第01讲 二元一次方程组的概念（2个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（人教版2024）

第01讲 二元一次方程组的概念 课程标准 学习目标 ①二元一次方程（组）的概念 ②二元一次方程（组）的解 1. 掌握二元一次方程（组）的定义，能够准确判断二元一次方程（组）以及根据其定义求值。 2. 掌握二元一次方程（组）的解的定义，能判断方程（组）的解以及根据方程（组）的解求值。 知识点01 二元一次方程（组）的概念 1. 二元一次方程的概念： 含有 个未知数，且含有未知数的项的次数都是 的整式方程，像这样的方程叫做二元一次方程。 2. 二元一次方程组的概念： 把多个方程放在一起叫做方程组。若一个整式方程组中一共只含有 个未知数，且含有未知数的项的次数都是 的方程组叫做二元一次方程组。 【即学即练1】 1．下列方程：①x+y＝1；②；③x2+2x＝﹣1；④5xy＝1；⑤，是二元一次方程的是（　　） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 【即学即练2】 2．方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练3】 3．若x|2m﹣3|+（m﹣2）y＝5是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 【即学即练4】 4．已知关于x，y的方程组是二元一次方程组，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2或﹣2 C．﹣3 D．3或﹣3 知识点02 二元一次方程（组）的解 1. 二元一次方程的解： 一般地，使二元一次方程等号左右两边的值 的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。一个二元一次方程可以由 组解。 2. 二元一次方程组的解： 一般地，二元一次方程组中两个方程的 叫做二元一次方程组的解。 【即学即练1】 5．下面是二元一次方程2x﹣y＝5的解的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 6．若是关于x，y的二元一次方程ax﹣y＝1的解，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【即学即练3】 7．关于x、y的方程组的解是，则3m+n的值是（　　） A．4 B．9 C．5 D．11 题型01 判断二元一次方程（组） 【典例1】下列选项是二元一次方程的是（　　） A．x﹣3y B．xy+y＝﹣1 C．x+y＝z﹣2 D． 【变式1】方程2x﹣3y＝5，xy＝3，，3x﹣y+2z＝0，x2+y＝6中二元一次方程的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】下列各式中属于二元一次方程的有（　　） ①x﹣2y＝1；②；③y﹣z＝4；④xy＝1；⑤5x﹣3y；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【典例2】下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列方程组中，二元一次方程组有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 根据二元一次方程（组）的概念求值 【典例1】若关于x，y的方程（n﹣1）x|n|+3y＝0是二元一次方程，则n的值为　 　． 【变式1】若x|a|﹣1﹣（a﹣2）y+3＝0是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（　　） A．±2 B．2 C．0 D．﹣2 【变式2】若（m﹣2）x+3y|m﹣1|＝12是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　） A．2 B．2或0 C．0 D．任何数 【典例2】若方程组是二元一次方程组，则a的值为 　 　． 【变式1】方程组是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 　 ． 【变式2】若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式a+b+c的值是 　 　． 题型03 判断二元一次方程（组）的解 【典例1】下列4组数值中，不是二元一次方程3x﹣y＝6的解的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列不是方程2x+3y＝13的解的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下面四组数值中，哪一个是二元一次方程组的解？（　　） A． B． C． D． 【变式3】数学课堂上，老师要求写出一个以为解的二元一次方程组，下面方程组中符合条件的方程组是（　　） A． B． C． D． 题型04 根据二元一次方程（组）的解求未知字母 【典例1】若是关于x和y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a的值等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【变式1】已知是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝7的解，则代数式4m+6n﹣3的值是（　　） A．14 B．11 C．7 D．4 【变式2】若是关于x、y的方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n的公共解，则m+n＝　 　． 【变式3】已知是方程组的解，则（a+b）（a﹣b）的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．25 D．﹣25 题型05 二元一次方程的特殊解 【典例1】以下是二元一次方程2x+3y＝8的正整数解有（　　） A． B． C． D． 【变式1】二元一次方程3x+y＝15的正整数解共有（　　）组． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】二元一次方程2x+5y＝40的非负整数解有（　　） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【变式3】如果是方程2ax+by＝13的解，a，b是正整数，则a+b的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．xy＝2 B．y＝3 C．3x+y2＝1 D．2x+y＝5 2．下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 3．已知（a﹣2）y＝1是一个二元一次方程，则a的值为（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D．无法确定 4．已知关于x，y的二元一次方程3x﹣ky＝7有一组解为，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C． D．﹣4 5．方程组的解为，则☆，O分别为（　　） A．9，﹣1 B．9，1 C．7，﹣1 D．5，1 6．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　） A．﹣1 B．7 C．1 D．2 7．二元一次方程2x+y＝5的正整数解有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 8．已知是关于a、b的二元一次方程组，求是（　　） A．1 B．3 C．9 D．12 9．若方程mx+ny＝3有两个解和则m+n的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 10．若是方程2x+3y＝﹣1的一个解，则6a+9b+4的值是（　　） A．﹣2 B．1 C．3 D．7 11．若关于x，y的二元一次方程的一个解是，则这个方程可以是　 　．（写一个即可） 12．（k+2）x+y|k|﹣1＝0是关于x，y的二元一次方程，则k＝　2　． 13．若方程组的解为则被遮盖的■表示的数为 　 　． 14．已知是二元一次方程2x﹣5y＝7的一个解，则代数式9﹣4a+10b的值为 　 　． 15．定义：对于任意两个有理数a，b组成的数对（a，b），我们规定（a，b）＝a+b﹣1．例如（﹣2，5）＝﹣2+5﹣1＝2．当满足等式（﹣5，3x+2m）＝6的x是正整数时，则m的正整数值为　 　． 16．已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+（n+3）6是关于x，y的二元一次方程． （1）求m，n的值； （2）求x时，y的值． 17．（1）若在方程2x﹣y的解中，x，y互为相反数，求xy的值； （2）已知是方程组的解，求m+n的值． 18．如果两个二元一次方程只有一个未知数的系数不同，那么由这两个方程构成的二元一次方程组叫做和谐方程组．如：，就是和谐方程组． （1）下列方程组是和谐方程组的是（　　） A．；B．；C．． （2）请你补全和谐方程组，并求解． 19．定义：二元一次方程y＝ax+b与二元一次方程y＝bx+a互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程y＝2x+1与二元一次方程y＝x+2互为“反对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程y＝4x﹣1的“反对称二元一次方程”：　 ． （2）二元一次方程y＝3x+5的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值． 20．定义：若点P（m，n）满足2m﹣n＝1，则称点P为二元一次方程2x﹣y＝1的坐标点． （1）若点A（3，a）为方程2x﹣y＝1的坐标点，则a＝　 　； （2）若B（b+c，b+5）为方程2x﹣y＝1的坐标点，且b，c为正整数，求b，c的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二元一次方程组的概念 课程标准 学习目标 ①二元一次方程（组）的概念 ②二元一次方程（组）的解 1. 掌握二元一次方程（组）的定义，能够准确判断二元一次方程（组）以及根据其定义求值。 2. 掌握二元一次方程（组）的解的定义，能判断方程（组）的解以及根据方程（组）的解求值。 知识点01 二元一次方程（组）的概念 1. 二元一次方程的概念： 含有 2 个未知数，且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程，像这样的方程叫做二元一次方程。 2. 二元一次方程组的概念： 把多个方程放在一起叫做方程组。若一个整式方程组中一共只含有 2 个未知数，且含有未知数的项的次数都是 1 的方程组叫做二元一次方程组。 【即学即练1】 1．下列方程：①x+y＝1；②；③x2+2x＝﹣1；④5xy＝1；⑤，是二元一次方程的是（　　） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 【分析】含有两个未知数，且两个未知数的次数都为1的整式方程叫二元一次方程，据此逐一判断即可求解． 【解答】解：方程是二元一次方程的是①x+y＝1；⑤， 故选：A． 【即学即练2】 2．方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可． 【解答】解：方程组，，，，中，是二元一次方程组的有，中，共2个， 故选：B． 【即学即练3】 3．若x|2m﹣3|+（m﹣2）y＝5是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 【分析】根据二元一次方程组的定义即可解答． 【解答】解：由条件可知|2m﹣3|＝1，m﹣2≠0， 解得m＝1， 故选：A． 【即学即练4】 4．已知关于x，y的方程组是二元一次方程组，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2或﹣2 C．﹣3 D．3或﹣3 【分析】根据组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程解答． 【解答】解：由题意可得：， 解得：m＝﹣3． 故选：C． 知识点02 二元一次方程（组）的解 1. 二元一次方程的解： 一般地，使二元一次方程等号左右两边的值 相等 的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。一个二元一次方程可以由 无数 组解。 2. 二元一次方程组的解： 一般地，二元一次方程组中两个方程的 公共解 叫做二元一次方程组的解。 【即学即练1】 5．下面是二元一次方程2x﹣y＝5的解的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把每个选项中x、y的值代入方程，是方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，由此判断即可． 【解答】解：A、把代入方程的左边，左边＝2×1﹣3＝﹣1，右边＝5，左边≠右边，所以不是二元一次方程2x﹣y＝5的解，故此选项不符合题意； B、把代入方程的左边，左边＝2×2﹣1＝3，右边＝5，左边≠右边，所以不是二元一次方程2x﹣y＝5的解，故此选项不符合题意； C、把代入方程的左边，左边＝2×4﹣3＝5，右边＝5，左边＝右边，所以是二元一次方程2x﹣y＝5的解，故此选项符合题意； D、把代入方程的左边，左边＝2×5﹣4＝6，右边＝5，左边≠右边，所以不是二元一次方程2x﹣y＝5的解，故此选项不符合题意； 故选：C． 【即学即练2】 6．若是关于x，y的二元一次方程ax﹣y＝1的解，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【分析】将代入关于x，y的二元一次方程ax﹣y＝1，可得关于a的一元一次方程，求解即可获得答案． 【解答】解：将代入关于x，y的二元一次方程ax﹣y＝1， 可得2a﹣1＝1， 解得a＝1． 故选：B． 【即学即练3】 7．关于x、y的方程组的解是，则3m+n的值是（　　） A．4 B．9 C．5 D．11 【分析】把代入关于x、y的方程组，求出m，n，再把m，n的值代入所求代数式进行计算即可． 【解答】解：把代入关于x、y的方程组得： ， 把①代入②得：n＝3， ∴3m+n ＝3×2+3 ＝6+3 ＝9， 故选：B． 题型01 判断二元一次方程（组） 【典例1】下列选项是二元一次方程的是（　　） A．x﹣3y B．xy+y＝﹣1 C．x+y＝z﹣2 D． 【分析】根据二元一次方程组的定义判断逐项分析即可，方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程． 【解答】解：A．x﹣3y，不是等式，故不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B．xy+y＝﹣1中含未知数项的次数是2，故不是二元一次方程，故本选项不符合题意； C．x+y＝z﹣2含3个未知数，故不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D．是二元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】方程2x﹣3y＝5，xy＝3，，3x﹣y+2z＝0，x2+y＝6中二元一次方程的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据二元一次方程满足的条件：整式方程；含有2个未知数；未知数的最高次项的次数是1解答即可． 【解答】解：2x﹣3y＝5符合二元一次方程的定义； xy＝3的未知数的最高次项的次数为2，不符合二元一次方程的定义； 不是整式方程，不符合二元一次方程的定义； 3x﹣y+2z＝0含有3个未知数，不符合二元一次方程的定义； 方程x2+y＝6未知数的最高次项的次数为2，不符合二元一次方程的定义； 所以是二元一次方程的有1个． 故选：A． 【变式2】下列各式中属于二元一次方程的有（　　） ①x﹣2y＝1；②；③y﹣z＝4；④xy＝1；⑤5x﹣3y；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据二元一次方程的定义进行判断即可． 【解答】解：根据二元一次方程的概念知，①③两个方程是二元一次方程；②是一元一次方程；④中项的次数是二次，不是一次，不是二元一次方程；⑤不是方程，故不是二元一次方程；⑥是分式方程； 综上所述，是二元一次方程的有两个， 故选：A． 【典例2】下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【解答】解：A、第二个方程中的xy是二次的，故该选项错误； B、该方程组中的第二个方程是分式方程，故该选项错误； C、该方程组符合二元一次方程组的定义； D、该方程组中有三个未知数，故该选项错误． 故选：C． 【变式1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程组的基本形式及特点进行求解即可，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次． 【解答】解：A含有三个未知数，它不是二元一次方程组； B符合条件，它是二元一次方程组； C中mn项的次数为2，它不是二元一次方程组； D中存在不是整式的式子，它不是二元一次方程组； 故选：B． 【变式2】下列方程组中，二元一次方程组有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【解答】解：①、该方程组符合二元一次方程组的定义，故①符合题意； ②、该方程组中第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意； ③、该方程组符合二元一次方程组的定义，故③符合题意； ④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意． 故选：B． 题型02 根据二元一次方程（组）的概念求值 【典例1】若关于x，y的方程（n﹣1）x|n|+3y＝0是二元一次方程，则n的值为　﹣1　． 【分析】由二元一次方程的定义可知x，y的次数为1，据此可列出方程，并求解． 【解答】解：∵关于x，y的方程（n﹣1）x|n|+3y＝0是二元一次方程， ∴|n|＝1且n﹣1≠0， 解得n＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【变式1】若x|a|﹣1﹣（a﹣2）y+3＝0是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（　　） A．±2 B．2 C．0 D．﹣2 【分析】根据二元一次方程的定义可得|a|﹣1＝1，且a﹣2≠0，解得a的值即可． 【解答】解：∵x|a|﹣1﹣（a﹣2）y+3＝0是关于x，y的二元一次方程， ∴|a|﹣1＝1，且a﹣2≠0， 解得：a＝﹣2， 故选：D． 【变式2】若（m﹣2）x+3y|m﹣1|＝12是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　） A．2 B．2或0 C．0 D．任何数 【分析】从二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面考虑． 【解答】解：∵（m﹣2）x+3y|m﹣1|＝12是关于x，y的二元一次方程， ∴|m﹣1|＝1且m﹣2≠0， 解得：m＝0， 故选：C． 【典例2】若方程组是二元一次方程组，则a的值为 　0　． 【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可． 【解答】解：两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组， 则a＝0， 故答案为：0． 【变式1】方程组是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 　﹣1　． 【分析】利用二元一次方程组的定义确定出a与b的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：由题意得：|a|＝1，b﹣5＝0，a﹣1≠0， 解得：a＝﹣1，b＝5， 则原式＝（﹣1）5＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【变式2】若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式a+b+c的值是 　﹣2或﹣3　． 【分析】根据二元一次方程组的定义： （1）含有两个未知数； （2）含有未知数的项的次数都是1． 【解答】解：由二元一次方程组的概念，得 c+3＝0，a﹣2＝1，b+3＝1 解得 c＝﹣3，a＝3，b＝﹣2 所以a+b+c＝﹣2． 或c+3＝0，a﹣2＝0，b+3＝1， 解得 c＝﹣3，a＝2，b＝﹣2， 所以a+b+c＝﹣3． 故答案为：﹣2或﹣3． 题型03 判断二元一次方程（组）的解 【典例1】下列4组数值中，不是二元一次方程3x﹣y＝6的解的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程的解的定义逐项计算判断即可． 【解答】解：A、把代入方程的左边，左边＝3×0﹣6＝﹣6，右边＝6，左边≠右边，所以不是方程3x﹣y＝6的解，故此选项符合题意； B、把代入方程的左边，左边＝3×2﹣0＝6，右边＝6，左边＝右边，所以是方程3x﹣y＝6的解，故此选项不符合题意； C、把代入方程的左边，左边＝3×4﹣6＝6，右边＝6，左边＝右边，所以是方程3x﹣y＝6的解，故此选项不符合题意； D、把代入方程的左边，左边＝3×（﹣3）﹣（﹣15）＝6，右边＝6，左边＝右边，所以是方程3x﹣y＝6的解，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】下列不是方程2x+3y＝13的解的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把各项中x与y的值代入方程检验即可． 【解答】解：A、当x＝2、y＝3时，左边＝2×2+3×3＝13＝右边，是方程的解； B、当x＝﹣1、y＝5时，左边＝2×（﹣1）+3×5＝13＝右边，是方程的解； C、当x＝﹣4、y＝6时，左边＝2×（﹣4）+3×6＝4≠右边，不是方程的解； D、当x＝8、y＝﹣1时，左边＝2×8+3×（﹣1）＝13＝右边，是方程的解； 故选：C． 【变式2】下面四组数值中，哪一个是二元一次方程组的解？（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程组的解的定义逐项判断即可． 【解答】解：A、把代入方程组，每一个方程都不成立，所以不是方程组的解，故此选项不符合题意； B、把代入方程组，第一个方程成立，第二个方程不成立，所以不是方程组的解，故此选项不符合题意； C、把代入方程组，两个方程都成立，所以是方程组的解，故此选项符合题意； D、把代入方程组，第一个方程成立，第二个方程不成立，所以不是方程组的解，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】数学课堂上，老师要求写出一个以为解的二元一次方程组，下面方程组中符合条件的方程组是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程组的解的定义逐项判断即可． 【解答】解：A、把代入方程组中，两个方程都不成立，故不是方程组的解，故此选项不符合题意； B、把代入方程组中，两个方程都不成立，故不是方程组的解，故此选项不符合题意； C、把代入方程组中，两个方程都不成立，故不是方程组的解，故此选项不符合题意； D、把代入方程组中，两个方程都成立，故是方程组的解，故此选项符合题意； 故选：D． 题型04 根据二元一次方程（组）的解求未知字母 【典例1】若是关于x和y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a的值等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】将方程的解代入方程得到关于a的方程，从而可求得a的值． 【解答】解：将代入方程ax+y＝3得： ﹣a+2＝3， 解得：a＝﹣1． 故选：A． 【变式1】已知是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝7的解，则代数式4m+6n﹣3的值是（　　） A．14 B．11 C．7 D．4 【分析】把代入mx+ny＝7，求出2m+3n的值，再把所求代数式化成含有2m+3n的形式，最后整体代入进行计算即可． 【解答】解：把代入mx+ny＝7得：2m+3n＝7， ∴4m+6n﹣3 ＝2（2m+3n）﹣3 ＝2×7﹣3 ＝14﹣3 ＝11， 故选：B． 【变式2】若是关于x、y的方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n的公共解，则m+n＝　7　． 【分析】把x与y的值分别代入已知两个方程中计算求出m与n的值，代入计算即可求出m+n的值． 【解答】解：把分别代入方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n得：6+2＝2m，10﹣1＝3n， 解得：m＝4，n＝3， 则m+n＝4+3＝7． 故答案为：7． 【变式3】已知是方程组的解，则（a+b）（a﹣b）的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．25 D．﹣25 【分析】把代入方程组中，即可得到，于是问题得解． 【解答】解：把代入方程组中，得， ∴（a+b）（a﹣b）＝1×5＝5， 故选：A． 题型05 二元一次方程的特殊解 【典例1】以下是二元一次方程2x+3y＝8的正整数解有（　　） A． B． C． D． 【分析】先判断每组解是否为正整数，再把每组解分别代入方程可得答案． 【解答】解：A、，y的值为0，故选项B不符合题意； B、中，y的值为分数，故选项B不符合题意； C、把代入方程2x+3y＝8得，左边＝2×1+3×2＝8，右边＝8，左边＝右边，故选项C符合题意； D、把代入方程2x+3y＝8得，左边＝2×1+3×3＝11≠8，故选项D不符合题意； 故选：C． 【变式1】二元一次方程3x+y＝15的正整数解共有（　　）组． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由3x+y＝15，可得出x＝5，结合x，y均为正整数，即可求出二元一次方程3x+y＝15的正整数解共有4组． 【解答】解：∵3x+y＝15， ∴x＝5． 又∵x，y均为正整数， ∴或或或， ∴二元一次方程3x+y＝15的正整数解共有4组． 故选：B． 【变式2】二元一次方程2x+5y＝40的非负整数解有（　　） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【分析】分情况讨论，即可求出二元一次方程2x+5y＝40的非负整数解． 【解答】解：∵2x+5y＝40， ∴y， 当x＝0时，y＝8； 当x＝5时，y＝6； 当x＝10时，y＝4； 当x＝15时，y＝2； 当x＝20时，y＝0； ∴二元一次方程2x+5y＝40的非负整数解有5组． 故选：C． 【变式3】如果是方程2ax+by＝13的解，a，b是正整数，则a+b的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据方程的解的定义，将代入方程2ax+by＝13，可得4a+b＝13．因a，b是正整数，故可知a及b的值，从而求出a+b的最小值． 【解答】解：由题意得：4a+b＝13． 又∵a、b是正整数， ∴a＝1，b＝9或a＝2，b＝5或a＝3，b＝1． 当a＝1，b＝9时，a+b＝10． 当a＝2，b＝5时，a+b＝7． 当a＝3，b＝1时，a+b＝4． ∴a+b的最小值为4． 故选：B． 1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．xy＝2 B．y＝3 C．3x+y2＝1 D．2x+y＝5 【分析】根据二元一次方程的定义解答即可． 【解答】解：A、xy＝2是二元二次方程，不符合题意； B、y＝3是分式方程，不符合题意； C、3x+y2＝1是二元二次方程，不符合题意； D、2x+y＝5是二元一次方程，符合题意． 故选：D． 2．下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可． 【解答】解：A、该方程组中含有3个未知数，属于三元一次方程组，故本选项不符合题意． B、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意． C、该方程组属于二元二次方程组，故本选项不符合题意． D、该方程组中含有分式方程，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．已知（a﹣2）y＝1是一个二元一次方程，则a的值为（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D．无法确定 【分析】根据二元一次方程未知数x的指数为1，系数不为0判断即可． 【解答】解：∵（a﹣2）y＝1是一个二元一次方程， ∴， 解得：a＝﹣2， 故选：B． 4．已知关于x，y的二元一次方程3x﹣ky＝7有一组解为，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C． D．﹣4 【分析】将方程解代入方程，即可求出k的值．已知二元一次方程的解，代入等式必成立，由此求出k的值． 【解答】解：将代入方程，则： 3×3﹣2k＝7， 解得：k＝1， 故选：A． 5．方程组的解为，则☆，O分别为（　　） A．9，﹣1 B．9，1 C．7，﹣1 D．5，1 【分析】把x＝4代入x+y＝3，可确定O的值，再把x＝4，y＝﹣1代入可确定☆的值． 【解答】解：把x＝4代入x+y＝3，得y＝﹣1， ∴O表示的是﹣1， 把x＝4，y＝﹣1代入2x+y＝☆，得☆＝7， 即☆＝7，O＝﹣1， 故选：C． 6．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　） A．﹣1 B．7 C．1 D．2 【分析】将方程组的两个方程相减，可得到x﹣y＝m+3，代入x﹣y＝4，即可解答． 【解答】解：， ①﹣②得2x﹣2y＝2m+6， ∴x﹣y＝m+3， 代入x﹣y＝4，可得m+3＝4， 解得：m＝1， 故选：C． 7．二元一次方程2x+y＝5的正整数解有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【分析】把y看作已知数表示出x，确定出方程的正整数解即可． 【解答】解：∵2x+y＝5， ∴y＝5﹣2x， 当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝1； 则方程的正整数解有2组， 故选：B． 8．已知是关于a、b的二元一次方程组，求是（　　） A．1 B．3 C．9 D．12 【分析】直接把方程组中两个方程相加可得3a+3b＝9，则． 【解答】解：， 把方程组中两个方程相加可得3a+3b＝9， ∴， 故选：A． 9．若方程mx+ny＝3有两个解和则m+n的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据题意将两组解代入转化为关于m、n的方程组进行求解即可． 【解答】解：由题意可得：， 两式相加得m+n＝6， 故选：D． 10．若是方程2x+3y＝﹣1的一个解，则6a+9b+4的值是（　　） A．﹣2 B．1 C．3 D．7 【分析】将x＝a，y＝b代入方程2x+3y＝﹣1，得，2a+3b＝﹣1，可得6a+9b＝﹣3，即得6a+9b+4的值． 【解答】解：将x＝a，y＝b代入方程2x+3y＝﹣1， 得，2a+3b＝﹣1， ∴6a+9b＝﹣3， ∴6a+9b+4＝1， 故选：B． 11．若关于x，y的二元一次方程的一个解是，则这个方程可以是　x+y＝0（答案不唯一）　．（写一个即可） 【分析】因此此题可根据二元一次方程的解为来得出符合条件的二元一次方程即可． 【解答】解：可根据二元一次方程的解为来得出符合条件的二元一次方程可以是： x+y＝0（答案不唯一）； 故答案为：x+y＝0（答案不唯一）． 12．（k+2）x+y|k|﹣1＝0是关于x，y的二元一次方程，则k＝　2　． 【分析】二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程．据此即可求解． 【解答】解：由题意得：|k|﹣1＝1且k+2≠0， 解得：k＝2， 故答案为：2． 13．若方程组的解为则被遮盖的■表示的数为 　0　． 【分析】先将方程组的解x＝1代入第二个方程求出y，从而可得方程组的解，再将方程组的解代入第一个方程计算即可得． 【解答】解：把x＝1代入x﹣3y＝7得：1﹣3y＝7， 解得：y＝﹣2， 把x＝1，y＝﹣2代入2x+y＝■得：■＝2﹣2＝0， 故答案为：0． 14．已知是二元一次方程2x﹣5y＝7的一个解，则代数式9﹣4a+10b的值为 　﹣5　． 【分析】将x＝a，y＝b代入二元一次方程2x﹣5y＝7中，得，2a﹣5b＝7，可得﹣4a+10b＝﹣14，可求得9﹣4a+10b的值． 【解答】解：将x＝a，y＝b代入二元一次方程2x﹣5y＝7中， 得，2a﹣5b＝7， ∴﹣4a+10b＝﹣14， ∴9﹣4a+10b＝9﹣14＝﹣5， 故答案为：﹣5． 15．定义：对于任意两个有理数a，b组成的数对（a，b），我们规定（a，b）＝a+b﹣1．例如（﹣2，5）＝﹣2+5﹣1＝2．当满足等式（﹣5，3x+2m）＝6的x是正整数时，则m的正整数值为　3　． 【分析】由新定义得出﹣5+3x+2m﹣1＝6，求得，然后由等式（﹣5，3x+2m）＝6的x是正整数求解即可． 【解答】解：由条件可知﹣5+3x+2m﹣1＝6， ∴， ∵等式（﹣5，3x+2m）＝6的x是正整数， ∴m的正整数值为3， 故答案为：3． 16．已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+（n+3）6是关于x，y的二元一次方程． （1）求m，n的值； （2）求x时，y的值． 【分析】二元一次方程是含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，当所含未知数的系数有待定字母时，则必须保证两个未知数的系数都不为零，由此入手列不等式组即可求解． 【解答】解：（1）因为，已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+（n+3）6是关于x，y的二元一次方程， 所以， 解这个不等式组得：m＝﹣2，n＝3 即：m＝﹣2，n＝3 （2）因为，当m＝﹣2，n＝3时，二元一次方程可化为：﹣4x+6y＝6 所以，当x时，有： ﹣46y＝6 y 即：求x时，y的值为 17．（1）若在方程2x﹣y的解中，x，y互为相反数，求xy的值； （2）已知是方程组的解，求m+n的值． 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出x、y的值，再计算xy即可； （2）根据方程组的解的定义把代入方程组，即可求出m、n的值，从而求出m+n的值． 【解答】解：（1）∵x，y互为相反数， ∴x+y＝0， ∴， 解得， ∴xy； （2）把代入方程组得， ， 解得， ∴m+n＝﹣1+0＝﹣1． 18．如果两个二元一次方程只有一个未知数的系数不同，那么由这两个方程构成的二元一次方程组叫做和谐方程组．如：，就是和谐方程组． （1）下列方程组是和谐方程组的是（　　） A．；B．；C．． （2）请你补全和谐方程组，并求解． 【分析】（1）根据“和谐方程组”的概念进行判断； （2）根据“和谐方程组”的概念进行填空． 【解答】解：（1）A．中的常数项不同，不是和谐方程组，故不符合题意； B．中另一个未知数的系数和常数项均不同，不是和谐方程组，故不符合题意； C．符合和谐方程组的概念，故符合题意． 故答案为：C． （2）根据题意知，符合题意，（答案不唯一）． 解这个方程组可得：． 19．定义：二元一次方程y＝ax+b与二元一次方程y＝bx+a互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程y＝2x+1与二元一次方程y＝x+2互为“反对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程y＝4x﹣1的“反对称二元一次方程”：　y＝﹣x+4　． （2）二元一次方程y＝3x+5的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值． 【分析】（1）理解“反对称二元一次方程”的概念即可解题； （2）根据概率得出y＝3x+5的“反对称二元一次方程”，再将m，n代入这两个二元一次方程求解，即可解题． 【解答】解：（1）由题知，二元一次方程y＝4x﹣1的“反对称二元一次方程”是y＝﹣x+4， 故答案为：y＝﹣x+4． （2）二元一次方程y＝3x+5的“反对称二元一次方程”是y＝5x+3， 又∵二元一次方程y＝3x+5的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴， 解得， ∴m＝1，n＝8． 20．定义：若点P（m，n）满足2m﹣n＝1，则称点P为二元一次方程2x﹣y＝1的坐标点． （1）若点A（3，a）为方程2x﹣y＝1的坐标点，则a＝　5　； （2）若B（b+c，b+5）为方程2x﹣y＝1的坐标点，且b，c为正整数，求b，c的值． 【分析】（1）将点A（3，a）代入方程2x﹣y＝1，即可解答． （2）将点B（b+c，b+5）代入方程2x﹣y＝1，得2（b+c）﹣（b+5）＝1再代入2m﹣n＝1，即可解答． 【解答】解：（1）将点A（3，a）代入方程2x﹣y＝1，得2×3﹣a＝1， 解得a＝5． （2）由题意得：2（b+c）﹣（b+5）＝1，b+2c＝6，b，c为正整数， ∴或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$