方 分米，原来长方体的表面积是( )平方分米。 【典型例题 2】问题二：将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 用 24个棱长是 1cm的正方体拼成一个几何体（如图）。它的表面积是 ( ) 2cm 。 第 20 页 共 23 页 【对应练习 1】 用 12个棱长 1厘米的小正方体拼成一个长 3厘米、宽与高都是 2厘米的大长方 体，再将它去掉一个小正方体（如图所示），现在它的表面积是( )平方 厘米。 【对应练习 2】 如图把 14个棱长为 1分米的正方体摆放在课桌上，现在想把露出的表面都涂上 颜色，则涂上颜色部分的面积为( )平方分米。 【对应练习 3】 用棱长是 1厘米的正方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平 方厘米？ 第 21 页 共 23 页 【考点十三】不规则或组合立体图形的表面积。 【方法点拨】 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组 合而成的，再求出对应面的面积即可。 【典型例题 1】不规则立体图形。 把一个棱长为 3分米的正方体木块至上而下（如图）切去一个长方体，剩下木块 的表面积是多少？ 【对应练习】 计算下面几何体的表面积。 【典型例题 2】组合立体图形。 求下面几何形体的表面积。（单位：厘米） 第 22 页 共 23 页 【对应练习】 求下图的表面积（单位：cm）。 【考点十四】立方体表面染色问题。 【方法点拨】 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计 不同颜色面的数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里 面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有 8个顶点，因此，染三个面 的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母 a表示棱上小正方体的数量。 【典型例题】 将一个棱长 5厘米的正方体表面涂色，再切割成棱长 1厘米的小正方体，其中三 面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个，一面涂色的有( ) 个。 第 23 页 共 23 页 【对应练习 1】 一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成 5份，切成同样大的小正方体后，两 面涂色的小正方体有( )个；如果把这个表面涂色的正方体每条棱平均分 成 n份，切开后，三面涂色的小正方体有( )个。 【对应练习 2】 一个 4×4×4的魔方上，三面涂色的小正方体共有( )块，两面涂色的小正 方体共有( )块，一面涂色的小正方体有( )块。 【对应练习 3】 把一个棱长 4厘米的正方体木块的表面涂上红漆，切成棱长 1厘米的小正方体木 块，两面涂色的有( )块，一面涂色的有( )块。 第 1 页 共 29 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 29 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元长方体和正方体·表面积篇【十四大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元长方体和正方体·概念认识篇 专题内容 本专题以长方体和正方体的表面积为主，其中包括长方体和 正方体表面积的公式、生活实际应用、扩倍问题、切拼问题 等内容，立体图形的切拼引起的表面积增减变化问题是本专 题的重点和难点。 总体评价 讲解建议 本专题综合性较强，考点划分较多，又有大量细分题型，其 中部分考点难度较大，理解较为困难，建议作为本章核心内 容，并侧重于不同考点进行讲解。 考点数量 十四个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】长方体的表面积 ...............................................................................................4 【考点二】长方体的表面积在我们生活中其一 ................................................................ 5 【考点三】长方体的表面积在我们生活中其二 ................................................................ 7 【考点四】在长方体的展开图中求表面积 ........................................................................ 8 【考点五】正方体的表面积 ............................................................................................. 11 【考点六】正方体的表面积在我们生活中其一 .............................................................. 12 【考点七】正方体的表面积在我们生活中其二 .............................................................. 13 第 3 页 共 29 页 【考点八】长方体和正方体的棱长扩倍关系 .................................................................. 15 【典型例题 1】问题一：正方体的表面积与棱长扩倍关系 ................................................... 15 【典型例题 2】问题二：长方体的表面积与棱长扩倍关系 ................................................... 15 【考点九】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其一：切割问题 ..... 16 【典型例题 1】长方体和正方体的切割变化 .......................................................................... 17 【典型例题 2】切割引起的表面积最值问题 .......................................................................... 18 【考点十】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其二：拼接问题 ..... 18 【典型例题 1】正方体的拼接问题 ..........................................................................................19 【典型例题 2】长方体的拼接引起的表面积最值问题 ........................................................... 19 【考点十一】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其三：高的变化问题 .................................................................................................................................................. 20 【典型例题 1】高的减少引起的表面积变化 .......................................................................... 20 【典型例题 2】高的增加引起的表面积变化 .......................................................................... 22 【考点十二】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其四：特殊的切拼问 题 .............................................................................................................................................. 23 【典型例题 1】问题一：将长方体切割成若干个正方体 ....................................................... 24 【典型例题 2】问题二：将多个小正方体拼成一个不规则组合体 ........................................25 【考点十三】不规则或组合立体图形的表面积 .............................................................. 26 【典型例题 1】不规则立体图形 ............................................................................................. 26 【典型例题 2】组合立体图形 ................................................................................................. 27 【考点十四】立方体表面染色问题 ..................................................................................28 第 4 页 共 29 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】长方体的表面积。 【方法点拨】 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体 6个面的总面积，包括上下、前后、左右 6个长方形（或 特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为 S=2ab＋2ah+2bh=2 （ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有 6个面，因此，在计算长方体表面积的 过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通 风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有 时候也可能省去上下面等。 【典型例题】 一个长方体的长是 4m，宽是 3m，高是 2m，它的表面积是( )m2。 【答案】52 【对应练习 1】 一个长方体的长、宽、高分别是 5dm、2dm、2dm，那么在这个长方体中有 ( )个面是边长为 2dm的正方形，这个长方体的底面积是( )dm2。 【答案】 2 10 【对应练习 2】 第 5 页 共 29 页 一个长方体纸箱，长是 5分米，宽是 4分米，高是 2分米，做这样一个纸箱至少 需要( )平方分米的纸板。 【答案】76 【对应练习 3】 一个长方体木箱的长是 6分米，宽是 5分米，高是 4分米，它的棱长和是( ) 分米，占地面积是( )平方分米，表面积是( )平方分米。 【答案】 60 30 148 【考点二】长方体的表面积在我们生活中其一。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有 6个面，因此，在计算长方体表面积的 过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通 风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有 时候也可能省去上下面等。 【典型例题】 要制作一个 50分米长的通风管道，管道口是长 6分米，宽 5分米的长方形。至 少需要多少平方分米铁皮？合多少平方米？ 【答案】 （50×6＋50×5）×2 ＝（300＋250）×2 ＝550×2 ＝1100（平方分米） 1100平方分米＝11平方米 答：至少需要 1100平方分米铁皮，合 11平方米。 【对应练习 1】 一个长方体包装盒，长 3分米，宽 2分米，高 1.5分米。分别在它的侧面和上面 贴商标纸（下底不贴）。贴商标纸的面积有多大？ 【答案】 第 6 页 共 29 页 3×2＋（3×1.5＋2×1.5）×2 ＝3×2＋（4.5＋3）×2 ＝3×2＋7.5×2 ＝6＋15 ＝21（平方分米） 答：贴商标纸的面积有 21平方分米。 【对应练习 2】 孔明灯是一种古老的手工艺品，相传由三国时期的诸葛亮发明而得名，在古代作 为军事用途。涛涛和爸爸一起用 48分米长的铁丝，做了一个正方体灯笼框架， 除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，至少需要多少平方米的安全阻燃纸？ 【答案】 48÷12＝4（分米） 4×4＝16（平方分米） 16×5＝80（平方分米） 80平方分米＝0.8平方米 答：至少需要 0.8平方米的安全阻燃纸。 【对应练习 3】 为积极推动治理塑料污染，国家倡导商场、超市等场所推广使用环保布袋、纸袋 等可降解、可循环、易回收的环保购物袋。某商场要制作一种如下图所示的纸袋 （单位：cm），制作一个这种纸袋至少需要多少平方厘米的纸？（重叠部分约 需要 400cm2的纸） 【答案】 纸袋的面积：10 32 32 40 2 10 40 2 400        320 2560 800 400    4080 （平方厘米） 第 7 页 共 29 页 答：制作一个这种纸袋至少需要 4080平方厘米的纸。 【考点三】长方体的表面积在我们生活中其二。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有 6个面，因此，在计算长方体表面积的 过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通 风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有 时候也可能省去上下面等。 【典型例题】 在一个长 20米、宽 10米、深 2米的长方体游泳池内贴瓷砖，每块瓷砖是边长 0.2米的正方形，一共需要多少块这样的瓷砖？ 【答案】 20×10＋20×2×2＋10×2×2 ＝200＋80＋40 ＝320（平方米） 0.2×0.2＝0.04（平方米） 320÷0.04＝8000（块） 答：共需要 8000块这样的瓷砖。 【对应练习 1】 学校要粉刷一间会议室，会议室的长是 15米，宽是 8米，高是 4米。扣除门窗 和黑板的面积 25.4平方米，粉刷的面积是多少平方米？ 【答案】 15×8＋（15×4＋8×4）×2－25.4 ＝120＋（60＋32）×2－25.4 ＝120＋92×2－25.4 ＝120＋184－25.4 ＝278.6（平方米） 答：粉刷的面积是 278.6平方米。 第 8 页 共 29 页 【对应练习 2】 一间教室长 8米、宽 7米、高 4米，门窗面积为 20平方米，要粉刷教室的四壁 和屋顶，如果每平方米用涂料 0.25千克，则共需要涂料多少千克？ 【答案】 （8×7＋8×4＋7×4）×2－8×7－20 ＝（56＋32＋28）×2－8×7－20 ＝116×2－8×7－20 ＝232－56－20 ＝176－20 ＝156（平方米） 156×0.25＝39（千克） 答：共需要涂料 39千克。 【对应练习 3】 礼堂门口有两根长 5分米、宽 4分米、高 3.5米的长方体柱子，现在要给这两根 柱子粉刷涂料，需要粉刷涂料的面积是多少？如果每平方米需要 0.4千克涂料， 那么至少需要购买多少千克的涂料？ 【答案】 5分米＝0.5米 4分米＝0.4米 （0.5＋0.4）×2 ＝0.9×2 ＝1.8（米） 1.8×3.5＝6.3（平方米） 6.3×2＝12.6（平方米） 12.6×0.4＝5.04（千克） 答：需要粉刷涂料的面积是 12.6平方米，至少需要购买 5.04千克的涂料。 【考点四】在长方体的展开图中求表面积。 【方法点拨】 我们学习了长方体的表面展开图，现在需要在展开图的基础上求表面积，问题的 第 9 页 共 29 页 关键在于根据展开图的特点找到对应的长、宽、高，然后再根据表面积计算公式 求出面积。 【典型例题】 下图是长方体盒子的展开图，原来长方体盒子的表面积是多少平方米？ 解析： 高：8－5＝3（米） 长：（20－3×2）÷2 ＝（20－6）÷2 ＝14÷2 ＝7（米） 宽：8－3×2 ＝8－6 ＝2（米） （7×2＋7×3＋2×3）×2 ＝（14＋21＋6）×2 ＝41×2 ＝82（平方米） 答：原来长方体盒子的表面积是 82平方米。 【对应练习 1】 如图是长方体的展开图，求这个长方体的表面积。 第 10 页 共 29 页 解析： 长方体的高：（28－10×2）÷2 ＝（28－20）÷2 ＝8÷2 ＝4（cm） 表面积：（10×6＋10×4＋6×4）×2 ＝（60＋40＋24）×2 ＝（100＋24）×2 ＝124×2 ＝248（cm2） 【对应练习 2】 下图是一个长方体的展开图，这个长方体的表面积是多少？（单位：cm） 解析： 14－4＝10（厘米） （10×8＋10×4＋8×4）×2 ＝（80＋40＋32）×2 ＝152×2 ＝304（平方厘米） 【对应练习 3】 下面是一个长方体的展开图，如果将它还原成长方体。（所有字母露在外面） （1）如果C面在下面，那么（ ）面在上面。 第 11 页 共 29 页 （2）如果A面在前面，从右面看到的是 B 面，那么（ ）在左面，（ ） 在上面。 （3）求出这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 解析： （1）如果C面在下面，那么 F面在上面。 （2）如果A面在前面，从右面看到的是 B 面，那么 D在左面，C在上面。 （3）（8×5＋8×2＋5×2）×2 ＝（40＋16＋10）×2 ＝66×2 ＝132（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是 132平方厘米。 【考点五】正方体的表面积。 【方法点拨】 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为 S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体 6个面面积的情况， 例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 【典型例题】 一个正方体棱长和是 60cm，求它的表面积，列式是( )。 【答案】（60÷12）×（60÷12）×6 【对应练习 1】 一个正方体的底面积是 4平方厘米，它的表面积是( )平方厘米。 【答案】24 【对应练习 2】 用 120厘米长的铁丝做一个正方体框架，这个正方体的棱长是( )厘米， 如果要在它的外面糊一层厚纸，至少需要需要( )平方厘米纸。 第 12 页 共 29 页 【答案】 10 600 【对应练习 3】 聪聪用纸板做了一个棱长 5厘米的正方体，正方体的棱长总和是( )厘米， 它的表面积是( )平方厘米。 【答案】 60 150 【考点六】正方体的表面积在我们生活中其一。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体 6个面面积的情况， 例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 【典型例题】 徐老师用玻璃做了一个棱长是 4分米的正方体金鱼缸（无盖），做这个鱼缸至少 用玻璃多少平方分米？ 【答案】 4×4×5 ＝16×5 ＝80（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃 80平方分米。 【对应练习 1】 有一个棱长 10厘米的正方体包装盒，在它的四壁贴上商标纸（上下面不贴）， 这张商标纸的面积是多少？ 【答案】 10×10×4＝400（平方厘米） 答：这张商标纸的面积是 400平方厘米。 【对应练习 2】 做一个棱长为 0.6米的无底正方体玻璃罩，至少需要多少平方米的玻璃？ 【答案】 0.6×0.6×5＝1.8（平方米） 答：需要 1.8平方米的玻璃。 第 13 页 共 29 页 【对应练习 3】 如图，是一个棱长为 3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长 1分米，宽 3厘米 的长方形入口，这个募捐箱的表面积是多少？ 【答案】 3×3×6＝54（平方分米） 3厘米＝0.3分米 1×0.3＝0.3（平方分米） 54－0.3＝53.7（平方分米） 答：这个募捐箱的表面积是 53.7平方分米。 【考点七】正方体的表面积在我们生活中其二。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体 6个面面积的情况， 例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 【典型例题】 中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，自古以来，茶就被誉为中华民族的“国 饮”。下图是一种正方体茶叶礼品包装盒，包装盒上的彩带总长是 128厘米（彩 带打结处忽略不计）。做这个礼品包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 【答案】 第 14 页 共 29 页 128÷8＝16（厘米） 16×16×6＝1536（平方厘米） 答：做这个礼品包装盒至少需要 1536平方厘米的纸板。 【对应练习 1】 制作一个棱长为 2分米的正方体灯笼框架，至少需要多少分米长的木条？若在灯 笼的各个面糊上彩纸（上面不糊），至少需要多少平方分米的彩纸？ 【答案】 2×12＝24（分米） 2×2×5 ＝4×5 ＝20（平方分米） 答：至少需要 24分米长的木条，至少需要 20平方分米的彩纸。 【对应练习 2】 明明的卧室长、宽、高均为 3米，门窗总面积为 5平方米。妈妈要给明明卧室的 四壁贴上壁纸，每平方米壁纸需要花费 38元，买壁纸需要多少元？ 【答案】 3×3×4－5 ＝36－5 ＝31（平方米） 31×38＝1178（元） 答：买壁纸需要 1178元。 【点睛】本题考查正方体的表面积，求出需要贴壁纸的面积是解题的关键。 【对应练习 3】 一个正方体木箱棱长是 6分米，在它的表面涂漆，涂漆部位的面积是多少？如果 每平方分米涂油漆 6克，涂这个木箱，需要油漆多少克？ 【答案】 6×6×6＝216（平方分米） 216×6＝1296（克） 答：涂漆部位的面积是 216平方分米，涂这个木箱，需要油漆 1296克。 第 15 页 共 29 页 【考点八】长方体和正方体的棱长扩倍关系。 【方法点拨】 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系。 如果正方体的棱长扩大到原来的 n倍，那么它的表面积就扩大到原来的 n2倍。 例如： 棱长扩大 3倍，表面积扩大 32=9倍； 棱长扩大 10倍，表面积扩大 102=100倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系。 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的 n倍，那么它的表面积就扩大 到原来的 n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面 面积之和。 【典型例题 1】问题一：正方体的表面积与棱长扩倍关系。 一个正方体的棱长扩大 2倍，表面积就扩大( )倍。 【答案】4 【对应练习 1】 一个正方体的棱长扩大 3倍，它的表面积就( )。 A．扩大 9倍 B．扩大 6倍 C．扩大 27倍 【答案】A 【对应练习 2】 把一个正方体的棱长缩小 4倍，表面积( )。 A．缩小 4倍 B．缩小 16倍 C．扩大 8倍 【答案】B 【典型例题 2】问题二：长方体的表面积与棱长扩倍关系。 一个长方体如果长、宽、高都分别扩大 2倍，那么它的表面积扩大( )倍。 A．2 B．4 C．8 【答案】B 【对应练习 1】 长方体的长、宽、高都扩大 3倍，那么表面积扩大( )。 第 16 页 共 29 页 A．3倍 B．9 C．27倍 【答案】B 【对应练习 2】 一个长方体，长扩大 2倍，宽扩大 3倍，高扩大 4倍，表面积扩大( )。 A．24倍 B．52倍 C．无法确定 D．以上都不是 【答案】C 【考点九】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题） 其一：切割问题。 【方法点拨】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题， 表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会 增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面 积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段， 需切（ n－1）刀，每刀增加 2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 第 17 页 共 29 页 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体 的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的 正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面 面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排 除被遮挡的面。 【典型例题 1】长方体和正方体的切割变化。 一个正方体切成两个长方体，表面积增加了 8平方厘米，原正方体的表面积是 ( )平方厘米。 【答案】24 【对应练习 1】 一个长方体木块，长 20厘米，宽 6厘米，高 5厘米。如果将木块沿虚线位置截 成两部分，表面积将增加( )平方厘米。 【答案】240 【对应练习 2】 一个表面积是 60cm2的长方体按下图所示切三刀，分割成( )个小长方体， 这些小长方体的表面积之和比原来的长方体增加( )cm2。 第 18 页 共 29 页 【答案】 8 60 【典型例题 2】切割引起的表面积最值问题。 把一个长 9cm、宽 8cm、高 6cm的长方体木块截成两个相同的长方体，表面积 最多增加( )cm2。 【答案】144 【对应练习 1】 把一个长、宽、高分别是 5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体， 这两个小长方体表面积之和最大能增加( )平方分米。 【答案】30 【对应练习 2】 把一个长、宽、高分别是 5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体， 表面积最少增加( )平方分米，表面积最多增加( )平方分米。 【答案】 12 30 【对应练习 3】 一个长方体长 24cm，宽 10cm，高 6cm。如果把它切成 2个完全一样的长方体， 表面积增加最小是( )cm2，最大是( )cm2。 【答案】 120 480 【考点十】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题） 其二：拼接问题。 【方法点拨】 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体 的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的 正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 第 19 页 共 29 页 【典型例题 1】正方体的拼接问题。 如图： (1)两个完全相同的正方体拼在一起，表面积减少( )个面，三个正方体拼 在一起减少( )个面；每增加一个正方体减少( )面。 (2)n个小正方体拼在一起减少( )面。 (3)如果小正方体的棱长是 1厘米，5个小正方体如上图一样拼在一起表面积是 ( )平方厘米，n个小正方体拼在一起表面积是( )平方厘米。 【答案】(1) 2 4 2 (2)2（n－1） (3) 22 4n＋2 【对应练习 1】 两个完全相同的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了 50平方厘米，原来每 个正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】150 【对应练习 2】 用 3个棱长是 5厘米的小正方体拼成一个长方体，它的表面积是( )平方 厘米，比原来表面积减少( )平方厘米。 【答案】 350 100 【对应练习 3】 小明有 30个棱长是 1厘米的小正方体，用这些小正方体拼成一个最大的正方体 后，还剩( )个小正方体。拼成的这个大正方体的表面积是( )平 方厘米。 【答案】 3 54 【典型例题 2】长方体的拼接引起的表面积最值问题。 用三个长 20厘米，宽 15厘米，高 10厘米的小长方体，摆成一个大长方体，大 长方体的表面积最大是( )平方厘米。 【答案】3300 第 20 页 共 29 页 【对应练习 1】 两个长 5厘米、宽 3厘米，高 2厘米的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是 ( )平方厘米。 【答案】112 【对应练习 2】 用两个长 3cm、宽 3cm、高 1cm的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的 表面积最大是( )cm2，最小是( )cm2。 【答案】 54 42 【对应练习 3】 将长、宽、高分别为 5cm、4cm、3cm的两个完全相同的长方体拼成一个新的长 方体，则拼成后的长方体表面积最大是( ) 2cm ，最小是( ) 2cm 。 【答案】 164 148 【考点十一】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题） 其三：高的变化问题。 【方法点拨】 高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体中高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体中高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的 是前后左右四个面。 【典型例题 1】高的减少引起的表面积变化。 一个长方体，如果高减少6cm，就变成了一个棱长10cm的正方体。那么长方体变 成正方体后的表面积减少了多少？ 【答案】 10×6×4 ＝60×4 ＝240（cm2） 答：长方体变成正方体后的表面积减少了 240平方厘米。 第 21 页 共 29 页 【对应练习 1】 一个长方体，如果高减少2cm就变成了一个正方体，表面积比原来减少 272cm 。 原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】 原长方体的底面边长是： 72÷4÷2 ＝18÷2 ＝9（cm） 高是：  9 2 11 cm  （9×9＋9×11＋9×11）×2 ＝（81＋99＋99）×2 ＝279×2 ＝558（cm2） 答：原来长方体的表面积是 558平方厘米。 【对应练习 2】 一个长方体，如果高减少 4厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少 112平方厘米，原来长方体的侧面积是多少？ 【答案】 根据高减少 4厘米，就剩下一个正方体可知，这个正方体比原长方体表面积减少 的 4个面是相同的，根据已知表面积减少 112平方厘米，112÷4÷4=7厘米，求出 减少面的宽，也就是剩下的正方体的棱长，即原长方体的长和宽；然后 4+7=11 厘米求出原长方体的高，再计算原长方体的侧面积即可． 解：原长方体的长和宽是：112÷4÷4=7（厘米）， 则原长方体的高是：7+4=11（厘米）， 所以原长方体的侧面积是：11×7×4=308（平方厘米）， 答：原长方体的侧面积是 308平方厘米． 【对应练习 3】 一个长方体，如果高减少 3厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来减少了 96平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 第 22 页 共 29 页 【答案】480平方厘米 【详解】96÷4÷3=8（厘米） 8＋3=11（厘米） 表面积=（11×8＋11×8＋8×8）×2=480（平方厘米） 【典型例题 2】高的增加引起的表面积变化。 一个长方体，如果高增加 4厘米，那么就变成一个正方体，这时表面积比原来增 加 128平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】 长（或宽）：128÷4÷4 ＝32÷4 ＝8（厘米） 高：8－4＝4（厘米） 表面积：（8×8＋8×4＋8×4）×2 ＝（64＋32＋32）×2 ＝128×2 ＝256（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是 256平方厘米。 【对应练习 1】 一个正方体，它的高增加 2厘米后就成了长方体，这个长方体的表面积比原正方 体表面积增加了 96平方厘米，求原正方体的表面积。 【答案】 96÷4÷2 ＝24÷2 ＝12（厘米） 12×12×6 ＝144×6 ＝864（平方厘米） 答：原正方体的表面积是 864平方厘米。 第 23 页 共 29 页 【对应练习 2】 一个长方体（如图），如果高增加 4厘米，就变成棱长 10厘米的正方体，求原 来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】 10－4＝6（厘米） （10×10＋10×6＋10×6）×2 ＝（100＋60＋60）×2 ＝220×2 ＝440（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是 440平方厘米。 【对应练习 3】 如图，长方体的长 9cm，宽 6cm，高 1dm。如果高增加 3cm，则表面积增加多少？ 【答案】 9×3×2＋6×3×2 ＝54＋36 ＝90（cm2） 答：表面积增加 90cm2。 【考点十二】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题） 其四：特殊的切拼问题。 【方法点拨】 特殊的切拼问题。 第 24 页 共 29 页 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面 面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排 除被遮挡的面。 【典型例题 1】问题一：将长方体切割成若干个正方体。 （如图）把一个长、宽、高分别为 15厘米、5厘米、5厘米的长方体切成 3个小 正方体，此时三个小正方体的表面积之和比原来增加( )平方厘米。 【答案】 5×5×4 ＝25×4 ＝100（平方厘米） 【对应练习 1】 把长 6分米、宽 2分米、高 2分米的长方体切成 3个相同的小正方体，表面积增 加了( )平方分米。 A．12 B．16 C．24 D．36 【答案】B 【对应练习 2】 把一个长方体切成三个完全相同的小正方体后，表面积增加了 36平方厘米，则 原来长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】126 【对应练习 3】 一个长方体可以切成 7个完全一样的小正方体，每个小正方体的表面积是 6平方 分米，原来长方体的表面积是( )平方分米。 【答案】30 第 25 页 共 29 页 【典型例题 2】问题二：将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 用 24个棱长是 1cm的正方体拼成一个几何体（如图）。它的表面积是 ( ) 2cm 。 【答案】52 【对应练习 1】 用 12个棱长 1厘米的小正方体拼成一个长 3厘米、宽与高都是 2厘米的大长方 体，再将它去掉一个小正方体（如图所示），现在它的表面积是( )平方 厘米。 【答案】34 【对应练习 2】 如图把 14个棱长为 1分米的正方体摆放在课桌上，现在想把露出的表面都涂上 颜色，则涂上颜色部分的面积为( )平方分米。 【答案】33 【对应练习 3】 用棱长是 1厘米的正方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平 方厘米？ 【答案】 1×1×（9×2＋7×4） 第 26 页 共 29 页 ＝1×（18＋28） ＝46（平方厘米） 答：该图形的表面积是 46平方厘米。 【考点十三】不规则或组合立体图形的表面积。 【方法点拨】 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组 合而成的，再求出对应面的面积即可。 【典型例题 1】不规则立体图形。 把一个棱长为 3分米的正方体木块至上而下（如图）切去一个长方体，剩下木块 的表面积是多少？ 解析： 3×3×6－1×1×2＋3×1×2 ＝54－2＋6 ＝58（平方分米） 答：剩下部分的表面积是 58平方分米。 【对应练习】 计算下面几何体的表面积。 解析： 第 27 页 共 29 页 6×8×8 ＝6×64 ＝384（cm2） 【典型例题 2】组合立体图形。 求下面几何形体的表面积。（单位：厘米） 解析： 5×5×6＋5×2×4 ＝25×6＋10×4 ＝150＋40 ＝190（平方厘米） 【对应练习】 求下图的表面积（单位：cm）。 解析： 3×（8－3）×4＋3×3×2＋3×3×2＋3×1×2 ＝3×5×4＋9×2＋9×2＋3×2 ＝15×4＋18＋18＋6 ＝60＋18＋18＋6 ＝78＋18＋6 ＝96＋6 ＝102（cm2） 第 28 页 共 29 页 【考点十四】立方体表面染色问题。 【方法点拨】 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计 不同颜色面的数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里 面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有 8个顶点，因此，染三个面 的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母 a表示棱上小正方体的数量。 【典型例题】 将一个棱长 5厘米的正方体表面涂色，再切割成棱长 1厘米的小正方体，其中三 面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个，一面涂色的有( ) 个。 解析：8；36；54 【对应练习 1】 一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成 5份，切成同样大的小正方体后，两 面涂色的小正方体有( )个；如果把这个表面涂色的正方体每条棱平均分 成 n份，切开后，三面涂色的小正方体有( )个。 解析：36；8 【对应练习 2】 一个 4×4×4的魔方上，三面涂色的小正方体共有( )块，两面涂色的小正 第 29 页 共 29 页 方体共有( )块，一面涂色的小正方体有( )块。 解析：8；24；24 【对应练习 3】 把一个棱长 4厘米的正方体木块的表面涂上红漆，切成棱长 1厘米的小正方体木 块，两面涂色的有( )块，一面涂色的有( )块。 解析：24；24 第 1 页 共 45 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 45 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元长方体和正方体·表面积篇【十四大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元长方体和正方体·概念认识篇 专题内容 本专题以长方体和正方体的表面积为主，其中包括长方体和 正方体表面积的公式、生活实际应用、扩倍问题、切拼问题 等内容，立体图形的切拼引起的表面积增减变化问题是本专 题的重点和难点。 总体评价 讲解建议 本专题综合性较强，考点划分较多，又有大量细分题型，其 中部分考点难度较大，理解较为困难，建议作为本章核心内 容，并侧重于不同考点进行讲解。 考点数量 十四个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】长方体的表面积 ...............................................................................................4 【考点二】长方体的表面积在我们生活中其一 ................................................................ 6 【考点三】长方体的表面积在我们生活中其二 ................................................................ 8 【考点四】在长方体的展开图中求表面积 ...................................................................... 11 【考点五】正方体的表面积 ............................................................................................. 13 【考点六】正方体的表面积在我们生活中其一 .............................................................. 15 【考点七】正方体的表面积在我们生活中其二 .............................................................. 17 第 3 页 共 45 页 【考点八】长方体和正方体的棱长扩倍关系 .................................................................. 18 【典型例题 1】问题一：正方体的表面积与棱长扩倍关系 ................................................... 19 【典型例题 2】问题二：长方体的表面积与棱长扩倍关系 ................................................... 20 【考点九】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其一：切割问题 ..... 21 【典型例题 1】长方体和正方体的切割变化 .......................................................................... 22 【典型例题 2】切割引起的表面积最值问题 .......................................................................... 23 【考点十】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其二：拼接问题 ..... 26 【典型例题 1】正方体的拼接问题 ..........................................................................................26 【典型例题 2】长方体的拼接引起的表面积最值问题 ........................................................... 29 【考点十一】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其三：高的变化问题 .................................................................................................................................................. 33 【典型例题 1】高的减少引起的表面积变化 .......................................................................... 33 【典型例题 2】高的增加引起的表面积变化 .......................................................................... 35 【考点十二】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其四：特殊的切拼问 题 .............................................................................................................................................. 37 【典型例题 1】问题一：将长方体切割成若干个正方体 ....................................................... 38 【典型例题 2】问题二：将多个小正方体拼成一个不规则组合体 ........................................40 【考点十三】不规则或组合立体图形的表面积 .............................................................. 42 【典型例题 1】不规则立体图形 ............................................................................................. 42 【典型例题 2】组合立体图形 ................................................................................................. 43 【考点十四】立方体表面染色问题 ..................................................................................44 第 4 页 共 45 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】长方体的表面积。 【方法点拨】 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体 6个面的总面积，包括上下、前后、左右 6个长方形（或 特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为 S=2ab＋2ah+2bh=2 （ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有 6个面，因此，在计算长方体表面积的 过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通 风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有 时候也可能省去上下面等。 【典型例题】 一个长方体的长是 4m，宽是 3m，高是 2m，它的表面积是( )m2。 【答案】52 【分析】根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入 数据，即可解答。 【详解】（4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝（20＋6）×2 第 5 页 共 45 页 ＝26×2 ＝52（m2） 一个长方体的长是 4m，宽是 3m，高是 2m，它的表面积是 52m2。 【对应练习 1】 一个长方体的长、宽、高分别是 5dm、2dm、2dm，那么在这个长方体中有 ( )个面是边长为 2dm的正方形，这个长方体的底面积是( )dm2。 【答案】 2 10 【分析】长方体有 6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长 方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完 全相同。 这个长方体宽和高相同，宽乘高可以得到左或右面的面积，因此左右 2个面是边 长 2dm的正方形，底面积＝长×宽，据此分析。 【详解】5×2＝10（dm2） 在这个长方体中有2个面是边长为 2dm的正方形，这个长方体的底面积是10dm2。 【对应练习 2】 一个长方体纸箱，长是 5分米，宽是 4分米，高是 2分米，做这样一个纸箱至少 需要( )平方分米的纸板。 【答案】76 【分析】这道题是求长方体的表面积，根据长方体的表面积 S＝（长×宽＋宽× 高＋高×长）×2即可解答。 【详解】（5×4＋5×2＋4×2）×2 ＝（20＋10＋8）×2 ＝38×2 ＝76（平方分米） 所以，做这样一个纸箱至少需要 76平方分米的纸板。 【对应练习 3】 一个长方体木箱的长是 6分米，宽是 5分米，高是 4分米，它的棱长和是( ) 分米，占地面积是( )平方分米，表面积是( )平方分米。 【答案】 60 30 148 第 6 页 共 45 页 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算； 占地面积就是算长方体的底面积，根据长方形的面积公式计算即可； 最后根据 2   长方体的表面积＝（长 宽＋长 高＋宽 高） ，代入数据计算。 【详解】  6 5 4 4   15 4  60 （分米） 6 5 30  （平方分米）  6 5 6 4 5 4 2       30 24 20 2    74 2  148 （平方分米） 一个长方体木箱的长是 6分米，宽是 5分米，高是 4分米，它的棱长和是 60分 米，占地面积是 30平方分米，表面积是 148平方分米。 【考点二】长方体的表面积在我们生活中其一。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有 6个面，因此，在计算长方体表面积的 过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通 风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有 时候也可能省去上下面等。 【典型例题】 要制作一个 50分米长的通风管道，管道口是长 6分米，宽 5分米的长方形。至 少需要多少平方分米铁皮？合多少平方米？ 【答案】1100平方分米；11平方米 【分析】这个通风管道的形状可以看作是一个长 50分米，宽 6分米，高 5分米 的长方体。根据题意，求铁皮的面积就是求这个长方体四个面的面积，铁皮的面 积＝（长×宽＋长×高）×2，据此代入数据计算。 第 7 页 共 45 页 把以平方分米为单位的数换算成以平方米为单位的数，除以它们的进率 100即可。 【详解】（50×6＋50×5）×2 ＝（300＋250）×2 ＝550×2 ＝1100（平方分米） 1100平方分米＝11平方米 答：至少需要 1100平方分米铁皮，合 11平方米。 【对应练习 1】 一个长方体包装盒，长 3分米，宽 2分米，高 1.5分米。分别在它的侧面和上面 贴商标纸（下底不贴）。贴商标纸的面积有多大？ 【答案】21平方分米 【分析】求贴商标纸的面积，就是求这个长方体 5个面的面积和，根据长方体表 面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】3×2＋（3×1.5＋2×1.5）×2 ＝3×2＋（4.5＋3）×2 ＝3×2＋7.5×2 ＝6＋15 ＝21（平方分米） 答：贴商标纸的面积有 21平方分米。 【对应练习 2】 孔明灯是一种古老的手工艺品，相传由三国时期的诸葛亮发明而得名，在古代作 为军事用途。涛涛和爸爸一起用 48分米长的铁丝，做了一个正方体灯笼框架， 除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，至少需要多少平方米的安全阻燃纸？ 【答案】0.8平方米 【分析】明确问题是计算除底面外糊纸所需的面积，由于是制作正方体灯笼框架， 而正方体的特征是有 12条长度相等的棱。已知铁丝的总长度，要先确定每条棱 的长度；因为铁丝是用来构成正方体框架的，所以将铁丝总长平均分配到 12条 棱上，就能得出每条棱的长度； 分析需要糊纸的面。正方体原本有 6个面，但题目要求除底面外，所以实际上需 第 8 页 共 45 页 要糊纸的是 5个面；计算每个面的面积。由于每个面都是正方形，其面积取决于 边长，而正方体的棱就是面的边长；得出每个面的面积后，将其乘 5，就能得到 5个面的总面积，也就是所需安全阻燃纸的面积。注意单位的换算。 【详解】48÷12＝4（分米） 4×4＝16（平方分米） 16×5＝80（平方分米） 80平方分米＝0.8平方米 答：至少需要 0.8平方米的安全阻燃纸。 【对应练习 3】 为积极推动治理塑料污染，国家倡导商场、超市等场所推广使用环保布袋、纸袋 等可降解、可循环、易回收的环保购物袋。某商场要制作一种如下图所示的纸袋 （单位：cm），制作一个这种纸袋至少需要多少平方厘米的纸？（重叠部分约 需要 400cm2的纸） 【答案】4080平方厘米 【分析】纸袋的面积是长方体 5个面的面积加重叠部分面积，纸袋面积＝长×宽 ＋长×高×2＋宽×高×2＋重叠部分面积，据此代入数据计算即可。 【详解】纸袋的面积：10 32 32 40 2 10 40 2 400        320 2560 800 400    4080 （平方厘米） 答：制作一个这种纸袋至少需要 4080平方厘米的纸。 【考点三】长方体的表面积在我们生活中其二。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有 6个面，因此，在计算长方体表面积的 第 9 页 共 45 页 过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通 风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有 时候也可能省去上下面等。 【典型例题】 在一个长 20米、宽 10米、深 2米的长方体游泳池内贴瓷砖，每块瓷砖是边长 0.2米的正方形，一共需要多少块这样的瓷砖？ 【答案】8000块 【分析】根据题意，在长方体游泳池内贴瓷砖，则贴瓷砖的是长方体的下面、前 后面、左右面共 5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这 5个面的面积 之和，就是贴瓷砖的面积； 已知每块瓷砖是边长 0.2米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出每 块瓷砖的面积；用贴瓷砖的面积除以每块瓷砖的面积，即是一共需要这样瓷砖的 块数。 【详解】20×10＋20×2×2＋10×2×2 ＝200＋80＋40 ＝320（平方米） 0.2×0.2＝0.04（平方米） 320÷0.04＝8000（块） 答：共需要 8000块这样的瓷砖。 【对应练习 1】 学校要粉刷一间会议室，会议室的长是 15米，宽是 8米，高是 4米。扣除门窗 和黑板的面积 25.4平方米，粉刷的面积是多少平方米？ 【答案】278.6平方米 【分析】粉刷这间会议室，地板不刷，只要粉刷它的上面和前后左右面共 5个面， 再减去门窗和黑板的面积，因此粉刷面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2－门窗 和黑板的面积，据此代入数据计算即可。 【详解】15×8＋（15×4＋8×4）×2－25.4 ＝120＋（60＋32）×2－25.4 第 10 页 共 45 页 ＝120＋92×2－25.4 ＝120＋184－25.4 ＝278.6（平方米） 答：粉刷的面积是 278.6平方米。 【对应练习 2】 一间教室长 8米、宽 7米、高 4米，门窗面积为 20平方米，要粉刷教室的四壁 和屋顶，如果每平方米用涂料 0.25千克，则共需要涂料多少千克？ 【答案】39千克 【分析】利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出教室的表面 积，因为教室的地面和门窗不用粉刷，所以需要减去地面和门窗的面积，一共需 要涂料的质量＝需要粉刷的面积×每平方米需要涂料的质量，据此解答。 【详解】（8×7＋8×4＋7×4）×2－8×7－20 ＝（56＋32＋28）×2－8×7－20 ＝116×2－8×7－20 ＝232－56－20 ＝176－20 ＝156（平方米） 156×0.25＝39（千克） 答：共需要涂料 39千克。 【对应练习 3】 礼堂门口有两根长 5分米、宽 4分米、高 3.5米的长方体柱子，现在要给这两根 柱子粉刷涂料，需要粉刷涂料的面积是多少？如果每平方米需要 0.4千克涂料， 那么至少需要购买多少千克的涂料？ 【答案】12.6平方米；5.04千克 【分析】根据 1米＝10分米，把长度换算成米，通过观察可知，求粉刷涂料的 面积就是求两个长方体的侧面积，根据长方体的侧面积＝底面周长×高，底面周 长＝（长＋宽）×2，代入数据即可求出一个长方体的侧面积，再乘 2即可求出需 要粉刷涂料的面积；最后乘 0.4千克即可求出涂料的总千克数。 【详解】5分米＝0.5米 第 11 页 共 45 页 4分米＝0.4米 （0.5＋0.4）×2 ＝0.9×2 ＝1.8（米） 1.8×3.5＝6.3（平方米） 6.3×2＝12.6（平方米） 12.6×0.4＝5.04（千克） 答：需要粉刷涂料的面积是 12.6平方米，至少需要购买 5.04千克的涂料。 【考点四】在长方体的展开图中求表面积。 【方法点拨】 我们学习了长方体的表面展开图，现在需要在展开图的基础上求表面积，问题的 关键在于根据展开图的特点找到对应的长、宽、高，然后再根据表面积计算公式 求出面积。 【典型例题】 下图是长方体盒子的展开图，原来长方体盒子的表面积是多少平方米？ 解析： 高：8－5＝3（米） 长：（20－3×2）÷2 ＝（20－6）÷2 ＝14÷2 ＝7（米） 宽：8－3×2 ＝8－6 ＝2（米） （7×2＋7×3＋2×3）×2 第 12 页 共 45 页 ＝（14＋21＋6）×2 ＝41×2 ＝82（平方米） 答：原来长方体盒子的表面积是 82平方米。 【对应练习 1】 如图是长方体的展开图，求这个长方体的表面积。 解析： 长方体的高：（28－10×2）÷2 ＝（28－20）÷2 ＝8÷2 ＝4（cm） 表面积：（10×6＋10×4＋6×4）×2 ＝（60＋40＋24）×2 ＝（100＋24）×2 ＝124×2 ＝248（cm2） 【对应练习 2】 下图是一个长方体的展开图，这个长方体的表面积是多少？（单位：cm） 解析： 第 13 页 共 45 页 14－4＝10（厘米） （10×8＋10×4＋8×4）×2 ＝（80＋40＋32）×2 ＝152×2 ＝304（平方厘米） 【对应练习 3】 下面是一个长方体的展开图，如果将它还原成长方体。（所有字母露在外面） （1）如果C面在下面，那么（ ）面在上面。 （2）如果A面在前面，从右面看到的是 B 面，那么（ ）在左面，（ ） 在上面。 （3）求出这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 解析： （1）如果C面在下面，那么 F面在上面。 （2）如果A面在前面，从右面看到的是 B 面，那么 D在左面，C在上面。 （3）（8×5＋8×2＋5×2）×2 ＝（40＋16＋10）×2 ＝66×2 ＝132（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是 132平方厘米。 【考点五】正方体的表面积。 【方法点拨】 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为 S=6a²。 第 14 页 共 45 页 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体 6个面面积的情况， 例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 【典型例题】 一个正方体棱长和是 60cm，求它的表面积，列式是( )。 【答案】（60÷12）×（60÷12）×6 【分析】正方体有 12条棱，将正方体棱长和除以 12，先求出棱长。再根据“正 方体表面积＝棱长×棱长×6”列式求它的表面积。 【详解】（60÷12）×（60÷12）×6 ＝5×5×6 ＝150（cm2） 求它的表面积，列式是（60÷12）×（60÷12）×6。 【对应练习 1】 一个正方体的底面积是 4平方厘米，它的表面积是( )平方厘米。 【答案】24 【分析】根据正方体的表面积＝底面积×6，把数据代入公式解答。 【详解】4×6＝24（平方厘米） 它的表面积是 24平方厘米。 【对应练习 2】 用 120厘米长的铁丝做一个正方体框架，这个正方体的棱长是( )厘米， 如果要在它的外面糊一层厚纸，至少需要需要( )平方厘米纸。 【答案】 10 600 【分析】铁丝长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长＝棱长总和÷12，正 方体表面积＝棱长×棱长×6，列式计算即可。 【详解】120÷12＝10（厘米） 10×10×6＝600（平方厘米） 这个正方体的棱长是 10厘米，如果要在它的外面糊一层厚纸，至少需要 600平 方厘米纸。 【对应练习 3】 第 15 页 共 45 页 聪聪用纸板做了一个棱长 5厘米的正方体，正方体的棱长总和是( )厘米， 它的表面积是( )平方厘米。 【答案】 60 150 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，正方体的表面积＝棱长×棱长×6， 把数据代入公式解答。 【详解】5×12＝60（厘米） 5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 正方体的棱长总和是 60厘米，表面积是 150平方厘米。 【考点六】正方体的表面积在我们生活中其一。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体 6个面面积的情况， 例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 【典型例题】 徐老师用玻璃做了一个棱长是 4分米的正方体金鱼缸（无盖），做这个鱼缸至少 用玻璃多少平方分米？ 【答案】80平方分米 【分析】求这个鱼缸至少需要玻璃的面积，就是求这个正方体金鱼缸 5个面的面 积和，根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×5，代入数据，即可解答。 【详解】4×4×5 ＝16×5 ＝80（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃 80平方分米。 【对应练习 1】 有一个棱长 10厘米的正方体包装盒，在它的四壁贴上商标纸（上下面不贴）， 这张商标纸的面积是多少？ 【答案】400平方厘米 第 16 页 共 45 页 【分析】“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”因为包装盒的上下面不贴，所以只计 算正方体包装盒 4个面的面积即可，据此解答。 【详解】10×10×4＝400（平方厘米） 答：这张商标纸的面积是 400平方厘米。 【对应练习 2】 做一个棱长为 0.6米的无底正方体玻璃罩，至少需要多少平方米的玻璃？ 【答案】1.8平方米 【分析】至少需要多少平方米的玻璃就是求这个正方体的表面积，这个正方体是 无底的玻璃罩是求五个面的面积和，即无底正方体的表面积＝棱长×棱长×5 【详解】0.6×0.6×5＝1.8（平方米） 答：需要 1.8平方米的玻璃。 【对应练习 3】 如图，是一个棱长为 3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长 1分米，宽 3厘米 的长方形入口，这个募捐箱的表面积是多少？ 【答案】53.7平方分米 【分析】这个募捐箱的表面积等于正方体的表面积减去长 1分米，宽 3厘米的长 方形的面积，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，长方形的面积＝长×宽，代 入数据解答即可。 【详解】3×3×6＝54（平方分米） 3厘米＝0.3分米 1×0.3＝0.3（平方分米） 54－0.3＝53.7（平方分米） 答：这个募捐箱的表面积是 53.7平方分米。 第 17 页 共 45 页 【考点七】正方体的表面积在我们生活中其二。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体 6个面面积的情况， 例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 【典型例题】 中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，自古以来，茶就被誉为中华民族的“国 饮”。下图是一种正方体茶叶礼品包装盒，包装盒上的彩带总长是 128厘米（彩 带打结处忽略不计）。做这个礼品包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 【答案】1536平方厘米 【分析】观察可知，彩带长度包括 8条棱长，彩带长度÷8＝棱长，根据正方体表 面积＝棱长×棱长×6，列式解答即可。 【详解】128÷8＝16（厘米） 16×16×6＝1536（平方厘米） 答：做这个礼品包装盒至少需要 1536平方厘米的纸板。 【对应练习 1】 制作一个棱长为 2分米的正方体灯笼框架，至少需要多少分米长的木条？若在灯 笼的各个面糊上彩纸（上面不糊），至少需要多少平方分米的彩纸？ 【答案】24分米；20平方分米 【分析】求木条的长度，就是求正方体的总棱长，根据正方体的总棱长公式：L ＝12a，据此进行计算即可；求彩纸的面积就是求正方体的五个面的面积，根据 正方形的面积公式：S＝a2，据此求出正方体 1个面的面积，再乘 5即可求解。 【详解】2×12＝24（分米） 2×2×5 ＝4×5 第 18 页 共 45 页 ＝20（平方分米） 答：至少需要 24分米长的木条，至少需要 20平方分米的彩纸。 【对应练习 2】 明明的卧室长、宽、高均为 3米，门窗总面积为 5平方米。妈妈要给明明卧室的 四壁贴上壁纸，每平方米壁纸需要花费 38元，买壁纸需要多少元？ 【答案】1178元 【分析】根据正方体四个面的面积公式：S＝4a2，据此求出明明的卧室的四个面 的面积，再减去门窗的面积就是贴壁纸的面积，最后再乘每平方米壁纸的钱数即 可。 【详解】3×3×4－5 ＝36－5 ＝31（平方米） 31×38＝1178（元） 答：买壁纸需要 1178元。 【点睛】本题考查正方体的表面积，求出需要贴壁纸的面积是解题的关键。 【对应练习 3】 一个正方体木箱棱长是 6分米，在它的表面涂漆，涂漆部位的面积是多少？如果 每平方分米涂油漆 6克，涂这个木箱，需要油漆多少克？ 【答案】216平方分米；1296克 【分析】根据正方体表面积＝棱长×棱长×棱长，求出涂漆部位的面积；表面积× 每平方分米需要的油漆质量＝涂这个木箱需要的油漆质量，据此列式解答。 【详解】6×6×6＝216（平方分米） 216×6＝1296（克） 答：涂漆部位的面积是 216平方分米，涂这个木箱，需要油漆 1296克。 【点睛】关键是掌握并灵活运用正方体表面积公式。 【考点八】长方体和正方体的棱长扩倍关系。 【方法点拨】 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系。 如果正方体的棱长扩大到原来的 n倍，那么它的表面积就扩大到原来的 n2倍。 第 19 页 共 45 页 例如： 棱长扩大 3倍，表面积扩大 32=9倍； 棱长扩大 10倍，表面积扩大 102=100倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系。 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的 n倍，那么它的表面积就扩大 到原来的 n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面 面积之和。 【典型例题 1】问题一：正方体的表面积与棱长扩倍关系。 一个正方体的棱长扩大 2倍，表面积就扩大( )倍。 【答案】4 【分析】根据正方体的表面积公式和积的变化规律，正方体的表面积公式： 26s a ， 积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，正方体的棱长扩大 2倍，表面积就扩大 4倍。 【详解】正方体的棱长扩大 2倍，表面积就扩大：2 2 4  倍； 所以一个正方体的棱长扩大 2倍，表面积就扩大 4倍。 【点睛】本题考查正方体的表面积，解答本题的关键是掌握正方体的表面积计算 公式。 【对应练习 1】 一个正方体的棱长扩大 3倍，它的表面积就( )。 A．扩大 9倍 B．扩大 6倍 C．扩大 27倍 【答案】A 【分析】设正方体的棱长为 a，则扩大后的棱长为 3a，分别利用正方体的表面积 公式 S＝6a2，即可求出扩大前后的表面积，进而求出表面积扩大的倍数。 【详解】设正方体的棱长为 a，则扩大后的棱长为 3a 原来的正方体的表面积：6a2 扩大后的正方体的表面积：3a×3a×6＝54a2 表面积扩大：54a2÷6a2＝9。 故答案为：A 第 20 页 共 45 页 【点睛】此题主要考查正方体的表面积的计算方法的灵活应用。 【对应练习 2】 把一个正方体的棱长缩小 4倍，表面积( )。 A．缩小 4倍 B．缩小 16倍 C．扩大 8倍 【答案】B 【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，再根据因数与积的变化规律，积扩 大或缩小的倍数等于因数扩大或缩小倍数的乘积。据此解答。 【详解】把一个正方体的棱长缩小 4倍，表面积缩小 4×4＝16倍 故选:B。 【点睛】明确正方体表面积的计算公式是解决本题的关键。 【典型例题 2】问题二：长方体的表面积与棱长扩倍关系。 一个长方体如果长、宽、高都分别扩大 2倍，那么它的表面积扩大( )倍。 A．2 B．4 C．8 【答案】B 【详解】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 [（长×2）×（宽×2）＋（长×2）×（高×2）]×2＝[（长×宽＋长×高＋宽×高）×2]×4 【对应练习 1】 长方体的长、宽、高都扩大 3倍，那么表面积扩大( )。 A．3倍 B．9 C．27倍 【答案】B 【分析】根据长方体的表面积公式：s＝（ab＋ah＋bh）×2，再根据积的变化规 律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积；由此解答。 【详解】由于长方体的每个面都是长方形，长、宽都扩大 3倍，长方形的面积就 扩大 3×3＝9倍； 所以，长方体的长、宽、高都扩大 3倍，那么表面积扩大 9倍。 故选 B． 【点睛】此题主根据查长方体的表面积的计算方法和积的变化规律解决问题。 【对应练习 2】 一个长方体，长扩大 2倍，宽扩大 3倍，高扩大 4倍，表面积扩大( )。 第 21 页 共 45 页 A．24倍 B．52倍 C．无法确定 D．以上都不是 【答案】C 【分析】设出原来的长、宽、高，利用长方体的表面积公式表示出其表面积，再 用现在的长、宽、高，得出现在的表面积，用现在的表面积除以原来的表面积， 就是表面积扩大的倍数。 【详解】解：令原来的长、宽、高分别为 a、b、h 则原来的表面积：（ab＋ah＋bh）×2 现在的表面积：（6ab＋8ah＋12bh）×2＝2（3ab＋4ah＋6bh）×1 故现在的表面积和原来的面积无法确定。 故答案为：C 【点睛】解答此题的关键是：利用长方体的表面积公式分别表示出现在和原来的 表面积，即可求解。 【考点九】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题） 其一：切割问题。 【方法点拨】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题， 表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会 增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面 积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 第 22 页 共 45 页 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段， 需切（ n－1）刀，每刀增加 2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体 的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的 正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面 面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排 除被遮挡的面。 【典型例题 1】长方体和正方体的切割变化。 一个正方体切成两个长方体，表面积增加了 8平方厘米，原正方体的表面积是 ( )平方厘米。 【答案】24 【分析】把一个正方体切成两个长方体，表面积比原来增加了 2个正方形的面积， 即 8平方厘米，据此求出正方体一个面的面积，再根据正方体的表面积公式：S ＝6a2，据此计算即可。 【详解】8÷2＝4（平方厘米） 4×6＝24（平方厘米） 则原正方体的表面积是 24平方厘米。 第 23 页 共 45 页 【点睛】本题考查正方体的表面积，求出正方体一个面的面积是解题的关键。 【对应练习 1】 一个长方体木块，长 20厘米，宽 6厘米，高 5厘米。如果将木块沿虚线位置截 成两部分，表面积将增加( )平方厘米。 【答案】240 【分析】根据题意可知，长方体被截成 2块，表面积增加了 2个长方形面，每个 长方形的长是 20厘米，宽是 6厘米，根据长方形的面积公式，用 20×6×2即可 求出增加的面积。 【详解】20×6×2＝240（平方厘米） 表面积增加了 240平方厘米。 【点睛】本题考查了立体图形的切割，注意表面积增加了哪些面。 【对应练习 2】 一个表面积是 60cm2的长方体按下图所示切三刀，分割成( )个小长方体， 这些小长方体的表面积之和比原来的长方体增加( )cm2。 【答案】 8 60 【分析】观察可知，如图所示切三刀，将长方体分割成了 2层，每层 4个，共 8 个小长方体；每切一刀增加 2个面，即增加了前后左右上下共 6个面，增加的部 分是一个完整大长方体的表面积，据此分析。 【详解】一个表面积是 60cm2的长方体如图所示切三刀，分割成 8个小长方体， 这些小长方体的表面积之和比原来的长方体增加 60cm2。 【点睛】关键是看懂图示，具有一定的空间想象能力。 【典型例题 2】切割引起的表面积最值问题。 把一个长 9cm、宽 8cm、高 6cm的长方体木块截成两个相同的长方体，表面积 第 24 页 共 45 页 最多增加( )cm2。 【答案】144 【分析】根据长方体的特征，其总共有 3种不同大小的面，分别是 9cm×8cm的 面，9cm×6cm的面，8cm×6cm的面，所以如果将该长方体切成两个小长方体， 沿着 3种不同的面平行切就有 3种切法，无论哪种切法，都会多出两个面，如果 想让表面积增加的最少，就是沿最小的面平行进行切割，多出来的表面积最少， 想让表面积增加最多，就沿着最大的面平行进行切割，据此判断即可。 【详解】由分析可得： 9×8×2 ＝72×2 ＝144（cm2） 综上所述：把一个长 9cm、宽 8cm、高 6cm的长方体木块截成两个相同的长方 体，表面积最多增加 144 cm2。 【点睛】本题考查的立体图形的切割问题，需要明确长方体每切一刀，增加两个 面的面积，要想增加的表面积最少，就沿着最小的面平行切即可，增加的面积最 大，就沿着最大的面平行进行切割。 【对应练习 1】 把一个长、宽、高分别是 5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体， 这两个小长方体表面积之和最大能增加( )平方分米。 【答案】30 【分析】沿着最大的面截成两个小长方体，表面积增加的最多，用长×宽×2即可。 【详解】5×3×2＝30（平方分米） 【点睛】关键是熟悉长方体特征，掌握长方体表面积求法。 【对应练习 2】 把一个长、宽、高分别是 5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体， 表面积最少增加( )平方分米，表面积最多增加( )平方分米。 【答案】 12 30 【分析】根据长方体的特征，其总共有 3种不同大小的面，分别是 5分米×3分 米的面，5分米×2分米的面，3分米×2分米的面，所以如果将该长方体切成两 第 25 页 共 45 页 个小长方体，沿着 3种不同的面平行切就有 3种切法，无论哪种切法，都会多出 两个面，如果想让表面积增加的最少，就是沿最小的面平行进行切割，多出来的 表面积最少，想让表面积增加最多，就沿着最大的面平行进行切割，据此判断即 可。 【详解】由分析可得： 3×2×2 ＝6×2 ＝12（平方分米） 5×3×2 ＝15×2 ＝30（平方分米） 综上所示：把一个长、宽、高分别是 5分米，3分米、2分米的长方体截成两个 小长方体，表面积最少增加 12平方分米，表面积最多增加 30平方分米。 【点睛】本题考查的立体图形的切割问题，需要明确长方体每切一刀，增加两个 面的面积，要想增加的表面积最少，就沿着最小的面平行切即可，增加的面积最 大，就沿着最大的面平行进行切割。 【对应练习 3】 一个长方体长 24cm，宽 10cm，高 6cm。如果把它切成 2个完全一样的长方体， 表面积增加最小是( )cm2，最大是( )cm2。 【答案】 120 480 【分析】要使表面积增加最多，可以平行于最大面切割，则表面积就会增加 2 个 24×10的面的面积；要使表面积增加最少，可以平行于最小面切割，则表面积 就会增加 2个 10×6的面的面积。 【详解】24×10×2 ＝240×2 ＝480（cm2） 10×6×2 ＝60×2 ＝120（cm2） 第 26 页 共 45 页 【点睛】抓住切割特点和表面积增加面的情况是解决本题的关键。 【考点十】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题） 其二：拼接问题。 【方法点拨】 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体 的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的 正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 【典型例题 1】正方体的拼接问题。 如图： (1)两个完全相同的正方体拼在一起，表面积减少( )个面，三个正方体拼 在一起减少( )个面；每增加一个正方体减少( )面。 (2)n个小正方体拼在一起减少( )面。 (3)如果小正方体的棱长是 1厘米，5个小正方体如上图一样拼在一起表面积是 ( )平方厘米，n个小正方体拼在一起表面积是( )平方厘米。 【答案】(1) 2 4 2 (2)2（n－1） (3) 22 4n＋2 【分析】本题考查的是归纳和总结的能力。 2个相同正方体如图拼在一起，表面积减少 2×（2－1）＝2个面； 3个相同正方体如图拼在一起，表面积减少 2×（3－1）＝4个面； 4个相同正方体如图拼在一起，表面积减少 2×（4－1）＝6个面； …… 第 27 页 共 45 页 由此可归纳出，n个相同正方体如图拼在一起，表面积减少 2（n－1）个面。据 此解答。 【详解】（1）由图可知，两个正方体拼在一起，有 1个“接缝”，2个正方形表 面重叠后成为长方体的“内部”，所以表面积减少 2个面。三个正方体拼在一起， 有 2个“接缝”，4个正方形表面重叠后成为长方体的“内部”，所以表面积减少 4 个面。每增加一个正方体就增加一个接缝，一个接缝就减少 2个面。 （2）根据归纳总结可知，n个正方体如图拼在一起，会有（n－1）个接缝，每 个接缝处会减少 2个面，因此会减少 2（n－1）个面。 （3）5个相同正方体如图拼在一起，表面积减少 2×（5－1）＝8个面。棱长为 1 厘米，一个面的面积为 1平方厘米。由此表面积可列式为： 6×1×5－8×1 ＝30－8 ＝22（平方厘米） n个相同正方体如图拼在一起，表面积减少 2（n－1）个面，一个面的面积为 1 平方厘米。表面积为： 6n×1－2（n－1）×1 ＝6n－2n＋2 ＝（4n＋2）平方厘米 【对应练习 1】 两个完全相同的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了 50平方厘米，原来每 个正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】150 【分析】根据题意可知，将两个相同的正方体拼成了一个长方体，拼成的长方体 表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了 50平方厘米，也就是拼成的长方 体表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了正方体的 2个面的面积，据此可 以求出正方体的一个面的面积，然后根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据 代入公式解答。 【详解】50÷2×6 ＝25×6 第 28 页 共 45 页 ＝150（平方厘米） 即原来每个正方体的表面积是 150平方厘米。 【点睛】此题主要考查立体图形的切拼、正方体表面积公式的灵活运用，关键是 熟记公式。 【对应练习 2】 用 3个棱长是 5厘米的小正方体拼成一个长方体，它的表面积是( )平方 厘米，比原来表面积减少( )平方厘米。 【答案】 350 100 【分析】先根据“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”求出 3个小正方体的表面积之 和，把 3个小正方体拼成一个长方体后，表面积比原来减少 4个正方形的面积， 长方体的表面积＝3个小正方体的表面积之和－减少部分的面积，据此解答。 【详解】 5×5×6×3 ＝25×6×3 ＝150×3 ＝450（平方厘米） 5×5×4 ＝25×4 ＝100（平方厘米） 450－100＝350（平方厘米） 所以，这个长方体的表面积是 350平方厘米，比原来表面积减少 100平方厘米。 【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，明确减少小正方形的数量是解答题目的 关键。 【对应练习 3】 小明有 30个棱长是 1厘米的小正方体，用这些小正方体拼成一个最大的正方体 后，还剩( )个小正方体。拼成的这个大正方体的表面积是( )平 方厘米。 第 29 页 共 45 页 【答案】 3 54 【分析】根据正方体的体积＝棱长 3，33＝27（立方厘米），43＝64（立方厘米）， 所以小明有 30个棱长是 1厘米的小正方体，用这些小正方体拼成一个最大的正 方体，大正方体的棱长应为 3厘米，然后根据：正方体的表面积＝棱长×棱长×6， 由此解答即可。 【详解】33＝27（立方厘米） 43＝64（立方厘米） 13×30＝30（立方厘米） 27＜30＜64 27÷（13）＝27（个） 小正方体棱长为 1厘米，则大正方体的体积为 27立方厘米，大正方体的棱长应 为 3厘米；用了 27个小正方体。 30－27＝3（个） 3×3×6＝54（平方厘米） 还剩 3个小正方体。拼成的这个大正方体的表面积是 54平方厘米。 【点睛】灵活掌握正方体的体积和表面积计算公式，是解答此题的关键。 【典型例题 2】长方体的拼接引起的表面积最值问题。 用三个长 20厘米，宽 15厘米，高 10厘米的小长方体，摆成一个大长方体，大 长方体的表面积最大是( )平方厘米。 【答案】3300 【分析】要想长方体的表面积最大，就把最小的三个面拼在一起，拼成后的长方 体的长是 20×3＝60厘米，宽和高不变，根据长方体的表面积公式：表面积＝（长 ×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】长方体的长是：20×3＝60（厘米），宽是 15厘米，高是 10厘米； （60×15＋60×10＋15×10）×2 ＝（900＋600＋150）×2 ＝1650×2 ＝3300（平方厘米） 即大长方体的表面积最大是 3300平方厘米。 第 30 页 共 45 页 【点睛】明确将三个最小面拼合在一起，得到的新长方体的表面积最大是解决本 题的关键。 【对应练习 1】 两个长 5厘米、宽 3厘米，高 2厘米的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是 ( )平方厘米。 【答案】112 【分析】要使拼组后的大长方体表面积最大，那么可以把这两个小长方体最小的 3×2面相粘合，即表面积减少两个最小的面，也就是拼成的这个大长方体的长是 5×2＝10厘米，宽是 3厘米，高是 2厘米，然后根据长方体的表面积公式：S＝ （ab＋ah＋bh）×2，据此代入数值进行计算即可。 【详解】如图所示： 5×2＝10（厘米） （10×3＋10×2＋3×2）×2 ＝（30＋20＋6）×2 ＝56×2 ＝112（平方厘米） 【点睛】两个长方体拼组一个大长方体，表面积会减少两个面，较小的面相粘合， 得到的表面积最大，较大的面相粘合，得到的表面积最小。 【对应练习 2】 用两个长 3cm、宽 3cm、高 1cm的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的 表面积最大是( )cm2，最小是( )cm2。 【答案】 54 42 【分析】每个小长方体的长为 3cm、宽为 3cm、高为 1cm，小长方体有两个相对 的面是正方形，其它四个面是形状相同的长方形，要使大长方体的表面积最大， 则小长方体面积最小的两个面重合，要使大长方体的表面积最小，则小长方体面 积最大的两个面重合，画出图形确定大长方体的长、宽、高，最后根据“长方体 的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”求出大长方体最大和最小的表面积， 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元长方体和正方体·表面积篇【十四大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元长方体和正方体·概念认识篇 专题内容 本专题以长方体和正方体的表面积为主，其中包括长方体和正方体表面积的公式、生活实际应用、扩倍问题、切拼问题等内容，立体图形的切拼引起的表面积增减变化问题是本专题的重点和难点。 总体评价 讲解建议 本专题综合性较强，考点划分较多，又有大量细分题型，其中部分考点难度较大，理解较为困难，建议作为本章核心内容，并侧重于不同考点进行讲解。 考点数量 十四个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】长方体的表面积 4 【考点二】长方体的表面积在我们生活中其一 5 【考点三】长方体的表面积在我们生活中其二 6 【考点四】在长方体的展开图中求表面积 7 【考点五】正方体的表面积 9 【考点六】正方体的表面积在我们生活中其一 9 【考点七】正方体的表面积在我们生活中其二 11 【考点八】长方体和正方体的棱长扩倍关系 12 【典型例题1】问题一：正方体的表面积与棱长扩倍关系 12 【典型例题2】问题二：长方体的表面积与棱长扩倍关系 12 【考点九】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其一：切割问题 13 【典型例题1】长方体和正方体的切割变化 14 【典型例题2】切割引起的表面积最值问题 14 【考点十】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其二：拼接问题 15 【典型例题1】正方体的拼接问题 15 【典型例题2】长方体的拼接引起的表面积最值问题 16 【考点十一】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其三：高的变化问题 17 【典型例题1】高的减少引起的表面积变化 17 【典型例题2】高的增加引起的表面积变化 18 【考点十二】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其四：特殊的切拼问题 19 【典型例题1】问题一：将长方体切割成若干个正方体 19 【典型例题2】问题二：将多个小正方体拼成一个不规则组合体 19 【考点十三】不规则或组合立体图形的表面积 21 【典型例题1】不规则立体图形 21 【典型例题2】组合立体图形 21 【考点十四】立方体表面染色问题 22 【第三篇】典型例题篇 【考点一】长方体的表面积。 【方法点拨】 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 【典型例题】 一个长方体的长是4m，宽是3m，高是2m，它的表面积是( )m2。 【对应练习1】 一个长方体的长、宽、高分别是5dm、2dm、2dm，那么在这个长方体中有( )个面是边长为2dm的正方形，这个长方体的底面积是( )dm2。 【对应练习2】 一个长方体纸箱，长是5分米，宽是4分米，高是2分米，做这样一个纸箱至少需要( )平方分米的纸板。 【对应练习3】 一个长方体木箱的长是6分米，宽是5分米，高是4分米，它的棱长和是( )分米，占地面积是( )平方分米，表面积是( )平方分米。 【考点二】长方体的表面积在我们生活中其一。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 【典型例题】 要制作一个50分米长的通风管道，管道口是长6分米，宽5分米的长方形。至少需要多少平方分米铁皮？合多少平方米？ 【对应练习1】 一个长方体包装盒，长3分米，宽2分米，高1.5分米。分别在它的侧面和上面贴商标纸（下底不贴）。贴商标纸的面积有多大？ 【对应练习2】 孔明灯是一种古老的手工艺品，相传由三国时期的诸葛亮发明而得名，在古代作为军事用途。涛涛和爸爸一起用48分米长的铁丝，做了一个正方体灯笼框架，除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，至少需要多少平方米的安全阻燃纸？ 【对应练习3】 为积极推动治理塑料污染，国家倡导商场、超市等场所推广使用环保布袋、纸袋等可降解、可循环、易回收的环保购物袋。某商场要制作一种如下图所示的纸袋（单位：cm），制作一个这种纸袋至少需要多少平方厘米的纸？（重叠部分约需要400cm2的纸） 【考点三】长方体的表面积在我们生活中其二。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 【典型例题】 在一个长20米、宽10米、深2米的长方体游泳池内贴瓷砖，每块瓷砖是边长0.2米的正方形，一共需要多少块这样的瓷砖？ 【对应练习1】 学校要粉刷一间会议室，会议室的长是15米，宽是8米，高是4米。扣除门窗和黑板的面积25.4平方米，粉刷的面积是多少平方米？ 【对应练习2】 一间教室长8米、宽7米、高4米，门窗面积为20平方米，要粉刷教室的四壁和屋顶，如果每平方米用涂料0.25千克，则共需要涂料多少千克？ 【对应练习3】 礼堂门口有两根长5分米、宽4分米、高3.5米的长方体柱子，现在要给这两根柱子粉刷涂料，需要粉刷涂料的面积是多少？如果每平方米需要0.4千克涂料，那么至少需要购买多少千克的涂料？ 【考点四】在长方体的展开图中求表面积。 【方法点拨】 我们学习了长方体的表面展开图，现在需要在展开图的基础上求表面积，问题的关键在于根据展开图的特点找到对应的长、宽、高，然后再根据表面积计算公式求出面积。 【典型例题】 下图是长方体盒子的展开图，原来长方体盒子的表面积是多少平方米？ 【对应练习1】 如图是长方体的展开图，求这个长方体的表面积。 【对应练习2】 下图是一个长方体的展开图，这个长方体的表面积是多少？（单位：cm） 【对应练习3】 下面是一个长方体的展开图，如果将它还原成长方体。（所有字母露在外面） （1）如果面在下面，那么（        ）面在上面。 （2）如果面在前面，从右面看到的是面，那么（        ）在左面，（        ）在上面。 （3）求出这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【考点五】正方体的表面积。 【方法点拨】 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 【典型例题】 一个正方体棱长和是60cm，求它的表面积，列式是( )。 【对应练习1】 一个正方体的底面积是4平方厘米，它的表面积是( )平方厘米。 【对应练习2】 用120厘米长的铁丝做一个正方体框架，这个正方体的棱长是( )厘米，如果要在它的外面糊一层厚纸，至少需要需要( )平方厘米纸。 【对应练习3】 聪聪用纸板做了一个棱长5厘米的正方体，正方体的棱长总和是( )厘米，它的表面积是( )平方厘米。 【考点六】正方体的表面积在我们生活中其一。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 【典型例题】 徐老师用玻璃做了一个棱长是4分米的正方体金鱼缸（无盖），做这个鱼缸至少用玻璃多少平方分米？ 【对应练习1】 有一个棱长10厘米的正方体包装盒，在它的四壁贴上商标纸（上下面不贴），这张商标纸的面积是多少？ 【对应练习2】 做一个棱长为0.6米的无底正方体玻璃罩，至少需要多少平方米的玻璃？ 【对应练习3】 如图，是一个棱长为3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长1分米，宽3厘米的长方形入口，这个募捐箱的表面积是多少？ 【考点七】正方体的表面积在我们生活中其二。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 【典型例题】 中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，自古以来，茶就被誉为中华民族的“国饮”。下图是一种正方体茶叶礼品包装盒，包装盒上的彩带总长是128厘米（彩带打结处忽略不计）。做这个礼品包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 【对应练习1】 制作一个棱长为2分米的正方体灯笼框架，至少需要多少分米长的木条？若在灯笼的各个面糊上彩纸（上面不糊），至少需要多少平方分米的彩纸？ 【对应练习2】 明明的卧室长、宽、高均为3米，门窗总面积为5平方米。妈妈要给明明卧室的四壁贴上壁纸，每平方米壁纸需要花费38元，买壁纸需要多少元？ 【对应练习3】 一个正方体木箱棱长是6分米，在它的表面涂漆，涂漆部位的面积是多少？如果每平方分米涂油漆6克，涂这个木箱，需要油漆多少克？ 【考点八】长方体和正方体的棱长扩倍关系。 【方法点拨】 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系。 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系。 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 【典型例题1】问题一：正方体的表面积与棱长扩倍关系。 一个正方体的棱长扩大2倍，表面积就扩大( )倍。 【对应练习1】 一个正方体的棱长扩大3倍，它的表面积就( )。 A．扩大9倍 B．扩大6倍 C．扩大27倍 【对应练习2】 把一个正方体的棱长缩小4倍，表面积( )。 A．缩小4倍 B．缩小16倍 C．扩大8倍 【典型例题2】问题二：长方体的表面积与棱长扩倍关系。 一个长方体如果长、宽、高都分别扩大2倍，那么它的表面积扩大( )倍。 A．2                    B．4                  C．8 【对应练习1】 长方体的长、宽、高都扩大3倍，那么表面积扩大( )。 A．3倍 B．9 C．27倍 【对应练习2】 一个长方体，长扩大2倍，宽扩大3倍，高扩大4倍，表面积扩大( )。 A．24倍 B．52倍 C．无法确定 D．以上都不是 【考点九】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其一：切割问题。 【方法点拨】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 【典型例题1】长方体和正方体的切割变化。 一个正方体切成两个长方体，表面积增加了8平方厘米，原正方体的表面积是( )平方厘米。 【对应练习1】 一个长方体木块，长20厘米，宽6厘米，高5厘米。如果将木块沿虚线位置截成两部分，表面积将增加( )平方厘米。    【对应练习2】 一个表面积是60cm2的长方体按下图所示切三刀，分割成( )个小长方体，这些小长方体的表面积之和比原来的长方体增加( )cm2。    【典型例题2】切割引起的表面积最值问题。 把一个长9cm、宽8cm、高6cm的长方体木块截成两个相同的长方体，表面积最多增加( )cm2。 【对应练习1】 把一个长、宽、高分别是5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体，这两个小长方体表面积之和最大能增加( )平方分米。 【对应练习2】 把一个长、宽、高分别是5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体，表面积最少增加( )平方分米，表面积最多增加( )平方分米。 【对应练习3】 一个长方体长24cm，宽10cm，高6cm。如果把它切成2个完全一样的长方体，表面积增加最小是( )cm2，最大是( )cm2。 【考点十】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其二：拼接问题。 【方法点拨】 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 【典型例题1】正方体的拼接问题。 如图： (1)两个完全相同的正方体拼在一起，表面积减少( )个面，三个正方体拼在一起减少( )个面；每增加一个正方体减少( )面。 (2)n个小正方体拼在一起减少( )面。 (3)如果小正方体的棱长是1厘米，5个小正方体如上图一样拼在一起表面积是( )平方厘米，n个小正方体拼在一起表面积是( )平方厘米。 【对应练习1】 两个完全相同的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了50平方厘米，原来每个正方体的表面积是( )平方厘米。 【对应练习2】 用3个棱长是5厘米的小正方体拼成一个长方体，它的表面积是( )平方厘米，比原来表面积减少( )平方厘米。 【对应练习3】 小明有30个棱长是1厘米的小正方体，用这些小正方体拼成一个最大的正方体后，还剩( )个小正方体。拼成的这个大正方体的表面积是( )平方厘米。 【典型例题2】长方体的拼接引起的表面积最值问题。 用三个长20厘米，宽15厘米，高10厘米的小长方体，摆成一个大长方体，大长方体的表面积最大是( )平方厘米。 【对应练习1】 两个长5厘米、宽3厘米，高2厘米的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是( )平方厘米。 【对应练习2】 用两个长3cm、宽3cm、高1cm的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最大是( )cm2，最小是( )cm2。 【对应练习3】 将长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的两个完全相同的长方体拼成一个新的长方体，则拼成后的长方体表面积最大是( )，最小是( )。 【考点十一】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其三：高的变化问题。 【方法点拨】 高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体中高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体中高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。 【典型例题1】高的减少引起的表面积变化。 一个长方体，如果高减少，就变成了一个棱长的正方体。那么长方体变成正方体后的表面积减少了多少？ 【对应练习1】 一个长方体，如果高减少就变成了一个正方体，表面积比原来减少。原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【对应练习2】 一个长方体，如果高减少4厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少112平方厘米，原来长方体的侧面积是多少？ 【对应练习3】 一个长方体，如果高减少3厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来减少了96平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【典型例题2】高的增加引起的表面积变化。 一个长方体，如果高增加4厘米，那么就变成一个正方体，这时表面积比原来增加128平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【对应练习1】 一个正方体，它的高增加2厘米后就成了长方体，这个长方体的表面积比原正方体表面积增加了96平方厘米，求原正方体的表面积。 【对应练习2】 一个长方体（如图），如果高增加4厘米，就变成棱长10厘米的正方体，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【对应练习3】 如图，长方体的长9cm，宽6cm，高1dm。如果高增加3cm，则表面积增加多少？ 【考点十二】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其四：特殊的切拼问题。 【方法点拨】 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 【典型例题1】问题一：将长方体切割成若干个正方体。 （如图）把一个长、宽、高分别为15厘米、5厘米、5厘米的长方体切成3个小正方体，此时三个小正方体的表面积之和比原来增加( )平方厘米。 【对应练习1】 把长6分米、宽2分米、高2分米的长方体切成3个相同的小正方体，表面积增加了( )平方分米。 A．12 B．16 C．24 D．36 【对应练习2】 把一个长方体切成三个完全相同的小正方体后，表面积增加了36平方厘米，则原来长方体的表面积是( )平方厘米。 【对应练习3】 一个长方体可以切成7个完全一样的小正方体，每个小正方体的表面积是6平方分米，原来长方体的表面积是( )平方分米。 【典型例题2】问题二：将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 用24个棱长是1cm的正方体拼成一个几何体（如图）。它的表面积是( )。 【对应练习1】 用12个棱长1厘米的小正方体拼成一个长3厘米、宽与高都是2厘米的大长方体，再将它去掉一个小正方体（如图所示），现在它的表面积是( )平方厘米。 【对应练习2】 如图把14个棱长为1分米的正方体摆放在课桌上，现在想把露出的表面都涂上颜色，则涂上颜色部分的面积为( )平方分米。 【对应练习3】 用棱长是1厘米的正方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？ 【考点十三】不规则或组合立体图形的表面积。 【方法点拨】 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 【典型例题1】不规则立体图形。 把一个棱长为3分米的正方体木块至上而下（如图）切去一个长方体，剩下木块的表面积是多少？ 【对应练习】 计算下面几何体的表面积。 【典型例题2】组合立体图形。 求下面几何形体的表面积。（单位：厘米） 【对应练习】 求下图的表面积（单位：cm）。 【考点十四】立方体表面染色问题。 【方法点拨】 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 【典型例题】 将一个棱长5厘米的正方体表面涂色，再切割成棱长1厘米的小正方体，其中三面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个，一面涂色的有( )个。 【对应练习1】 一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成5份，切成同样大的小正方体后，两面涂色的小正方体有( )个；如果把这个表面涂色的正方体每条棱平均分成n份，切开后，三面涂色的小正方体有( )个。 【对应练习2】 一个4×4×4的魔方上，三面涂色的小正方体共有( )块，两面涂色的小正方体共有( )块，一面涂色的小正方体有( )块。 【对应练习3】 把一个棱长4厘米的正方体木块的表面涂上红漆，切成棱长1厘米的小正方体木块，两面涂色的有( )块，一面涂色的有( )块。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元长方体和正方体·表面积篇【十四大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元长方体和正方体·概念认识篇 专题内容 本专题以长方体和正方体的表面积为主，其中包括长方体和正方体表面积的公式、生活实际应用、扩倍问题、切拼问题等内容，立体图形的切拼引起的表面积增减变化问题是本专题的重点和难点。 总体评价 讲解建议 本专题综合性较强，考点划分较多，又有大量细分题型，其中部分考点难度较大，理解较为困难，建议作为本章核心内容，并侧重于不同考点进行讲解。 考点数量 十四个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】长方体的表面积 4 【考点二】长方体的表面积在我们生活中其一 5 【考点三】长方体的表面积在我们生活中其二 7 【考点四】在长方体的展开图中求表面积 8 【考点五】正方体的表面积 11 【考点六】正方体的表面积在我们生活中其一 12 【考点七】正方体的表面积在我们生活中其二 13 【考点八】长方体和正方体的棱长扩倍关系 15 【典型例题1】问题一：正方体的表面积与棱长扩倍关系 15 【典型例题2】问题二：长方体的表面积与棱长扩倍关系 15 【考点九】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其一：切割问题 16 【典型例题1】长方体和正方体的切割变化 17 【典型例题2】切割引起的表面积最值问题 18 【考点十】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其二：拼接问题 18 【典型例题1】正方体的拼接问题 19 【典型例题2】长方体的拼接引起的表面积最值问题 19 【考点十一】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其三：高的变化问题 20 【典型例题1】高的减少引起的表面积变化 20 【典型例题2】高的增加引起的表面积变化 22 【考点十二】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其四：特殊的切拼问题 23 【典型例题1】问题一：将长方体切割成若干个正方体 24 【典型例题2】问题二：将多个小正方体拼成一个不规则组合体 25 【考点十三】不规则或组合立体图形的表面积 26 【典型例题1】不规则立体图形 26 【典型例题2】组合立体图形 27 【考点十四】立方体表面染色问题 28 【第三篇】典型例题篇 【考点一】长方体的表面积。 【方法点拨】 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 【典型例题】 一个长方体的长是4m，宽是3m，高是2m，它的表面积是( )m2。 【答案】52 【对应练习1】 一个长方体的长、宽、高分别是5dm、2dm、2dm，那么在这个长方体中有( )个面是边长为2dm的正方形，这个长方体的底面积是( )dm2。 【答案】 2 10 【对应练习2】 一个长方体纸箱，长是5分米，宽是4分米，高是2分米，做这样一个纸箱至少需要( )平方分米的纸板。 【答案】76 【对应练习3】 一个长方体木箱的长是6分米，宽是5分米，高是4分米，它的棱长和是( )分米，占地面积是( )平方分米，表面积是( )平方分米。 【答案】 60 30 148 【考点二】长方体的表面积在我们生活中其一。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 【典型例题】 要制作一个50分米长的通风管道，管道口是长6分米，宽5分米的长方形。至少需要多少平方分米铁皮？合多少平方米？ 【答案】 （50×6＋50×5）×2 ＝（300＋250）×2 ＝550×2 ＝1100（平方分米） 1100平方分米＝11平方米 答：至少需要1100平方分米铁皮，合11平方米。 【对应练习1】 一个长方体包装盒，长3分米，宽2分米，高1.5分米。分别在它的侧面和上面贴商标纸（下底不贴）。贴商标纸的面积有多大？ 【答案】 3×2＋（3×1.5＋2×1.5）×2 ＝3×2＋（4.5＋3）×2 ＝3×2＋7.5×2 ＝6＋15 ＝21（平方分米） 答：贴商标纸的面积有21平方分米。 【对应练习2】 孔明灯是一种古老的手工艺品，相传由三国时期的诸葛亮发明而得名，在古代作为军事用途。涛涛和爸爸一起用48分米长的铁丝，做了一个正方体灯笼框架，除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，至少需要多少平方米的安全阻燃纸？ 【答案】 48÷12＝4（分米） 4×4＝16（平方分米） 16×5＝80（平方分米） 80平方分米＝0.8平方米 答：至少需要0.8平方米的安全阻燃纸。 【对应练习3】 为积极推动治理塑料污染，国家倡导商场、超市等场所推广使用环保布袋、纸袋等可降解、可循环、易回收的环保购物袋。某商场要制作一种如下图所示的纸袋（单位：cm），制作一个这种纸袋至少需要多少平方厘米的纸？（重叠部分约需要400cm2的纸） 【答案】 纸袋的面积： （平方厘米） 答：制作一个这种纸袋至少需要4080平方厘米的纸。 【考点三】长方体的表面积在我们生活中其二。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 【典型例题】 在一个长20米、宽10米、深2米的长方体游泳池内贴瓷砖，每块瓷砖是边长0.2米的正方形，一共需要多少块这样的瓷砖？ 【答案】 20×10＋20×2×2＋10×2×2 ＝200＋80＋40 ＝320（平方米） 0.2×0.2＝0.04（平方米） 320÷0.04＝8000（块） 答：共需要8000块这样的瓷砖。 【对应练习1】 学校要粉刷一间会议室，会议室的长是15米，宽是8米，高是4米。扣除门窗和黑板的面积25.4平方米，粉刷的面积是多少平方米？ 【答案】 15×8＋（15×4＋8×4）×2－25.4 ＝120＋（60＋32）×2－25.4 ＝120＋92×2－25.4 ＝120＋184－25.4 ＝278.6（平方米） 答：粉刷的面积是278.6平方米。 【对应练习2】 一间教室长8米、宽7米、高4米，门窗面积为20平方米，要粉刷教室的四壁和屋顶，如果每平方米用涂料0.25千克，则共需要涂料多少千克？ 【答案】 （8×7＋8×4＋7×4）×2－8×7－20 ＝（56＋32＋28）×2－8×7－20 ＝116×2－8×7－20 ＝232－56－20 ＝176－20 ＝156（平方米） 156×0.25＝39（千克） 答：共需要涂料39千克。 【对应练习3】 礼堂门口有两根长5分米、宽4分米、高3.5米的长方体柱子，现在要给这两根柱子粉刷涂料，需要粉刷涂料的面积是多少？如果每平方米需要0.4千克涂料，那么至少需要购买多少千克的涂料？ 【答案】 5分米＝0.5米 4分米＝0.4米 （0.5＋0.4）×2 ＝0.9×2 ＝1.8（米） 1.8×3.5＝6.3（平方米） 6.3×2＝12.6（平方米） 12.6×0.4＝5.04（千克） 答：需要粉刷涂料的面积是12.6平方米，至少需要购买5.04千克的涂料。 【考点四】在长方体的展开图中求表面积。 【方法点拨】 我们学习了长方体的表面展开图，现在需要在展开图的基础上求表面积，问题的关键在于根据展开图的特点找到对应的长、宽、高，然后再根据表面积计算公式求出面积。 【典型例题】 下图是长方体盒子的展开图，原来长方体盒子的表面积是多少平方米？ 解析： 高：8－5＝3（米） 长：（20－3×2）÷2 ＝（20－6）÷2 ＝14÷2 ＝7（米） 宽：8－3×2 ＝8－6 ＝2（米） （7×2＋7×3＋2×3）×2 ＝（14＋21＋6）×2 ＝41×2 ＝82（平方米） 答：原来长方体盒子的表面积是82平方米。 【对应练习1】 如图是长方体的展开图，求这个长方体的表面积。 解析： 长方体的高：（28－10×2）÷2 ＝（28－20）÷2 ＝8÷2 ＝4（cm） 表面积：（10×6＋10×4＋6×4）×2 ＝（60＋40＋24）×2 ＝（100＋24）×2 ＝124×2 ＝248（cm2） 【对应练习2】 下图是一个长方体的展开图，这个长方体的表面积是多少？（单位：cm） 解析： 14－4＝10（厘米） （10×8＋10×4＋8×4）×2 ＝（80＋40＋32）×2 ＝152×2 ＝304（平方厘米） 【对应练习3】 下面是一个长方体的展开图，如果将它还原成长方体。（所有字母露在外面） （1）如果面在下面，那么（        ）面在上面。 （2）如果面在前面，从右面看到的是面，那么（        ）在左面，（        ）在上面。 （3）求出这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 解析： （1）如果面在下面，那么F面在上面。 （2）如果面在前面，从右面看到的是面，那么D在左面，C在上面。 （3）（8×5＋8×2＋5×2）×2 ＝（40＋16＋10）×2 ＝66×2 ＝132（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是132平方厘米。 【考点五】正方体的表面积。 【方法点拨】 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 【典型例题】 一个正方体棱长和是60cm，求它的表面积，列式是( )。 【答案】（60÷12）×（60÷12）×6 【对应练习1】 一个正方体的底面积是4平方厘米，它的表面积是( )平方厘米。 【答案】24 【对应练习2】 用120厘米长的铁丝做一个正方体框架，这个正方体的棱长是( )厘米，如果要在它的外面糊一层厚纸，至少需要需要( )平方厘米纸。 【答案】 10 600 【对应练习3】 聪聪用纸板做了一个棱长5厘米的正方体，正方体的棱长总和是( )厘米，它的表面积是( )平方厘米。 【答案】 60 150 【考点六】正方体的表面积在我们生活中其一。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 【典型例题】 徐老师用玻璃做了一个棱长是4分米的正方体金鱼缸（无盖），做这个鱼缸至少用玻璃多少平方分米？ 【答案】 4×4×5 ＝16×5 ＝80（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃80平方分米。 【对应练习1】 有一个棱长10厘米的正方体包装盒，在它的四壁贴上商标纸（上下面不贴），这张商标纸的面积是多少？ 【答案】 10×10×4＝400（平方厘米） 答：这张商标纸的面积是400平方厘米。 【对应练习2】 做一个棱长为0.6米的无底正方体玻璃罩，至少需要多少平方米的玻璃？ 【答案】 0.6×0.6×5＝1.8（平方米） 答：需要1.8平方米的玻璃。 【对应练习3】 如图，是一个棱长为3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长1分米，宽3厘米的长方形入口，这个募捐箱的表面积是多少？ 【答案】 3×3×6＝54（平方分米） 3厘米＝0.3分米 1×0.3＝0.3（平方分米） 54－0.3＝53.7（平方分米） 答：这个募捐箱的表面积是53.7平方分米。 【考点七】正方体的表面积在我们生活中其二。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 【典型例题】 中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，自古以来，茶就被誉为中华民族的“国饮”。下图是一种正方体茶叶礼品包装盒，包装盒上的彩带总长是128厘米（彩带打结处忽略不计）。做这个礼品包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 【答案】 128÷8＝16（厘米） 16×16×6＝1536（平方厘米） 答：做这个礼品包装盒至少需要1536平方厘米的纸板。 【对应练习1】 制作一个棱长为2分米的正方体灯笼框架，至少需要多少分米长的木条？若在灯笼的各个面糊上彩纸（上面不糊），至少需要多少平方分米的彩纸？ 【答案】 2×12＝24（分米） 2×2×5 ＝4×5 ＝20（平方分米） 答：至少需要24分米长的木条，至少需要20平方分米的彩纸。 【对应练习2】 明明的卧室长、宽、高均为3米，门窗总面积为5平方米。妈妈要给明明卧室的四壁贴上壁纸，每平方米壁纸需要花费38元，买壁纸需要多少元？ 【答案】 3×3×4－5 ＝36－5 ＝31（平方米） 31×38＝1178（元） 答：买壁纸需要1178元。 【点睛】本题考查正方体的表面积，求出需要贴壁纸的面积是解题的关键。 【对应练习3】 一个正方体木箱棱长是6分米，在它的表面涂漆，涂漆部位的面积是多少？如果每平方分米涂油漆6克，涂这个木箱，需要油漆多少克？ 【答案】 6×6×6＝216（平方分米）   216×6＝1296（克） 答：涂漆部位的面积是216平方分米，涂这个木箱，需要油漆1296克。 【考点八】长方体和正方体的棱长扩倍关系。 【方法点拨】 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系。 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系。 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 【典型例题1】问题一：正方体的表面积与棱长扩倍关系。 一个正方体的棱长扩大2倍，表面积就扩大( )倍。 【答案】4 【对应练习1】 一个正方体的棱长扩大3倍，它的表面积就( )。 A．扩大9倍 B．扩大6倍 C．扩大27倍 【答案】A 【对应练习2】 把一个正方体的棱长缩小4倍，表面积( )。 A．缩小4倍 B．缩小16倍 C．扩大8倍 【答案】B 【典型例题2】问题二：长方体的表面积与棱长扩倍关系。 一个长方体如果长、宽、高都分别扩大2倍，那么它的表面积扩大( )倍。 A．2                    B．4                  C．8 【答案】B 【对应练习1】 长方体的长、宽、高都扩大3倍，那么表面积扩大( )。 A．3倍 B．9 C．27倍 【答案】B 【对应练习2】 一个长方体，长扩大2倍，宽扩大3倍，高扩大4倍，表面积扩大( )。 A．24倍 B．52倍 C．无法确定 D．以上都不是 【答案】C 【考点九】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其一：切割问题。 【方法点拨】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 【典型例题1】长方体和正方体的切割变化。 一个正方体切成两个长方体，表面积增加了8平方厘米，原正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】24 【对应练习1】 一个长方体木块，长20厘米，宽6厘米，高5厘米。如果将木块沿虚线位置截成两部分，表面积将增加( )平方厘米。    【答案】240 【对应练习2】 一个表面积是60cm2的长方体按下图所示切三刀，分割成( )个小长方体，这些小长方体的表面积之和比原来的长方体增加( )cm2。    【答案】 8 60 【典型例题2】切割引起的表面积最值问题。 把一个长9cm、宽8cm、高6cm的长方体木块截成两个相同的长方体，表面积最多增加( )cm2。 【答案】144 【对应练习1】 把一个长、宽、高分别是5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体，这两个小长方体表面积之和最大能增加( )平方分米。 【答案】30 【对应练习2】 把一个长、宽、高分别是5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体，表面积最少增加( )平方分米，表面积最多增加( )平方分米。 【答案】 12 30 【对应练习3】 一个长方体长24cm，宽10cm，高6cm。如果把它切成2个完全一样的长方体，表面积增加最小是( )cm2，最大是( )cm2。 【答案】 120 480 【考点十】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其二：拼接问题。 【方法点拨】 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 【典型例题1】正方体的拼接问题。 如图： (1)两个完全相同的正方体拼在一起，表面积减少( )个面，三个正方体拼在一起减少( )个面；每增加一个正方体减少( )面。 (2)n个小正方体拼在一起减少( )面。 (3)如果小正方体的棱长是1厘米，5个小正方体如上图一样拼在一起表面积是( )平方厘米，n个小正方体拼在一起表面积是( )平方厘米。 【答案】(1) 2 4 2 (2)2（n－1） (3) 22 4n＋2 【对应练习1】 两个完全相同的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了50平方厘米，原来每个正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】150 【对应练习2】 用3个棱长是5厘米的小正方体拼成一个长方体，它的表面积是( )平方厘米，比原来表面积减少( )平方厘米。 【答案】 350 100 【对应练习3】 小明有30个棱长是1厘米的小正方体，用这些小正方体拼成一个最大的正方体后，还剩( )个小正方体。拼成的这个大正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】 3 54 【典型例题2】长方体的拼接引起的表面积最值问题。 用三个长20厘米，宽15厘米，高10厘米的小长方体，摆成一个大长方体，大长方体的表面积最大是( )平方厘米。 【答案】3300 【对应练习1】 两个长5厘米、宽3厘米，高2厘米的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是( )平方厘米。 【答案】112 【对应练习2】 用两个长3cm、宽3cm、高1cm的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最大是( )cm2，最小是( )cm2。 【答案】 54 42 【对应练习3】 将长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的两个完全相同的长方体拼成一个新的长方体，则拼成后的长方体表面积最大是( )，最小是( )。 【答案】 164 148 【考点十一】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其三：高的变化问题。 【方法点拨】 高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体中高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体中高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。 【典型例题1】高的减少引起的表面积变化。 一个长方体，如果高减少，就变成了一个棱长的正方体。那么长方体变成正方体后的表面积减少了多少？ 【答案】 10×6×4 ＝60×4 ＝240（cm2） 答：长方体变成正方体后的表面积减少了240平方厘米。 【对应练习1】 一个长方体，如果高减少就变成了一个正方体，表面积比原来减少。原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】 原长方体的底面边长是： 72÷4÷2 ＝18÷2 ＝9（cm）    高是： （9×9＋9×11＋9×11）×2 ＝（81＋99＋99）×2 ＝279×2 ＝558（cm2） 答：原来长方体的表面积是558平方厘米。 【对应练习2】 一个长方体，如果高减少4厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少112平方厘米，原来长方体的侧面积是多少？ 【答案】 根据高减少4厘米，就剩下一个正方体可知，这个正方体比原长方体表面积减少的4个面是相同的，根据已知表面积减少112平方厘米，112÷4÷4=7厘米，求出减少面的宽，也就是剩下的正方体的棱长，即原长方体的长和宽；然后4+7=11厘米求出原长方体的高，再计算原长方体的侧面积即可． 解：原长方体的长和宽是：112÷4÷4=7（厘米）， 则原长方体的高是：7+4=11（厘米）， 所以原长方体的侧面积是：11×7×4=308（平方厘米）， 答：原长方体的侧面积是308平方厘米． 【对应练习3】 一个长方体，如果高减少3厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来减少了96平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】480平方厘米 【详解】96÷4÷3=8（厘米） 8＋3=11（厘米） 表面积=（11×8＋11×8＋8×8）×2=480（平方厘米） 【典型例题2】高的增加引起的表面积变化。 一个长方体，如果高增加4厘米，那么就变成一个正方体，这时表面积比原来增加128平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】 长（或宽）：128÷4÷4 ＝32÷4 ＝8（厘米） 高：8－4＝4（厘米） 表面积：（8×8＋8×4＋8×4）×2 ＝（64＋32＋32）×2 ＝128×2 ＝256（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是256平方厘米。 【对应练习1】 一个正方体，它的高增加2厘米后就成了长方体，这个长方体的表面积比原正方体表面积增加了96平方厘米，求原正方体的表面积。 【答案】 96÷4÷2 ＝24÷2 ＝12（厘米） 12×12×6 ＝144×6 ＝864（平方厘米） 答：原正方体的表面积是864平方厘米。 【对应练习2】 一个长方体（如图），如果高增加4厘米，就变成棱长10厘米的正方体，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】 10－4＝6（厘米） （10×10＋10×6＋10×6）×2 ＝（100＋60＋60）×2 ＝220×2 ＝440（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是440平方厘米。 【对应练习3】 如图，长方体的长9cm，宽6cm，高1dm。如果高增加3cm，则表面积增加多少？ 【答案】 9×3×2＋6×3×2 ＝54＋36 ＝90（cm2） 答：表面积增加90cm2。 【考点十二】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其四：特殊的切拼问题。 【方法点拨】 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 【典型例题1】问题一：将长方体切割成若干个正方体。 （如图）把一个长、宽、高分别为15厘米、5厘米、5厘米的长方体切成3个小正方体，此时三个小正方体的表面积之和比原来增加( )平方厘米。 【答案】 5×5×4 ＝25×4 ＝100（平方厘米） 【对应练习1】 把长6分米、宽2分米、高2分米的长方体切成3个相同的小正方体，表面积增加了( )平方分米。 A．12 B．16 C．24 D．36 【答案】B 【对应练习2】 把一个长方体切成三个完全相同的小正方体后，表面积增加了36平方厘米，则原来长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】126 【对应练习3】 一个长方体可以切成7个完全一样的小正方体，每个小正方体的表面积是6平方分米，原来长方体的表面积是( )平方分米。 【答案】30 【典型例题2】问题二：将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 用24个棱长是1cm的正方体拼成一个几何体（如图）。它的表面积是( )。 【答案】52 【对应练习1】 用12个棱长1厘米的小正方体拼成一个长3厘米、宽与高都是2厘米的大长方体，再将它去掉一个小正方体（如图所示），现在它的表面积是( )平方厘米。 【答案】34 【对应练习2】 如图把14个棱长为1分米的正方体摆放在课桌上，现在想把露出的表面都涂上颜色，则涂上颜色部分的面积为( )平方分米。 【答案】33 【对应练习3】 用棱长是1厘米的正方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？ 【答案】 1×1×（9×2＋7×4） ＝1×（18＋28） ＝46（平方厘米） 答：该图形的表面积是46平方厘米。 【考点十三】不规则或组合立体图形的表面积。 【方法点拨】 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 【典型例题1】不规则立体图形。 把一个棱长为3分米的正方体木块至上而下（如图）切去一个长方体，剩下木块的表面积是多少？ 解析： 3×3×6－1×1×2＋3×1×2 ＝54－2＋6 ＝58（平方分米） 答：剩下部分的表面积是58平方分米。 【对应练习】 计算下面几何体的表面积。 解析： 6×8×8 ＝6×64 ＝384（cm2） 【典型例题2】组合立体图形。 求下面几何形体的表面积。（单位：厘米） 解析： 5×5×6＋5×2×4 ＝25×6＋10×4 ＝150＋40 ＝190（平方厘米） 【对应练习】 求下图的表面积（单位：cm）。 解析： 3×（8－3）×4＋3×3×2＋3×3×2＋3×1×2 ＝3×5×4＋9×2＋9×2＋3×2 ＝15×4＋18＋18＋6 ＝60＋18＋18＋6 ＝78＋18＋6 ＝96＋6 ＝102（cm2） 【考点十四】立方体表面染色问题。 【方法点拨】 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 【典型例题】 将一个棱长5厘米的正方体表面涂色，再切割成棱长1厘米的小正方体，其中三面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个，一面涂色的有( )个。 解析：8；36；54 【对应练习1】 一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成5份，切成同样大的小正方体后，两面涂色的小正方体有( )个；如果把这个表面涂色的正方体每条棱平均分成n份，切开后，三面涂色的小正方体有( )个。 解析：36；8 【对应练习2】 一个4×4×4的魔方上，三面涂色的小正方体共有( )块，两面涂色的小正方体共有( )块，一面涂色的小正方体有( )块。 解析：8；24；24 【对应练习3】 把一个棱长4厘米的正方体木块的表面涂上红漆，切成棱长1厘米的小正方体木块，两面涂色的有( )块，一面涂色的有( )块。 解析：24；24 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元长方体和正方体·表面积篇【十四大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元长方体和正方体·概念认识篇 专题内容 本专题以长方体和正方体的表面积为主，其中包括长方体和正方体表面积的公式、生活实际应用、扩倍问题、切拼问题等内容，立体图形的切拼引起的表面积增减变化问题是本专题的重点和难点。 总体评价 讲解建议 本专题综合性较强，考点划分较多，又有大量细分题型，其中部分考点难度较大，理解较为困难，建议作为本章核心内容，并侧重于不同考点进行讲解。 考点数量 十四个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】长方体的表面积 4 【考点二】长方体的表面积在我们生活中其一 6 【考点三】长方体的表面积在我们生活中其二 8 【考点四】在长方体的展开图中求表面积 11 【考点五】正方体的表面积 13 【考点六】正方体的表面积在我们生活中其一 15 【考点七】正方体的表面积在我们生活中其二 17 【考点八】长方体和正方体的棱长扩倍关系 18 【典型例题1】问题一：正方体的表面积与棱长扩倍关系 19 【典型例题2】问题二：长方体的表面积与棱长扩倍关系 20 【考点九】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其一：切割问题 21 【典型例题1】长方体和正方体的切割变化 22 【典型例题2】切割引起的表面积最值问题 23 【考点十】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其二：拼接问题 26 【典型例题1】正方体的拼接问题 26 【典型例题2】长方体的拼接引起的表面积最值问题 29 【考点十一】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其三：高的变化问题 33 【典型例题1】高的减少引起的表面积变化 33 【典型例题2】高的增加引起的表面积变化 35 【考点十二】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其四：特殊的切拼问题 37 【典型例题1】问题一：将长方体切割成若干个正方体 38 【典型例题2】问题二：将多个小正方体拼成一个不规则组合体 40 【考点十三】不规则或组合立体图形的表面积 42 【典型例题1】不规则立体图形 42 【典型例题2】组合立体图形 43 【考点十四】立方体表面染色问题 44 【第三篇】典型例题篇 【考点一】长方体的表面积。 【方法点拨】 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 【典型例题】 一个长方体的长是4m，宽是3m，高是2m，它的表面积是( )m2。 【答案】52 【分析】根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】（4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝（20＋6）×2 ＝26×2 ＝52（m2） 一个长方体的长是4m，宽是3m，高是2m，它的表面积是52m2。 【对应练习1】 一个长方体的长、宽、高分别是5dm、2dm、2dm，那么在这个长方体中有( )个面是边长为2dm的正方形，这个长方体的底面积是( )dm2。 【答案】 2 10 【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 这个长方体宽和高相同，宽乘高可以得到左或右面的面积，因此左右2个面是边长2dm的正方形，底面积＝长×宽，据此分析。 【详解】5×2＝10（dm2） 在这个长方体中有2个面是边长为2dm的正方形，这个长方体的底面积是10dm2。 【对应练习2】 一个长方体纸箱，长是5分米，宽是4分米，高是2分米，做这样一个纸箱至少需要( )平方分米的纸板。 【答案】76 【分析】这道题是求长方体的表面积，根据长方体的表面积S＝（长×宽＋宽×高＋高×长）×2即可解答。 【详解】（5×4＋5×2＋4×2）×2 ＝（20＋10＋8）×2 ＝38×2 ＝76（平方分米） 所以，做这样一个纸箱至少需要 76平方分米的纸板。 【对应练习3】 一个长方体木箱的长是6分米，宽是5分米，高是4分米，它的棱长和是( )分米，占地面积是( )平方分米，表面积是( )平方分米。 【答案】 60 30 148 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算； 占地面积就是算长方体的底面积，根据长方形的面积公式计算即可； 最后根据，代入数据计算。 【详解】 （分米） （平方分米） （平方分米） 一个长方体木箱的长是6分米，宽是5分米，高是4分米，它的棱长和是60分米，占地面积是30平方分米，表面积是148平方分米。 【考点二】长方体的表面积在我们生活中其一。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 【典型例题】 要制作一个50分米长的通风管道，管道口是长6分米，宽5分米的长方形。至少需要多少平方分米铁皮？合多少平方米？ 【答案】1100平方分米；11平方米 【分析】这个通风管道的形状可以看作是一个长50分米，宽6分米，高5分米的长方体。根据题意，求铁皮的面积就是求这个长方体四个面的面积，铁皮的面积＝（长×宽＋长×高）×2，据此代入数据计算。 把以平方分米为单位的数换算成以平方米为单位的数，除以它们的进率100即可。 【详解】（50×6＋50×5）×2 ＝（300＋250）×2 ＝550×2 ＝1100（平方分米） 1100平方分米＝11平方米 答：至少需要1100平方分米铁皮，合11平方米。 【对应练习1】 一个长方体包装盒，长3分米，宽2分米，高1.5分米。分别在它的侧面和上面贴商标纸（下底不贴）。贴商标纸的面积有多大？ 【答案】21平方分米 【分析】求贴商标纸的面积，就是求这个长方体5个面的面积和，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】3×2＋（3×1.5＋2×1.5）×2 ＝3×2＋（4.5＋3）×2 ＝3×2＋7.5×2 ＝6＋15 ＝21（平方分米） 答：贴商标纸的面积有21平方分米。 【对应练习2】 孔明灯是一种古老的手工艺品，相传由三国时期的诸葛亮发明而得名，在古代作为军事用途。涛涛和爸爸一起用48分米长的铁丝，做了一个正方体灯笼框架，除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，至少需要多少平方米的安全阻燃纸？ 【答案】0.8平方米 【分析】明确问题是计算除底面外糊纸所需的面积，由于是制作正方体灯笼框架，而正方体的特征是有12条长度相等的棱。已知铁丝的总长度，要先确定每条棱的长度；因为铁丝是用来构成正方体框架的，所以将铁丝总长平均分配到12条棱上，就能得出每条棱的长度； 分析需要糊纸的面。正方体原本有6个面，但题目要求除底面外，所以实际上需要糊纸的是5个面；计算每个面的面积。由于每个面都是正方形，其面积取决于边长，而正方体的棱就是面的边长；得出每个面的面积后，将其乘5，就能得到5个面的总面积，也就是所需安全阻燃纸的面积。注意单位的换算。 【详解】48÷12＝4（分米） 4×4＝16（平方分米） 16×5＝80（平方分米） 80平方分米＝0.8平方米 答：至少需要0.8平方米的安全阻燃纸。 【对应练习3】 为积极推动治理塑料污染，国家倡导商场、超市等场所推广使用环保布袋、纸袋等可降解、可循环、易回收的环保购物袋。某商场要制作一种如下图所示的纸袋（单位：cm），制作一个这种纸袋至少需要多少平方厘米的纸？（重叠部分约需要400cm2的纸） 【答案】4080平方厘米 【分析】纸袋的面积是长方体5个面的面积加重叠部分面积，纸袋面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2＋重叠部分面积，据此代入数据计算即可。 【详解】纸袋的面积： （平方厘米） 答：制作一个这种纸袋至少需要4080平方厘米的纸。 【考点三】长方体的表面积在我们生活中其二。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 【典型例题】 在一个长20米、宽10米、深2米的长方体游泳池内贴瓷砖，每块瓷砖是边长0.2米的正方形，一共需要多少块这样的瓷砖？ 【答案】8000块 【分析】根据题意，在长方体游泳池内贴瓷砖，则贴瓷砖的是长方体的下面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，就是贴瓷砖的面积； 已知每块瓷砖是边长0.2米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出每块瓷砖的面积；用贴瓷砖的面积除以每块瓷砖的面积，即是一共需要这样瓷砖的块数。 【详解】20×10＋20×2×2＋10×2×2 ＝200＋80＋40 ＝320（平方米） 0.2×0.2＝0.04（平方米） 320÷0.04＝8000（块） 答：共需要8000块这样的瓷砖。 【对应练习1】 学校要粉刷一间会议室，会议室的长是15米，宽是8米，高是4米。扣除门窗和黑板的面积25.4平方米，粉刷的面积是多少平方米？ 【答案】278.6平方米 【分析】粉刷这间会议室，地板不刷，只要粉刷它的上面和前后左右面共5个面，再减去门窗和黑板的面积，因此粉刷面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2－门窗和黑板的面积，据此代入数据计算即可。 【详解】15×8＋（15×4＋8×4）×2－25.4 ＝120＋（60＋32）×2－25.4 ＝120＋92×2－25.4 ＝120＋184－25.4 ＝278.6（平方米） 答：粉刷的面积是278.6平方米。 【对应练习2】 一间教室长8米、宽7米、高4米，门窗面积为20平方米，要粉刷教室的四壁和屋顶，如果每平方米用涂料0.25千克，则共需要涂料多少千克？ 【答案】39千克 【分析】利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出教室的表面积，因为教室的地面和门窗不用粉刷，所以需要减去地面和门窗的面积，一共需要涂料的质量＝需要粉刷的面积×每平方米需要涂料的质量，据此解答。 【详解】（8×7＋8×4＋7×4）×2－8×7－20 ＝（56＋32＋28）×2－8×7－20 ＝116×2－8×7－20 ＝232－56－20 ＝176－20 ＝156（平方米） 156×0.25＝39（千克） 答：共需要涂料39千克。 【对应练习3】 礼堂门口有两根长5分米、宽4分米、高3.5米的长方体柱子，现在要给这两根柱子粉刷涂料，需要粉刷涂料的面积是多少？如果每平方米需要0.4千克涂料，那么至少需要购买多少千克的涂料？ 【答案】12.6平方米；5.04千克 【分析】根据1米＝10分米，把长度换算成米，通过观察可知，求粉刷涂料的面积就是求两个长方体的侧面积，根据长方体的侧面积＝底面周长×高，底面周长＝（长＋宽）×2，代入数据即可求出一个长方体的侧面积，再乘2即可求出需要粉刷涂料的面积；最后乘0.4千克即可求出涂料的总千克数。 【详解】5分米＝0.5米 4分米＝0.4米 （0.5＋0.4）×2 ＝0.9×2 ＝1.8（米） 1.8×3.5＝6.3（平方米） 6.3×2＝12.6（平方米） 12.6×0.4＝5.04（千克） 答：需要粉刷涂料的面积是12.6平方米，至少需要购买5.04千克的涂料。 【考点四】在长方体的展开图中求表面积。 【方法点拨】 我们学习了长方体的表面展开图，现在需要在展开图的基础上求表面积，问题的关键在于根据展开图的特点找到对应的长、宽、高，然后再根据表面积计算公式求出面积。 【典型例题】 下图是长方体盒子的展开图，原来长方体盒子的表面积是多少平方米？ 解析： 高：8－5＝3（米） 长：（20－3×2）÷2 ＝（20－6）÷2 ＝14÷2 ＝7（米） 宽：8－3×2 ＝8－6 ＝2（米） （7×2＋7×3＋2×3）×2 ＝（14＋21＋6）×2 ＝41×2 ＝82（平方米） 答：原来长方体盒子的表面积是82平方米。 【对应练习1】 如图是长方体的展开图，求这个长方体的表面积。 解析： 长方体的高：（28－10×2）÷2 ＝（28－20）÷2 ＝8÷2 ＝4（cm） 表面积：（10×6＋10×4＋6×4）×2 ＝（60＋40＋24）×2 ＝（100＋24）×2 ＝124×2 ＝248（cm2） 【对应练习2】 下图是一个长方体的展开图，这个长方体的表面积是多少？（单位：cm） 解析： 14－4＝10（厘米） （10×8＋10×4＋8×4）×2 ＝（80＋40＋32）×2 ＝152×2 ＝304（平方厘米） 【对应练习3】 下面是一个长方体的展开图，如果将它还原成长方体。（所有字母露在外面） （1）如果面在下面，那么（        ）面在上面。 （2）如果面在前面，从右面看到的是面，那么（        ）在左面，（        ）在上面。 （3）求出这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 解析： （1）如果面在下面，那么F面在上面。 （2）如果面在前面，从右面看到的是面，那么D在左面，C在上面。 （3）（8×5＋8×2＋5×2）×2 ＝（40＋16＋10）×2 ＝66×2 ＝132（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是132平方厘米。 【考点五】正方体的表面积。 【方法点拨】 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 【典型例题】 一个正方体棱长和是60cm，求它的表面积，列式是( )。 【答案】（60÷12）×（60÷12）×6 【分析】正方体有12条棱，将正方体棱长和除以12，先求出棱长。再根据“正方体表面积＝棱长×棱长×6”列式求它的表面积。 【详解】（60÷12）×（60÷12）×6 ＝5×5×6 ＝150（cm2） 求它的表面积，列式是（60÷12）×（60÷12）×6。 【对应练习1】 一个正方体的底面积是4平方厘米，它的表面积是( )平方厘米。 【答案】24 【分析】根据正方体的表面积＝底面积×6，把数据代入公式解答。 【详解】4×6＝24（平方厘米） 它的表面积是24平方厘米。 【对应练习2】 用120厘米长的铁丝做一个正方体框架，这个正方体的棱长是( )厘米，如果要在它的外面糊一层厚纸，至少需要需要( )平方厘米纸。 【答案】 10 600 【分析】铁丝长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长＝棱长总和÷12，正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式计算即可。 【详解】120÷12＝10（厘米） 10×10×6＝600（平方厘米） 这个正方体的棱长是10厘米，如果要在它的外面糊一层厚纸，至少需要600平方厘米纸。 【对应练习3】 聪聪用纸板做了一个棱长5厘米的正方体，正方体的棱长总和是( )厘米，它的表面积是( )平方厘米。 【答案】 60 150 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，把数据代入公式解答。 【详解】5×12＝60（厘米） 5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 正方体的棱长总和是60厘米，表面积是150平方厘米。 【考点六】正方体的表面积在我们生活中其一。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 【典型例题】 徐老师用玻璃做了一个棱长是4分米的正方体金鱼缸（无盖），做这个鱼缸至少用玻璃多少平方分米？ 【答案】80平方分米 【分析】求这个鱼缸至少需要玻璃的面积，就是求这个正方体金鱼缸5个面的面积和，根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×5，代入数据，即可解答。 【详解】4×4×5 ＝16×5 ＝80（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃80平方分米。 【对应练习1】 有一个棱长10厘米的正方体包装盒，在它的四壁贴上商标纸（上下面不贴），这张商标纸的面积是多少？ 【答案】400平方厘米 【分析】“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”因为包装盒的上下面不贴，所以只计算正方体包装盒4个面的面积即可，据此解答。 【详解】10×10×4＝400（平方厘米） 答：这张商标纸的面积是400平方厘米。 【对应练习2】 做一个棱长为0.6米的无底正方体玻璃罩，至少需要多少平方米的玻璃？ 【答案】1.8平方米 【分析】至少需要多少平方米的玻璃就是求这个正方体的表面积，这个正方体是无底的玻璃罩是求五个面的面积和，即无底正方体的表面积＝棱长×棱长×5 【详解】0.6×0.6×5＝1.8（平方米） 答：需要1.8平方米的玻璃。 【对应练习3】 如图，是一个棱长为3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长1分米，宽3厘米的长方形入口，这个募捐箱的表面积是多少？ 【答案】53.7平方分米 【分析】这个募捐箱的表面积等于正方体的表面积减去长1分米，宽3厘米的长方形的面积，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，长方形的面积＝长×宽，代入数据解答即可。 【详解】3×3×6＝54（平方分米） 3厘米＝0.3分米 1×0.3＝0.3（平方分米） 54－0.3＝53.7（平方分米） 答：这个募捐箱的表面积是53.7平方分米。 【考点七】正方体的表面积在我们生活中其二。 【方法点拨】 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 【典型例题】 中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，自古以来，茶就被誉为中华民族的“国饮”。下图是一种正方体茶叶礼品包装盒，包装盒上的彩带总长是128厘米（彩带打结处忽略不计）。做这个礼品包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 【答案】1536平方厘米 【分析】观察可知，彩带长度包括8条棱长，彩带长度÷8＝棱长，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式解答即可。 【详解】128÷8＝16（厘米） 16×16×6＝1536（平方厘米） 答：做这个礼品包装盒至少需要1536平方厘米的纸板。 【对应练习1】 制作一个棱长为2分米的正方体灯笼框架，至少需要多少分米长的木条？若在灯笼的各个面糊上彩纸（上面不糊），至少需要多少平方分米的彩纸？ 【答案】24分米；20平方分米 【分析】求木条的长度，就是求正方体的总棱长，根据正方体的总棱长公式：L＝12a，据此进行计算即可；求彩纸的面积就是求正方体的五个面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，据此求出正方体1个面的面积，再乘5即可求解。 【详解】2×12＝24（分米） 2×2×5 ＝4×5 ＝20（平方分米） 答：至少需要24分米长的木条，至少需要20平方分米的彩纸。 【对应练习2】 明明的卧室长、宽、高均为3米，门窗总面积为5平方米。妈妈要给明明卧室的四壁贴上壁纸，每平方米壁纸需要花费38元，买壁纸需要多少元？ 【答案】1178元 【分析】根据正方体四个面的面积公式：S＝4a2，据此求出明明的卧室的四个面的面积，再减去门窗的面积就是贴壁纸的面积，最后再乘每平方米壁纸的钱数即可。 【详解】3×3×4－5 ＝36－5 ＝31（平方米） 31×38＝1178（元） 答：买壁纸需要1178元。 【点睛】本题考查正方体的表面积，求出需要贴壁纸的面积是解题的关键。 【对应练习3】 一个正方体木箱棱长是6分米，在它的表面涂漆，涂漆部位的面积是多少？如果每平方分米涂油漆6克，涂这个木箱，需要油漆多少克？ 【答案】216平方分米；1296克 【分析】根据正方体表面积＝棱长×棱长×棱长，求出涂漆部位的面积；表面积×每平方分米需要的油漆质量＝涂这个木箱需要的油漆质量，据此列式解答。 【详解】6×6×6＝216（平方分米）   216×6＝1296（克） 答：涂漆部位的面积是216平方分米，涂这个木箱，需要油漆1296克。 【点睛】关键是掌握并灵活运用正方体表面积公式。 【考点八】长方体和正方体的棱长扩倍关系。 【方法点拨】 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系。 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系。 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 【典型例题1】问题一：正方体的表面积与棱长扩倍关系。 一个正方体的棱长扩大2倍，表面积就扩大( )倍。 【答案】4 【分析】根据正方体的表面积公式和积的变化规律，正方体的表面积公式：，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，正方体的棱长扩大2倍，表面积就扩大4倍。 【详解】正方体的棱长扩大2倍，表面积就扩大：倍； 所以一个正方体的棱长扩大2倍，表面积就扩大4倍。 【点睛】本题考查正方体的表面积，解答本题的关键是掌握正方体的表面积计算公式。 【对应练习1】 一个正方体的棱长扩大3倍，它的表面积就( )。 A．扩大9倍 B．扩大6倍 C．扩大27倍 【答案】A 【分析】设正方体的棱长为a，则扩大后的棱长为3a，分别利用正方体的表面积公式S＝6a2，即可求出扩大前后的表面积，进而求出表面积扩大的倍数。 【详解】设正方体的棱长为a，则扩大后的棱长为3a 原来的正方体的表面积：6a2 扩大后的正方体的表面积：3a×3a×6＝54a2 表面积扩大：54a2÷6a2＝9。 故答案为：A 【点睛】此题主要考查正方体的表面积的计算方法的灵活应用。 【对应练习2】 把一个正方体的棱长缩小4倍，表面积( )。 A．缩小4倍 B．缩小16倍 C．扩大8倍 【答案】B 【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，再根据因数与积的变化规律，积扩大或缩小的倍数等于因数扩大或缩小倍数的乘积。据此解答。 【详解】把一个正方体的棱长缩小4倍，表面积缩小4×4＝16倍 故选:B。 【点睛】明确正方体表面积的计算公式是解决本题的关键。 【典型例题2】问题二：长方体的表面积与棱长扩倍关系。 一个长方体如果长、宽、高都分别扩大2倍，那么它的表面积扩大( )倍。 A．2                    B．4                  C．8 【答案】B 【详解】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 [（长×2）×（宽×2）＋（长×2）×（高×2）]×2＝[（长×宽＋长×高＋宽×高）×2]×4 【对应练习1】 长方体的长、宽、高都扩大3倍，那么表面积扩大( )。 A．3倍 B．9 C．27倍 【答案】B 【分析】根据长方体的表面积公式：s＝（ab＋ah＋bh）×2，再根据积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积；由此解答。 【详解】由于长方体的每个面都是长方形，长、宽都扩大3倍，长方形的面积就扩大3×3＝9倍； 所以，长方体的长、宽、高都扩大3倍，那么表面积扩大9倍。 故选B． 【点睛】此题主根据查长方体的表面积的计算方法和积的变化规律解决问题。 【对应练习2】 一个长方体，长扩大2倍，宽扩大3倍，高扩大4倍，表面积扩大( )。 A．24倍 B．52倍 C．无法确定 D．以上都不是 【答案】C 【分析】设出原来的长、宽、高，利用长方体的表面积公式表示出其表面积，再用现在的长、宽、高，得出现在的表面积，用现在的表面积除以原来的表面积，就是表面积扩大的倍数。 【详解】解：令原来的长、宽、高分别为a、b、h 则原来的表面积：（ab＋ah＋bh）×2 现在的表面积：（6ab＋8ah＋12bh）×2＝2（3ab＋4ah＋6bh）×1 故现在的表面积和原来的面积无法确定。 故答案为：C 【点睛】解答此题的关键是：利用长方体的表面积公式分别表示出现在和原来的表面积，即可求解。 【考点九】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其一：切割问题。 【方法点拨】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 【典型例题1】长方体和正方体的切割变化。 一个正方体切成两个长方体，表面积增加了8平方厘米，原正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】24 【分析】把一个正方体切成两个长方体，表面积比原来增加了2个正方形的面积，即8平方厘米，据此求出正方体一个面的面积，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，据此计算即可。 【详解】8÷2＝4（平方厘米） 4×6＝24（平方厘米） 则原正方体的表面积是24平方厘米。 【点睛】本题考查正方体的表面积，求出正方体一个面的面积是解题的关键。 【对应练习1】 一个长方体木块，长20厘米，宽6厘米，高5厘米。如果将木块沿虚线位置截成两部分，表面积将增加( )平方厘米。    【答案】240 【分析】根据题意可知，长方体被截成2块，表面积增加了2个长方形面，每个长方形的长是20厘米，宽是6厘米，根据长方形的面积公式，用20×6×2即可求出增加的面积。 【详解】20×6×2＝240（平方厘米） 表面积增加了240平方厘米。 【点睛】本题考查了立体图形的切割，注意表面积增加了哪些面。 【对应练习2】 一个表面积是60cm2的长方体按下图所示切三刀，分割成( )个小长方体，这些小长方体的表面积之和比原来的长方体增加( )cm2。    【答案】 8 60 【分析】观察可知，如图所示切三刀，将长方体分割成了2层，每层4个，共8个小长方体；每切一刀增加2个面，即增加了前后左右上下共6个面，增加的部分是一个完整大长方体的表面积，据此分析。 【详解】一个表面积是60cm2的长方体如图所示切三刀，分割成8个小长方体，这些小长方体的表面积之和比原来的长方体增加60cm2。 【点睛】关键是看懂图示，具有一定的空间想象能力。 【典型例题2】切割引起的表面积最值问题。 把一个长9cm、宽8cm、高6cm的长方体木块截成两个相同的长方体，表面积最多增加( )cm2。 【答案】144 【分析】根据长方体的特征，其总共有3种不同大小的面，分别是9cm×8cm的面，9cm×6cm的面，8cm×6cm的面，所以如果将该长方体切成两个小长方体，沿着3种不同的面平行切就有3种切法，无论哪种切法，都会多出两个面，如果想让表面积增加的最少，就是沿最小的面平行进行切割，多出来的表面积最少，想让表面积增加最多，就沿着最大的面平行进行切割，据此判断即可。 【详解】由分析可得： 9×8×2 ＝72×2 ＝144（cm2） 综上所述：把一个长9cm、宽8cm、高6cm的长方体木块截成两个相同的长方体，表面积最多增加144 cm2。 【点睛】本题考查的立体图形的切割问题，需要明确长方体每切一刀，增加两个面的面积，要想增加的表面积最少，就沿着最小的面平行切即可，增加的面积最大，就沿着最大的面平行进行切割。 【对应练习1】 把一个长、宽、高分别是5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体，这两个小长方体表面积之和最大能增加( )平方分米。 【答案】30 【分析】沿着最大的面截成两个小长方体，表面积增加的最多，用长×宽×2即可。 【详解】5×3×2＝30（平方分米） 【点睛】关键是熟悉长方体特征，掌握长方体表面积求法。 【对应练习2】 把一个长、宽、高分别是5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体，表面积最少增加( )平方分米，表面积最多增加( )平方分米。 【答案】 12 30 【分析】根据长方体的特征，其总共有3种不同大小的面，分别是5分米×3分米的面，5分米×2分米的面，3分米×2分米的面，所以如果将该长方体切成两个小长方体，沿着3种不同的面平行切就有3种切法，无论哪种切法，都会多出两个面，如果想让表面积增加的最少，就是沿最小的面平行进行切割，多出来的表面积最少，想让表面积增加最多，就沿着最大的面平行进行切割，据此判断即可。 【详解】由分析可得： 3×2×2 ＝6×2 ＝12（平方分米） 5×3×2 ＝15×2 ＝30（平方分米） 综上所示：把一个长、宽、高分别是5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体，表面积最少增加12平方分米，表面积最多增加30平方分米。 【点睛】本题考查的立体图形的切割问题，需要明确长方体每切一刀，增加两个面的面积，要想增加的表面积最少，就沿着最小的面平行切即可，增加的面积最大，就沿着最大的面平行进行切割。 【对应练习3】 一个长方体长24cm，宽10cm，高6cm。如果把它切成2个完全一样的长方体，表面积增加最小是( )cm2，最大是( )cm2。 【答案】 120 480 【分析】要使表面积增加最多，可以平行于最大面切割，则表面积就会增加2个24×10的面的面积；要使表面积增加最少，可以平行于最小面切割，则表面积就会增加2个10×6的面的面积。 【详解】24×10×2 ＝240×2 ＝480（cm2） 10×6×2 ＝60×2 ＝120（cm2） 【点睛】抓住切割特点和表面积增加面的情况是解决本题的关键。 【考点十】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其二：拼接问题。 【方法点拨】 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 【典型例题1】正方体的拼接问题。 如图： (1)两个完全相同的正方体拼在一起，表面积减少( )个面，三个正方体拼在一起减少( )个面；每增加一个正方体减少( )面。 (2)n个小正方体拼在一起减少( )面。 (3)如果小正方体的棱长是1厘米，5个小正方体如上图一样拼在一起表面积是( )平方厘米，n个小正方体拼在一起表面积是( )平方厘米。 【答案】(1) 2 4 2 (2)2（n－1） (3) 22 4n＋2 【分析】本题考查的是归纳和总结的能力。 2个相同正方体如图拼在一起，表面积减少2×（2－1）＝2个面； 3个相同正方体如图拼在一起，表面积减少2×（3－1）＝4个面； 4个相同正方体如图拼在一起，表面积减少2×（4－1）＝6个面； …… 由此可归纳出，n个相同正方体如图拼在一起，表面积减少2（n－1）个面。据此解答。 【详解】（1）由图可知，两个正方体拼在一起，有1个“接缝”，2个正方形表面重叠后成为长方体的“内部”，所以表面积减少2个面。三个正方体拼在一起，有2个“接缝”，4个正方形表面重叠后成为长方体的“内部”，所以表面积减少4个面。每增加一个正方体就增加一个接缝，一个接缝就减少2个面。 （2）根据归纳总结可知，n个正方体如图拼在一起，会有（n－1）个接缝，每个接缝处会减少2个面，因此会减少2（n－1）个面。 （3）5个相同正方体如图拼在一起，表面积减少2×（5－1）＝8个面。棱长为1厘米，一个面的面积为1平方厘米。由此表面积可列式为： 6×1×5－8×1 ＝30－8 ＝22（平方厘米） n个相同正方体如图拼在一起，表面积减少2（n－1）个面，一个面的面积为1平方厘米。表面积为： 6n×1－2（n－1）×1 ＝6n－2n＋2 ＝（4n＋2）平方厘米 【对应练习1】 两个完全相同的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了50平方厘米，原来每个正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】150 【分析】根据题意可知，将两个相同的正方体拼成了一个长方体，拼成的长方体表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了50平方厘米，也就是拼成的长方体表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了正方体的2个面的面积，据此可以求出正方体的一个面的面积，然后根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。 【详解】50÷2×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 即原来每个正方体的表面积是150平方厘米。 【点睛】此题主要考查立体图形的切拼、正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【对应练习2】 用3个棱长是5厘米的小正方体拼成一个长方体，它的表面积是( )平方厘米，比原来表面积减少( )平方厘米。 【答案】 350 100 【分析】先根据“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”求出3个小正方体的表面积之和，把3个小正方体拼成一个长方体后，表面积比原来减少4个正方形的面积，长方体的表面积＝3个小正方体的表面积之和－减少部分的面积，据此解答。 【详解】 5×5×6×3 ＝25×6×3 ＝150×3 ＝450（平方厘米） 5×5×4 ＝25×4 ＝100（平方厘米） 450－100＝350（平方厘米） 所以，这个长方体的表面积是350平方厘米，比原来表面积减少100平方厘米。 【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，明确减少小正方形的数量是解答题目的关键。 【对应练习3】 小明有30个棱长是1厘米的小正方体，用这些小正方体拼成一个最大的正方体后，还剩( )个小正方体。拼成的这个大正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】 3 54 【分析】根据正方体的体积＝棱长3，33＝27（立方厘米），43＝64（立方厘米），所以小明有30个棱长是1厘米的小正方体，用这些小正方体拼成一个最大的正方体，大正方体的棱长应为3厘米，然后根据：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，由此解答即可。 【详解】33＝27（立方厘米） 43＝64（立方厘米） 13×30＝30（立方厘米） 27＜30＜64 27÷（13）＝27（个） 小正方体棱长为1厘米，则大正方体的体积为27立方厘米，大正方体的棱长应为3厘米；用了27个小正方体。 30－27＝3（个） 3×3×6＝54（平方厘米） 还剩3个小正方体。拼成的这个大正方体的表面积是54平方厘米。 【点睛】灵活掌握正方体的体积和表面积计算公式，是解答此题的关键。 【典型例题2】长方体的拼接引起的表面积最值问题。 用三个长20厘米，宽15厘米，高10厘米的小长方体，摆成一个大长方体，大长方体的表面积最大是( )平方厘米。 【答案】3300 【分析】要想长方体的表面积最大，就把最小的三个面拼在一起，拼成后的长方体的长是20×3＝60厘米，宽和高不变，根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】长方体的长是：20×3＝60（厘米），宽是15厘米，高是10厘米； （60×15＋60×10＋15×10）×2 ＝（900＋600＋150）×2 ＝1650×2 ＝3300（平方厘米） 即大长方体的表面积最大是3300平方厘米。 【点睛】明确将三个最小面拼合在一起，得到的新长方体的表面积最大是解决本题的关键。 【对应练习1】 两个长5厘米、宽3厘米，高2厘米的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是( )平方厘米。 【答案】112 【分析】要使拼组后的大长方体表面积最大，那么可以把这两个小长方体最小的3×2面相粘合，即表面积减少两个最小的面，也就是拼成的这个大长方体的长是5×2＝10厘米，宽是3厘米，高是2厘米，然后根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此代入数值进行计算即可。 【详解】如图所示： 5×2＝10（厘米） （10×3＋10×2＋3×2）×2 ＝（30＋20＋6）×2 ＝56×2 ＝112（平方厘米） 【点睛】两个长方体拼组一个大长方体，表面积会减少两个面，较小的面相粘合，得到的表面积最大，较大的面相粘合，得到的表面积最小。 【对应练习2】 用两个长3cm、宽3cm、高1cm的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最大是( )cm2，最小是( )cm2。 【答案】 54 42 【分析】每个小长方体的长为3cm、宽为3cm、高为1cm，小长方体有两个相对的面是正方形，其它四个面是形状相同的长方形，要使大长方体的表面积最大，则小长方体面积最小的两个面重合，要使大长方体的表面积最小，则小长方体面积最大的两个面重合，画出图形确定大长方体的长、宽、高，最后根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”求出大长方体最大和最小的表面积，据此解答。 【详解】 长：3×2＝6（cm） 宽：3cm 高：1cm （6×3＋6×1＋3×1）×2 ＝（18＋6＋3）×2 ＝27×2 ＝54（cm2） 长：3cm 宽：3cm 高：1×2＝2（cm） （3×3＋3×2＋3×2）×2 ＝（9＋6＋6）×2 ＝21×2 ＝42（cm2） 所以，这个大长方体的表面积最大是54cm2，最小是42cm2。 【点睛】本题主要考查立体图形的拼切，确定大长方体的长、宽、高并掌握长方体的表面积计算公式是解答题目的关键。 【对应练习3】 将长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的两个完全相同的长方体拼成一个新的长方体，则拼成后的长方体表面积最大是( )，最小是( )。 【答案】 164 148 【分析】（1）要使拼成长方体的表面积最大，那就要把最小面拼在一起，即把长方体最小的两个面重合，拼组之后2个长方体就变成了一个长10cm、宽4cm、高3cm的大长方体，最后利用“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”求出拼成长方体的表面积； （2）要使拼成长方体的表面积最小，那就要把最大面拼在一起，即把长方体最大的两个面重合，拼组之后2个长方体就变成了一个长5cm、宽4cm、高6cm的大长方体，最后代入长方体的表面积公式即可求得大长方体的表面积；据此解答。 【详解】如图 5＋5＝10（cm） （10×4＋10×3＋3×4）×2 ＝（40＋30＋12）×2 ＝82×2 ＝164（cm2） 3＋3＝6（cm） （5×4＋5×6＋4×6）×2 ＝（20＋30＋24）×2 ＝74×2 ＝148（cm2） 即拼成后的长方体表面积最大是164cm2，最小是148cm2。 【点睛】分析出拼成长方体的长、宽、高，并掌握长方体的表面积计算公式是解答题目的关键。 【考点十一】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其三：高的变化问题。 【方法点拨】 高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体中高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体中高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。 【典型例题1】高的减少引起的表面积变化。 一个长方体，如果高减少，就变成了一个棱长的正方体。那么长方体变成正方体后的表面积减少了多少？ 【答案】240平方厘米 【分析】根据题意，一个长方体如果高减少6cm，就变成一个棱长10cm的正方体，长方体的长＝长方体的宽＝正方体棱长＝10cm；求减少部分的面积，就是一个长是10cm，宽是10cm，高是6cm的长方体的侧面积；且这四个面相等；根据长方形面积公式：长×高，代入数据，即可解答。 【详解】10×6×4 ＝60×4 ＝240（cm2） 答：长方体变成正方体后的表面积减少了240平方厘米。 【点睛】解答本题的关键是明确减少后的长方体的长与宽和正方体棱长的关系。 【对应练习1】 一个长方体，如果高减少就变成了一个正方体，表面积比原来减少。原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】 【分析】根据题意可知：一个长方体，如果高减少2 cm，就变成一个正方体，说明原来长方体的底面是正方形；又表面积比原来减少了72cm2，表面积减少的是高为2 cm的长方体的4个侧面的面积，由此可以求出减少部分的1个侧面的面积，进而求出底面边长和高，再根据长方体的表面积公式：s＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答即可。 【详解】原长方体的底面边长是： 72÷4÷2 ＝18÷2 ＝9（cm）    高是： （9×9＋9×11＋9×11）×2 ＝（81＋99＋99）×2 ＝279×2 ＝558（cm2） 答：原来长方体的表面积是558平方厘米。 【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用，解答的关键是求出原来长方体的底面边长和高。 【对应练习2】 一个长方体，如果高减少4厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少112平方厘米，原来长方体的侧面积是多少？ 【答案】308平方厘米 【详解】试题分析：根据高减少4厘米，就剩下一个正方体可知，这个正方体比原长方体表面积减少的4个面是相同的，根据已知表面积减少112平方厘米，112÷4÷4=7厘米，求出减少面的宽，也就是剩下的正方体的棱长，即原长方体的长和宽；然后4+7=11厘米求出原长方体的高，再计算原长方体的侧面积即可． 解：原长方体的长和宽是：112÷4÷4=7（厘米）， 则原长方体的高是：7+4=11（厘米）， 所以原长方体的侧面积是：11×7×4=308（平方厘米）， 答：原长方体的侧面积是308平方厘米． 点评：根据长方体的切割特点，利用减少的表面积先求出原长方体的长和宽是解决本题的关键． 【对应练习3】 一个长方体，如果高减少3厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来减少了96平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】480平方厘米 【详解】96÷4÷3=8（厘米） 8＋3=11（厘米） 表面积=（11×8＋11×8＋8×8）×2=480（平方厘米） 【典型例题2】高的增加引起的表面积变化。 一个长方体，如果高增加4厘米，那么就变成一个正方体，这时表面积比原来增加128平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】256平方厘米 【分析】由长方体的高增加4厘米后变成了正方体可知，原长方体的长和宽相等。（如下图）表面积比原来增加128平方厘米，增加部分的面积实际上就是4个面积相等的长方形的面积和。用128÷4先求出增加的1个面的面积；再用增加的1个面的面积÷4求出长方体的长（或宽）；再用长方体的长（或宽）减去4厘米求出原来长方体的高；最后根据长方体的表面积求出原长方体的表面积。 【详解】长（或宽）：128÷4÷4 ＝32÷4 ＝8（厘米） 高：8－4＝4（厘米） 表面积：（8×8＋8×4＋8×4）×2 ＝（64＋32＋32）×2 ＝128×2 ＝256（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是256平方厘米。 【点睛】一个长方体高增加一段，增加的表面积是增加的那部分前、后、左、右4个侧面的面积和。 【对应练习1】 一个正方体，它的高增加2厘米后就成了长方体，这个长方体的表面积比原正方体表面积增加了96平方厘米，求原正方体的表面积。 【答案】864平方厘米 【分析】一个正方体如果它的高增加2厘米，就变成了长方体，表面积比原来增加96平方厘米，它的底面积没变，增加的是4个侧面的面积，增加部分每个面的面积是：96÷4＝24平方厘米，用24除以2就可以求出原来正方体的棱长；再根据：正方体的表面积＝6a2，将数据代入公式计算即可。 【详解】96÷4÷2 ＝24÷2 ＝12（厘米） 12×12×6 ＝144×6 ＝864（平方厘米） 答：原正方体的表面积是864平方厘米。 【点睛】此题解答关键是求出正方体的棱长，然后根据正方体的表面积公式解答即可。 【对应练习2】 一个长方体（如图），如果高增加4厘米，就变成棱长10厘米的正方体，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】440立方厘米 【分析】根据题意可知：长方体的长是10厘米，宽是10厘米，高是10－4＝6（厘米）。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把长、宽、高的值代入长方体表面积公式计算即可。 【详解】10－4＝6（厘米） （10×10＋10×6＋10×6）×2 ＝（100＋60＋60）×2 ＝220×2 ＝440（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是440平方厘米。 【点睛】明确长、宽、高的值是解决此题的关键。 【对应练习3】 如图，长方体的长9cm，宽6cm，高1dm。如果高增加3cm，则表面积增加多少？ 【答案】90cm2 【分析】如果高增加3厘米，那么表面积增加的部分是四个长方形的面积。其中，这四个长方形两两相同，两个长为9cm、宽为3cm，两个长为6cm、宽为3cm。据此，结合长方形的面积公式，列式计算即可。 【详解】9×3×2＋6×3×2 ＝54＋36 ＝90（cm2） 答：表面积增加90cm2。 【点睛】本题考查了长方体的表面积，明确面积增加部分是四个长方形，掌握长方形面积＝长×宽是解题的关键。 【考点十二】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题）其四：特殊的切拼问题。 【方法点拨】 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 【典型例题1】问题一：将长方体切割成若干个正方体。 （如图）把一个长、宽、高分别为15厘米、5厘米、5厘米的长方体切成3个小正方体，此时三个小正方体的表面积之和比原来增加( )平方厘米。 【答案】100 【分析】把一个长方体切成3个小正方体，需要切2次，切1次增加2个截面的面积，切2次增加4个截面的面积，切开之后，三个小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了4个正方形截面的面积，据此解答。 【详解】5×5×4 ＝25×4 ＝100（平方厘米） 【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，准确找出增加截面的数量是解答题目的关键。 【对应练习1】 把长6分米、宽2分米、高2分米的长方体切成3个相同的小正方体，表面积增加了( )平方分米。 A．12 B．16 C．24 D．36 【答案】B 【分析】根据题意可知，把长6分米、宽2分米、高2分米的长方体切成3个相同的小正方体，表面积会增加了4个正方形的面积，每个正方形的边长是2分米，根据正方形的面积公式，用2×2×4即可求出增加了多少表面积。 【详解】2×2×4＝16（平方分米） 表面积增加了16平方分米。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查了立体图形的切割，注意表面积增加了多少个面。 【对应练习2】 把一个长方体切成三个完全相同的小正方体后，表面积增加了36平方厘米，则原来长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】126 【分析】长方体的底面是个正方形，切割成三个正方体以后，多出来4个面，所以用36除以4求出一个底面积的面积是9平方厘米，可得边长＝3厘米，即正方体的棱长＝3厘米，所以原长方体的高＝3×3＝9（厘米），长和宽都是3厘米，利用长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据求出即可。 【详解】36÷4＝9（平方厘米）可得正方体的棱长是3厘米； 原长方体的高是3×3＝9（厘米），长和宽都是3厘米； （3×3＋9×3＋3×9）×2 ＝（9＋27＋27）×2 ＝63×2 ＝126（平方厘米） 【点睛】此题要抓住一个长方体切割出完全一样的正方体后增加的面，这是解决此类问题的关键。 【对应练习3】 一个长方体可以切成7个完全一样的小正方体，每个小正方体的表面积是6平方分米，原来长方体的表面积是( )平方分米。 【答案】30 【分析】每个小正方体的表面积是6平方分米，则一个面的面积是1平方分米，根据题意，7个小正方体拼在一起。会失去（7－1）×2个面，再用7×6求出7个小正方体的面积，再减去（7－1）×2个面的面积，据此解答。 【详解】6÷6＝1（平方分米） 7×6－1×1×（7－1）×2 ＝42－1×6×2 ＝42－12 ＝30（平方分米） 所以原来的长方体的表面积是30平方分米。 【典型例题2】问题二：将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 用24个棱长是1cm的正方体拼成一个几何体（如图）。它的表面积是( )。 【答案】52 【分析】假设正好拼成了一个大正方体，这个大正方体的棱长是（1×3）cm。根据“正方体表面积＝棱长×棱长×6”求出大正方体的表面积。目前的几何体相比大正方体而言，增加了6个小正方形的面积，又减少了8个小正方形的面积，那么它的表面积比大正方体减少了2个小正方形的面积。将大正方体的表面积减去2个小正方形的面积，即可求出这个几何体的表面积。 【详解】1×3＝3（cm） 8－6＝2（个） 3×3×6－1×1×2 ＝54－2 ＝52（cm2） 所以，它的表面积是52cm2。 【对应练习1】 用12个棱长1厘米的小正方体拼成一个长3厘米、宽与高都是2厘米的大长方体，再将它去掉一个小正方体（如图所示），现在它的表面积是( )平方厘米。 【答案】34 【分析】在长方体中挖去一个小正方体，结合图示不难发现，把后面的面向前推，下面的面向上移动，正好能够重新填补成一个长方体。而左右两个面就可以看作多出来的面了。 【详解】（3×2＋2×2＋3×2）×2＋1×1×2 ＝（10＋6）×2＋2 ＝32＋2 ＝34（平方厘米） 【点睛】经过平移，我们能够分析出表面积是增加了，故只要在原有长方体的表面积上加上增加的部分即可。只是这个分析的过程有一定的难度。 【对应练习2】 如图把14个棱长为1分米的正方体摆放在课桌上，现在想把露出的表面都涂上颜色，则涂上颜色部分的面积为( )平方分米。 【答案】33 【分析】由图形可知分三层，每一层再分侧面与上表面两部分求出表面积，然后相加即可得解。 【详解】由分析得， 最上层，侧面积为4，上表面面积为1，总面积为4＋1＝5， 中间一层，侧面积为2×4＝8，上表面面积为4－1＝3，总面积为8＋3＝11， 最下层，侧面积为3×4＝12，上表面面积为9－4＝5，总面积为12＋5＝17， 5＋11＋17＝33， 所以被他涂上颜色部分的面积为33平方分米。 【点睛】本题考查了几何体的表面积，解答此题应注意分三层，每一层再分侧面积与上表面两部分求解，注意求解的层次性是关键。 【对应练习3】 用棱长是1厘米的正方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？ 【答案】46平方厘米 【分析】（1）不管叠多高，上下两面的表面积都是3×3＝9个面； （2）再看前后左右四个面，都是2×3＋1＝7个面。 【详解】1×1×（9×2＋7×4） ＝1×（18＋28） ＝46（平方厘米） 答：该图形的表面积是46平方厘米。 【点睛】此题也可通过数图形解答。我们可以直接数出总共有46个面，每个面面积为1平方厘米，则表面积就是46平方厘米。 【考点十三】不规则或组合立体图形的表面积。 【方法点拨】 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 【典型例题1】不规则立体图形。 把一个棱长为3分米的正方体木块至上而下（如图）切去一个长方体，剩下木块的表面积是多少？ 解析： 3×3×6－1×1×2＋3×1×2 ＝54－2＋6 ＝58（平方分米） 答：剩下部分的表面积是58平方分米。 【对应练习】 计算下面几何体的表面积。 解析： 6×8×8 ＝6×64 ＝384（cm2） 【典型例题2】组合立体图形。 求下面几何形体的表面积。（单位：厘米） 解析： 5×5×6＋5×2×4 ＝25×6＋10×4 ＝150＋40 ＝190（平方厘米） 【对应练习】 求下图的表面积（单位：cm）。 解析： 3×（8－3）×4＋3×3×2＋3×3×2＋3×1×2 ＝3×5×4＋9×2＋9×2＋3×2 ＝15×4＋18＋18＋6 ＝60＋18＋18＋6 ＝78＋18＋6 ＝96＋6 ＝102（cm2） 【考点十四】立方体表面染色问题。 【方法点拨】 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 【典型例题】 将一个棱长5厘米的正方体表面涂色，再切割成棱长1厘米的小正方体，其中三面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个，一面涂色的有( )个。 解析：8；36；54 【对应练习1】 一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成5份，切成同样大的小正方体后，两面涂色的小正方体有( )个；如果把这个表面涂色的正方体每条棱平均分成n份，切开后，三面涂色的小正方体有( )个。 解析：36；8 【对应练习2】 一个4×4×4的魔方上，三面涂色的小正方体共有( )块，两面涂色的小正方体共有( )块，一面涂色的小正方体有( )块。 解析：8；24；24 【对应练习3】 把一个棱长4厘米的正方体木块的表面涂上红漆，切成棱长1厘米的小正方体木块，两面涂色的有( )块，一面涂色的有( )块。 解析：24；24 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$