新高考一轮复习作业19 微专题6 抽象函数-遇见最美的数学系列——专项好题版

新高考一轮复习作业19 微专题5抽象函数答案 1. D 由题可知f(9)=f(3)+/f(3)=2,f(27)=f(9)+f(3)=3 故选:D 2. B 定义在R上的函数/(x)满足,f(1-x)+2/f(x)=x+1 :当x=0时,f(1)+2/(0)=1,① 当x=1时,f(0)+2f(1)=2,② ②x2-①,得3f(1)=3,解得f(1)=1 故选:B 3. A 令$x+1=xx=x>0且均属于N,则/(x)+/(1)=/(x)-$ 所以f(x)-/f(x)=x+2>0,故f(x+l)=f(x)=/f(x)+x+2 又/(l)=1,故/(x)>0在xeN上恒成立,且/(x)在xeN上单调递增 所以,满足f(n)=nnEN)仅有f(1)=1,即仅有1个 故选:A 4.D 令=b=l,则/f(2)=fl)+f(l)+l,f(2)=3,所以/f($)= 令b=1,则/(a+1)=/f(a)+a+1,即/f(a+1)-/(a)=a+l 所以/(2)-f$)=2,f(3)-f(2)=3.f(2022)-f2021)=22022,2023)-f(2022)= 2023 累加得:/(2023)-f(1)-2+3+4+...+2022+2023. 2023x(2023+1) 所以/(2023)=1+2+3+4+...+2023- -1012x2023 故选:D 5.C 解:令x=x=0得/(0)-2/(0)-2016,./(0)=20016 令x=-x得/(0)-/f(-x)+/(x。)-2016=2016 ./(-x)+/f(x)=4032. 令g(x)-/(x)-2016,则g(t)=M-2016, gmim(x)-N-2016. 'g(-x)+g(x)-/(-x)+/(r)-4032-0, :.g(x)是奇函数. '.g(x)+gmin(x)=0,即M-2016+N-2016=0. :.M+N=4032. 故选:C. 6.B 由于对任意的实数x、y,f(x+y)=f(x):f(v)且f(x)>0 令x=y=0,可得f(0)=f(0):f(0),且f(0)>0,解得/(0)=1 :f(-2)-f(-1):f(-1)-2x2-4 设xy,则x-y<0,由(x-y)[/(x)-f(y)]<0,得f(x)>f(y). 所以,函数y=f(x)在R上为减函数,由f(-3x)/(x})>4,可得f(x-3x)/f(-2) 答案第1页,共4页 所以x-3x<-2,即x^*-3x+20,解得1<$<2 因此,不等式/(-3x)/(x})>4的解集为[1.2]. 故选B 7. AC “·f(x)-2/(-x)=2x-1. f(-x)-2f(x)=-2x-1化简得2f(-x)-4f(x)=-4-2 故f(3)=3,A正确,B错误; 又/(-x)-- 故选:AC 8.BCD ../(x)是定义域为(-.+2)的奇函数,且/(1)=2z0,可知函数/(x)不可能同时为偶函数,故A错误; ·.f(1-x)=f(1+x),:./(x)有一条对称轴x=1,故B正确; 由/(1-x)=f(1+x)将x换成x+1得到/f(-x)=/f(2+x) .·/(x)是奇函数,../(-x)=-f(x). :.f(2+x)--f(x). 'f(x+4)=f[(x+2)+2]=-/(x+2)=/(x). :./(x)的周期为4,故C正确; ·f(o)为奇函数,.f(0)=0. · (2)=f(1+1)=f(1-1)=f()=0,f(3)=f(-1)=-fl)=-2,f(4)=f0) :./1)+/(2)+/f(3)+/f(4)=0. :/01)+f(2)+.+/(50)=f(49)+f(50)=f(1)+/f(2)=2. 故D正确. 故选:BCD. 9.2 ·定义在R上的函数/(x)满足:f(x)=2-f(-x),且函数/(x+1)是偶函数 /(x+1)+/(-x-)=2目f(x+)=f(-x+1). :f(-x+1)+/f(-x-1)=2::./(x+1)+f(x-D)=2 即/(x+2)+/(x)=2;① /(x+4)+/(x+2)=2.② ②-①得/f(x+4)=f(x); 故函数f(x)周期为4. :/(2021)-f(2020+1)-f(1)-2-/f(-1)-2-0-2 故答案为:2. 10.4 y=/(x-1)的图象关于(1.0)对称 ..y=f(x)关于(0.0)对称. ../(x)为奇函数. 义.f(x+2)=f(-x),.f(x+2)=-f(x),.f(x+4)=f(x) .'.y=/(x)是以4为周期的函数 所以f(2016)=f(504x4)=0,f(2017)=f(504x4+1)=f(1)=4,f(2018)=f(504x4+2)=f(2)=-f0)=0. 故答案为4 答案第2页,共4页 11.②③④ /(x+2)=-/(x).f(x+4)=-f(x+2)=f(x).:4是函数y=f(x)的-个周期 'y=f(x)是偶函数,.f(x+2)=-f(x)=-/(-x),'.函数y=f(x)关于点(1.0)对称 由于当xE[0,1)时,/(x)=1-x,于是可作出函数f(x)的图象如下 函数/(x-1)的图象如下: 函数/(x+1)的图象如下: 由图可知,①错误,②③④正确. 故答案为:②③④. 2.(1)(x)(c1-10);(2)单调增区间为[1-]和[0]. 单调递减区间为 值为 解(1)令xe[-1,0],则x+1e[0,1]. 则10在0上单在 当一1 时.)-4# 则#在年,在0{ 单减问间为[#和# 由/(x)在[-1,1]上的单调性知. ###(1)# f(x)在[-1,11上的最大值为max 答案第3页,共4页 #/(#-)-(1)-# 13.(1)见解析 (2(-5,25-1) (1任取x,x=R,且x<x,则x.-x>0,f(x-x)>1'f(m+n)=f(m)+f(n)-1. f(x)=fx-x)+x =fx.-x)+f(x)-1>1+fx)-1=fx),f(x)>f(x) f(x 在R 上为增函数 (2)·f(ax-2)+/(x-x)<3,即/(ax-2)+/(x-x2)-1<2. *f(ax-2+x-x)<2,.f(m+n)=f(m)+f(n)-1. :/(2)=f1)+/(1)-1=3(已知/(2)=3).:/(1)=2,:/(ax-2+x-x)</(1) 又f(x)在R上为增函数:ax-2+x-x<1,x-(a+1)x+3>0对任意的xE-1,+xl恒成立 令g(x)=x*-(a+1)x+3(x-1),只需满足g(x)>0即可 由g(-1)>0得a-5,此时-5<a-3; -3<a<23-1. 综上,实数a的取值范围为(-5.2V3-1) 14.(1)减函数,证明见解析 (2)(-o3] (1)函数v三f(x)为R上的减函数证明如下 由f(a+b)=f(a)·f(b)令a=b=0,所以f(0)=/(0):/(0),又f(0)z0,所以/(0)=1 令a=xb=-x,所以/(x-x)/(x):/(-x)=1→/(-x)- 又当x>0时,0<f(x)<1,所以当x<0时,f(x)>1 任取x.xR且<所以/(x,-×)/()f(-×)-() f(x) 由当x>o时,0<f(x)<1,所以0</(x:-x)<1,即0() /() <1所以/(xo)</(x)所以函数y=/(x)为R上的减 函数. (2)由/(a+p)f(2a+t1):f( 2 因为函数y=/(x)为R上的减函数,所以a{+b2a+1+m 2 _ab 即a}-(2-b)a+6{-1-mb 2 ->0对任意的aeR都成立 b -83x2--2 由)= 所以4-2n>-2一m<3 所以ne(-2o,3] 答案第4页,共4页新高考一轮复习作业19微专题5抽象函数 一、单选题 1.已知函数f(x)对于任意的正实数x,y,满足f()=f(x)+f(y),且f(3)=1,则f(27)=() A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知定义在R上的函数fx)满足，f1-x)+2f(x)=2+1,则f⑩)=(） A.-1 B.1 3.已知对于每一对正实数x,y,函数f(x)满足：f(x)+f(y)=f(x+y)-y-1,若f(1)=1,则满足 f(m)=(neN)的n的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.已知函数y=f(x),xeN,满足以下条件：①f(a+b)=f(a)+f(b)+ab,其中a,beN:②f(2)=3,则 f(2023)=（) A.2023×2024B.2022×2023 C.1013×2023 D.1012×2023 5.若定义在R上的函数(x)满足：对任意x,,∈R有f,+x)=f()+fx)2016,且x>0时，fx)>2016,记 f(x)在[-2017,2017]上的最大值和最小值为M,N,则M+N的值为() A.2016 B.2017 C.4032 D.4034 宁sir数学 6.已知函数∫(w)的定义域为R,fy)>0且满足f(x+)-()6),且f0)=子，如果对任意的x、八，都有 (x-y)[f(x)-f(y)<0,那么不等式f(-3x)f(x)24的解集为() A.(-n,1]U[2,+w)B.[1,2] C.(12) D.(-0,] 二、多选题 7.已知)满足f(x)-2f()=2x-1,则(） A.f3)=3 B.f(3)=-3 C.f(x)+f(-x)=2 D.f()+f(-x)=-2 8.已知f(x)是定义域为(-∞，+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x),若f)=2,则() A.f(x)关于y轴对称 B.f(x)有一条对称轴x=1 C.(x)是周期函数 D.f0)+f(2)+f(3)++f50)=2 三、瑰空题 9.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=2-(-),且函数f(x+1)是偶函数，当x∈[-1,0]时，f(x)=1-x2, 则f(2021)=— 10.函数y=f(x)满足对任意x∈R都有f(x+2)=f(-)成立，且函数y=f(-)的图象关于点L,0)对称，f(1)=4, 则f(2016)+f(2017)+f(2018)的值为-。 宁sir数学 11.定义在R上的偶函数y=f(x)满足f(x+2)=-∫(x),当xe[0,1)时，f(x)=1-x2,有以下4个结论：①2是函数 y=f(x)的一个周期；②f(1)=0;③函数y=f(x-1)为奇函数；④函数y=f(x+1)在(L,2)上递增.则这4个结论 中正确的是 四、解答题 12.定义在上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x),且当0x1时，f()=x0-x). (1)求当-1≤x≤0时，f()的解析式； (2)求f(x)在【-1，刂上的单调区间和最大值 宁ir数学 13.已知函数f(x)对任意的实数m,n,都有f(m+m)=f(m)+f0)-1,且当x>0时，有f(x)>1. (1)求证：f(x)在R上为增函数 (2)若f(2)=3,且关于×的不等式f(-2)+f(x-x2)<3对任意x∈[-1+m)恒成立，求实数a的取值范围. 14.已知定义在R的函数y=f(x),且f(O)≠0，当x>0时，0<f(x)<1,且对任意的a,beR有f(a+b)=f()f(b). (1)猜想y=∫(x)的单调性并用定义证明.（只猜想不给分） ②若对任意的ae,存在bcL,习使得不等式.f位+b)≤jQa+)-a)成立，求实数m的取值范围 宁ir数学