新高考一轮复习作业17 微专题4 函数与方程-遇见最美的数学系列——专项好题版

新高考一轮复习作业 17 微专题 4 函数与方程 一、单选题 1．若 ,  是二次函数 2 3 6y x x   的两个零点，则 2 3  的值是（ ） A．3 B．15 C． 3 D． 15 2．函数 2 lny x x   的零点所在区间是（ ） A．  0,1 B．  1,2 C．  2,3 D．  3, 4 3．设函数   2 log , 0 2 , 0x x x f x a x      有且只有一个零点的充分条件是（ ） A． 0a  B． 10 2 a  C． 1 1 2 a  D． 1a  4．方程sin lgx x ，  2π,2πx  实根的个数为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．已知函数   2 2 , 0 1 , 0 x x x f x x x        ，若方程    3f x a x  有四个不同的实数根，则实数 a的取值范围是（ ） A．  , 4 2 3  B．  4 2 3,4 2 3  C． 0,4 2 3  D．  0,4 2 3 二、多选题 6．给出以下四个方程，其中有唯一解的是（ ） A． ln 1x x  B． 1ex x  C． 22 lgx x  D． 2x x 7．函数     2 5 1f x x x    有两个零点 1x ， 2x ，且 1 2x x ，下列关于 1x ， 2x 的关系中错误的有( ) A． 1 2x  且 22 5x  B． 1 2x  且 2 5x  C． 1 2x  且 2 5x  D． 12 5x  且 2 5x  8．下列函数在区间  1,3 上存在唯一零点的是（ ） A．   2 2 8f x x x   B．   3 2 2f x x  C．   12 1xf x   D．    1 ln 2f x x   9．已知函数   2f x x k  ，若存在实数m，n，使得  f x 在 ,m n  的取值范围为 ,m n  ，那么 k可以为（ ） A．1 B．0 C． 1 6 D． 1 4 三、填空题 10．已知函数   2 , 2 1, 2 x f x x x x       ，若关于 x 的方程 ( )f x k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是__________． 11．已知定义在R 上的函数  y f x ，满足    2 2f x f x  ，当  0,2x 时，    4 2f x x x  ，若方程  f x a 在 区间 11, 2      内有实数解，则实数 a的取值范围为__________. 12．已知函数 2 0.5 2 1, 0 ( ) log , 0 x x x f x x x       ，方程  f x a 有四个不同的解 1x ， 2x ， 3x ， 4x ，且 1 2 3 4x x x x   ，则  4 1 2 2 3 4 16x x x x x     的最大值是______. 四、解答题 13．已知：函数 ( ) (2 1) 3f x k x k m    ． (1)当 1m  时，函数在区间  1,0 上存在零点，求 k的取值范围； (2)已知 0k  ，函数 ( )y g x 是定义域为 R上的奇函数，且当 0x  时， ( ) ( ) 2 xg x f x  ，求 ( )g m 的值． 14．已知函数      9log 9 1 Rxf kx x k    是偶函数. (1)求函数  f x 的表达式； (2)若方程   1 2 f x x b  有实数根，求b的取值范围. 15．已知函数 2 2( ) 4 2f x x ax a    (1)设不等式 0( ) 4f x   的解集为A，若 { | 0 3}A x x   ，求实数 a的取值范围; (2)若 2( ) ( ) 1g x f x x   在区间 (0,3)内有两个零点 1 2 1 2, ( )x x x x ，求实数 a的取值范围. 答案第 1页，共 6页 新高考一轮复习作业 17 微专题 4 函数与方程参考答案 1．B 由题意知 ,  是二次函数 2 3 6y x x   的两个零点， 故 ,  是 2 3 6 0x x   的两个根， 则 2 3 6 0    ，且 + 3    ，则 2 3 6   且 3    ， 故 2 2 23 3( 3 ) 5 3 9 6 9 1              ， 故选：B 2．C 由 2y x  ， lny x 在 (0, ) 上均递减， 所以 2 lny x x   在 (0, ) 上递减，又 2(2) ln 2 0 2 f    ， 2(3) ln 3 0 3 f    ，所以零点所在区间为  2,3 . 故选：C． 3．A 因为函数  f x 恒过点  1,0 ，所以函数  f x 有且只有一个零点函数  2 0xy a x    没有零点函数  2 0xy x  的图像与直线 y a 无交点，数形结合可得， 0a  或 1a  即函数  f x 有且只有一个零点的充要条件是 0a  或 1a  , 只有选项A是函数有且只有一个零点的充分条件, 故选：A 4．C 因为   lg , 0 lg lg , 0 x x y x x x       ， 则 siny x 与 lgy x ，  2π,2πx  的图象如下所示： 由图可得 siny x 与 lgy x ，  2π,2πx  有且仅有 4个交点， 所以方程 sin lgx x ，  2π,2πx  实根有4个. 故选：C 5．D 设 ( 3)y a x  ，该直线恒过点  3,0 ，方程 ( ) ( 3)f x a x  有四个不同的实数根 如图作出函数  y f x 的图象， 答案第 2页，共 6页 结合函数图象，则 0a  ， 所以直线 ( 3)y a x  与曲线  2 2 , 2,0y x x x     有两个不同的公共点， 所以 2 (2 ) 3 0x a x a    在  2,0 有两个不等实根， 令   2 (2 ) 3g x x a x a    ， 实数 a满足       2Δ 2 12 0 22 0 2 0 3 0 2 0 a a a g a g a                   ，解得 0 4 2 3a   ， 所以实数 a的取值范围是  0,4 2 3 . 故选：D. 6．ABD 对于 A：函数 lny x 与 1y x  的图象如下所示： 所以方程 ln 1x x  有唯一解，符合题意； 对于 B：函数 exy  与 1y x  的图象如下所示： 所以方程 1ex x  有唯一解，符合题意； 答案第 3页，共 6页 对于 C：函数 22y x  与 lgy x 的图象如下所示： 所以方程 22 lgx x  有两个实数解，不符合题意； 对于 D：函数 2xy  与 y x 的图象如下所示： 所以方程 2x x 有唯一解，符合题意. 故选：ABD. 7．ABD 令     2 5g x x x   ，则     1f x g x  ， ∴函数  y f x 的零点就是函数     2 5g x x x   与函数 1y  图象交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中作出函数     2 5g x x x   的图象与 1y  的图象， 如图所示， 结合图象知只有 C 正确. 故选：ABD. 8．BCD   2 2 8 0f x x x    的解为  2, 4,x x f x    在区间 1,3 上没有零点，故 A 错误；   3 2 2f x x  在 0,  上为增函数，且      0 2, 3 27 2 0,f f f x      在区间 1,3 上存在唯一零点，故 B 正确；   12 1xf x   在R上为增函数，且      31 , 3 3, 4 f f f x     在区间 1,3 上存在唯一零点，故 C 正确；    1 ln 2f x x   在  2,  上为减函数，且      1 1, 3 1 ln5 0,f f f x      在区间  1,3 上存在唯一零点， 答案第 4页，共 6页 故 D 正确. 故选：BCD 9．BC 因为函数   2f x x k  开口向上，对称轴为 0x  的二次函数， 所以  f x 在 0,  上单调递增， 而 0, 0m n  ， 所以  f x 在 ,m n  单调递增， 所以     f m m m k m n k nf n n            ， 所以 ,m n为方程 2 0x x k   的两个不相等的非负实数根， 所以  2 1 2 1 2 Δ 1 4 0 1 11 0 04 400 k k x x k kx x k                    ， 故选：BC. 10．(0,1) 当 2x  时，函数 ( ) 1f x x= - 是增函数，函数值集合是 ( ,1) ， 当 2x  时， 2( )f x x  是减函数，函数值集合是  0,1 ， 关于 x的方程  f x k 有两个不同的实根， 即函数  y f x 的图象与直线 y k 有两个交点， 在坐标系内作出直线 y k 和函数  y f x 的图象，如图， 观察图象知，当0 1k  时，直线 y k 和函数  y f x 的图象有两个交点， 即方程  f x k 有两个不同的实根， 所以实数 k的取值范围为(0,1). 故答案为：(0,1). 11． 30, 4     当  2,4x 时，则  2 0,2x   ， 所以       2 4 2 4 2f x x x f x     ，即     2 2 4f x x x   ， 当  4,6x 时，则  2 2,4x   ， 所以        2 2 4 6 2f x x x f x     ，即     4 6f x x x   ， 则 11 3 1 3 2 2 2 4 f         ， 当  6,8x 时，则  2 4,6x   ， 所以        2 6 8 2f x x x f x     ，即     1 6 8 2 f x x x   ， 答案第 5页，共 6页 画出  f x 的图象如下： 由图象可知，当 30, 4 a     时，方程  f x a 在区间 11 , 2      内有实数解， 所以实数 a的取值范围为 30, 4     . 故答案为： 30, 4     12．4 画出 2 0.5 2 1, 0 ( ) log , 0 x x x f x x x       的图象： 因为方程  f x a 有四个不同的解 1x ， 2x ， 3x ， 4x ， 故  f x 的图象与 y a 有四个不同的交点， 由图，  0 1f  ，  1 2f   ，故 a的取值范围是  1,2 . 由图可知， 1 2 1 21 22 x x x x      ， 0.5 3 0.5 4log logx x ，故  0.5 3 0.5 4 0.5 3 4log log log 0x x x x    ，故 3 4 1x x  . 故  4 1 2 2 3 4 16x x x x x     4 4 162x x    . 又当 1a  时， 0.5 4 4log 1 2x x    . 当 2a  时， 0.5 4 4log 2 4x x    ，故  4 2, 4x  . 又 4 4 162y x x   在  4 2, 4x  时为减函数， 故当 4 2x  时， 4 4 162y x x   取最大值 max 162 2 4 2 y     . 故答案为：4. 13．(1) 解：当 1m  时， ( ) (2 1) 3 1f x k x k    在区间  1,0 上存在零点， 所以 1( 2 1 3 1)( 3 1) 0, 0 3 k k k k          . 答案第 6页，共 6页 所以 k的取值范围为 1(0, ) 3 (2) 解：当 0x  时， ( ) ( ) 2 2x xg x f x x m     因为函数 ( )y g x 是定义域为 R上的奇函数， 所以 0(0) 0 2 0, 1g m m       . 所以 1( ) ( 1) (1) (1 2 1) 2g m g g          . 14． （1）∵函数  f x 为偶函数，∴    f x f x  ，即    9 9log 9 1 log 9 1x xkx kx      ， 化简得 9log 9 2 x kx  ，解得 1 2 k   .∴    9 1log 9 1 2 xf x x   . （2）∵方程    9 1 1log 9 1 2 2 xf x x x b     有实数根， 即方程  9log 9 1x x b  有解.令    9log 9 1xg x x   ， 则  9log 9 1x x b  有解等价于函数    9log 9 1xg x x   的图像与直线 y b 有交点. ∵      9 9 99 1log 9 1 log log 1 99 x x x xg x x           ， 又1 9 1x  ，∴   0g x  .故b的取值范围为  0,  . 15． （1）令     2 24 4 2h x f x x ax a      ，若 A ，此时  2 216 4 2 0a a     ，所以 6 6 3 3 a   ； 若 A  ，则     0 0 3 0 0 2 3 Δ 0 h h a          ，解得 6 1 3 a  ；综上，实数 a的取值范围是： 6 1 3 a   . （2）   2 2 2 4 1,0 1 2 4 3,1 3 ax a xg x x ax a x             当 0a  时，   2 1,0 1 2 3,1 3 x g x x x         ， 此时 ( )g x 在区间 (0,3)内只有一个零点 6 2 x  ，不符合题意； 当 0a  时， 若  g x 在  0,1 上有一个零点，  1,3 上有一个零点， ①   2 1 1 0,1 4 ax a    ，解得： 1 2 5a    或1 2 5a   ， ②  2 1,3x  ，即    1 3 0g g  ，解得： 2 5 6 21a    或 2 5 6 21a    ， 当  1 0g  时，  g x 在  0,3 上仅有一个零点， 当   03g  时，不符合题意， 所以  1,6 21a  .若  g x 在  0,1 上无零点，在 1,3 上有两个零点， 则 1a   或 2 5 1a   或 2 5a   且满足     1 0 3 0 Δ 0 1 3 g g a          ，此时 a不存在.综上，  1,6 21a  .