题型3 二次函数的实际应用(课件PPT)-【练客中考】2025年贵州数学总复习新思路

数学 精讲册 2025版 1 题型三 二次函数的实际应用 2 类型 1 抛物线型问题（贵州：2023.24，贵阳：2021.24） 例题图 例 （2024贵阳市观山湖区模拟）在一次全国自 由式滑雪比赛项目中，运动员首先沿着跳台助 滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空 中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止.某 数学小组对该项目中的数学问题进行了深入研 究，如图是该小组绘制的赛道截面图，以停止 区所在的水平线为轴，过起跳点与轴垂直的直线为轴， 为坐标 原点，建立平面直角坐标系，为着陆坡，，某运动员在 处 起跳腾空后，飞行至着陆坡的处着陆，飞行轨迹呈抛物线形，过点 作 3 轴于点，且 ，在空中飞 行过程中，运动员到轴的距离 与水平方 向移动的距离 具备二次函数关系，其关系 式为 . 例题图 （1）的值为____，点 的坐标是____________； 例题图 5 例题图 （2）进一步研究发现，该运动员在飞行过程中， 其水平方向移动的距离与飞行时间 具备 一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时， ，,空中飞行后着陆,求关于 的函数 表达式； 解：设关于 的函数表达式是 . 点， 在该函数图象上， ，解得 ， 关于的函数表达式是 . 6 （3）在（2）的条件下，当为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离 最大， 最大值是多少？ 例题图 7 例题图 解：设直线的表达式为 . ， 在该直线上， ，解得 ， 直线的表达式为 ， ， 当时， 取得最大值，最大值为40. 将代入中，解得 . 即当的值为2时，运动员离着陆坡的竖直距离 最大， 最大值是40. 8 变式 （2024遵义市汇川区模拟）如图是小星在自家院子里晾晒衣服的示 意图，他发现此时晾衣绳的形状可以近似的看作一条抛物线.经过测量， 他发现立柱，均与地面垂直，且，, 之间的水 平距离，绳子最低点与地面的距离为 . 变式图 （1）按如图1建立的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； 9 解:由题意得,抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 ， , . 设抛物线的表达式为 ， 将代入得,，解得 , . 变式图 10 （2）由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小星用一根垂直 于地面的立柱撑起绳子，如图2，的高度为，通过调整 的位置，使左边抛物线对应的函数表达式为 ，且最 低点离地面1.4米，求水平距离 ； 变式图 11 解:由题知，的最低点离地面1.4米，, . 点在抛物线上， 当时，， , ， 抛物线的表达式为，即 ， 当时，，， （不合题意，舍去）， 米, （米）. 变式图 12 （3）在（2）的条件下，小星测得右边抛物线 对应的函数表达式为 ，将图2中， 两条抛物线组成的新函数图 象整体向右平移个单位长度，平移后的函数图象在 时，的值随值的增大而减小，结合函数图象，求 的取值范围. 变式图 13 变式解图 解:由（2）可知，抛物线 ，抛物线 的对称轴分别 为直线和 , 如解图所示. 平移不改变图形形状和大小， 此时，当或时，的值随 值的增大而减小， 将新函数图象向右平移 个单位长度，可得平移后的函数图象的对称轴分 别为直线， ， 14 当或 时， 的值随 值的增大而减小， 当时，的值随 值的增大而减小， 结合函数图象，得 的取值范围是: 变式解图 ①且，得 ， ②且，得 ， 综上所述，的取值范围是或 . 类型 2 利润问题（贵州：2024.24） 例 中国元素几乎遍布世界每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造 的某种赛事纪念品，深受大家喜爱.该商品销售第天（且 为 整数）与该天销售量 （件）之间满足函数关系如表所示： 第 天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量 （件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价 （元）与 第天（且为整数）成一次函数关系且满足 .已 知该纪念品成本价为20元/件. 16 （1）求关于 的函数表达式； 解：由表格信息可知是的一次函数，设关于 的函数表达式为 ， 把和代入可得，解得 ， 关于的函数表达式为（且 为整数）. （2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； 解：设总利润为元，则 . ，且 为整数， 当时， 最大，最大值为25000. 故第15天销售利润最大，最大利润为25000元. 17 （3）商店担心随着赛事的结束该纪念品的销售情况会不如之前，决定在 第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价 元销售，销 售第天与该天销售量 （件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售 利润取得最大值，若最大利润是20250元，求 的值. 解：由题意可得,第20天开始每件商品的单价为 元， 每件商品的利润为 元. 设此时第天的利润为 元， 则 ， 18 对称轴为直线 . 又，且 为整数， 随 的增大而减小， 当时， 有最大值为20250， ， 解得 . 故第20天的销售利润取得最大值，当最大利润为20250元时， 的值为6.25. 19 变式 某县2024年大力推广一种成本为10元/斤的农产品，该产品售价不低 于15元/斤，不高于30元/斤. 变式图 20 变式图 （1）每日销售量（斤）与售价 （元/斤）之间满 足如图的函数图象，求与 之间的函数表达式； 解：由图象可知该函数为一次函数， 设函数表达式为 ， 当时，，当时， ， ， 解得 ， 与之间的函数表达式为 . 21 变式图 （2）若每日销售利润为 （元），当售价定为多 少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 解：根据题意得， . ， 抛物线开口向下. 对称轴， ， 当 时，利润最大，最大利润为 （元）. 22 （3）该县科技助农队帮助果农降低种植成本，成本每斤减少 元 ，已知每日最大利润为2592元，求 的值. 变式图 23 变式图 解：设成本每斤减少元后，每日销售利润为 元，则 ， 对称轴为直线 . ， . ， 当 时，利润最大， ， 解得， （不合题意，舍去）. 的值为6. 24 类型 3 方案问题 例题图 例 植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米的墙，现准备用20 米的篱笆围一间矩形花圃，小星设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲 中 的长不超过墙长；方案乙中 的长大于墙长. 25 例题图 （1）按图甲的方案，设的长为 米，矩形的面积为 平方米. ①求与 之间的函数表达式； 解：设的长是米，则 米， 根据题意得， . 墙长为6米， ， 与之间的函数表达式为 . 26 ②求矩形 面积的最大值. 解：由①知， . ， 当时，随 的增大而增大. ， 当时， 有最大值，最大值为42， 故矩形 面积的最大值为42平方米. 例题图 27 （2）甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是多少？请 说明理由. 例题图 28 例题图 解：乙方案，理由如下： 设图乙的方案中的长是 米，矩形 花圃的面积是 平方米，则 米， 根据题意得， . ， ， 当时，有最大值，最大值为 . ， 按图乙的方案施工，围成的矩形花 圃的面积最大，最大面积是 平方米. 29 变式 某工厂在，两城分别生产同种产品共200件，其中城生产 件， 城生产产品的总成本（元）与产品数量 （件）之间满足函数表达式 ， 城生产产品的成本为每件60元. （1）若城生产产品的件数为30件，求， 两城完成这种产品生产任务 的总成本； 解： 城生产产品的件数为30件， 城生产产品的件数为 （件）， 城生产产品的成本为 （元）， B城生产产品的成本为 （元）， ，两城完成这种产品生产任务的总成本为 （元）. 30 （2）设，两城生产这批产品的总成本为元，求关于 的函数表达式， 并求生产这批产品总成本最小的生产方案； 解：根据题意可知，总成本 . ， 当时， 有最小值. 此时城生产产品的件数为 （件）， 当城生产产品20件， 城生产产品180件时，生产这批产品总成本最小. 31 （3）在（2）的生产方案下，要把这批产品全部运往，两地，从 城运 往，两地的费用分别为10元/件和20元/件；从城运往， 两地的费用 分别为元/件为常数，和30元/件；地需要150件， 地需要50件， 请你帮工厂设计出运费最节省的运输方案. 32 解：设城运往地件，则运往地件，城运往 地 件，运往地件，总运费为 元， 由题意可得， . 由题知，，， ， 当，即时，随 的增大而增大， 当时， 最小， ， 33 当，即时，随 的增大而减小， 当时， 最小， ， 当时， 最小， 当城运往地0件，运往地20件，城运往地150件，运往 地30件 时费用最小. 35 $$