新高考一轮复习作业5 二次函数与一元二次不等式-遇见最美的数学系列——专项好题版

新高考一轮复习作业 5 二次函数与一元二次不等式 一、单选题 1． 1 21 xy x   的值域是（ ） A．  , 2 B． 15, 8     C． 3 , 2    D．  0,  2．函数 14 2 5x xy    在 1,2 上值域为 A．  , 0 B． 6,3 C． 6,9 D． 2,9 3．已知函数  2log 2 3  ay x x ，当 2x  时， 0y  ，则此函数的单调递增区间（ ） A．  1,  B．  1, C．  , 1  D．  , 3  4．函数    2 4 1 3f x x m x     在区间  , 4 上单调递增，则实数m的取值范围是（ ） A．  ,3 B． 1,  C．  , 1  D．  1,   5．已知方程 2 4 0x x a   的两根都大于 1，则 a的取值范围是（ ） A．3 4a  B．1 4a  C． 1a  D． 4a  6．若关于 x 的不等式 22 4 2ax x ax   只有一个整数解，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 1 1 2 a  B．1 2a  C．1 2a  D． 1 1a   二、多选题 7．已知关于 x的不等式 2 0ax bx c   的解集为 | 2x x   或 3x  ，则下列说法正确的是（ ） A． a<0 B． 0ax c  的解集为 | 6x x  C．8 4 3 0a b c   D． 2 0cx bx a   的解集为 1 1| 2 3 x x       8．已知关于 x 的不等式组 2 2 2 8 0 2 (2 7) 7 0 x x x k x k          仅有一个整数解，则 k 的值可能为（ ） A． 5 B． 3 C． π D．5 三、填空题 9．已知关于 x的方程 2 2 2 0x kx k k     有两个实数根，且一根大于 2，一根小于 2，则实数 k的取值范围为______. 10．若关于 x的不等式 21 3kx x k    的解集中只有一个元素，则实数 k的取值集合为__. 四、解答题 11．已知函数      2 2 3 6f x ax a x a R     ． (1)若   0f x  的解集是    2 3  ， ， ，求实数 a的值． (2)若   2 0f x   恒成立，求实数 a的取值范围； (3)当 1a  时，函数    5 3f x m x m     在 2 2 , 有解，求 2 3m  的取值范围． 12．已知关于 x不等式 2 2 2 0( R)x mx m m     的解集为M ． (1)当M 为空集时，求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求 2( ) 4 1 m mf m   的最大值； (3)当M 不为空集，且  1,4M  时，求实数m的取值范围． 答案第 1页，共 4页 新高考一轮复习作业 5 二次函数与一元二次不等式答案 1．A 【详解】因为函数 1 21 xy x   ，所以1 2 0x  ，则 1 2 x  ， 令  1 2 0t x t   ，则 21 1 2 2 x t   ，所以 2 2 1 1 1 31 2 1 2 2 2 2 1y x x t t t t          ， 因为 21 3 2 2 ty t    开口向下，对称轴为 1 1 12 2 t          ， 所以 21 3 2 2 ty t    在 0,1 上单调递增，在  1, 上单调递减， 故 21 3 2 2 ty t    在 1x  处取得最大值为 1 31 2 2 2 y      ，最小值为负无穷， 所以 1 21 xy x   的值域为  , 2 . 故选：A. 2．B 【详解】令 2xt  ，   11, 2 , , 42x t         ，  22 2 5 1 6y t t t       是二次函数，对称轴是 1t  ， 1t  时， min 6, 4y t   时， max 3y  . 所以函数的值域为 6,3 . 故选： B . 3．B 【详解】由题意可得  2log 2 2 2 3 log 5 0 log 1a a a      ， 1a  . 解不等式 2 2 3 0x x   ，得 3x   或 1x  ， 函数  2log 2 3  ay x x 的定义域为    , 3 1,    ， 内层函数  22 2 3 1 4u x x x      在区间  , 3  上单调递减，在区间  1, 上单调递增， 外层函数 logay u 在  0,  上为增函数， 由复合函数法可知，函数  2log 2 3  ay x x 的单调递增区间为  1, . 故选：B. 4．C 【详解】函数    2 4 1 3f x x m x     的图像的对称轴为 4(1 ) 2 2 2 mx m     ， 因为函数    2 4 1 3f x x m x     在区间  , 4 上单调递增， 所以 2 2 4m  ，解得 1m   ， 所以m的取值范围为  , 1  ， 故选：C 5．A 【详解】设方程 2 4 0x x a   的两根为 1 2,x x ，依题意有： 1 2 1 2 16 4 0 4 a x x x x a          ， 因 1 2,x x 都大于 1，则 1 2 2x x  ，且 1 2( )1 ( 1) 0x x   ，显然 1 2 2x x  成立， 由 1 2( )1 ( 1) 0x x   得 1 2 1 2( ) 1 0x x x x    ，则有 4 1 0a    ，解得 3a  ， 由 16 4 0a    解得： 4a  ，于是得3 4a  ， 答案第 2页，共 4页 所以 a的取值范围是3 4a  . 故选：A 6．C 【详解】不等式 22 4 2ax x ax   化为  22 4 2 0ax a x    ，即   2 1 2 0x ax   ， 当 0a  时，不等式化为   2 1 2 0x    ，得 1 2 x  ，有无数个整数解，不符合题意； 当 0a  时，由关于 x的不等式 22 4 2ax x ax   只有一个整数解，可知 1 2 2 a  ， 不等式   2 1 2 0x ax   的解为 1 2 2 x a   ，由题意， 21 2 a   ，解得1 2a  ； 当 a<0时，不等式   2 1 2 0x ax   的解为 1 2 x  或 2x a  ，有无数个整数解，不符合题意． 综上，实数 a的取值范围是1 2a  . 故选：C 7．ABD 【详解】关于 x的不等式 2 0ax bx c   的解集为 | 2x x   或 3x  ， 故 a<0，且 2 3 2 3     b a c a          ，整理得到  b a ， 6c a  ， 对选项 A： a<0，正确； 对选项 B： 0ax c  ，即  6 0a x   ，解得 6x  ，正确； 对选项 C：8 4 3 8 4 18 14 0a b c a a a a        ，错误； 对选项 D： 2 0cx bx a   ，即 26 0ax ax a    ，即 26 1 0x x   ， 解得 1 1 2 3 x   ，正确. 故选：ABD 8．ABD 【详解】解不等式 2 2 8 0x x   ，得 >4x 或 < 2x  解方程 22 (2 7) 7 0x k x k    ，得 1 2 7 , 2 x x k    （1）当 7 2 k  ，即 7 2 k   时，不等式 22 (2 7) 7 0x k x k    的解为： 7 2 k x    此时不等式组 2 2 2 8 0 2 (2 7) 7 0 x x x k x k          的解集为 7, 2 k      ，依题意，则 5 4k     ，即 4 5k  ； （2）当 7 2 k  ，即 7 2 k   时，不等式 22 (2 7) 7 0x k x k    的解为： 7 2 x k    ，要使不等式组 2 2 2 8 0 2 (2 7) 7 0 x x x k x k          的解集中只有一个整数， 则需满足： 3 5k    ，即 5 3k   ； 所以 k的取值范围为 [ 5,3) (4,5]  . 故选：ABD. 9．  2, 1  【详解】关于 x的方程 2 2 2 0x kx k k     有两个实数根， 且一根大于 2，一根小于 2， 构造函数 2 2( ) 2f x x kx k k     ， 答案第 3页，共 4页 ∵一根大于 2，一根小于 2，∴ (2) 0f  ， ∴ 24 2 2 0k k k     ，解得 2< < 1x  . 则 k的取值范围是  2, 1  . 故答案为：  2, 1  . 10． 1 2 3 10, 2 2          【详解】当 0k  时，原不等式即为1 3x  ，原不等式的解集中有无数个元素，不合乎题意； 当 0k  时，不等式等价于 2 2 3 0 1 0 kx x k kx x k           ，因为不等式组的解集中只有一个元素， 则 2 1 0kx x k    恒成立且方程 2 3 0kx x k    有两个相等的实数根， 即     2 1 2 2 0 Δ 1 4 3 0 Δ 1 4 1 0 k k k k k            ，解得 3 10 2 k  ； 当 0k  时，不等式等价于 2 2 3 0 1 0 kx x k kx x k           ，因为不等式组的解集中只有一个元素， 则 2 3 0kx x k    恒成立且方程 2 1 0kx x k    有两个相等的实数根， 即     2 1 2 2 0 Δ 1 4 3 0 Δ 1 4 1 0 k k k k k            ，解得 1 2 2 k  . 综上所述，实数 k的取值集合为 1 2 3 10, 2 2          . 故答案为： 1 2 3 10, 2 2          . 11．(1)1 (2) 1 9 2 2       ， (3)  7 +， （1） 由题意可知： 0a  且     4 2 2 3 6 0 9 3 2 3 6 0 a a a a           ，解得 1a  ． （2） 若   2 0f x   恒成立，则    22 0 2 3 8 0f x ax a x       当 =0a 时，  2 2 3 8 0ax a x    不恒成立； 当 0a  时，  2 0 2 3 32 0 a a a      解得： 1 9 2 2 a  . 实数 a的取值范围为： 1 9 2 2       ， . （3） 1a  时，   5 3f x m x m     在 2, 2 有解， 即 2 3 0x mx m    在 2, 2 有解， 因为 2 3y x mx m    的开口向上，对称轴 2 mx   ， 答案第 4页，共 4页 ① 2 2 m    即 4m  ， 2x   时，函数取得最小值 4 2 3 0m m    即 7 3 m  ，∴ 4m  ． ② 2 2 2 m     即 4 4m   时，当 2 mx   取得最小值，此时 2 3 0 4 m m    ，解得 2 4m  ． ③当 2 2 m   即 4m   时，当 2x  时取得最小值，此时4 2 3 0m m    ，解得 7m   ， 综上， 2m  或 7m   ． 所以： 2 3m  的范围为：  7 +， . 12．(1) 1,2 (2) 12 (3) 2, 18 7      （1） 解：因为M 为空集，可得 24 4( 2) 0m m     ，即 2 2 0m m   ， 解得 1 2m   ， 故m的取值范围为  1,2 . （2） 解：由（1）知 [ ]1, 2m Î - ，则 2 0m  ， 所以 2 1 1 1( ) 14 1 212 2 22 2 m m m m m m f m        ， 即 2 1( ) 4 1 2 m mf m   ，当且仅当 12 2 m m ，即 0m  时取等号. 所以 2( ) 4 1 m mf m   的最大值为 1 2 . （3） 解：令 2 2 2( ) 2 2 ( ) 2( R)f x x mx m x m m m x          ，则 ( ) 0f x  的解集为M ， 因为M 不为空集，且  1,4M  ，则 2Δ 4 4( 2) 0 (1) 3 0 (4) 18 7 0 1 4 m m f m f m m                 ，解得 182 7 m  ， 故实数m的取值范围为 2, 18 7      .