第五讲 数学广角-鸽巢问题（单元讲义）-2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（人教版）学生版+教师版

2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（人教版） 第五讲 数学广角-鸽巢问题 （导图+知识精讲+易错点拨+3大考点讲练+易错压轴练+难度分层练 共62题） 目录 课前指导 讲义介绍 2 思维导图 一目了然 2 知识精讲 梳理脉络 2 知识点梳理01：鸽巢原理的基本概念 2 知识点梳理02：鸽巢原理的公式 2 知识点梳理03：鸽巢原理的应用 3 知识点梳理04：典型题型与解题技巧 3 易错点拨 查漏补缺 4 易错知识点01：对鸽巢原理理解不透彻 4 易错知识点02：计算至少有几个物体在同一个鸽巢中时出错 4 易错知识点03：混淆鸽巢原理与平均分配原则 4 易错知识点04：在应用鸽巢原理解决实际问题时出错 5 易错知识点05：对鸽巢原理的推论理解不深入 5 考点讲练 明确目标 5 考点讲练01：鸽巢问题初步 5 考点讲练02：鸽巢问题进阶 6 考点讲练03：最不利原则 7 易错真题 培优必刷 7 压轴专练 冲刺拔尖 7 培优巩固 拔尖冲刺 9 基础夯实优选题专练 11 培优优选题专练 13 同学你好！恭喜你进入新的学期，开启新的章程！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点梳理01：鸽巢原理的基本概念 鸽巢原理是一个重要而又基本的组合原理，在解决数学问题时有非常重要的作用。其最简单的表达形式是：如果把多于n个的物体放到n个鸽巢中，则至少有一个鸽巢里含有2个或2个以上的物体。 知识点梳理02：鸽巢原理的公式 物体个数÷鸽巢个数=商……余数 至少个数=商+1 这个公式用于计算当物体数量多于鸽巢数量时，至少有一个鸽巢中物体的数量。 知识点梳理03：鸽巢原理的应用 1. 至少有几个鸽子同一个巢类问题： 例如，11个苹果放进3个抽屉，苹果最多的一个抽屉里至少有几个苹果？根据鸽巢原理，11÷3=3余2，所以至少有一个抽屉里有3+1=4个苹果。 2. 最多有几个巢类问题： 例如，把25个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里至少有5个玻璃球？根据鸽巢原理，我们可以将25个玻璃球平均分配到尽可能多的盒子里，同时保证至少有一个盒子里有5个或更多的玻璃球。因此，最多可以放进25÷5=5个盒子，这样每个盒子至少有5个玻璃球。但如果要考虑“最多有几个盒子”且不满足“每个盒子都至少有5个”的严格条件，那么答案将取决于如何分配剩余的玻璃球。在最不利的情况下，即尽可能平均分配但又不让每个盒子都达到5个，我们可以将20个玻璃球平均分配到4个盒子里（每个盒子5个），然后剩下的5个玻璃球放入第5个盒子，这样就有5个盒子但只有一个盒子有超过5个玻璃球。然而，这个问题通常理解为求满足条件“至少有一个盒子有5个”时的最大盒子数，所以答案还是5个。 3. 最不利原则的应用： 最不利原则是从最坏的情况出发分析问题。例如，要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。这是因为，在最不利的情况下，可能会先连续摸出不同颜色的球，直到摸出第n+1个球（n为颜色数）时，才能保证与前面的某个球颜色相同。 4. 生日问题的应用： 生日问题也是鸽巢原理的一个经典应用。例如，某校有367名学生，问有没有两个学生的生日是同一天？由于一年有365天（不考虑闰年），而学生人数为367，根据鸽巢原理，至少有一天有2名学生的生日是相同的。 知识点梳理04：典型题型与解题技巧 1. 填空题： 例如，“一只袋子里有许多规格相同但颜色不同的玻璃球，颜色有红黄绿三种，至少取出几个球才能保证有2个球的颜色相同？”答案是4个，因为最不利的情况是先连续摸出红、黄、绿三种颜色的球各1个，再摸出第4个球时，必然与前面的某个球颜色相同。 2. 应用题： 例如，“42只鸽子飞进5个笼子里，可以保证在鸽子最多的笼子中至少有几只鸽子？”答案是9只。因为42÷5=8余2，所以至少有一个笼子里有8+1=9只鸽子。 易错知识点01：对鸽巢原理理解不透彻 易错点： 学生可能只记住了鸽巢原理的表述，但没有真正理解其背后的逻辑和含义。 在应用鸽巢原理时，学生可能无法准确判断“物体”和“鸽巢”的对应关系。 纠正方法： 通过具体的生活实例或图形演示，帮助学生理解鸽巢原理的实质。 强调“物体”和“鸽巢”的对应关系，让学生明确哪些元素可以视为“物体”，哪些元素可以视为“鸽巢”。 易错知识点02：计算至少有几个物体在同一个鸽巢中时出错 易错点： 学生可能在使用鸽巢原理进行计算时，没有正确应用除法运算和取余运算。 学生可能忽略了“至少”这个词的含义，导致计算结果偏小。 纠正方法： 教授学生如何使用除法运算和取余运算来计算至少有几个物体在同一个鸽巢中。 强调“至少”的含义，让学生明白在计算结果的基础上需要加1（当有余数时）。 易错知识点03：混淆鸽巢原理与平均分配原则 易错点： 学生可能将鸽巢原理与平均分配原则混淆，认为只要物体数量多于鸽巢数量，每个鸽巢中的物体数量就一定相同。 学生可能忽略了鸽巢原理中的“至少”条件，认为每个鸽巢中的物体数量都一定大于或等于某个值。 纠正方法： 区分鸽巢原理与平均分配原则的不同之处，强调鸽巢原理中的“至少”条件。 通过具体例子说明鸽巢原理与平均分配原则的差异，让学生明确两者的区别。 易错知识点04：在应用鸽巢原理解决实际问题时出错 易错点： 学生可能无法准确识别问题中的“物体”和“鸽巢”，导致应用鸽巢原理时出错。 学生可能无法将实际问题抽象为鸽巢问题，导致无法应用鸽巢原理进行解决。 纠正方法： 教授学生如何识别问题中的“物体”和“鸽巢”，并将其抽象为鸽巢问题。 通过大量练习，让学生熟悉鸽巢原理在实际问题中的应用方法。 易错知识点05：对鸽巢原理的推论理解不深入 易错点： 学生可能对鸽巢原理的推论（如生日悖论）理解不深入，无法将其应用于实际问题中。 学生可能无法准确判断哪些问题可以运用鸽巢原理的推论进行解决。 纠正方法： 深入讲解鸽巢原理的推论，如生日悖论等，并通过具体例子帮助学生理解其含义和应用方法。 让学生多接触与鸽巢原理推论相关的实际问题，培养他们的应用能力和解决问题的能力。 考点讲练01：鸽巢问题初步 【精讲题】（24-25六年级下·海南海口·单元测试）11支铅笔放进4个盒子，总有一个盒子至少放进 支铅笔。 【精练题01】（23-24六年级下·吉林白城·期末）有3个同学一起练习投篮，如果他们一共投进13个球，那么一定有一个同学至少投进了( )个球。 【精练题02】（23-24六年级下·山东济宁·期末）六（一）班有41名同学，至少有( )人是同一个月出生的。 【精练题03】（23-24六年级下·贵州黔西·期末）望谟县位于黔西南州东部，因布依方言“王母”谐音而得名。2024年贵州望谟“三月三”第二届乡村山地马拉松设置四个项目，共计1350人，总有一个项目至少有( )人参跑。 考点讲练02：鸽巢问题进阶 【精讲题】（23-24六年级下·山东菏泽·期中）在六（1）班学生中，有8个人都订阅了《小作文》《小读者》《儿童时代》三种杂志中的一种或几种。那么，这8个人中至少有（    ）个人所订的杂志种类完全相同。 A．2 B．3 C．4 【精练题01】（2023·福建莆田·小升初真题）某班48名同学投票选一名班长（每人只许投一票），候选人是小华、小红和小明三人，计票中途统计结果如下： 规定得票最多的人当选，那么后面的计票中小华至少还要得（    ）张票才能当选？ A．6 B．7 C．8 【精练题02】（23-24六年级下·全国·课后作业）给下面每个格子涂上红色或蓝色，至少有两列的涂色相同。为什么？ 如果只涂两行的话，结论有什么变化呢？ 【精练题03】（23-24六年级下·全国·课后作业）任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数，请说明理由。 考点讲练03：最不利原则 【精讲题】24-25六年级下·海南海口·单元测试）一个袋子里有红、蓝、绿球各6个，要保证取出的两个同颜色的球，至少要取 个球：要保证取出两个不同颜色的球，至少要取 个球。 【精练题01】（24-25六年级下·安徽六安·开学考试）一个口袋里装有红、白、蓝三种不同颜色的小球各8个，至少要摸出（    ）个小球，其中肯定有8个颜色相同。 A．8 B．9 C．17 D．22 【精练题02】（23-24六年级下·四川成都·期末）一个盒子里有5个红球，3个白球和4个蓝球，至少需要摸（    ）个球才能保证有2个不同颜色的球。 A．4 B．5 C．6 D．8 【精练题03】（2024六年级下·全国·专题练习）有5050张数字卡片，其中一张上写着1，2张上写着2，3张上写着3，…，100张上写着100。现在要从中抽取若干张，为了确保抽出的卡片中至少有10张以上的数字完全相同，至少要抽取多少张卡片？ 1．（2023•陆丰市）李叔叔要给房间的四面墙壁涂上不同的颜色，但结果是至少有两面的颜色是一致的，颜料的颜色种数最多是　　种． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2022•新县）某小学有6个年级，每个年级有8个班。一天放学，8位小朋友一起走出校门。下列说法中正确的是　　 A．他们中至少有2人的出生月份相同 B．他们中至少有2人是同一个班级的 C．他们中至少有2人的属相相同 D．他们中至少有2人是同一年级的 3．（2021•新城区）某班男生有24人，女生有18人．下面的说法正确的是　　 A．至少有2名女生是在同一个月份出生的 B．最多有2名男生是在同一个月份出生的 C．在同一月份出生的男生人数，一定多于在同一个月份出生的女生人数 4．（2024•谷城县）一个袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各3个（每个球的大小形状都一样），每次至少摸出 　　个球才能保证一定有两个相同颜色的球；如果这些球中只有一个比较轻，其他的一样重，用天平至少称 　　次就可以找到那个较轻的球。 5．（2024•北碚区）49名老人在广场上跳舞，他们中至少有　 　个人是同一个月出生的． 6．（2024•乾安县）将红、黄、蓝三种颜色的帽子各5顶放入一个盒子里，要保证取出的帽子至少有两种颜色，至少应取出　　顶帽子，要保证三种颜色都有，则至少应取出　　顶；要保证取出的帽子中至少有两个是同色的，则至少应取出　　顶． 7．（2024春•武威期中）盒子里有大小相同的红、黄、蓝、白四种颜色的球各12个，要想摸出的球一定有2个是同色的，至少要摸出几个球？ 8．（2023•双牌县）填空题。 （1）掷两粒骰子，出现点数和7与点数和8，　　的可能性大的。 （2）有黑色、白色、红色筷子各6根，混杂放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色相同的一双筷子，至少要取出 　　根才能保证达到要求。 （3）有含糖的糖水200克，要使这杯糖水的含糖率变为。需加糖 　　克。 （4）由甲、乙两个工程队修一段长4272米的公路，先由甲队以每天60米的速度修了若干天，然后再由乙队接着修，每天修84米，两队共用60天修完这段路，甲队修了 　　天。 9．（2023秋•鹿城区期末）4支铅笔放入3个笔筒中，怎么放，总有一个笔筒有2支铅笔。 （1）根据材料思考：可以分四种情况，三个笔筒分别放4、0、0支铅笔，三个笔筒分别放3、1、0支铅笔，三个笔筒分别放2、1、1支铅笔，三个笔筒分别放 　　支铅笔；每个笔筒最多放1支铅笔，那么三个笔筒最多放 　　支铅笔。但是现在有4支铅笔，所以总有一个笔筒至少有2支铅笔。 （2）把25个小球最多放进多少个盒子中，才能保证一个盒子里至少有5个小球？ （3）一年一共有4个季度。二（2）班有37名同学，二（2）班至少有多少名同学在同一个季度过生日？ （4）一次数学考试，二（3）班最高分是100分，最低分是92分，每个人的得分都是整数，并且至少有5名同学的得分相同。二（3）班至少有多少名学生？ 10．（2024•九龙坡区）一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红桃、草花和方块4种花色的牌各13张，那么： （1）至少从中摸出多少张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃？ （2）至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有3张牌是红桃？ （3）至少从中摸出多少张牌，才能保证有5张牌是同一花色的？ （4）至少从中摸出多少张牌，才能保证有3张点数相同的？ 11．（2024秋•如皋市期末）一个不透明的袋子里有7个形状大小完全相同球，其中4个红球，3个黄球。在摸球游戏中，保证摸出的球中至少有1个红球，那一次至少摸出球的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2024秋•黄岛区月考）13个人中，　　有在同一个月中出生的。 A．一定 B．可能 C．不可能 13．（2024•安阳县）李铭参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是39环。李铭至少有一镖的成绩不低于　　环。 A．6 B．7 C．8 D．9 14．（2024秋•贵阳期末）袋中有7个红花片，3个绿花片（花片除颜色外其他均相同）。任意摸一次，摸到 　　花片的可能性最大，至少要摸出 　　个花片，才能保证一定摸到绿花片。 15．（2024•沈丘县）小然和家人到驻马店的皇家驿站游玩，在“羽箭俱乐部”玩射箭，射了8支箭，成绩是57环。小然射出的箭至少有一箭不低于 　　环。 16．（2024•渝北区）一个黑色的口袋中装有大小、形状一模一样的30支筷子，颜色分别为红、蓝、黄、绿、黑。每种颜色的筷子都有，但具体数量未知，小明闭着眼睛，不停地从口袋中拿筷子，每次拿2根，如果他希望口袋中剩下的筷子一定能凑成完整的四双，那么最多能拿出 　　根筷子。（注两根筷子必须颜色相同才能凑成一双） 17．（2022•满洲里市）从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意取牌． （1）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数相同？ （2）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数不同？ （3）至少取多少张牌，保证有2张花色相同？ （4）至少取多少张牌，保证有2张红桃？ 18． （2018•仙桃）某校六年级有320人，他们的年龄分别为12岁、13岁，在这些同学中，至少有多少个同学是同年同月出生的？ 19． （2017•长沙）一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分，问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？ 20． （2019•衡阳模拟）一个盒子里装有黑、白两种颜色的跳棋各10枚，从中最少摸出几枚才能保证有2枚颜色相同？从中至少摸出几枚，才能保证有3枚颜色相同？ 基础夯实优选题专练 1．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）教室内有30名学生，至少有（    ）名学生是同一个月出生的。 A．2 B．3 C．4 2．（21-22六年级下·河南周口·期末）一个盒子里有同样大小的红苹果和青苹果各10个，要想摸出的苹果一定有2个红苹果，至少要摸出（    ）个苹果。 A．3 B．10 C．12 D．15 3．（21-22六年级下·江西吉安·期末）把红、黄、蓝三种颜色的小球各12个放到一个盒子里，要保证一次摸到两个同色的小球，一次至少要摸出（    ）个小球。 A．13 B．4 C．5 D．25 4．（2022·贵州黔西·小升初真题）把25枝月季花插到4个花瓶中，总有一个花瓶至少插（    ）枝月季花。 A．8 B．7 C．6 D．5 5．（23-24六年级下·河南信阳·期中）口袋里有6个红球和3个黄球，它们除颜色外其它完全相同。要保证摸出2个红球，至少一次要摸出( )个球。 6．（23-24六年级下·全国·课后作业）把4支铅笔放入3个文具盒里，有哪些不同的放法？照样子分一分，填一填。 无论怎样放，总有一个文具盒里至少要放进（    ）支铅笔。 7．（23-24六年级下·全国·课后作业）把5支钢笔分给4名同学，至少有一名同学得到( )支钢笔；如果把5支钢笔分给3名同学，至少有一名同学得到( )支钢笔。 8．（2022六年级下·全国·专题练习）11个苹果放进3个抽屉，苹果最多的一个抽屉里至少有几个苹果？ 9．（23-24六年级下·全国·随堂练习）5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？ 10．（2021·云南德宏·小升初真题）把红、黄、蓝、黑、白五种颜色的筷子各9根放在一个盒子里。至少取多少根才能保证一定有2根颜色相同的筷子？ 11．（2024六年级下·全国·专题练习）某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 12．（23-24六年级下·黑龙江鸡西·期末）一副扑克牌去掉大王和小王后共有52张，这些扑克牌有四种花色，每种花色有13张。 (1)一次至少要拿出( )张牌，才能保证至少有两张牌是同花色的。 (2)一次至少要拿出( )张牌，才能保证有4张牌是同一种花色。 (3)一次至少要拿出( )张牌，才能保证四种花色都有。 (4)一次至少要拿出( )张牌，才能保证至少有两张牌的数字是一样的。（直接写出答案） 13．（23-24六年级下·山东菏泽·期中）希望小学六年级准备开展“中华好诗词”活动，六（1）班有45名学生，男、女生的人数比是3∶2，从中随机选取，至少选出多少人才能保证选出的学生中男、女生都有？ 14．（23-24六年级下·全国·课后作业）7名学生去图书馆借书，图书馆有A、B、C三类图书，每名学生最多可以借两本不同类的书，最少可以借一本，那么至少有几名学生所借书的种类完全相同？ 15． （2024六年级下·全国·专题练习）按照星座学说，根据出生时间不同，有十二个不同星座，请问至少找多少个同学，才能保证有四个人是同一个星座？ 培优优选题专练 16．（2024·浙江湖州·小升初真题）盒子里装有1个红球，3个黄球和4个白球（这些球除颜色外完全相同）。至少摸出（    ）个球，才能保证取到两个颜色相同的球。 A．3 B．4 C．5 D．6 17．（23-24六年级下·江苏南京·期末）盒子里有同样大小的红球4个，黄球5个，要保证摸出的球有2个是同色的，至少要摸出（    ）个球。 A．3 B．4 C．9 D．5 18．（24-25六年级下·重庆九龙坡·开学考试）在一个不透明的纸箱里有除颜色不同，其他全部相同的小球15个，其中蓝球4个，红球5个，白球6个，要想确保摸出2个同色的小球，至少要摸（    ）。 A．2次 B．3次 C．4次 D．6次 19．（23-24六年级下·山西长治·期末）六年级(1)班有50名同学。他们都参加了课后延时服务的个性活动课程。个性活动课程有剪纸、篮球和科技3个课程，每人可以参加1个或2个课程，这个班至少有( )名同学参加个性活动的情况完全相同。可以这样想：这里把( )看作“抽屉”，可以运用组合的知识先有序找出“抽屉”数，再按“抽屉问题”的思路解决问题。 20．（23-24六年级下·江西吉安·期末）志愿者为正在工作的16个环卫工人送来了几种不同的矿泉水，供大家自由选择。每人一份，总有至少4个环卫工人的矿泉水一样，志愿者最多送来了( )种矿泉水。 21．（2010六年级下·全国·竞赛）有几个同样重的集装箱，所装货物共重30吨，并且每个集装箱的重量都不超过1吨，至少需要 辆载重4吨的卡车才能一次性运走这些货物。 22．（20-21六年级下·天津南开·期末）在某班学生中，有10人都订阅了《小朋友》《少年报》《儿童时代》三种报刊中的一种或者几种。那么，这10个人中至少有( )个人所定的报刊种类完全相同。 23．（23-24六年级下·全国·课后作业）把红、黄、蓝、黑四种颜色的筷子各4根混在一起。如果让你闭上眼睛，每次至少拿几根才能保证有4根颜色一致的筷子？ 24．（20-21六年级下·全国·单元测试）在100张卡片上不重复地编写上1～100，请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出卡片上的数相乘后之乘积可被4整除？ 25．（22-23六年级下·全国·单元测试）小悦，冬冬和阿奇到费叔叔家玩，费叔叔拿出许多巧克力来招待他们，他们一数，共有19块巧克力，如果把这些巧克力分给他们三人，试说明：一定有人至少拿到7块巧克力，但不一定有人拿到8块。 26．（22-23六年级下·全国·单元测试）生活实践题。 （1）上学期有18名留守儿童插班进入实验小学就读，将18名留守儿童编入5个班，总有一个班至少要编入4名。为什么？ （2）18名留守儿童来自全国的4个省份，至少有5名来自同一个省份。为什么？ （3）把50本图书分给18名留守儿童，总有一名至少分到3本图书。为什么？ 27．（21-22六年级下·山东济南·期末）“六一”儿童节，李老师拿133个小礼物发给班里的所有学生，如果至少有一名学生拿到了4个小礼物，那么，李老师班里最多有多少名学生？ 28．（2022·内蒙古呼伦贝尔·小升初真题）从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意取牌。 （1）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数相同？ （2）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数不同？ （3）至少取多少张牌，保证有2张花色相同？ （4）至少取多少张牌，保证有2张红桃？ 29．（21-22六年级下·全国·假期作业）有红、绿、紫三种颜色的袜子各6只，把它们混放在一个口袋中。如果要从口袋中摸袜子。 ①至少要摸出几只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双）？ ②至少要摸出多少只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子？ 30．（21-22六年级下·全国·假期作业）有规格尺寸相同的六种颜色的袜子各20只混装在箱内。 （1）黑暗中从箱内至少取出多少只才能保证有3双袜子？ （2）黑暗中从箱内至少取出多少只才能保证有3双同色袜子？ （3）黑暗中从箱内至少取出多少只才能保证有3双不同色袜子？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（人教版） 第五讲 数学广角-鸽巢问题 （导图+知识精讲+易错点拨+3大考点讲练+易错压轴练+难度分层练 共62题） 目录 课前指导 讲义介绍 2 思维导图 一目了然 2 知识精讲 梳理脉络 2 知识点梳理01：鸽巢原理的基本概念 2 知识点梳理02：鸽巢原理的公式 2 知识点梳理03：鸽巢原理的应用 3 知识点梳理04：典型题型与解题技巧 3 易错点拨 查漏补缺 4 易错知识点01：对鸽巢原理理解不透彻 4 易错知识点02：计算至少有几个物体在同一个鸽巢中时出错 4 易错知识点03：混淆鸽巢原理与平均分配原则 4 易错知识点04：在应用鸽巢原理解决实际问题时出错 5 易错知识点05：对鸽巢原理的推论理解不深入 5 考点讲练 明确目标 5 考点讲练01：鸽巢问题初步 5 考点讲练02：鸽巢问题进阶 6 考点讲练03：最不利原则 9 易错真题 培优必刷 10 压轴专练 冲刺拔尖 16 培优巩固 拔尖冲刺 20 基础夯实优选题专练 20 培优优选题专练 27 同学你好！恭喜你进入新的学期，开启新的章程！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点梳理01：鸽巢原理的基本概念 鸽巢原理是一个重要而又基本的组合原理，在解决数学问题时有非常重要的作用。其最简单的表达形式是：如果把多于n个的物体放到n个鸽巢中，则至少有一个鸽巢里含有2个或2个以上的物体。 知识点梳理02：鸽巢原理的公式 物体个数÷鸽巢个数=商……余数 至少个数=商+1 这个公式用于计算当物体数量多于鸽巢数量时，至少有一个鸽巢中物体的数量。 知识点梳理03：鸽巢原理的应用 1. 至少有几个鸽子同一个巢类问题： 例如，11个苹果放进3个抽屉，苹果最多的一个抽屉里至少有几个苹果？根据鸽巢原理，11÷3=3余2，所以至少有一个抽屉里有3+1=4个苹果。 2. 最多有几个巢类问题： 例如，把25个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里至少有5个玻璃球？根据鸽巢原理，我们可以将25个玻璃球平均分配到尽可能多的盒子里，同时保证至少有一个盒子里有5个或更多的玻璃球。因此，最多可以放进25÷5=5个盒子，这样每个盒子至少有5个玻璃球。但如果要考虑“最多有几个盒子”且不满足“每个盒子都至少有5个”的严格条件，那么答案将取决于如何分配剩余的玻璃球。在最不利的情况下，即尽可能平均分配但又不让每个盒子都达到5个，我们可以将20个玻璃球平均分配到4个盒子里（每个盒子5个），然后剩下的5个玻璃球放入第5个盒子，这样就有5个盒子但只有一个盒子有超过5个玻璃球。然而，这个问题通常理解为求满足条件“至少有一个盒子有5个”时的最大盒子数，所以答案还是5个。 3. 最不利原则的应用： 最不利原则是从最坏的情况出发分析问题。例如，要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。这是因为，在最不利的情况下，可能会先连续摸出不同颜色的球，直到摸出第n+1个球（n为颜色数）时，才能保证与前面的某个球颜色相同。 4. 生日问题的应用： 生日问题也是鸽巢原理的一个经典应用。例如，某校有367名学生，问有没有两个学生的生日是同一天？由于一年有365天（不考虑闰年），而学生人数为367，根据鸽巢原理，至少有一天有2名学生的生日是相同的。 知识点梳理04：典型题型与解题技巧 1. 填空题： 例如，“一只袋子里有许多规格相同但颜色不同的玻璃球，颜色有红黄绿三种，至少取出几个球才能保证有2个球的颜色相同？”答案是4个，因为最不利的情况是先连续摸出红、黄、绿三种颜色的球各1个，再摸出第4个球时，必然与前面的某个球颜色相同。 2. 应用题： 例如，“42只鸽子飞进5个笼子里，可以保证在鸽子最多的笼子中至少有几只鸽子？”答案是9只。因为42÷5=8余2，所以至少有一个笼子里有8+1=9只鸽子。 易错知识点01：对鸽巢原理理解不透彻 易错点： 学生可能只记住了鸽巢原理的表述，但没有真正理解其背后的逻辑和含义。 在应用鸽巢原理时，学生可能无法准确判断“物体”和“鸽巢”的对应关系。 纠正方法： 通过具体的生活实例或图形演示，帮助学生理解鸽巢原理的实质。 强调“物体”和“鸽巢”的对应关系，让学生明确哪些元素可以视为“物体”，哪些元素可以视为“鸽巢”。 易错知识点02：计算至少有几个物体在同一个鸽巢中时出错 易错点： 学生可能在使用鸽巢原理进行计算时，没有正确应用除法运算和取余运算。 学生可能忽略了“至少”这个词的含义，导致计算结果偏小。 纠正方法： 教授学生如何使用除法运算和取余运算来计算至少有几个物体在同一个鸽巢中。 强调“至少”的含义，让学生明白在计算结果的基础上需要加1（当有余数时）。 易错知识点03：混淆鸽巢原理与平均分配原则 易错点： 学生可能将鸽巢原理与平均分配原则混淆，认为只要物体数量多于鸽巢数量，每个鸽巢中的物体数量就一定相同。 学生可能忽略了鸽巢原理中的“至少”条件，认为每个鸽巢中的物体数量都一定大于或等于某个值。 纠正方法： 区分鸽巢原理与平均分配原则的不同之处，强调鸽巢原理中的“至少”条件。 通过具体例子说明鸽巢原理与平均分配原则的差异，让学生明确两者的区别。 易错知识点04：在应用鸽巢原理解决实际问题时出错 易错点： 学生可能无法准确识别问题中的“物体”和“鸽巢”，导致应用鸽巢原理时出错。 学生可能无法将实际问题抽象为鸽巢问题，导致无法应用鸽巢原理进行解决。 纠正方法： 教授学生如何识别问题中的“物体”和“鸽巢”，并将其抽象为鸽巢问题。 通过大量练习，让学生熟悉鸽巢原理在实际问题中的应用方法。 易错知识点05：对鸽巢原理的推论理解不深入 易错点： 学生可能对鸽巢原理的推论（如生日悖论）理解不深入，无法将其应用于实际问题中。 学生可能无法准确判断哪些问题可以运用鸽巢原理的推论进行解决。 纠正方法： 深入讲解鸽巢原理的推论，如生日悖论等，并通过具体例子帮助学生理解其含义和应用方法。 让学生多接触与鸽巢原理推论相关的实际问题，培养他们的应用能力和解决问题的能力。 考点讲练01：鸽巢问题初步 【精讲题】（24-25六年级下·海南海口·单元测试）11支铅笔放进4个盒子，总有一个盒子至少放进 支铅笔。 【答案】3 【思路点拨】被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。 【规范解答】11÷4＝2（支）……3（支） 2＋1＝3（支） 所以总有一个盒子至少放进3支铅笔。 【精练题01】（23-24六年级下·吉林白城·期末）有3个同学一起练习投篮，如果他们一共投进13个球，那么一定有一个同学至少投进了( )个球。 【答案】5 【思路点拨】把3个同学看作3个抽屉，把13个球看作13个元素，那么每个抽屉需要放13÷3＝4（个）……1（个），所以每个抽屉需要放4个，剩下的1个不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：4＋1＝5（个），所以总有一人至少投进了5个球，据此解答。 【规范解答】13÷3＝4（个）……1（个） 4＋1＝5（个） 一定有一个同学至少投进了5个球。 【精练题02】（23-24六年级下·山东济宁·期末）六（一）班有41名同学，至少有( )人是同一个月出生的。 【答案】4 【思路点拨】一年一共有12个月，用41名同学除以12可得出有余数的除数，得到的商是几就有几个人同一月出生，若有余数则再加1，据此可得出答案。 【规范解答】41÷12＝3（人）⋯⋯5（人） 3＋1＝4（人） 则至少有4人是同一个月出生的。 【精练题03】（23-24六年级下·贵州黔西·期末）望谟县位于黔西南州东部，因布依方言“王母”谐音而得名。2024年贵州望谟“三月三”第二届乡村山地马拉松设置四个项目，共计1350人，总有一个项目至少有( )人参跑。 【答案】338 【思路点拨】根据抽屉原理，把四个项目看成四个抽屉，将总人数平均分成4份后，剩余的人数也会选择项目，那么肯定会有一个项目中的人数会至少增加一人。据此解答。 【规范解答】1350÷4＝337（人）……2（人） 337＋1＝338（人） 所以，总有一个项目至少有338人。 考点讲练02：鸽巢问题进阶 【精讲题】（23-24六年级下·山东菏泽·期中）在六（1）班学生中，有8个人都订阅了《小作文》《小读者》《儿童时代》三种杂志中的一种或几种。那么，这8个人中至少有（    ）个人所订的杂志种类完全相同。 A．2 B．3 C．4 【答案】A 【思路点拨】先求出订阅一种、两种、三种杂志一共有7种情况，然后把8个人平均分给7种订阅情况，每种订阅情况分到1个人，还剩下1个人，那么至少有（1＋1）个人订的杂志种类相同。 【规范解答】订阅一种的有：《小作文》或《小读者》或《儿童时代》，有3种情况； 订阅两种的有：《小作文》和《小读者》、《小作文》和《儿童时代》、《小读者》和《儿童时代》，有3种情况； 订阅三种的有：《小作文》和《小读者》和《儿童时代》，有1种情况； 共有：3＋3＋1＝7（种） 8÷7＝1（个）……1（个） 1＋1＝2（个） 这8个人中至少有2个人所订的杂志种类完全相同。 故答案为：A 【精练题01】（2023·福建莆田·小升初真题）某班48名同学投票选一名班长（每人只许投一票），候选人是小华、小红和小明三人，计票中途统计结果如下： 规定得票最多的人当选，那么后面的计票中小华至少还要得（    ）张票才能当选？ A．6 B．7 C．8 【答案】C 【思路点拨】根据题意知一共48票，已经计了30票，还有48－30＝18票没计。现在小华得了13票，小红得了10票，只要小华得到的票数比小红多1票才能当选。用剩下的票减去小华比小红多的票数13－10＝3票，再除以2，得到的商是两人再得多少票就一样，把剩下的票数给小华，就能当选。 【规范解答】48－30＝18（票） 13－10＝3（票） （18－3）÷2 ＝15÷2 ＝7（票）……1（票） 7＋1＝8（票） 小华至少要得8票才能当选。 故答案为：C 【精练题02】（23-24六年级下·全国·课后作业）给下面每个格子涂上红色或蓝色，至少有两列的涂色相同。为什么？ 如果只涂两行的话，结论有什么变化呢？ 【答案】见详解 【思路点拨】格子有9列3行，每个格子涂上红色或蓝色，每列的涂法共有8种情况：红红红、红红蓝、红蓝红、红蓝蓝、蓝蓝蓝、蓝蓝红、蓝红蓝、蓝红红。把这8种情况看成8个鸽巢，9列格子看成9个物体，根据抽屉原则一：如果把（n＋1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。 如果只涂两行，每列的涂法共有4种情况：红红、红蓝、蓝蓝、蓝红。把这4种情况看成4个鸽巢，9列格子看成9个物体，根据抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体。 【规范解答】9÷8＝1……1 1＋1＝2（列） 每个格子涂上红色或蓝色，至少有两列的涂色相同。 9÷4＝2……1 2＋1＝3（列） 如果只涂两行，至少有三列的涂色相同。 【精练题03】（23-24六年级下·全国·课后作业）任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数，请说明理由。 【答案】见详解 【思路点拨】把任意给出3个不同的自然数中，是由偶数还是奇数组成的情况罗列出来，再根据：偶数＋偶数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数，解答即可。 【规范解答】任意给出3个不同的自然数可能是： （1）由3个奇数组成，任意取2个数都是奇数，奇数＋奇数＝偶数； （2）由2个奇数和一个偶数组成，其中2个奇数的和：奇数＋奇数＝偶数； （3）由2个偶数和一个奇数组成，其中2个偶数的和：偶数＋偶数＝偶数； （4）由3个偶数组成，任意取2个数都是偶数，偶数＋偶数＝偶数； 所以任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数。 考点讲练03：最不利原则 【精讲题】24-25六年级下·海南海口·单元测试）一个袋子里有红、蓝、绿球各6个，要保证取出的两个同颜色的球，至少要取 个球：要保证取出两个不同颜色的球，至少要取 个球。 【答案】 4 7 【思路点拨】根据鸽巢原理，要保证取出的两个球是同颜色的，用颜色数加1即可解答； 要保证取出的两个球是不同颜色的，需要考虑最坏的情况。最坏的情况是取出的球都是同一种颜色的。袋子里每种颜色有6个球，因此用6＋1列式解答，根据鸽巢原理，则至少有两个球是不同颜色的。 【规范解答】3＋1＝4（个） 6＋1＝7（个） 所以要保证取出的两个同颜色的球，至少要取4个球，要保证取出两个不同颜色的球，至少要取7个球。 【精练题01】（24-25六年级下·安徽六安·开学考试）一个口袋里装有红、白、蓝三种不同颜色的小球各8个，至少要摸出（    ）个小球，其中肯定有8个颜色相同。 A．8 B．9 C．17 D．22 【答案】D 【思路点拨】根据抽屉原理中最不利原则，需要颜色相同，则拿出的球都是不同的颜色，红球拿出7个，白球拿出7个，蓝球也拿出7个，就摸出7×3＝21个，那么再取出1个球，无论取的球是什么颜色的球都有8个颜色相同，据此解答。 【规范解答】7×3＋1 ＝21＋1 ＝22（个） 一个口袋里装有红、白、蓝三种不同颜色的小球各8个，至少要摸出22个小球，其中肯定有8个颜色相同。 故答案为：D 【精练题02】（23-24六年级下·四川成都·期末）一个盒子里有5个红球，3个白球和4个蓝球，至少需要摸（    ）个球才能保证有2个不同颜色的球。 A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【思路点拨】抽屉原理的题目，利用最不利原则，最倒霉情况是一种颜色球都拿完，即5个红球都拿完，即至少需要摸5＋1＝6（个）球才能保证有2个不同颜色的球。据此解答。 【规范解答】5＋1＝6（个） 所以至少需要摸6个球才能保证有2个不同颜色的球。 故答案为：C 【精练题03】（2024六年级下·全国·专题练习）有5050张数字卡片，其中一张上写着1，2张上写着2，3张上写着3，…，100张上写着100。现在要从中抽取若干张，为了确保抽出的卡片中至少有10张以上的数字完全相同，至少要抽取多少张卡片？ 【答案】865张 【思路点拨】从最不利的情况考虑，先把数量不足10张的1－9全部取完，再把剩下的数字都分别取了9张，最后再取1张就能确保抽出的卡片中至少有10张以上的数字完全相同。 【规范解答】（1＋2＋3＋4＋…＋9）＋（110－10＋1）×9＋1 ＝（1＋9）×9÷2＋（110－10＋1）×9＋1 ＝10×9÷2＋91×9＋1 ＝45＋819＋1 ＝865（张） 答：至少要抽取865张卡片。 1．（2023•陆丰市）李叔叔要给房间的四面墙壁涂上不同的颜色，但结果是至少有两面的颜色是一致的，颜料的颜色种数最多是　　种． A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】本题可以用抽屉原理的最不利原则；故意在3个墙面上涂上甲、乙、丙3种颜色，没有重复，但第4面墙只能选甲、乙、丙中的一种，至少有两面的颜色是一致的；所以得出颜料的种数最多是3种． 【规范解答】解：（种； 故选：。 【考点评析】此题属于抽屉原理的习题，做题时应确定哪个是抽屉，哪个相当于物体个数，然后可利用抽屉原理的最不利原则进行分析即可． 2．（2022•新县）某小学有6个年级，每个年级有8个班。一天放学，8位小朋友一起走出校门。下列说法中正确的是　　 A．他们中至少有2人的出生月份相同 B．他们中至少有2人是同一个班级的 C．他们中至少有2人的属相相同 D．他们中至少有2人是同一年级的 【思路点拨】在此类抽屉问题中，至少数被分配的物体数除以抽屉数的商（有余的情况下）。在本题中，被分配的物体数是8，选项中的抽屉数分别是12、8、12、6，可知用8除以抽屉数只有项有余，至少有2人是同一年级的。 【规范解答】解：（人（人 （人 他们中至少有2人是同一年级的。 故选：。 【考点评析】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数元素的总个数抽屉的个数（有余数的情况下）”解答。 3．（2021•新城区）某班男生有24人，女生有18人．下面的说法正确的是　　 A．至少有2名女生是在同一个月份出生的 B．最多有2名男生是在同一个月份出生的 C．在同一月份出生的男生人数，一定多于在同一个月份出生的女生人数 【思路点拨】根据题意，对各题进行依次分析、进而得出结论． 【规范解答】解：、一年有12个月，因为（人（人，所以至少有名女生是在同一个月份出生的，故本选项说法正确； 、一年有12个月，因为（人，所以至少有2名男生是在同一个月份出生的，故本选项说法错误； 、在同一月份出生的男生人数，一定多于在同一个月份出生的女生人数，说法错误，因为不能确定； 故选：． 【考点评析】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可． 4．（2024•谷城县）一个袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各3个（每个球的大小形状都一样），每次至少摸出 　4　个球才能保证一定有两个相同颜色的球；如果这些球中只有一个比较轻，其他的一样重，用天平至少称 　　次就可以找到那个较轻的球。 【思路点拨】把红、黄、蓝三种颜色看作3个抽屉，把红、黄、蓝三种颜色的球的个数看作元素，从最不利情况考虑，红、黄、蓝三种颜色的球各取出1个，共取出3个，那么再取一个，不论是什么颜色，总有一个球的颜色和它是同色的，所以至少要摸出：（个；天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量较小。 【规范解答】解：（个 将9个球分成3、3、3三组， 第一次：称量其中的两组，若天平平衡，则较轻的那个就在剩下的那组中，再需一次就可以找出那个较轻的球； 若天平不平衡，则较轻的那个球就在天平托盘上升的那一端； 第二次：将较轻的那一组再分成1、1、1三组，称量其中的两组，即可以找出那个较轻的球； 所以只需2次即可找出那个较轻的球。 答：每次至少摸出4个球才能保证一定有两个相同颜色的球；用天平至少称2次就可以找到那个较轻的球。 故答案为：4，2。 【考点评析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 5．（2024•北碚区）49名老人在广场上跳舞，他们中至少有　5　个人是同一个月出生的． 【思路点拨】一年有12个月，把这12个月看做12个抽屉，把49名老人看做49个元素，由此利用抽屉原理即可解答． 【规范解答】解：， （人， 答：至少有5人是同一个月出生的． 故答案为：5． 【考点评析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，这里要注意考虑最差情况． 6．（2024•乾安县）将红、黄、蓝三种颜色的帽子各5顶放入一个盒子里，要保证取出的帽子至少有两种颜色，至少应取出　6　顶帽子，要保证三种颜色都有，则至少应取出　　顶；要保证取出的帽子中至少有两个是同色的，则至少应取出　　顶． 【思路点拨】此题应从最极端的情况进行分析：①假设取出的前5顶都是同一种颜色的帽子（把一种颜色的取完），再取一顶就一顶有两种颜色；②假设前10次取出的是前两种颜色鹅帽子（把两种颜色的帽子取完），再取出一顶，只能是第三种颜色中的一个；③把三种颜色看作三个抽屉，保证取出的帽子中至少有两个是同色的，根据抽屉原理，应至少取出4顶． 【规范解答】解：①（顶； ②（顶； ③（顶； 答：要保证取出的帽子至少有两种颜色，至少应取出6顶帽子，要保证三种颜色都有，则至少应取出11顶；要保证取出的帽子中至少有两个是同色的，则至少应取出4顶； 故答案为：6，11，4． 【考点评析】此题属于抽屉原理，解答此题的关键是从极端的情况进行分析，通过分析得出结论． 7．（2024春•武威期中）盒子里有大小相同的红、黄、蓝、白四种颜色的球各12个，要想摸出的球一定有2个是同色的，至少要摸出几个球？ 【思路点拨】盒子里有同样大小的红、黄、蓝、白四种颜色的球，最坏的情况是，当摸出4个球的时候，红、黄、蓝、白四种颜色的各一个，此时只要再任意摸出一个球，摸出的球一定有2个同色的，即至少要摸出个． 【规范解答】解：（个； 答：至少要摸出5个球，摸出的球一定有2个同色的． 【考点评析】根据抽屉原理原理，考虑最坏情况进行分析是完成本题的关键． 8．（2023•双牌县）填空题。 （1）掷两粒骰子，出现点数和7与点数和8，　点数和是7　的可能性大的。 （2）有黑色、白色、红色筷子各6根，混杂放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色相同的一双筷子，至少要取出 　　根才能保证达到要求。 （3）有含糖的糖水200克，要使这杯糖水的含糖率变为。需加糖 　　克。 （4）由甲、乙两个工程队修一段长4272米的公路，先由甲队以每天60米的速度修了若干天，然后再由乙队接着修，每天修84米，两队共用60天修完这段路，甲队修了 　　天。 【思路点拨】（1）找出和为7的情况和为8的情况再比较即可； （2）假设前3次取的颜色各不相同，则再取一次，一定和前面3次中某一次的颜色相同； （3）根据水的质量不变，先去原糖水中水的质量，再根据加糖后的含水率，求糖水在质量，减去原来糖水在质量，就是加糖的质量。 （4）设甲队修了天，根据两队的工作效率及工作总量，列方程求解即可。 【规范解答】解：（1）出现和等于7的情况：1与6，2与5，3与4，4与3，5与2，6与1，共有6种；出现和为8的情况：2和6，3与5，4与4，5与3，6与2，共有5种．，点数和为7的可能性大。 （2）（次 答：至少要取出4根才能保证达到要求。 （3） （克 答：需加糖12.5克。 （4）设甲队修了天，则乙队修了天。 答：甲修了32天。 故答案为：点数和是7；4；12.5；32。 【考点评析】本题主要考查抽屉原理的应用、观察问题的应用等。 9．（2023秋•鹿城区期末）4支铅笔放入3个笔筒中，怎么放，总有一个笔筒有2支铅笔。 （1）根据材料思考：可以分四种情况，三个笔筒分别放4、0、0支铅笔，三个笔筒分别放3、1、0支铅笔，三个笔筒分别放2、1、1支铅笔，三个笔筒分别放 　2、2、0　支铅笔；每个笔筒最多放1支铅笔，那么三个笔筒最多放 　　支铅笔。但是现在有4支铅笔，所以总有一个笔筒至少有2支铅笔。 （2）把25个小球最多放进多少个盒子中，才能保证一个盒子里至少有5个小球？ （3）一年一共有4个季度。二（2）班有37名同学，二（2）班至少有多少名同学在同一个季度过生日？ （4）一次数学考试，二（3）班最高分是100分，最低分是92分，每个人的得分都是整数，并且至少有5名同学的得分相同。二（3）班至少有多少名学生？ 【思路点拨】（1）根据题干提示解答即可； （2）根据最不利的情况就是每个盒子先尽量少放球又要保证最终能满足有一个盒子至少有5个小球。那么我们先假设每个盒子都放4个小球，这是最不利的情形。则最多可以放6个盒子，一共放了24个小球，则剩下一个小球不管放到那个盒子里，总可以保证一个盒子里至少有5个小球，据此解答； （3）确定“抽屉”和“物品”：一年有4个季度，可将这4个季度看作4个“抽屉”，二（2）班的37名同学看作37个“物品”；计算平均每个季度过生日的人数：用总人数除以季度数，即，其中9是商，1是余数。这意味着平均每个季度有9名同学过生日，还剩余1名同学；确定至少有多少名同学在同一个季度过生日：剩余的1名同学无论在哪个季度过生日，那么那个季度过生日的同学至少有（名，据此解答； （4）已知最高分是100分，最低分是92分，且每个人得分都是整数，那么从92分到100分，一共有种不同的分数。要保证至少有5名同学的得分相同，最不利的情况就是每种分数都先有4名同学相同。此时再多1名同学，无论这名同学得哪种分数，都会出现至少有5名同学得分相同的情况。即至少有学生，据此解答。 【规范解答】解：（1）根据材料思考：可以分四种情况，三个笔筒分别放4、0、0支铅笔，三个笔筒分别放3、1、0支铅笔，三个笔筒分别放2、1、1支铅笔，三个笔筒分别放2、2、0支铅笔；每个笔筒最多放1支铅笔，那么三个笔筒最多放3支铅笔。但是现在有4支铅笔，所以总有一个笔筒至少有2支铅笔。 （2） （个 答：把25个小球最多放进6个盒子中，才能保证一个盒子里至少有5个小球。 （3）（名（名 （名 答：二（2）班至少有10名同学在同一个季度过生日。 （4） （名 答：二（3）班至少有37名学生。 故答案为：2、2、0；3。 【考点评析】本题考查了抽屉原理的应用。 10．（2024•九龙坡区）一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红桃、草花和方块4种花色的牌各13张，那么： （1）至少从中摸出多少张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃？ （2）至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有3张牌是红桃？ （3）至少从中摸出多少张牌，才能保证有5张牌是同一花色的？ （4）至少从中摸出多少张牌，才能保证有3张点数相同的？ 【思路点拨】（1）考虑最不利原则，把2张王牌和3种花色红桃、草花和方块各13张分别摸出，再任意摸1张，必定摸出1张黑桃； （2）考虑最不利原则，把2张王牌和3种花色黑桃、草花和方块各13张分别摸出，再任意摸3张，必定有3张红桃； （3）考虑最不利原则，把2张王牌和4种花色红桃、黑桃、草花和方块各4张分别摸出，再任意摸1张，必定有5张牌是同一花色的； （4）考虑最不利原则，把2张王牌和2种花色各13张分别摸出，再任意摸1张，必定有3张点数相同的。 【规范解答】解：（1）（张 答：至少从中摸出42张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃。 （2）（张 答：至少从中摸出44张牌，才能保证至少有3张牌是红桃。 （3）（张 答：至少从中摸出19张牌，才能保证有5张牌是同一花色的。 （4）（张 答：至少从中摸出29张牌，才能保证有3张点数相同的。 【考点评析】本题考查了抽屉原理的应用。 11．（2024秋•如皋市期末）一个不透明的袋子里有7个形状大小完全相同球，其中4个红球，3个黄球。在摸球游戏中，保证摸出的球中至少有1个红球，那一次至少摸出球的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】考虑最不利原则，把3个黄球全部摸出，再任意摸一个，必有1个红球，即最少一次性摸出4个球。 【规范解答】解：（个 答：一次至少摸出球的个数是4个。 故选：。 【考点评析】本题考查了抽屉原理的应用。 12．（2024秋•黄岛区月考）13个人中，　　有在同一个月中出生的。 A．一定 B．可能 C．不可能 【思路点拨】根据抽屉原理，如果把个物体放在个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。据此解答即可。 【规范解答】解：一年有12个月，在13个人里面，一定有在同一个月份出生的。 故选：。 【考点评析】本题考查了抽屉原理，结合题意分析解答即可。 13．（2024•安阳县）李铭参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是39环。李铭至少有一镖的成绩不低于　　环。 A．6 B．7 C．8 D．9 【思路点拨】根据如果把个物体放在个抽屉里，其中，那么必有一个抽屉至少有（商个物体，39环看作物品数，5镖看作抽屉数，用物品数除以抽屉数，再用商加1即可求得。 【规范解答】解：（环（环 （环 答：李铭至少有一镖的成绩不低于8环。 故选：。 【考点评析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 14．（2024秋•贵阳期末）袋中有7个红花片，3个绿花片（花片除颜色外其他均相同）。任意摸一次，摸到 　红　花片的可能性最大，至少要摸出 　　个花片，才能保证一定摸到绿花片。 【思路点拨】（1）根据两种球数量的多少，直接判断可能性的大小即可；哪种颜色的球的数量越多，摸到的可能性就越大，据此解答即可； （2）根据随机事件发生的可能性，假设前7次摸到的全是红花片，则至少摸8个花片，才能保证有一个绿花片。 【规范解答】解：因为，红花片的数量多，所以摸到红花片的可能性大；假设前7次摸到的全是红花片，则至少摸8个花片，才能保证有一个绿花片。 故答案为：红；8。 【考点评析】此题考查了利用可能性和抽屉原理解决实际问题的灵活应用。 15．（2024•沈丘县）小然和家人到驻马店的皇家驿站游玩，在“羽箭俱乐部”玩射箭，射了8支箭，成绩是57环。小然射出的箭至少有一箭不低于 　8　环。 【思路点拨】把8支箭看作8个抽屉，57环人看作57个元素，利用抽屉原理最差情况：要使箭出的箭数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，即可解答。 【规范解答】解：（环（环 （环 答：小然射出的箭至少有一箭不低于8环。 故答案为：8。 【考点评析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 16．（2024•渝北区）一个黑色的口袋中装有大小、形状一模一样的30支筷子，颜色分别为红、蓝、黄、绿、黑。每种颜色的筷子都有，但具体数量未知，小明闭着眼睛，不停地从口袋中拿筷子，每次拿2根，如果他希望口袋中剩下的筷子一定能凑成完整的四双，那么最多能拿出 　18　根筷子。（注两根筷子必须颜色相同才能凑成一双） 【思路点拨】考虑最差情况，从剩下的筷子可以凑成4双考虑，推出可以拿出的最多根数。据此求解即可。 【规范解答】解：剩余筷子，最少6根可凑成1双，再加2根凑成2双，再加2根凑成3双，再加2根凑成4双，所以剩余的根数是（根 （根 答：最多能拿出18根筷子。 【考点评析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 17．（2022•满洲里市）从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意取牌． （1）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数相同？ （2）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数不同？ （3）至少取多少张牌，保证有2张花色相同？ （4）至少取多少张牌，保证有2张红桃？ 【思路点拨】剩下的52张扑克牌中，共有4种花色，红桃、黑桃、方片，梅花各13张。 （1）保证有2张牌的点数相同，最坏的情况是，从到各取一张，此时只要再任意抽取一张，就能保证有2张牌的点数相同； （2）保证有2张牌的点数不同，最坏的情况是，取出4张同点数的牌，4种花色各一张，此时只要再任意抽取一张，就能保证2张牌的点数不同； （3）保证有2张花色相同，最坏的情况是，抽4张牌中，红桃、黑桃、方片，梅花各1张，此时只要再任意抽一张，就能保证至少2张牌的花色相同； （4）保证有2张红桃，最坏的情况是，把13张黑桃、13张方片和13张梅花都取完，然后再取两张就能保证有2张红桃。 【规范解答】解：（1）（张 答：至少取14张牌，保证有2张牌的点数相同。 （2）（张 答：至少取5张牌，保证有2张牌的点数不同。 （3）（张 答：至少取5张牌，保证有2张花色相同。 （4）（张 答：至少取41张牌，保证有2张红桃。 【考点评析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 18．（2018•仙桃）某校六年级有320人，他们的年龄分别为12岁、13岁，在这些同学中，至少有多少个同学是同年同月出生的？ 【思路点拨】年龄最大的13岁，最小的12岁，即这些学生都是在两年内出生的，每年有12个月，所以共有种情况，看作24个抽屉；（名（名，即每个抽屉里有13名，还余8名学生，根据抽屉原理，所以这个班至少有名同学是同年同月出生的． 【规范解答】解：年龄最大的13岁，最小的12岁，有两种年龄， （个 （名（名， （名 答：至少有14名同学是同年同月出生的． 【考点评析】把多于乘以个的物体放到个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于的物体．难点是确定抽屉数． 19．（2017•长沙）一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分，问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？ 【思路点拨】按这种记分方法，最高可得（40分），最低是倒扣（10分），得分，共有（种不同分数．对1题加3分，答错1题扣1分，答对与答错之间的分数差为分；答对一题和空一题之间相差3分，所以最高分40分，对9道题的情况下，最高分为分，最低分为（分，中间的38分和39分都不会出现；后面对8道题的情况下，最多得分，最少得分，35分不会出现，因此一共有种分数，为了保证至少有4人得分相同，那么参加竞赛的学生至少有人，据此解答． 【规范解答】解：因为最高可得（分，最低是倒扣：（分，得分，共有（种不同分数． 答对与答错之间的分数差为分；答对一题和空一题之间相差3分，所以最高分40分，对9道题的情况下，最高分为分，最低分为（分，中间的38分和39分都不会出现，后面对8道题的情况下，最多得分，最少得分，中间的35分不会出现，因此一共有种分数； 为了保证至少有4人得分相同，那么参加竞赛的学生至少有：（人． 答：要保证至少有4人得分相同，至少需要115人参加竞赛． 【考点评析】本题关键是得出得分的范围和不可能出现的2个分数． 20．（2019•衡阳模拟）一个盒子里装有黑、白两种颜色的跳棋各10枚，从中最少摸出几枚才能保证有2枚颜色相同？从中至少摸出几枚，才能保证有3枚颜色相同？ 【思路点拨】把2种不同颜色看作2个抽屉，把2种不同颜色的跳棋看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1个，共需要2个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的和它同色，所以至少要取出：（枚； 把2种不同颜色看作2个抽屉，把2种不同颜色的跳棋看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放2个，共需要4个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的和它同色，所以至少要取出：（枚；据此解答． 【规范解答】解：（枚， （枚； 答：从中最少摸出3枚才能保证有2枚颜色相同，从中至少摸出5枚，才能保证有3枚颜色相同． 【考点评析】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“抽屉原理1：把多于个的物体放到个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件．”解答． 基础夯实优选题专练 1．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）教室内有30名学生，至少有（    ）名学生是同一个月出生的。 A．2 B．3 C．4 【答案】B 【思路点拨】一年有12个月，那么可以看作是12个抽屉，30名学生看做30个元素，把30名学生平均分配在12个抽屉中：30÷12＝2（名）⋯⋯6（名），那么每个抽屉都有2名学生，那么剩下的6名，无论放到哪个抽屉都会出现3名学生在同一个抽屉里。 【规范解答】30÷12＝2（名）⋯⋯6（名） 2＋1＝3（名） 即至少有3名学生是同一个月出生的。 故答案为：B 【考点评析】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。 2．（21-22六年级下·河南周口·期末）一个盒子里有同样大小的红苹果和青苹果各10个，要想摸出的苹果一定有2个红苹果，至少要摸出（    ）个苹果。 A．3 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【思路点拨】由于盒子里有同样大小的红苹果和青苹果各10个，如果一次取10个，最差情况为这10个苹果全是青苹果，所以只要再多取2个苹果，就能保证取到2个红苹果。据此解答。 【规范解答】10＋2＝12（个） 即至少要摸出12个苹果。 故答案为：C 【考点评析】解决抽屉原理问题的关键是根据最差原理对问题进行分析。 3．（21-22六年级下·江西吉安·期末）把红、黄、蓝三种颜色的小球各12个放到一个盒子里，要保证一次摸到两个同色的小球，一次至少要摸出（    ）个小球。 A．13 B．4 C．5 D．25 【答案】B 【思路点拨】由于袋子里共有红、黄、蓝三种颜色的球各12个，如果一次取3个，最差情况为红、黄、蓝三种颜色各一个，所以只要再多取一个球，就能保证取到两个颜色相同的球。据此解答。 【规范解答】3＋1＝4（个） 故答案为：B 【考点评析】解决抽屉原理问题的关键是根据最差原理对问题进行分析。 4．（2022·贵州黔西·小升初真题）把25枝月季花插到4个花瓶中，总有一个花瓶至少插（    ）枝月季花。 A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【思路点拨】把4个花瓶看作4个抽屉，25枝月季花看作25个元素，把25枝花插到4个花瓶中，利用抽屉原理最差情况：要使花瓶里花的朵数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，即每个花瓶中插6枝还剩1枝，所以总有一个花瓶插6＋1＝7（枝）。 【规范解答】25÷4＝6（枝）……1（枝） 6＋1＝7（枝） 故答案为：B 【考点评析】在此类抽屉问题中，至少数＝物体数除以抽屉数的商＋1。 5．（23-24六年级下·河南信阳·期中）口袋里有6个红球和3个黄球，它们除颜色外其它完全相同。要保证摸出2个红球，至少一次要摸出( )个球。 【答案】5 【思路点拨】根据题意分析，考虑最坏的情况，一次摸出的球全是黄色，则一次要摸出3个，这时，无论怎么摸，摸到的都是红球。所以，只要再多摸出2个，就能保证摸出2个红球，即至少一次要摸出3＋2＝5个球。据此解答。 【规范解答】3＋2＝5（个） 因此，要保证摸出2个红球，至少一次要摸出5个球。 6．（23-24六年级下·全国·课后作业）把4支铅笔放入3个文具盒里，有哪些不同的放法？照样子分一分，填一填。 无论怎样放，总有一个文具盒里至少要放进（    ）支铅笔。 【答案】见详解；2 【思路点拨】 根据题意，先将4支铅笔平均放到3个文具盒里，每个文具盒里放1个，还剩下1个，这1支铅笔，无论放在哪个文具盒里，总有一个文具盒里至少有2支铅笔。 【规范解答】 （答案不唯一） 无论怎样放，总有一个文具盒里至少要放进2支铅笔。 7．（23-24六年级下·全国·课后作业）把5支钢笔分给4名同学，至少有一名同学得到( )支钢笔；如果把5支钢笔分给3名同学，至少有一名同学得到( )支钢笔。 【答案】 2 2 【思路点拨】 根据抽屉原理：钢笔总数÷学生人数＝商……余数，按余数分类：①有余数，则至少有一名同学得到“商＋1”支钢笔；②没有余数，则至少有一名同学得到“商”支钢笔。 【规范解答】5÷4＝1（支）……1（支） 1＋1＝2（支） 所以把5支钢笔分给4名同学，至少有一名同学得到2支钢笔。 5÷3＝1（支）……2（支） 1＋1＝2（支） 所以把5支钢笔分给3名同学，至少有一名同学得到2支钢笔。 8．（2022六年级下·全国·专题练习）11个苹果放进3个抽屉，苹果最多的一个抽屉里至少有几个苹果？ 【答案】4个 【思路点拨】根据抽屉原理，要使每个抽屉里的苹果尽量少，要尽量平均分，即11÷3＝3（个）……2（个），由此即可解决问题。 【规范解答】11÷3＝3（个）……2（个） 3＋1＝4（个） 答：苹果最多的一个抽屉里至少有4个苹果。 【考点评析】在此类抽屉问题中，至少数＝物体数除以抽屉数的商＋1（有余数的情况下）。 9．（23-24六年级下·全国·随堂练习）5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？ 【答案】见详解 【思路点拨】5只鸽子飞进了3个鸽笼，可以通过把5分解成3个数来说明理由。 【规范解答】分解法： 把5分解成3个数，共有4种情况，在任何一种情况中，总有一个数大于等于2，所以5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了2只鸽子。 10．（2021·云南德宏·小升初真题）把红、黄、蓝、黑、白五种颜色的筷子各9根放在一个盒子里。至少取多少根才能保证一定有2根颜色相同的筷子？ 【答案】6根 【思路点拨】把5种不同颜色看作5个抽屉，把不同颜色的筷子看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉需要先放1根筷子，共需要5根，再取出1根不论是什么颜色，总有一个抽屉里的筷子和它同色，所以至少要取出：5＋1＝6（根），据此解答。 【规范解答】5＋1＝6（根） 答：至少取6根才能保证一定有2根颜色相同的筷子。 【考点评析】本题考查了抽屉原理问题之一，它的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝抽屉的个数＋1”解答。 11．（2024六年级下·全国·专题练习）某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 【答案】8名 【思路点拨】首先考虑买书的几种可能性，买一本、二本、三本共有7种类型： 买一本的：有语文、数学、外语3种。 买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。 买三本的：有语文、数学和外语1种。 把这7种类型看成7个抽屉，去的人数看作物品。要保证有抽屉里有2人，那么去的人数至少是抽屉数加1。 【规范解答】抽屉：3＋3＋1＝7（个） 学生：7＋1＝8（名） 答：至少要去8名学生。 12．（23-24六年级下·黑龙江鸡西·期末）一副扑克牌去掉大王和小王后共有52张，这些扑克牌有四种花色，每种花色有13张。 (1)一次至少要拿出( )张牌，才能保证至少有两张牌是同花色的。 (2)一次至少要拿出( )张牌，才能保证有4张牌是同一种花色。 (3)一次至少要拿出( )张牌，才能保证四种花色都有。 (4)一次至少要拿出( )张牌，才能保证至少有两张牌的数字是一样的。（直接写出答案） 【答案】(1)5 (2)13 (3)40 (4)14 【思路点拨】（1）一副牌有4种花色，根据最不利原理，先拿出4张是不同的花色，再拿出1张，无论是什么花色都能保证这种花色有2张是同花色的； （2）从中任意抽牌，最不利情况是把每种花色抽出3张，即4×3＝12张，此时再抽出1张，一定保证有4张牌是同一种花色的； （3）每种花色都有13张，根据最不利原则，先拿出13×3＝39张， 把3种花色都拿出来了，再拿一张一定是第4种花色，由此求解； （4）一副牌有13种不同的数字，根据最不利原则，先拿出13张是不同的数字，再拿出1张，无论是数字几都能保证这种数字有2张。 【规范解答】（1）4＋1＝5（张） 则一次至少要拿出5张牌，才能保证至少有两张牌是同花色的。 （2）4×3＋1 ＝12＋1 ＝13（张） 则一次至少要拿出13张牌，才能保证有4张牌是同一种花色。 （3）13×3＋1 ＝39＋1 ＝40（张） 则一次至少要拿出40张牌，才能保证四种花色都有。 （4）13＋1＝14（张） 则一次至少要拿出14张牌，才能保证至少有两张牌的数字是一样的。 13．（23-24六年级下·山东菏泽·期中）希望小学六年级准备开展“中华好诗词”活动，六（1）班有45名学生，男、女生的人数比是3∶2，从中随机选取，至少选出多少人才能保证选出的学生中男、女生都有？ 【答案】28人 【思路点拨】根据题意可知，男、女生的人数比是3∶2，由此可知，男生人数大于女生人数；男、女生的人数比是3∶2，即男生和女生人数分成了3＋2＝5份，用六（1）班人数÷总份数，求出1份是多少，进而求出男生人数，如果必须保证选中的人有男有女，那么要作最坏的打算，即全是男生，把男生全部选完了，再选一定是女生，所以用男生人数＋1，即可解答。 【规范解答】男、女生的人数比是3∶2，男生人数＞女生人数。 3＋2＝5（份） 男生：45÷5×3 ＝9×3 ＝27（人） 27＋1＝28（人） 答：至少选出28人才能保证选出的学生中男、女生都有。 14．（23-24六年级下·全国·课后作业）7名学生去图书馆借书，图书馆有A、B、C三类图书，每名学生最多可以借两本不同类的书，最少可以借一本，那么至少有几名学生所借书的种类完全相同？ 【答案】2名 【思路点拨】根据题意可知，有6种不同的借书方式，用7除以6可知商为1，余数也为1，用1＋1即可知道至少有2名学生所借书的种类完全相同。 【规范解答】7÷6＝1（组）……1（名） 1＋1＝2（名） 答：至少有2名学生所借书的种类完全相同。 15．（2024六年级下·全国·专题练习）按照星座学说，根据出生时间不同，有十二个不同星座，请问至少找多少个同学，才能保证有四个人是同一个星座？ 【答案】37个 【思路点拨】把同学看作物品，星座看作抽屉，要保证至少有4个人在同一个抽屉，那么可以每个抽屉先放3个人，再在某一个抽屉中多放一个人。 【规范解答】（4－1）×12＋1 ＝3×12＋1 ＝36＋1 ＝37（个） 答：至少找37个同学，才能保证有四个人是同一个星座。 培优优选题专练 16．（2024·浙江湖州·小升初真题）盒子里装有1个红球，3个黄球和4个白球（这些球除颜色外完全相同）。至少摸出（    ）个球，才能保证取到两个颜色相同的球。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路点拨】把3种不同颜色看作3个抽屉，把不同颜色的球看作元素，从最不利情况考虑，先从每个抽屉摸出1个球，一共是3个球，再摸出1个球，不论是什么颜色，总有一个抽屉里的球和它同色，据此解答。 【规范解答】3＋1＝4（个） 因此至少摸出4个球，才能保证取到两个颜色相同的球。 故答案为：B 17．（23-24六年级下·江苏南京·期末）盒子里有同样大小的红球4个，黄球5个，要保证摸出的球有2个是同色的，至少要摸出（    ）个球。 A．3 B．4 C．9 D．5 【答案】A 【思路点拨】要保证摸出的球有2个是同色的，考虑最坏的情况是两种颜色的球各摸出一个，那么再摸一个一定和其中一个球颜色相同，据此解答。 【规范解答】2＋1＝3（个） 盒子里有同样大小的红球4个，黄球5个，要保证摸出的球有2个是同色的，至少要摸出3个球。 故答案为：A 18．（24-25六年级下·重庆九龙坡·开学考试）在一个不透明的纸箱里有除颜色不同，其他全部相同的小球15个，其中蓝球4个，红球5个，白球6个，要想确保摸出2个同色的小球，至少要摸（    ）。 A．2次 B．3次 C．4次 D．6次 【答案】C 【思路点拨】纸箱里有同样大小的蓝球4个，红球5个，白球6个，最坏的情况是，红球、篮球、白球各摸出一个，此时只要再任意摸出一个球，摸出的球一定有2个同色的，即至少要摸出3＋1＝4个。 【规范解答】3＋1＝4（个） 要想确保摸出2个同色的小球，至少要摸4次。 故答案为：C 【考点评析】此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用。 19．（23-24六年级下·山西长治·期末）六年级(1)班有50名同学。他们都参加了课后延时服务的个性活动课程。个性活动课程有剪纸、篮球和科技3个课程，每人可以参加1个或2个课程，这个班至少有( )名同学参加个性活动的情况完全相同。可以这样想：这里把( )看作“抽屉”，可以运用组合的知识先有序找出“抽屉”数，再按“抽屉问题”的思路解决问题。 【答案】 9 参加个性活动课程的6种情况 【思路点拨】50名同学每人可以参加1个或2个课程，那么有：剪纸、篮球、科技、剪纸＋篮球、剪纸＋科技、科技＋篮球一共6种情况。这样6种情况可以看作6个抽屉，将50名同学看作50个苹果，即将50个苹果放入6个抽屉中。根据抽屉原理：m个苹果（元素）分到n个抽屉（集合）里：如果m÷n有余数，则至少有（m÷n）＋1个元素在同一抽屉里；如果m÷n没有余数，则至少有（m÷n）个元素在同一抽屉里。据此解答。 【规范解答】参加个性活动课程一共6种情况：剪纸、篮球、科技、剪纸＋篮球、剪纸＋科技、科技＋篮球。将这6种情况可以看作6个抽屉 50÷6＝8（人）……2（人） 8＋1＝9（人） 这个班至少有9名同学参加个性活动的情况完全相同。 【考点评析】根据参加个性活动课程的情况找到抽屉，是解题的关键。 20．（23-24六年级下·江西吉安·期末）志愿者为正在工作的16个环卫工人送来了几种不同的矿泉水，供大家自由选择。每人一份，总有至少4个环卫工人的矿泉水一样，志愿者最多送来了( )种矿泉水。 【答案】5 【思路点拨】从最不利的情况考虑，每种先满足有3个环卫工人的矿泉水一样，然后再有1人随便在哪种情况里，一定能满足总有至少4个环卫工人的矿泉水一样，然后根据抽屉原理解答即可。 【规范解答】（16－1）÷（4－1） ＝15÷3 ＝5（种） 志愿者最多送来了5种矿泉水 【考点评析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 21．（2010六年级下·全国·竞赛）有几个同样重的集装箱，所装货物共重30吨，并且每个集装箱的重量都不超过1吨，至少需要 辆载重4吨的卡车才能一次性运走这些货物。 【答案】10 【思路点拨】要求至少需要几辆车，则根据最不利原则，集装箱尽可能多，每辆车尽可能装最少，且剩余的空间不能多放一个集装箱；设有W个集装箱，每个集装箱的重量都不超过1吨，据此可知，每个集装箱的重量≤1，根据被除数和商的关系，可得每辆车装：4÷≥4箱；每辆车剩余空间不能多装一个集装箱，所以0≤4－×4＜1，求得30≤W＜40，W的个数是自然数，每辆车至少装4箱，集装箱最多有39个，用39÷4求出商，有余数，则用商＋1求出至少需要多少辆车。 【规范解答】设有W个集装箱，每个集装箱的重量都不超过1吨，W至少有30箱， 每个集装箱的重量：≤1 每辆车装：4÷≥4箱 每辆车剩余空间不能多装一个集装箱，所以0＜4－×4＜1 0＜4×（1－）＜1 1－＜ ＞1－ ＞ ＞ W＜40 W的个数是自然数，每辆车至少装4箱，集装箱最多有39个， 39÷4＝9……3 9＋1＝10（辆） 至少需要10辆载重4吨的卡车才能一次性运走这些货物。 【考点评析】本题考查了最不利原则的灵活应用，关键是确定箱子只数的范围。 22．（20-21六年级下·天津南开·期末）在某班学生中，有10人都订阅了《小朋友》《少年报》《儿童时代》三种报刊中的一种或者几种。那么，这10个人中至少有( )个人所定的报刊种类完全相同。 【答案】2 【思路点拨】先求出每人订阅一种、两种、三种报刊一共有几种订阅方法，把学生的总人数看作被分放物体的数量，订阅方法看作抽屉的数量，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量⋯⋯剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。 【规范解答】每人订阅一种：《小朋友》或《少年报》或《儿童时代》； 每人订阅两种：《小朋友》和《少年报》、《小朋友》和《儿童时代》、《少年报》和《儿童时代》； 每人订阅三种：《小朋友》、《少年报》和《儿童时代》。 3＋3＋1＝7（种） 10÷7＝1⋯⋯3 1＋1＝2（人） 所以，这10个人中至少有2个人所定的报刊种类完全相同。 【考点评析】本题主要考查抽屉问题，准确求出抽屉数是解答题目的关键。 23．（23-24六年级下·全国·课后作业）把红、黄、蓝、黑四种颜色的筷子各4根混在一起。如果让你闭上眼睛，每次至少拿几根才能保证有4根颜色一致的筷子？ 【答案】13根 【思路点拨】把四种颜色看作个抽屉，12根筷子看作12个元素，从最不利情况考虑，假设每一次取出的根筷子颜色都不相同，这样的情况连续取3次，每种颜色的筷子各有3根，此时再任意取一根筷子一定有根筷子是同色的，据此解答。 【规范解答】 ＝ ＝13（根） 答：每次至少拿13根才能保证有根颜色一致的筷子。 【考点评析】本题主要考查利用抽屉原理解决问题，从最不利情况分析问题是解答题目的关键。 24．（20-21六年级下·全国·单元测试）在100张卡片上不重复地编写上1～100，请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出卡片上的数相乘后之乘积可被4整除？ 【答案】52张 【思路点拨】若想确保若干个数的乘积能被4整除，就要先抽出这些数中所有的奇数，再抽2张偶数卡片即可，1～100中所有的奇数有50个，若一开始就抽中的50张奇数卡片，则还需要抽出2张偶数卡片，它们之积才能被4整除。 【规范解答】（个） 先取出1～100中所有的奇数，一共50个；至少还需要取出两个偶数，共52个数，这52个数的乘积一定可以被4整除。 答：至少要随意抽出52张卡片。 【考点评析】本题考查的是最不利原则，解题的关键是需要找出能被4整除的数的特征，从1～100中的数抽取，即可解答。 25．（22-23六年级下·全国·单元测试）小悦，冬冬和阿奇到费叔叔家玩，费叔叔拿出许多巧克力来招待他们，他们一数，共有19块巧克力，如果把这些巧克力分给他们三人，试说明：一定有人至少拿到7块巧克力，但不一定有人拿到8块。 【答案】见详解 【思路点拨】把3人看作是3个抽屉，19块巧克力看做19个元素，考虑最差情况：把19块巧克力平均分配在3个抽屉中：19÷3＝6（块）⋯⋯1（块），那么每个抽屉都有6块，那么剩下的1块，无论放到哪个抽屉都会出现7块在同一个抽屉里。 【规范解答】19÷3＝6（块）⋯⋯1（块） 6＋1＝7（块） 答：所以一定有人至少拿到7块巧克力，那么此时其他两个人分得6块，所以不能保证一定有人拿到8块。 【考点评析】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。 26．（22-23六年级下·全国·单元测试）生活实践题。 （1）上学期有18名留守儿童插班进入实验小学就读，将18名留守儿童编入5个班，总有一个班至少要编入4名。为什么？ （2）18名留守儿童来自全国的4个省份，至少有5名来自同一个省份。为什么？ （3）把50本图书分给18名留守儿童，总有一名至少分到3本图书。为什么？ 【答案】（1）（2）（3）见详解； 【思路点拨】（1）5个班可以看作是5个抽屉，18名留守儿童看作18个元素，考虑最差情况：把18名留守儿童平均分配在5个抽屉中：18÷5＝3（名）⋯⋯3（名），那么每个抽屉都有3名，那么剩下的3名，无论放到哪个抽屉都会出现至少4名留守儿童在同一个抽屉里。 （2）4个省份可以看作是4个抽屉，18名留守儿童看作18个元素，考虑最差情况：把18名留守儿童平均分配在4个抽屉中：18÷4＝4（名）⋯⋯2（名），那么每个抽屉都有4名，那么剩下的2名，无论放到哪个抽屉都会出现至少5名留守儿童在同一个抽屉里。 （3）18名留守儿童可以看作是18个抽屉，50本图书看做50个元素，考虑最差情况：把50本图书平均分配在18个抽屉中：50÷18＝2（本）⋯⋯14（本），那么每个抽屉都有2本，那么剩下的14本，无论放到哪个抽屉都会出现至少3本图书在同一个抽屉里。 【规范解答】（1）18÷5＝3（名）⋯⋯3（名） 3＋1＝4（名） 答：所以将18名留守儿童编入5个班，总有一个班至少要编入4名。 （2）18÷4＝4（名）⋯⋯2（名） 4＋1＝5（名） 答：18名留守儿童来自全国的4个省份，所以至少有5名来自同一个省份。 （3）50÷18＝2（本）⋯⋯14（本） 2＋1＝3（本） 答：所以把50本图书分给18名留守儿童，总有一名至少分到3本图书。 【考点评析】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。 27．（21-22六年级下·山东济南·期末）“六一”儿童节，李老师拿133个小礼物发给班里的所有学生，如果至少有一名学生拿到了4个小礼物，那么，李老师班里最多有多少名学生？ 【答案】44名 【思路点拨】从最不利的情况考虑：只有一名学生拿到了4个小礼物，其他学生每人拿到了3个小礼物，那么小礼物的总个数减1刚好是3的倍数，此时学生的总人数＝（礼物总个数－1）÷3，据此解答。 【规范解答】（133－1）÷3 ＝132÷3 ＝44（名） 答：李老师班里最多有44名学生。 【考点评析】本题主要考查鸽巢原理的应用，从最不利情况考虑问题是解答题目的关键。 28．（2022·内蒙古呼伦贝尔·小升初真题）从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意取牌。 （1）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数相同？ （2）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数不同？ （3）至少取多少张牌，保证有2张花色相同？ （4）至少取多少张牌，保证有2张红桃？ 【答案】（1）14张 （2）5张 （3）5张 （4）41张 【思路点拨】（1）因为共有13种点数，要想保证有2张牌的点数相同，考虑最不利原则，先取的13张牌的点数都不相同，再任意取一张就有2张牌的点数相同。 （2）因为有4张相同的点数，要想保证有2张牌的点数不同，考虑最不利原则，先取的4张牌的点数都相同，再任意取一张就有2张牌的点数不同。 （3）因为有4种花色，要想保证有2张花色相同，考虑最不利原则，先取的4张牌都是不同花色的，再任意取一张就有2张牌的花色相同。 （4）因为有4种花色，每种花色都是13张，要想保证有2张红桃，考虑最不利原则，先把其它三种花色取完，再取2张就有2张牌是红桃。 【规范解答】（1）13＋1＝14（张） 答：至少取14张牌，保证有2张牌的点数相同。 （2）4＋1＝5（张） 答：至少取5张牌，保证有2张牌的点数不同。 （3）4＋1＝5（张） 答：至少取5张牌，保证有2张花色相同。 （4）13×3＋2 ＝39＋2 ＝41（张） 答：至少取41张牌，保证有2张红桃。 【考点评析】本题考查鸽巣问题（抽屉问题），采用最不利原则进行分析是解题的关键。 29．（21-22六年级下·全国·假期作业）有红、绿、紫三种颜色的袜子各6只，把它们混放在一个口袋中。如果要从口袋中摸袜子。 ①至少要摸出几只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双）？ ②至少要摸出多少只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子？ 【答案】①4只；②10只 【思路点拨】①要求至少要摸出几只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双），要考虑到各种可能性的发生，因为有红、绿、紫三种颜色，有可能摸出3只都不能保证摸出一双袜子，因为有可能这三种颜色各1只，所以至少要摸出4只，才能保证摸出一双袜子。 ②要求至少要摸出多少只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子，从最极端情况分析：假设前9次摸出的是红、绿、紫三种颜色的袜子各3只，这时再摸出1只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子。 【规范解答】①因为有可能摸出3只袜子时，这三种颜色各1只， 所以至少要摸出4只，才能保证摸出一双袜子。 答：至少要摸出4只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双）。 ② （只） 答：至少要摸出10只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子。 【考点评析】此题主要考查了抽屉原理的应用，要熟练掌握，解答此题应从最极端情况进行分析。 30．（21-22六年级下·全国·假期作业）有规格尺寸相同的六种颜色的袜子各20只混装在箱内。 （1）黑暗中从箱内至少取出多少只才能保证有3双袜子？ （2）黑暗中从箱内至少取出多少只才能保证有3双同色袜子？ （3）黑暗中从箱内至少取出多少只才能保证有3双不同色袜子？ 【答案】（1）11只；（2）31只；（3）45只 【思路点拨】（1）根据最不利原则考虑，先摸6只不同颜色的袜子，再摸4只就有2双袜子，最后多摸1只就有3双袜子； （2）根据最不利原则，每种颜色的袜子斗取5只，共30只，再取出1只才能保证有3双同色袜子； （3）根据最不利原则，把其中2种颜色的全部取出，共40只，再从剩下的4种颜色种取出4只袜子，都不是同色，最后多取1只，就能保证有3双不同色袜子。 【规范解答】（1）（只） 答：黑暗中从箱内至少取出11只才能保证有3双袜子。 （2） （只） 答：黑暗中从箱内至少取出31只才能保证有3双同色袜子。 （3） （只） 答：黑暗中从箱内至少取出45只才能保证有3双不同色袜子。 【考点评析】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握鸽巢问题的计算方法。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$