第四单元 比例单元知识总结＋重点突破＋提升练习-2024-2025学年六年级下学期数学单元总结练习（苏教版）

知识要点 具体内容 图形的放大和缩小 1.把一个图形按一定的比放大或缩小，就是把这个图形的各部分均按一定的比放大或缩小。 2.放大或缩小后图形的形状不变。 比例的意义 1.表示两个比相等的式子叫作比例。 2.组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项， 中间的两项叫作比例的内项。 比例的基本性质 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 解比例 1.求比例中的未知项，叫作解比例。 2.解比例的依据是比例的基本性质。 比例尺的意义及应用 1.一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。比例尺有线段比例尺和数值比例尺两种。 2.根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”，可以解决求图上距离或实际距离的实际问题。 按比例放大后图形面积变化的规律 如果把一个图形按n∶1的比放大，那么放大后图形的面积与原来图形 面积的比是n²∶1。 利用 比例的意义和基本性质解题 【例题】一个数x可以和4，4.8，12组成比例，x可能是多少？ 用2、8、12和另一个数组成一个比例，这个数可能是哪些？ 利用比例尺和图形的面积知识解决问题 【例题】在比例尺是1∶800的学校平面图上，量得一个长方形运动场的长是12cm，宽是8cm，这个运动场的实际面积是（ ）m2。 有一块长20米，宽10米的长方形地。 （1）请你用1∶500的比例尺把它画出来。 （2）在长方形内画一个最大的半圆，并求出这个半圆的图上周长与面积。 根据比例的基本性质解决分数问题 【例题】小王和小李两人合租一套住房，每月小王所付租金的正好是小李所付租金的。小王和小李每月所付租金的比是（ ）。 A．6∶7 B． C． 有两袋大米，第二袋比第一袋重15千克，已知第一袋大米重量的恰好与第二袋大米重量的相等，两袋大米各重多少千克？ 一．选择题（共6小题） 1．如果，那么　　 A． B． C． D． 2．在一幅地图上，量的甲、乙两地的距离是5厘米，甲乙两地的实际距离是350千米，这幅地图的比例尺是　　 A． B． C． D． 3．下面的比中能与组成比例的是　　 A． B． C． D． 4．下面可以组成比例的是　　 A．和 B．和 C．和 5．比例的外项3增加6，要使比例成立，内项0.9应该增加　　 A．0.6 B．0.9 C．1.8 D．1.2 6．一个长150米，宽90米的长方形广场，画在比例尺的图纸上，长应画　　厘米。 A．3 B．5 C．15 二．填空题（共8小题） 7．在比例中，如果内项12减少2，要使比例成立，外项48应该减少 　 　，或内项20应该增加 　　。 8．如果，那么　 　　　；如果，那么　　。 9．在一张图纸上，测得一个零件的长是，已知这个零件实际长度是，这张图纸的比例尺是 　 　。 10．在比例尺是的地图上量得甲、乙两地间公路长12厘米。一辆汽车上午10时以80千米时的平均速度从甲地出发，如果中途不休息，那么下午 　 　时可以到达乙地。 11．故宫是中国明清两代的皇家宫殿，旧称紫禁城，位于北京中轴线的中心。它的南北长约，东西宽约。把它画在比例尺是的图纸上，长应画 　 　，宽应画 　　。 12．、均不为，那么 　 　　　。 13．24的因数有 　 　个，用它的因数组成一个比值是3的比例是 　　。 14．在一幅比例尺是的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是。在另一幅比例尺是的地图上，这两个城市之间的图上距离是 　 　。 三．判断题（共5小题） 15．如果、均不为，那么。 　　 16．比例尺可以理解为图上表示实际。 　　 17．在比例中，将等号左边比的后项加上20，要使比例成立，等号右边比的后项应加上60。 　　 18．图上距离一定比相对应的实际距离短．　　 19．和能组成比例。 　 　（判断对错） 四．计算题（共1小题） 20．解比例。 （1） （2） （3） （4） 五．应用题（共2小题） 21．张师傅开车从石家庄到北京，路上行驶了3小时。已知在比例尺的地图上，两地之间路程长是11厘米，张师傅平均每小时行驶了多少千米？ 22．在比例尺为的地图上，小明家的客厅长为3厘米，宽为2厘米，爸爸在装修时想用一种浅白色的方砖铺地面，经询问商店，这种方砖铺18平方米需要618块，那么请你计算一下，在不浪费的情况下，爸爸买多少块这种方砖正好够用？ 六．解答题（共3小题） 23．根据要求填一填、画一画。 （1）以图中的虚线为对称轴作的轴对称图形，与点对应的点称为，所在的位置是 　　。 （2）将绕点按顺时针方向旋转，画出旋转后的图形。 （3）若将按放大，则放大后的三角形面积是 　　平方厘米。 24．在比例尺是的地图上，量得两地间的距离是5厘米。甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，小时后相遇，甲汽车与乙汽车速度比是，甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米？ 25．如图是小华乘坐出租车去图书馆的路线图。已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价8元计算：超出3千米部分按每千米2.4元计算。请你按图中提供的信息算一算，小华从家乘出租车到图书馆要花多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 知识要点 具体内容 图形的放大和缩小 1.把一个图形按一定的比放大或缩小，就是把这个图形的各部分均按一定的比放大或缩小。 2.放大或缩小后图形的形状不变。 比例的意义 1.表示两个比相等的式子叫作比例。 2.组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项， 中间的两项叫作比例的内项。 比例的基本性质 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 解比例 1.求比例中的未知项，叫作解比例。 2.解比例的依据是比例的基本性质。 比例尺的意义及应用 1.一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。比例尺有线段比例尺和数值比例尺两种。 2.根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”，可以解决求图上距离或实际距离的实际问题。 按比例放大后图形面积变化的规律 如果把一个图形按n∶1的比放大，那么放大后图形的面积与原来图形 面积的比是n²∶1。 利用 比例的意义和基本性质解题 【例题】一个数x可以和4，4.8，12组成比例，x可能是多少？ 【思路分析】在比例里，内项之积等于外项之积，根据题意，可用任意两数作内项，则所求与另一个数作外项，形成比例后，解此比例即可求得x的值。据此解答。 【解题过程】 ①x∶4.8＝12∶4    解： x＝14.4 ②x∶4＝12∶4.8   解：   x＝10 ③x∶4＝4.8∶12     x＝1.6 x可能是14.4、10或1.6。 用2、8、12和另一个数组成一个比例，这个数可能是哪些？ 【分析】根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，设第四个数为x，那么就会有：2×x＝8×12或8×x＝2×12或12×x＝2×8；据此解方程可知这样的3个数。 【详解】解：设第四个数为x，那么： 2×x＝8×12 x＝48 8×x＝2×12 x＝3 12×x＝2×8 x＝ 答：这个数可能是48；3；。 利用比例尺和图形的面积知识解决问题 【例题】在比例尺是1∶800的学校平面图上，量得一个长方形运动场的长是12cm，宽是8cm，这个运动场的实际面积是（ ）m2。 【思路分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出运动场的实际的长和宽，再根据长方形的面积公式：S＝ab进行计算。 【解题过程】（cm）（m） （cm）（m） （m2）。 有一块长20米，宽10米的长方形地。 （1）请你用1∶500的比例尺把它画出来。 （2）在长方形内画一个最大的半圆，并求出这个半圆的图上周长与面积。 【思路分析】（1）实际距离和比例尺已知，先依据“图上距离＝实际距离÷比例尺”求出长方形的长和宽的图上距离，于是就能画出这块长方形地的平面图。 （2）由题意可知，这个最大的半圆的直径应该等于长方形的长，半径等于长方形的宽，于是以长方形的长的中点为圆心、宽为半径，即可画出这个圆，长方形的宽已知，从而可以利用半圆的周长＝πd÷2＋d以及半圆的面积＝πr2÷2，代入数据求出这个半圆的周长面积。 【解题过程】（1）20米＝2000厘米 10米＝1000厘米 则长方形的长的图上距离是：20004（厘米） 长方形的宽的图上距离是：10002（厘米） （1）（2）作图如下； （2）半圆的周长是：3.14×4÷2＋4 ＝12.56÷2＋4 ＝6.28＋4 ＝10.28（厘米） 半圆的面积：3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（平方厘米） 答：半圆的周长是10.28厘米，面积是6.28平方厘米。 根据比例的基本性质解决分数问题 【例题】小王和小李两人合租一套住房，每月小王所付租金的正好是小李所付租金的。小王和小李每月所付租金的比是（ ）。 A．6∶7 B． C． 【思路分析】由题意知，每月小王所付租金的正好是小李所付租金的，即小王所付租金×＝小李所付租金×，根据比例的基本性质即可求出小王和小李每月所付租金的比。 【解题过程】小王所付租金×＝小李所付租金× 小王所付租金∶小李所付租金＝∶ ∶ ＝（×14）∶（×14） ＝6∶7 故答案为：A 有两袋大米，第二袋比第一袋重15千克，已知第一袋大米重量的恰好与第二袋大米重量的相等，两袋大米各重多少千克？ 【分析】已知第一袋大米重量的恰好与第二袋大米重量的相等，那么根据比例的基本性质，第一袋大米重量∶第二袋大米重量＝∶＝6∶7，即第一袋大米重量是第二袋的，把第二袋的重量看作单位“1”，15千克占第二袋的重量1－，用除法求出第二袋重量，进而求出第一袋大米重量。 【解答】第一袋大米重量∶第二袋大米重量＝∶＝6∶7 15÷（1－） ＝15÷ ＝105（千克） 105－15＝90（千克） 答：第一袋大米重90千克，第二袋重105千克。 一．选择题（共6小题） 1．如果，那么　　 A． B． C． D． 【分析】根据比例的基本性质，比例的两内项积两外项积，看成，3和同时在比例的外项，1和同时在比例的内项即可，据此写出比例。 【解答】解：根据分析，如果，那么。 故选：。 2．在一幅地图上，量的甲、乙两地的距离是5厘米，甲乙两地的实际距离是350千米，这幅地图的比例尺是　　 A． B． C． D． 【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比。 【解答】解：350千米厘米 答：这幅地图的比例尺是。 故选：。 3．下面的比中能与组成比例的是　　 A． B． C． D． 【分析】表示两个比相等的式子叫作比例，据此可先求出的比值，再逐项求出每个比的比值，进而根据两个比的比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例。 【解答】解：； 、，因为，所以不能组成比例； 、，因为，所以能组成比例； 、，因为，所以不能组成比例； ，因为，所以不能组成比例。 故选：。 4．下面可以组成比例的是　　 A．和 B．和 C．和 【分析】要想判断两个比能不能组成比例，则根据比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，计算出两个外项的积、两个内项的积，然后判断即可． 【解答】解：、，，，所以不能组成比例； 、，，，所以不能组成比例； 、，，，所以能组成比例； 故选：． 5．比例的外项3增加6，要使比例成立，内项0.9应该增加　　 A．0.6 B．0.9 C．1.8 D．1.2 【分析】根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，列出算式进行求解。 【解答】解： 即内项0.9应该增加1.8。 故选：。 6．一个长150米，宽90米的长方形广场，画在比例尺的图纸上，长应画　　厘米。 A．3 B．5 C．15 【分析】由比例尺图上距离实际距离可知，图上距离实际距离比例尺，代入数据即可解答。 【解答】解：150米厘米 （厘米） 答：长应画5厘米。 故选：。 二．填空题（共8小题） 7．在比例中，如果内项12减少2，要使比例成立，外项48应该减少 　8　，或内项20应该增加 　　。 【分析】（1）在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。先根据比例的基本性质求出内项12减少2后的内项积，即，则外项积也应是200；再算出5乘几是200，即；最后用即可求出48应该减少几。 （2）先根据比例的基本性质求出外项积，则内项积也应是240；再算出内项12减少2后，乘几是240，即；最后用即可求出20应该增加几。 【解答】解： 答：外项48应该减少8，或内项20应该增加4。 故答案为：8；4。 8．如果，那么　5　　　；如果，那么　　。 【分析】根据比例的基本性质，内项之积等于外项之积，把可以写成比例的形式，和5作内项，和3作外项。根据比例的基本性质，得到，等式两边同时除以5就可以求出的值，据此解答。 【解答】解：根据分析， 答：如果，那么；如果，那么。 故答案为：5；3；0.16。 9．在一张图纸上，测得一个零件的长是，已知这个零件实际长度是，这张图纸的比例尺是 　　。 【分析】比例尺图上距离：实际距离，再根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个数除外），比值不变，可化简比例尺，进而得出答案。 【解答】解：10厘米毫米 答：这张图纸的比例尺是。 故答案为：。 10．在比例尺是的地图上量得甲、乙两地间公路长12厘米。一辆汽车上午10时以80千米时的平均速度从甲地出发，如果中途不休息，那么下午 　4　时可以到达乙地。 【分析】先求两地的实际距离是多少千米，根据“实际距离图上距离：比例尺”代入数值计算，再根据关系式：时间路程速度，求出需要的时间，再计算上午到达的时刻即可。 【解答】解：（厘米） 48000000厘米千米 （小时） 10时时时 16时是下午4时。 答：下午4时可以到达乙地。 故答案为：4。 11．故宫是中国明清两代的皇家宫殿，旧称紫禁城，位于北京中轴线的中心。它的南北长约，东西宽约。把它画在比例尺是的图纸上，长应画 　3.2　，宽应画 　　。 【分析】根据“实际距离比例尺图上距离”，代入数值，计算即可。 【解答】解： （厘米） （厘米） 答：长应画，宽应画。 故答案为：3.2，2.5。 12．、均不为，那么 　8　　　。 【分析】根据比例中，内项之积等于外项之积，即可解答。 【解答】解：因为 那么 答：那么。 故答案为：8，9。 13．24的因数有 　8　个，用它的因数组成一个比值是3的比例是 　　。 【分析】先列举出24的所有因数，再数一数个数；从它的因数中找出两组比值是3的比，组成比例即可。 用比的前项除以比的后项所得的商，叫作比值。比值相等的两个比可以组成比例。 【解答】解：24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；一共有8个。 用它的因数组成一个比值是3的比例是。（答案不唯一） 故答案为：8；。（答案不唯一） 14．在一幅比例尺是的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是。在另一幅比例尺是的地图上，这两个城市之间的图上距离是 　　。 【分析】先利用公式“实际距离图上距离比例尺”求出甲乙两地的实际距离是多少厘米，再利用“图上距离实际距离比例尺”代入数值算出另一幅比例尺是地图上的图上距离。 【解答】解： 答：这两个城市之间的图上距离是。 故答案为：。 三．判断题（共5小题） 15．如果、均不为，那么。 　　（判断对错） 【分析】比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质。 【解答】解：如果、均不为，那么。 故答案为：。 16．比例尺可以理解为图上表示实际。 　　（判断对错） 【分析】1米厘米，据此统一单位。 【解答】解：500000厘米米 因此比例尺可以理解为图上表示实际5000米。原题说法错误。 故答案为：。 17．在比例中，将等号左边比的后项加上20，要使比例成立，等号右边比的后项应加上60。 　　（判断对错） 【分析】根据比的基本性质作答即可。 【解答】解： 即：第一个比的后项是5，加上20后为25，相当于后项乘5，比值相应缩小到原来的五分之一。 即：要使比例仍然成立，第二个比的后项也应该同样乘5，即增加60。 故答案为：。 18．图上距离一定比相对应的实际距离短．　　（判断对错） 【分析】根据实际需要，比例尺可分放大和缩小两种比例尺，放大型的比例尺，图上距离要比实际距离大，据此就可作答． 【解答】解：因为放大型的比例尺，图上距离要比实际距离大， 所以“图上距离一定比相对应的实际距离短”的说法是错误的． 故答案为：． 19．和能组成比例。 　　（判断对错） 【分析】根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，据此判断即可。 【解答】解： 两个外项的积不等于两个内项的积，故不能组成比例。即原说法错误。 故答案为：。 四．计算题（共1小题） 20．解比例。 （1） （2） （3） （4） 【分析】（1）根据比例的基本性质，把原式化为，然后方程的两边同时除以4求解； （2）根据比例的基本性质，把原式化为，然后方程的两边同时除以54求解； （3）根据比例的基本性质，把原式化为，然后方程的两边同时除以0.8求解； （4）根据比例的基本性质，把原式化为，然后方程的两边同时除以4求解。 【解答】解：（1） （2） （3） （4） 五．应用题（共2小题） 21．张师傅开车从石家庄到北京，路上行驶了3小时。已知在比例尺的地图上，两地之间路程长是11厘米，张师傅平均每小时行驶了多少千米？ 【分析】先根据实际距离图上距离比例尺，算出实际距离，再除以行驶的时间即可。 【解答】解：（厘米） 33000000厘米千米 （千米） 答：张师傅平均每小时行驶了110千米。 22．在比例尺为的地图上，小明家的客厅长为3厘米，宽为2厘米，爸爸在装修时想用一种浅白色的方砖铺地面，经询问商店，这种方砖铺18平方米需要618块，那么请你计算一下，在不浪费的情况下，爸爸买多少块这种方砖正好够用？ 【分析】根据实际距离图上距离比例尺，换算出客厅实际长和宽，长方形面积长宽，据此求出客厅面积，铺的面积用的方砖块数每块方砖面积，客厅面积每块方砖面积方砖块数，据此列式解答。 【解答】解：（厘米）（米 （厘米）（米 （块 答：爸爸买824块这种方砖正好够用。 六．解答题（共3小题） 23．根据要求填一填、画一画。 （1）以图中的虚线为对称轴作的轴对称图形，与点对应的点称为，所在的位置是 　　。 （2）将绕点按顺时针方向旋转，画出旋转后的图形。 （3）若将按放大，则放大后的三角形面积是 　　平方厘米。 【分析】（1）根据轴对称图形的意义：对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴另一边画出图形的关键对称点，依次连接即可图形；再根据数对中第1个数表示列，第2个数表示行解答； （2）根据图形旋转的特征，点的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数，得到旋转后的图形； （3）若将按放大，则放大后的三角形的底和高分别是原来三角形底和高的3倍，即底是（厘米），高是（厘米），据此求出面积。 【解答】解：（1）（2）如图所示： ； （1）与点对应的点称为，所在的位置是 （3）（厘米） （厘米） （平方厘米） 答：则放大后的三角形面积是36平方厘米。 故答案为：；36。 24．在比例尺是的地图上，量得两地间的距离是5厘米。甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，小时后相遇，甲汽车与乙汽车速度比是，甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米？ 【分析】先依据“实际距离图上距离比例尺”求出两地的实际距离，进而依据“路程相遇时间速度和”求出二者的速度和，又因甲车的速度与乙车速度的比是，分别求出两车的速度分别占速度和的几分之几，再根据分数乘法的意义，即可得解。 【解答】解： （厘米） （千米） （千米时） （千米时） （千米时） 答：甲汽车每小时行60千米，乙汽车每小时行90千米。 25．如图是小华乘坐出租车去图书馆的路线图。已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价8元计算：超出3千米部分按每千米2.4元计算。请你按图中提供的信息算一算，小华从家乘出租车到图书馆要花多少元？ 【分析】根据“实际距离图上距离：比例尺”代入对应数值，分别求出小华家到苏果超市的实际距离和苏果超市到图书馆的实际距离，再把两段距离相加就是小华家到图书馆的实际距离，如果小华家到图书馆的实际距离在3千米以内，则乘出租车需要8元，如果超过3千米，则用小华家到图书馆的实际距离减去3千米再乘2.4然后加上起步价8元，据此解答。 【解答】解： （厘米） 900000厘米千米 （元 答：小华从家乘出租车到图书馆要花17.4元。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$