新高考一轮复习作业11 函数的对称性-遇见最美的数学系列——专项好题版

新高考一轮复习作业 11 函数的对称性 一、单选题 1．已知函数  1y f x  为奇函数，则函数   1y f x  的图象（ ） A．关于点  1,1 对称 B．关于点( )1, 1- 对称 C．关于点  1,1 对称 D．关于点  1, 1  对称 2．已知函数  y f x 在  0,4 上单调递增，且  4y f x  是偶函数，则（ ） A．      2 3 7f f f  B．      7 2 3f f f  C．      2 7 3f f f  D．      3 7 2f f f  3．已知 ( )f x 是定义在  1,1 上的增函数，且 ( )f x 的图象关于点(0,1)对称，则关于 x的不等式  2 2(2 2 ) 3 0f x x f x x x      的解集为（ ） A． (1, 2) B． 5 1 3, 2 2       C． 31, 2      D． 5 11, 2       4．定义在R 上的函数 ( )f x 的图象关于直线 1x  对称，且当 1x  时， ( ) 3 1xf x   ，有（ ） A． 1 3 2 3 2 3 f f f                  B． 2 3 1 3 2 3 f f f                  C． 2 1 3 3 3 2 f f f                  D． 3 2 1 2 3 3 f f f                  5．设函数  f x 的定义域为 R，    f x f x  ，    2f x f x  ，当  0,1x 时，   3f x x ，则函数    | cos π |g x x f x  在区间 3[ 1, ] 2  上零点的个数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知定义在R 上的函数  f x 的图像关于直线 1x  对称，且关于点  2,0 中心对称.设      1g x x f x  ，若  23 44g  ，则   2023 1i g i   （ ） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 二、多选题 7．已知  f x 是定义在R 上的奇函数，图像关于直线 1x  对称，且  f x 在区间  1,3 内的图像如图所示，下列说法 正确的是（ ） A．    4 5f f  B．    4 1f x f x   C．直线 3x   是函数的一条对称轴 D．点  4,0 为函数的一个对称中心 8．设函数  f x 的定义域为R ，  1f x 为奇函数，  2f x  为偶函数，当  1,2x 时，   2f x ax b  .若    0 3 6f f  ，则下列关于  f x 的说法正确的有（ ） A．  f x 的一个周期为 4 B．点  6,0 是函数的一个对称中心 C．  1,2x 时，   22 2f x x  D． 2025 5 2 2 f       三、填空题 9．已知函数  2 1f x  为偶函数，且    2f x f x   ，当0 1x  时，   2 1xf x   ，则函数   lgg x x 的图象与  f x 的图象一共有______个公共点. 10．已知函数    3 2ln 1 3f x x x x     ， [ 2023,2023]x  的最大值为M ，最小值为m，则M m  ______. 11．已知函数  f x 的定义域为R ，  4 1y f x   是偶函数，当 4x   时，    24 2f x x   ，则不等式    3 5 2 4f x f x   的解集为______． 四、解答题 12．设 ( )f x 是 R 上的奇函数， ( 2) ( )f x f x   ，当 0 1x  时， ( )f x x . (1) (π)f 的值； (2)当 4 4x   时， ( )f x 的图象与 x轴所围成图形的面积. 13．已知函数 2( ) 1 xf x x    . (1)求不等式 ( 4) 1 ( 2)f x f x    的解集； (2)若关于 x的方程 ( ) 0f x m  在 [1, )x  上有解，求实数m的最大值； (3)证明：函数 ( )y f x 关于点 ( 1, 1)  中心对称. 14．我们知道，函数  y f x 图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数  y f x 为奇函数，有同学发现 可以将其推广为：函数  y f x 的图像关于点  ,P m n 成中心对称图形的充要条件是函数  y f x m n   为奇函 数．已知函数 4( ) 4 2x f x   ． (1)利用上述结论，证明：函数  f x 的图像关于 1 ,12       成中心对称图形； (2)判断函数  f x 的单调性（无需证明），并解关于 x 的不等式：    2 1 2f x ax a f x     ． 15．已知函数 π π( ) 2 3 sin sin sin(π ) 4 2 4 2 x xf x x               ，且函数 ( )y g x 的图象与函数 ( )y f x 的图象关于直线 π 4 x  对称． (1)若 R  ，使得 ( ) 2cosg x  成立，求 x的集合； (2)若存在 π0, 2 x      ，使等式 2[ ( )] ( ) 2 0g x mg x   成立，求实数 m 的最大值和最小值. 新高考一轮复习作业11函数的对称性答案 1. 2.A 函数y=f(x+1)为奇函数，图像关于(0,0)对称， 则函数y=f(x)关于(1,0)对称， 所以函数y=∫(x)+1的图象关于(1,1)对称. 故选：A 2.B 由函数y=f(x+4)是偶函数，可得函数y=f(x+4)关于x=0对称， 所以函数y=∫(x)关于x=4对称，所以f(7)=f0), 因为函数y=∫(x)在(0,4)上单调递增，且1<2<3，所以f(7)<f(2)<f(3) 故选：B 3.C 由题意可知f(x)+f(-x)=2,设g(x)=f(x)+x,显然有g(x)+g(-x)=2, 又f()是定义在[-1，]上的增函数，易知g(x)在[-1，]上是增函数 原不等式可化为f(x2-x)+x2-x-1<-f(2-2x)-(2-2x)+1台g(x2-x)<8(2x-2), 即-1≤-x<2x-21,解不等式组可得xe引 故选：C 4.B 定义在R上的函数fx)的图象关于直线x=1对称， 所以-+刘，所以)/ 因为当x≥1时，f(x)=3-1为单调递增函数， 定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=1对称， 所以当x<1时，f(x)单调递减， 因为所议付得即)周 故选：B 5.D 由f(-x)=f(x),得(x)的图象关于y轴对称，由f(x)=f(2-x),得f)的图象关于直线x=1对称， 令8(x)cosπr-f()=0,得Icos上fx),函数y=Cosπ对是周期为1的偶函数，当x∈[0,1时，f(x)=x, 在同一坐标系内作出函数y=f)在[-1,2]上的图象，函数y=cos叫在[-1，上的图象，如图， =cosπr y=f(x) 2x 观察图象知，函数y=f(x)与ycos的图象在[-1，白上的交点有7个， 所以函数g(x)cosπ-f)在区间-1，子上零点的个数为7 故选：D 答案第1页，共5页 6.C 由题意可知f(x)=f(2-x),且f(2-x)+f(2+x)=0,所以f(x)=-f(2+x), 则f(4+x)=-f(2+x)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数. 由f(2)=0可知，f(0)=0,则f(2)=f(4)=f(6)=…=f(2022)=0, 所以8(2)=g(4)=g6)==g(2022)=0, 由g(23)=44得，22f(23)=22f(3)=-22f（1)=44, 所以∫)=-2，则f(3)=2,所以g()+g(3)=0+2f(3)=4, g(5)+g(7)=4f(5)+6f(7）=4f1)+6f(3)=4,…, g(2021)+g(2023)=2020f(2021)+2022f(2023)=2020f1)+2022f(3)=4, 所以 号e0-eag4rso-+so-[s0-g1p-[e同+s +.…+[g(2021)+g(2023)]=4×506=2024 故选：C 7.ACD 由题意，f(x)的对称点是(0,0)，对称轴是x=1, ∴f(-x)=-f),f(2-)=f(x),f(2+x)=f2-(←x)=f(x)=-f(), f(4+)=-f(2+x)=f(x),所以f(x)的周期T=4×(1-0)=4; .f(-4)-f(-4+4)-f(0)=0,f(5)-f(4+1)-f(1)=1,∫(-4)≤∫(5)，A正确： 如果f(x-4)=f(x+1),则有∫(x)=(x+5),则f(x)的周期为5，与前面的分析矛盾，B错误； 由于x=1是对称轴，周期为4，所以x=1-4=-3也是对称轴，C正确： 由于(0,0)是对称点，所以(0+4,0)=(4,0)也是对称点，D正确： 故选：ACD 8.AD f(x+)为奇函数，∴f()=0,且f(x+1)=-f(-x+1),函数f(x)关于点(1,0)， :f(+2)偶函数，六x+2)=f(x+2),函数f(x)关于直线x=2对称， .+)+刂=-几-(c+1)+=-f(-), 即f(+2)=-f(-x),f(-x+2)=fx+2)=-f(-x), 令1=-x,则t+2)=-f),∴f(+4)=-f(+2)=f), f(x+4)=f(x),故f(x)的一个周期为4，故A正确： 则直线x=6是函数f(x)的一个对称轴，故B不正确； 当xe[12]时，f(x)=m2+b, .f(0)=f(-1+1)=-f(2)=-4a-b,f3)=f0+2)=f(-1+2)=f0)=a+b, 又f(0)+f3)=6,-3a=6,解得a=-2, f四)=a+b=0,∴b=-a=2, .当x∈[12]时，f(9=-2x2+2,故C不正确； 婴付)≥周)+：，放0正确 故选：AD, 9.10 (2x+1)为偶函数，故f(-2+1)寸(2x+1),故f(x)关于x=1对称， 将与x代替x得f(+)=fx+),再将x+1代替x得到f(-)=了+2列， 又f(x+2)=-f(x),故(-x)=-f(),所以f(x)关于原点对称， 答案第2页，共5页 因为f(x+2)=-f(x),所以f(x)=-f(x-2),得到f(x+2)=f(x-2), 所以f(x)的一个周期为4， 当0≤x≤1时，f（x)=2-1,故当1≤x≤2时，2-xe[0,1], 故f(x)=f(2-x)=2-1, 从而在同一坐标系内画出函数g(x)=g的图象与f(x)的图象，如下： -10 8x1x-6 =x)8x9x1010x 可得到函数g(x)=lgy的图象与∫(x)的图象一共有10个公共点 故答案为：10 10.6 令g()=fw-3=x-ln(Vr2+1-x,且xeR, g()=(x)3-lm-x)2+1-(←x月=-x3-m(+1+x)=-x3+ln(t+1-x)=-g(w), 所以g(x)为奇函数，且在x∈[-2023,2023]上连续， 根据奇函数的对称性：g(x)在x∈[-2023,2023]上的最大、最小值关于原点对称， 则8(x)x+8()n=M-3+m-3=0,故M+m=6. 故答案为：6 .（m 因为函数∫(x)的定义域为R,y=∫(x-4)-1是偶函数， 则f(-x-4)-1=fc-4)1,即f(-x-4)=f(x-4), 所以，函数∫(x)的图象关于直线x=-4对称， 当x≤-4时，f(x)=(x+4)°-2，则函数∫(x)在(-∞，-4上单调递减， 故函数f(x)在[-4，+∞)上单调递增， 因为f(3x-5)>f(2x-4),则3x-5+4>2x-4+4,即3x-1>24, 即(3x-1>4x2,即(x-105x->0,解得x<5或x>1, 因此，不等式f6x-列》>fx-4利的解集为m》U0+o) 故答案为：（m引》0+) 12. (1)由fx+2)=-fx),得f(x+4)=[(x+2)+2]=-f(r+2)=f(x), 所以f()是以4为周期的周期函数，又fx)为奇函数，所以f()=∫（π-4）=-∫(4-)=-(4-)=元-4； (2)由f()是奇函数且f(+2)=-f(x), 得几(x-)+2]=-f(-1)=几-(x-1],即f1+x)=f0-x). 故函数y=f()的图象关于直线x=1对称. 又当0≤x≤1时，f(x)=x,且f)的图象关于原点成中心对称， 则f(x)的图象如图所示. 答案第3页，共5页 当-4≤x≤4时，设f()的图象与×轴围成的图形面积为S, 则S=4Sau=4×(5×2×)=4 13.(1)f(x)的定义域为{xx≠-1， 因为f(x-4)+1<f+2), 2号，即0 克 所以r+9 <0, (x-3)(x+3) 因为x2+9>0,所以(x-3)(x+3)<0,解得-3<x<3, x-4≠-1 x+2-1,解得x≠士3， 所以不等式∫(x-4)+1<f(x+2)的解集为(-33) (2)由题意得关于x的方程(x)-m=0在xe[L,+o)上有解， 则m的取值范围即()在[1，+o)上的值域 因为f=2=-1+3 x+1 1+中7，所以+1220<3s3 +1≤2， 所以-1<f)≤2 即-1<m≤分，所以实数m的最大值为片 (3)在函数y=f(x)的图象上任意取一点P(a,b), 关于点(-1-1)的对称点Q(-2-a,-2-b), 由f@=b得b=a+i:即a=2-h b+1 2(b≠-1） 把r=-2-a代入得f0-2-a)=2+2+a-4+a -2-a+1-1-a 442-b =4b+L=3b+66+1-b2. -1-266+13 b+1 所以对称点Q(-2-a-2-b)在函数y=f(x)的图象上. 即函数y=()的图象关于(-1，-1)中心对称 14.(1)证明：由题意，只需证明g()=fx+-1为奇函数， 又8的=fx+号-1=2+241s14" 2+42 1+4, 易知函数g(定义域为R.xER,-xER,g()-1-41/ 1+4 士4+-80，所以g()为奇函数，所以f)的 Γ4年4-1 1+ 4 图像关于(，)成中心对称图形。 (2)易知y=2+4为增函数，且2+4>0，对任意的xeR恒成立， 答案第4页，共5页 所以国-1为减适数又由1)知，点，心》与点0-x0-》关于点兮D成中心对称，即 f(x)+f0-x)=2, 所以原不等式等价于f(x'+ar+a+1)<2-f(x)=fQ-x), 所以x2++a+1>1-x,即x+(a+1)x+a>0, 由x2+(a+1)x+a=0解得x=-a,x2=-1, 当a>1时，原不等式解集为{xlx<-a或x>-l}: 当a=1时，原不等式解集为{xx≠-1)； 当a<1时，原不等式解集为{xx<-1或x>-a}. 15.)-5sm+引m=5cs如=2n+骨到 函数y=8)的围象上取点小，其关于直线=月对称点的坐标为行x， 代入=2m+到 可得=g)=2m(g2m(君2m后。 因为30eR,使得8(x)<2cos8成立， 所以，g<2.即+}1，故m+引1， 所以，x+亚+匹+2keZ,解得x≠2m+Ge刀 62 所以，x的集合为xx≠2km+ke) 3月 2)解：因为y=e)=2m倍*，引 所以，吾+x[gy小. 防以，等式e-®倒+2=-0，可化为m=y子，y习， 所以，存在x0引使等式[®(-嗯网+2=0成立时，方程m=y+子2有解 2 所以，由基本不等式的性质知，当y=√2时，m的最小值为2√2，当y=1或2时，m的最大值为3； 所以，实数m的最大值为3，最小值为2√2 答案第5页，共5页