浙江省余姚中学2024-2025学年高一下学期3月质量检测数学试卷

余姚中学2024学年第二学期质量检测高一数学学科答案 1. B  2. A  3.D 4.A 5.C  6.C  7.B 8.D 9.BC   10.ACD 11.AD 12. 3  13. 700  14.24 15.本题13分 解:(1)依题点(1,b)在第四象限,则b<0,由z=4,得(1+bi)(1-bi)=4,即b2=3,所以b=-.----（6分） 由(1)知,z=1-i,由复数z是关于x的方程px2+2x+q=0的根, 得p(1-i)2+2(1-i)+q=0, 整理得(-2p+q+2)+(-2p-2)i=0,而p,q∈R, ------------------------（8分） 因此 -----------------------（11分） 解得所以p+q=-5 -----------------------（13分） 16.本题15分 解：因为且， - ------------------（3分） ， ------------------（6分） 又因为，所以由题意得，得， -------（9分） 又因为在三角形ABC中， 由余弦定理得， -------（12分） 所以， 又因为，，所以 -------------------（15分） 17.本题15分 解：因为为的中点， 所以， 所以，，故 -------------------------------（4分） 因为，， 由余弦定理得， 即， 解得， ---------------------------------------（6分） 因为，所以， 因为为的中点，且， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以， 又因为，所以， 因为，所以 --------------------------------------（10分） 因为， 所以， 因为，所以， 所以， 则， 所以， --------------------------------------（12分） 所以 ， 当且仅当时，取到最小值． 故的最小值为．  -------------------------------------（15分） 18.本题17分 （1）易知四边形ABCD是平行四边形 ------------------------（4分） （2）证明：①等式左边==右边- 所以等式成立． -------------------（8分） ②由，得，， 由①可知： ， -----------------（10分） 连结BD， 在中，由余弦定理有，，，，， 在中，由余弦定理有， 所以， 则： 又，可知， 于是， ------------------（13分） 连结AC，同理可得：， 又又，可知， 于是 -------------（15分） 所以 ------------------（17分） 19本题17分 解：对于①，设， 则可得，所以，线性无关；- ----------------------------（3分） 对于②设， 则可得，所以，， ------------------------------------（6分） 设， 则， 因为向量，，线性无关， 所以，，， 解得， 所以向量，，线性无关； ------------------------------------（11分） ①， 如果某个，，2，……，m， 则， 因为任意个都线性无关， 所以，，……，，，……，都等于0， 所以这些系数，，……，或者全为零，或者全不为零，------------------------------------（14分） ②因为所以，，……，全不为零， 所以由， 可得， 代入，可得， 所以， 所以，……，， 所以  --------------------------------（17分） 第5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 余姚中学2024学年第二学期质量检测高一数学学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，,则实数      A. 2 B. -2 C. D. 2.若复数满足，则    A. B. C. D. 3.符合下列条件的三角形有且只有一个的是    A.，， B.，， C.，， D.，， 4.已知正方形ABCD的边长为6，，，则的值为    A. B. C. D. 5.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状为    A. 等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 6.向量，，那么向量在上的投影向量为    A. B. C. D. 7.已知平面向量、、满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为    A. B. C. D. 8.在中，点M，N在边BC上，且满足：，，若，，，则的面积等于    A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设复数，则以下结论正确的是    A. B. C. D. 10.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，若3sin A=2sin C，a+c=2b，则以下说法正确的是    A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6 B.△ABC是钝角三角形 C.若,则△ABC外接圆的半径为 D.若△ABC的周长为15,则其内切圆的半径为 11.已知锐角三个内角的对应边分别为，且,,则下列结论正确的是    A. 的取值范围为 B.的最小值为 C. 的面积最大值为 D. 的值可能为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设z为复数，若=1，则的最大值为          . 13.某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东，灯塔B在观察站C南偏东处，则两灯塔A、B间的距离为          米. 14.在边长为4的正方形ABCD中，，， 以F为圆心，1为半径作半圆与CD交于两点，如图所示． 点P为弧MN上任意一点，的最大值为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. (本题13分) 已知复数z=1+bi (b∈R,i为虚数单位) , z在复平面上对应的点在第四象限，且满足z=4. (1)求实数b的值； (2)若复数z是关于x的方程px2+2x+q=0(p≠0,且p,q∈R)的一个复数根,求p+q的值. 16. (本题15分) 在中，分别是角所对的边，已知，，，且 ． (1)求角A的大小； (2)若的面积为，求的值． 17.本题15分 如图，在平行四边形中，为的中点，，与，分别相交于，两点． (1)若，求的值； (2)若，，求； (3)若，求的最小值． 18.本题17分 已知A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角． (1)若,,求； (2)如图，若，，，，. ①证明：； ②求的值． 19.本题17分 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量. 设，，，定义加法和数乘：，. 对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关. 判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由. ①，； ②，，； 已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由. 已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，同时成立，其中，则. 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$