题型5 几何探究题(课件PPT)-【练客中考】2025年贵州数学总复习新思路

数学 精讲册 2025版 1 题型五 几何探究题 2 类型 1 几何操作类（贵州：2024.25，2023.25） 例 （本题满分12分） 在等腰直角中， ，，是 上一点. 例题图1 （1）【操作判断】 如图1，过点作交于点 ，根据题意在图1中 画出，图中____ ； 45 例题解图1 解：画出图形如解图1， →得分点：正确画出解图1得2分. . →得分点：答对得2分. 3 例题图2 （2）【问题探究】 如图2，点在线段上，连接，过点 作 ,交的延长线于点，探究线段与 的 数量关系，并说明理由； 4 例题解图2 ，理由如下： →得分点：答对得1分. 如解图2，过点作，交于点 , 在中， ， ， ， ，，， . →得分点：正确求出， 得1分. ， . ， 5 ， ， ， →得分点：正确证明 得1分. ， . →得分点：正确求出 得1分. 例题解图2 （3）【拓展延伸】 点在直线上，当，时，过点作 ，交直 线于点，求 的长. 例题备用图 解：，， ， . →得分点：正确求出 的长得1分. 7 例题解图3 【易错提醒】点的位置不确定，需分 在 射线上和在射线 上两种情况. 当点在射线 上时，补全图形如解图3. 过点作，交的延长线于点 ， ， . ， ， ， ， . 8 ， . →得分点：正确求出 的长得1分. ， ， ， ； →得分点：正确求出 的长得1分. 例题解图3 当点在射线 上时，补全图形如解图 4. 过点作，交的延长线于点 ， ， . ， ， ， ， . ， . 例题解图4 10 ， ， ， . 综上所述，的长为或. →得分点：正确求出 的长得1分. 例题解图4 变式1 在等边中，是上一动点，连接 . （1）【操作判断】 如图1，当在线段上时，将线段绕点顺时针旋转 ，得到线段 ，连接，根据题意画图，则 的形状为____________； 等边三角形 变式1图1 解：画出图形如解图1所示. 变式1解图1 12 （2）【问题探究】 如图2，当在线段的延长线上时，将线段绕点顺时针旋转 ， 得到线段，连接，，求证： ； 变式1图2 13 变式1解图2 证明：根据题意画出图形如解图2， 和 是等边三角形， ， ， ， ， . 在和中， ， ， . ， . 14 变式1图3 （3）【拓展延伸】 如图3，在等边中，，是射线 上的动 点，点在上，，连接，将线段 绕点 顺时针旋转 得到（点在上方），连接 ， .当为直角三角形时，求 的长. 15 解：过点作交于点，则 为等边三角形. 当点在线段 上时，如解图3，同（2）理可得， ， ， ，此时只有 有可能 为 . 当 时， ， ， . 又， ； 变式1解图3 16 当点在线段延长线上时，如解图4，此时只有有可能为 . ， . ， ， ， . 综上所述，的长为或 . 变式1解图4 17 变式2 如图1，在学习了正方形相关知识后，老师指导同学们对正方形进 行了探究，在正方形中，过点作射线，垂足为，点 在 上. 变式2图1 18 （1）【操作判断】 如图2，若是线段的中点时，连接，并将绕点逆时针旋转 与交于点，根据题意在图中画出图形，并判断线段与 的数量关 系为_________； 变式2图2 解：画出图形如解图1. 变式2解图1 19 【解法提示】 四边形为正方形， ， ， ， ， .如解图1， 取的中点，连接是线段 的中点， ， 是等腰直角三角形， ， ，， . 变式2解图1 20 变式2图1 （2）【问题探究】 若点在线段上时，连接，并将绕点 逆时 针旋转 与交于点 ，则（1）中的结论是否成 立？若成立请证明；若不成立请说明理由； 变式2解图2 解：成立.证明如下：如解图2，过点 作 交于点， ， 是等腰直角三角形， ， ,，即 ， ，同理 ， . 21 变式2图3 （3）【拓展延伸】 如图3，若点在射线上移动，将射线绕点 逆时 针旋转 与交于点，如果， ， 求 的长. 22 解：若点在线段 上时，如解图2， 由（2）可知，， ， ， ， ， ， ， . 变式2解图2 23 同理可得， ， .，， ， . 综上所述，的长为或 . 若点在线段的延长线上时，如解图3，过点 作 交于点 . ， ， ， 是 等腰直角三角形， ，, ， ， . 变式2解图3 24 类型 2 图形的变化类（贵阳：2022.25，2020.25） 例 （2024贵阳市观山湖区模拟改编）小红同学在进行数学探究活动中发 现：将矩形绕点顺时针方向旋转得到矩形 . 例题图1 （1）如图1，当 时，点在上，连接 ，则 的度数 为______； 25 （2）如图2，连接，，过点作交于点 .求证： ； 例题图2 26 例题解图1 证明：如解图1，连接 . 在和中， ， ， . ， ， . ， ， ， . 27 （3）在（2）的条件下，射线分别交，于点， ，如图3，探究 线段，， 之间的数量关系，并说明理由. 例题图3 28 例题解图 2 解： ，理由如下： 如解图2，连接 . 在和中， ， ， . ， ， ， . ， ， ， ， ， . 29 变式1 （2024黔东南州模拟） 【问题情境】 变式1图1 如图1，等腰直角三角形和等腰直角三角形 的直角 顶点重合， ，， . 将绕点顺时针旋转，连接， ， 延长交射线于点 . （1）如图2，当时，四边形 的形状是________； 正方形 变式1图2 【猜想证明】 30 变式1图2 【解法提示】 ， ， .又 ，， ， .又 ， 四边形是矩形.又， 四边形 是正方形. 31 （2）如图3，在旋转的过程中，连接，探究，， 之间 的数量关系； 变式1图3 32 变式1解图1 解：同（1）理可证， ， . 如解图1，过点作，交于点 ，则 ， . 又 ， .又 ，， ， ，， ， ， . 33 解：设与交于点，由（2）得 ， . ， ， . 又 ， 点，，，在以 为直径的圆 上， . 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若，当 中有一个角为 时，求 的长. 变式1图3 34 分两种情况讨论：当 时，如解图2，过点作于点 ，则， ； 变式1解图2 当 时，如解图3，过点作于点 ， 则， ， ， . 综上可知，的长为或 . 变式1解图3 35 变式2 （2024遵义市红花岗区模拟）如图1，已知正方形 和等腰直 角， ，点在上，连接， . （1）【问题发现】 如图1，线段与 的数量关系为__________，位置关系为__________； 变式2图1 36 变式2解图1 【解法提示】如解图1，延长交于点 为等腰直角三角形，四边形 为正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ，即 . 37 （2）【问题探究】 如图2，将绕点旋转，再将绕点顺时针方向旋转 至 ， 连接，探究线段与线段 的数量及位置关系，并说明理由； 变式2图2 变式2解图2 解：， ，理由如下：如解图2，延长 交于点，交于点 . 四边形是正方形，， . 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，，, 四边形 为平行四边 形，， . 39 （3）【拓展延伸】 将绕点旋转至，延长交于点，交于点 ，根据 题意，在图3中画出图形，若，，求 的长. 变式2图3 40 解：根据题意画出图形有两种情况： 情况一：如解图3.， ， . ，, 四边形为正方形， ， . ，，， ， .，， ， ； 变式2解图3 情况二：如解图4.同理得， ， . 综上所述, 的长为3或15. 变式2解图4 41 类型 3 动点问题 例 （2024遵义市汇川区模拟）已知四边形是矩形，是 边上的 一点，连接，，是边上一动点（不与，重合），连接 ， 过点作，交于点 . 【问题感知】 （1）如图1，当，时，则 ___; 例题图1 42 【探究发现】 （2）在（1）的条件下，如图2，当点运动到的中点时，求 的长； 例题图2 43 例题解图1 解:如解图1，作于点,延长交于点 ， 四边形是矩形， ， , . 又为的中点， . 又, ，为 的中点, , 是的中位线, . 又, , , 四边形 是矩形, 44 ， . , . ,, ， ， ， . 例题解图1 【拓展提升】 （3）如图3，当 时，探究线段，， 之间的数量关系， 并说明理由． 图3 46 例题解图2 解: ，理由如下： 如解图2，过点作于点，作于点 ， 延长至点,使得,连接 , . 四边形是矩形， . ，平分， , 四边形是正方形， . 又， ， ， 47 ， ，， , ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， . 例题解图2 变式1 （2023贵阳市白云区模拟）在菱形中， ， 为 对角线的中点，为线段上的一个动点（点不与点 重合），分别 过点，向直线作垂线和，垂足分别为点， . 【问题解决】 变式1图1 （1）如图1，当点在线段上，垂足与 的中 点重合，点与点重合时，求证： ； 49 变式1解图1 证明：如解图1，连接，则，， 三点共线. 四边形为菱形，为对角线 的中点， , . ，与的中点重合，点与点 重 合， ， ， , ，， . 50 【问题探究】 （2）如图2，当点在线段上，与 还相等吗？如果相等，请证明； 如果不相等，请说明理由； 变式1图2 51 变式1解图2 解：与相等,证明如下：如解图2，当点 在线 段上时，延长交于点 . ，， ， . ， ， ， . ，， . 52 【拓展延伸】 （3）当点在线段上运动， ，猜想线段，， 之 间有怎样的数量关系？并证明你的猜想. 变式1备用图 53 变式1解图3 解：或 ,证明如下： 由（2）知， . 在中，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ； 如解图3，当点在线段上时，延长交于点 . 同理可证，， . 54 ，， .在 中，， ， ， 是等边三角形， ， . 综上所述，或 . 变式1解图3 变式2 在菱形中， ，是直线上一动点，以 为 边向右侧作等边（，，按逆时针排列），点的位置随点 的 位置变化而变化. 变式2图1 （1）如图1，当点在线段上，且点 在菱形 内部或边上时，连接，则与 的数量关 系是__________，与 的位置关系是__________； 56 变式2解图1 【解法提示】如解图1，连接，延长交 于点 四边形 是菱形， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， . 57 （2）如图2，当点在线段上，且点在菱形 外部时，（1）中的 结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； 变式2图2 58 变式2解图2 解：仍然成立,证明如下：如解图2，连接，设 与 交于点 四边形是菱形， ， 和都是等边三角形， ， ， . 是等边三角形，， ， ， ，， ， ， . ， ， ， . ， .故（1）中的结论仍然成立. 59 （3）当点在直线上时，其他条件不变，连接.若 ， ，求 的面积. 变式2备用图 60 解：如解图3，当点在的延长线上时，连接交于点 ，连接 ， ， 四边形是菱形，，平分 ， ， ， ，，.由（2）知 ， ， . ，， . 变式2解图3 61 由（2）知，， ， . 是等边三角形， ； 如解图4，当点在 的延长线上时，同理可得 ， .综上所述，的面积为 或 . 变式2解图4 62 类型 4 图形形状变化类 例 （2024贵州模拟25题12分）在中， ，点 在直 线上，直线与的夹角为，且，分别过点， 作 直线的垂线，垂足分别为， . （1）【问题解决】 如图1，若 ，则的度数为_____， 的值为__； 例题图1 63 【解法提示】 ，， ， ， ， ， ， ， ， ， . 例题图1 64 （2）【问题探究】 如图2，若 ，判断 的值是否发生变化？并说明理由； 例题图2 65 例题解图1 解： 的值不会发生变化,理由如下： 如解图1，延长交于点 ， . 又， ， ， . ，，，， . 66 （3）【拓展延伸】 如图3，，交于点，点在线段上，， ，求线段 的长. 例题图3 67 例题解图2 解：如解图2，过点作分别交，于点， ， 则四边形是矩形， . 又，， . ， ， ， ，分别是，的中点， . ， ， 68 设，则，， . 在中，由勾股定理得 ，即 ， 解得 ， . 例题解图2 变式 如图1，在四边形中，是边上一点，延长至点 使得 ，连接，延长交于点 ． 【问题解决】 （1）如图1，若四边形是正方形，为的中点，则图中与 全等的三角形是________,______ ； 变式图1 70 【问题探究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，为的中点，求 的长； 变式图2 71 变式解图1 解：如解图1，过点作，交于点 四边形 是菱形， . ，为的中点，为 的中位线， ， ． 设，则， ， ， ， 解得（负值已舍去）， ． 72 【拓展延伸】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在 的延 长线上，且满足，当是直角三角形时，求 的长． 变式图3 73 变式图3 解： 四边形是矩形，，， ， ，， ． ， ， ． 如解图2，当 时，设 ，则 ， ． ，． ， ， ，， ， 解得或 ， 或 ． 变式解图2 75 ，，， ， ．， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的长为或 或2． 变式解图3 如解图3，当 时，过点作， 交 的延长线于点，， ， ． 77 $$