新高考一轮复习作业4 综合小测001-遇见最美的数学系列——专项好题版

答案第 1页，共 8页 新高考数学一轮复习综合小测 001 答案 1．D  2 2 0 ( ,0) (2, )M x x x         ，   ln 1 1 (e 1, )N x x       , A、B 选项错误； (2, )M N   ， ( ,0) (e 1, )M N      ，故 C 错误，D 正确. 故选：D 2．B 设  i , Rz a b a b   ，则 ( i)(2 i) i 4ia b a b     ， 即 (2 ) ( 2 )i ( 4)ia b a b a b      ，  2 2 4 a b a a b b        ，解得 1a b   ， 1 iz    ， 2z  . 故选：B . 3．B  3 ,4c a tb t       ， 因为b c   ，所以 3 0b c t      ，解得 3t   ，  0,4c   ，所以向量 c  在向量 a  上的投影向量为 16 25 a c a a a a          . 故选：B. 4．C 由  85,25X N ，得 85, 5   ，    1 180 85 80 90 0.6827 0.34135 2 2 P X P X        ，    1 185 100 70 100 0.9973 0.49865 2 2 P X P X        ， 所以      80 100 80 85 85 100 0.84P X P X P X         ， 所以特级苹果的个数约为 20000 0.84 16800  个. 故选：C. 5．A 解：由题意可知，圆台的高度为 40 25 15cm  ， 圆台体积  2 21 1 π 14 9 14 9 15 2015π3V       ， 圆柱体积 2 2 π 9 25 2025πV     ， 则“何尊”的体积 2015π 2025π 4040πV V V    1 2 ， 故选：A. 6．C ①游泳场地安排 2 人，则不同的安排方法有 2 2 3 2C A 6 种， ②游泳场地只安排 1人，则不同的安排方法有 1 2 2 3 3 2C C A 18 种， 所以不同的安排方法有6 18 24  种. 故选：C 7．B 由题意知，从点  4,0E  出发的光线与圆C相离时，光线不被挡住， 设过点  4,0E  与圆C相切的直线方程为  : 4l y k x  ，即 4 0kx y k   ， 又圆 2 2: 4C x y  ，所以圆心  0,0C 到 l的距离  22 4 2 1 k d k     ，解得 3 3 k   ，故  3: 4 3 l y x   ，令 3x  ， 7 3 3 y   ， 答案第 2页，共 8页 所以 7 3 3 m  或 7 3 3 m   . 故选：B. 8．B 如图，连接 1AF ， 1BF，由双曲线的光学性质可知， 1 π 2 ABF  ， 1 3sin 5 F AB  ， 设 1 3BF t ，则 1 5AF t ， 4AB t ， 由双曲线定义可知 2 1 2 5 2AF AF a t a    ， 2 1 2 3 2BF BF a t a    ，     5 2 3 2 8 4 4t a t a t a t      ， t a ， 1 3BF a ， 2BF a ，  1 π 2 ABF  ， 2 21 22 (3 ) 10c FF a a a    ， 10 2 ce a   . 故选：B. 9．ACD 根据频率和等于 1 得10 1 10 (0.005 0.030 0.035 0.010) 0.20a        ， 解得 0.020a  ，故 A 正确； 成绩在区间 80,100 内的学生人数约为 200 10 (0.035 0.010) 90    ，故 B 错误； 学生体能测试成绩的平均数约为  55 0.005 65 0.020 75 0.030 85 0.035 95 0.010 10          77.5 ，故 C 正确； 0.005 10 0.020 10 0.030 10 0.55 0.69       ， 0.005 10 0.020 10 0.030 10 0.035 10 0.9 0.69         ， 所以这组数据第 69%分位数的估计值落在区间  80,90 内， 0.69 0.5580 10 84 0.9 0.55      ，故学生体能测试成绩的 69%分位数为 84，故 D 正确； 故选：ACD 10．BC ( ) sin cosf x x x  可化为 π( ) 2 sin 4 f x x      ， 函数 π( ) 2 sin 4 f x x      的最小正周期为 2π，A错误； 当 π0 2 x  时， π π π 4 4 4 x    ， 因为 siny x 在 π π, 4 4     上单调递增， 所以函数 ( )f x 在 π0, 2      上单调递增，B正确； 当 π 4 x   时， π π 4 2 x    ， 所以直线 π 4 x   是 ( )f x 图象的一条对称轴，C正确； 函数 2 siny x 的图象向左平移 π 4 个单位长度得到函数 π( ) 2 sin 4 g x x      的图象，D 错误. 故选：BC. 答案第 3页，共 8页 11．BC A 选项，  1,2A 代入抛物线方程，解得 2p  ，故 A错误； D选项，由 A 知，此时抛物线方程为 2 4y x ，故准线为 = 1x  ， 由题意 ( 3,2)M  ，于是 2y  过M 点且和抛物线只有一个交点， 过M 斜率不存在的线显然和抛物线不相交，故设 2 ( 3)y k x   ， 和抛物线联立得到 2 2 3 4 yy k         ，整理得 2 4 12 8 0ky y k    ， 由 16 4 (12 8) 0k k     ，解得 1k   或 1 3 k  ， 于是 = 1y x  ， 3 3 xy   是抛物线的两条切线， 综上，过点M 且与抛物线有且只有一个公共点的直线共有三条，D选项错误； C选项，注意到 (1, 2), (1,0)A F ，故 AF  x轴，设直线 AF与抛物线相交所得弦为 AB，根据对称性， 2 4AB AF  ， C选项正确； B选项，设 PQ 准线，垂足为Q，由题意， 1PM d PM PQ    ， 根据抛物线的性质， PQ PF ， 于是 2 21 1 ( 3 1) 2 1 2 5 1PM d PM PF MF             ， 当 P落在线段MF上取等号，故 B 选项正确. 故选：BC 12．BD 依题意得 2 ln( ) 2ln ( 0)m m x xf x x x x x      ， 若函数 ( )f x 具有“凹凸趋向性”，则 2 lnm x x 在 (0, ) 上有 2 个不同的实数根， 令 ( ) 2 lng x x x ，则 ( ) 2(1 ln )g x x  ， 令 ( ) 0g x  ，解得 1x e  ；令 ( ) 0g x  ，解得 10 x e   ， ∴ ( )g x 在 10, e       上单调递减，在 1 , e      上单调递增， 故 ( )g x 的最小值是 1 2g e e        ，当 0x 时， ( ) 0g x  ，故 2 0e m   ， 故选：BD． 13．60 由题意得：   1863 6 26 6 7 1 C 2 C 2 1 r rrr r r rT x xx          ， 0,1,2,3,4,5,6r  ， 只需 718 4 2 r  ，可得 4r  ， 所以 4 2 4 45 6C 2 60T x x  ， 故答案为：60 . 14．8 8 0x y   答案第 4页，共 8页 因为 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 4 3 3 2e 2 e 2e 2e 2e ( 1)x x x x xx x x xy x x x           ， 所以 1 2 12 ( 1) 2| 81 8 x k y        ， 所以切线方程为： 14 8( ) 2 y x    ，即：8 8 0x y   . 故答案为：8 8 0x y   . 15．52 数列 na 满足 1 1 3 a  ， 1 1 n n n aa a   ，整理得 1 1 1 1 n na a+ - = （定值）， 故数列 1 na       是以 1 1 3 a  为首项，1为公差的等差数列， 所以数列 1 na       的前 8 项和 8 8 78 3 1 52 2 S     . 故答案为：52. 16． 2 10, e       由   exf x x ax  ，得    1 exf x x a   ， ∵函数   exf x x ax  有两个极值点， ∴    1 exf x x a   有两个零点，且在零点的两侧，导函数符号相反， 令  1 exa x   ，    1 exg x x  ，则    2 exg x x   ， 当 < 2x  时，   0g x  ，  g x 单调递减， 当 2x   时，   0g x  ，  g x 单调递增，  g x 有极小值也是最小值为   2 12 e g    ， 且当 1x   时，   0g x  恒成立，当 1x   时，   0g x  恒成立， 画出    1 exg x x  的图象，如下： 要使  1 exa x   有两个不等实数根， 则 2 1 0 e a    ，即 2 10 e a  ，经验证，满足要求. 故 a的取值范围为 2 10, e       ． 故答案为： 2 10, e       . 17．(1)填表见解析；报考师范专业意向与性别有关 (2)分布列见解析；期望为 2 （1）列联表如下： 答案第 5页，共 8页 报考意向 报考意向人数 合计 师范专业 非师范专业 男生 80 580 660 女生 120 420 540 合计 200 1000 1200 零假设 0H 报考师范专业意向与性别无关， 2 2 1200(80 420 120 580) 21.818 10.828 200 1000 540 660           ； ∴依据小概率值 0.001  的独立性检验分析判断 0H 不成立，即报考师范专业意向与性别有关，且这个判断错误的 概率不大于 0.001． （2）据题已知，样本中男生为 4 人，女生为 6 人， 则 X 可取 0、1、2、3、4． 0 5 1 4 2 3 4 6 4 6 4 6 5 5 5 10 10 10 C C C C C C1 5 10( 0) , ( 1) , ( 2) C 42 C 21 C 21 P X P X P X         ， 3 2 4 1 4 6 4 6 5 5 10 10 C C C C5 1( 3) , ( 4) C 21 C 42 P X P X      ． 所求的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 其期望值 5 10 5 1( ) 1 2 3 4 2 21 21 21 42 E X          ． 或：X服从超几何分布，其分布列是 5 4 6 5 10 C C 4( ) , 0,1, 2,3, 4, ( ) 5 2 C 10 k k P X k k E X        ． 18．(1)证明见解析； (2) 22 2n n nS   . （1）当 1n  时， 1 2 2S a  ，解得 2 3a  ， 当 2n  时， 1 1n nS a n   ， 1n nS a n   ，两式相减得 1 1n n na a a   ，即 1 2 1n na a   ， 即有  1 1 2 1n na a    ，而 2 11 4 2( 1)a a    ，则 Nn   ，  1 1 2 1n na a    ， 所以数列 1na  是以 2 为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知 1 2nna   ，于是 1 2n nn n nb a    ， 则 2 3 1 2 3 2 2 2 2n n nS      ， 于是 2 3 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2n n n n nS        ， 两式相减得 2 3 1 1 1 1 1(1 )1 1 22 2 112 2 2 1 2 1 2 2 2 21 2 1 n n n n n n n n nS                  ， 所以 22 2n n nS   . 19．(1) 2π 3 (2)2 3 答案第 6页，共 8页 （1）因为  2 2sin sin cos 1 sin sinA B C A B    ， 即 2 2 2 2 2sin 2sin sin sin cos sin cos sin sinA A B B C C C A B+ + + = + + ， 整理得 2 2 2sin sin sin sin sinA B C A B    ， 由正弦定理可得 2 2 2a b c ab    ， 由余弦定理可得 2 2 2 1cos 2 2 2 a b c abC ab ab + - = = = - ， 且  0, πC ，可得 2π 3 C  （2）因为 ( )sin 2 sinB b A= - ，由正弦定理可得 ( )2b b a= - ， 整理得 2 2 2ab a b ab   ，当且仅当 2 4a b  时，等号成立， 解得 8ab  ， 则 ABC 面积 1 1 3sin 8 2 3 2 2 2ABC S ab CV = 炒 � ， 所以 ABC 面积的最小值为2 3 . 20．(1)证明见解析 (2) 2 13 13 （1）解（1） AB 为圆O的直径，C是圆O上异于 ,A B的点， 故 90 ,ACB CB AC    ， 又 30 , 6, tan 2 3BAC AC MC MA ACBC BAC        ， 而 2 2 24 3, ,MB BC MC MB BC MC     . , ,AC MC C AC MC   平面MAC， BC 平面MAC . BC  平面 ,MBC平面MBC 平面MAC . （注：也可以由 4 3 , ,AB MB AC MC BC BC    ，证明 ABC MBC  ，得出 BC MC ） （2）设D为 AC的中点，连接 ,DM DO，则MD AC ，OD AC 由（1）可知， BC 平面MAC；所以 BC DM , ,AC BC C AC BC   平面 ABC， DM 平面 ABC， 如图以D为原点，分别以 , ,DA DO DM所在直线为 x轴､ y轴､ z轴建立空间直角坐标系， 由题意可得        3,0,0 , 3,0,0 , 3,2 3,0 , 0,0,3 3A C B M  OO  平面 ,ABC DM OO ∥ ，四边形ODMO为矩形，  0,2 3,3 3N 设平面MBC的一个法向量为  1 1 1 1, ,n x y z     3,0, 3 3 , 0, 2 3,0MC BC      由 1 1 1 1 1 0 3 3 3 0 0 2 3 0 n MC x z n BC y                   ，令 1 1z   ，可得 1 13, 0x y  ， 即  1 3,0, 1n    ， 答案第 7页，共 8页 设平面 NAB的一个法向量为  2 2 2 2, ,n x y z  ，    6,2 3,0 , 3,2 3,3 3AB AN      由 2 2 0 0 n AB n AN          得 2 2 2 2 2 6 2 3 0 3 2 3 3 3 0 x y x y z         ，令 2 3x  ，可得 2 23, 1y z   ， 即  2 3,3, 1n    . 设平面MAC与平面 NAB的夹角为 则 1 2 1 2 3 0 1 2 13cos 133 9 1 3 1 n n n n             平面MAC和平面 NAB夹角的余弦值为 2 13 13 . 21．(1) 2 2 1 3 yx   (2)  为定值 8 3  （1）不妨取双曲线的一条渐近线方程为 1 : bl y x a  ，右焦点为  1 ,0F c ， 因为焦点  1 ,0F c 到一条渐近线 1 : 0l bx ay  的距离为 3， 所以 2 2 | | 3,bc a b   解得 3b  . 又 2 c a  ，且 2 2 2c a b  ，解得 1, 2a c  . 所以双曲线C的方程为 2 2 1 3 yx   . （2）由（1）可知左焦点  2,0F  . 由题意可知，直线 l的斜率存在，且不等于 3 .如图所示 设直线 l的方程为 1 1 2 2( 2), ( , ), ( , ),y k x A x y B x y  则  0,2P k . 因为 PF FA FB      ， 所以 1 1 2 2( 2, 2 ) ( 2, ) ( 2, ),k x y x y       可得 1 2 2 2, . 2 2x x       由 22 ( 2) 1 3 y k x yx       ，消去 y整理得 2 2 2 2(3 ) 4 4 3 0,k x k x k     所以 2 2 1 2 1 22 2 4 4 3, . 3 3 k kx x x x k k        答案第 8页，共 8页 1 2 1 2 1 2 1 2 2( 4)2 2 8 , 2 2 4 2( ) 3 x x x x x x x x                 所以  为定值 8 3  . 22．(1) 1y   ； (2)递减区间是(0,1)，递增区间是 (1, ) ； (3)3. （1）函数 ( ) ln 2f x x x   ，求导得 1( ) 1f x x    ，则 ( ) 01f   ，而 (1) 1f   ， 所以曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程是 1y   . （2）函数 ( ) ln 2f x x x   的定义域是 (0, ) ， 1( ) 1f x x    ， 当 (0,1)x 时， ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 单调递减，当 (1, )x  时， ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 单调递增， 所以函数 ( )f x 的递减区间是(0,1)，递增区间是 (1, ) . （3） (1, )x   ， lnln ( 1) 1 x x xx x x k x k x        ， 令 ln( ) , 1 1 x x xg x x x     ，求导得           2 2 2 ln 1 ln ln 2 1 1 x x x x x x xg x x x            ， 由（2）知， ( ) ln 2f x x x   在 (1, ) 上单调递增， (3) 1 ln 3 0f    ，    4 2 1 ln 2 0f    ， 因此存在唯一 0 (3,4)x  ，使得 0( ) 0f x  ，即 0 0 0 0ln 2 0 ln 2x x x x      ， 当 0(1, )x x 时， ( ) 0f x  ，即 ( ) 0g x  ，当 0( , )x x  时， ( ) 0f x  ，即 ( ) 0g x  ， 因此函数 ( )g x 在 0(1, )x 上单调递减，在 0( , )x  上单调递增， 于是 0 0 0 0 0 0 min 0 0 0 0 ln ( 2)( ) ( ) 1 1 x x x x x xg x g x x x x          ，则 0 (3, 4)k x  ， 所以整数 k的最大值是 3. 1 新高考数学一轮复习综合小测 001 一、单选题 1．已知集合  2 2 0M x x x   和   ln 1 1N x x   ，则（ ） A．N M B．M N C．  e 1,M N    D．    , 0 e 1,M N      2．已知复数 z 满足  2 i 4iz z    ，则 z （ ） A．1 B． 2 C．2 D． 2 2 3．已知 (3,4)a   ， (1,0)b   ， c a tb    ，若b c   ，则向量 c在向量a上的投影向量为（ ） A． 16 25 a  B． 16 25 a C． 4 5 a  D． 4 5 a 4．山东烟台某地种植的苹果按果径 X （单位：mm）的大小分级，其中  80,100X  的苹果为特级，且该地种植的 苹果果径  85,25X N ．若在某一次采摘中，该地果农采摘了 2万个苹果，则其中特级苹果的个数约为（ ）（参 考数据：  2,X N   ， ( ) 0.6827P X        ． ( 2 2 ) 0.9545P X        ， ( 3 3 ) 0.9973P X        ） A．3000 B．13654 C．16800 D．19946 5．如图，是 1963 年在陕西省宝鸡市出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有铭文 122 字. 铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的出处.“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组 合体的高约为 40cm，上口的直径为 28cm，圆柱的高和底面直径分别为 25cm，18cm，则“何尊”的体积大约为（ ） A． 34040πcm B． 34082πcm C． 34182πcm D． 34288πcm 2 6．第 19 届亚运会将于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日在杭州举行，甲､乙等 4 名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体 操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安 排方法共有（ ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种 7．已知圆 2 2: 4C x y  ，从点  4,0E  出发的光线要想不被圆C挡住直接到达点  3,F m ，则实数m的取值范围为 （ ） A． 7 3 7 3, 3 3        B． 7 3 7 3, , 3 3                   C． 3 3, 3 3        D． 3 3, , 3 3                     8．从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另外 一个焦点.如图所示，已知双曲线 2 2 2 2 1 x y a b   （ , 0a b  ）的左右焦点分别为 1F， 2F ，从右焦 点 2F 发出的两条方向相反的光线经双曲线上两点 A，B 反射后，其中反射光线 BC 垂直于 AB， 反射光线 AD 满足 3sin 5 BAD  ，则该双曲线的离心率为（ ） A． 10 B． 10 2 C． 5 D． 5 2 二、多选题 9．近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识，某校为了了解学生的身体素质状况， 举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有效的训练，促进他们体能的提升，现从全部测试成 绩中随机抽取 200 名学生的测试成绩，进行适当分组后，画出如下频率分布直方图，则（ ） A． 0.020a  B．在被抽取的学生中，成绩在区间  80,100 内的学生有 70 人 C．估计全校学生体能测试成绩的平均数为 77.5 D．估计全校学生体能测试成绩的 69%分位数为 84 3 10．已知函数 ( ) sin cosf x x x  则（ ） A． ( )f x 的最小正周期为 π B． ( )f x 在 π0, 2      上单调递增 C．直线 π 4 x   是 ( )f x 图象的一条对称轴 D． ( )f x 的图象可由 2 siny x 的图象向左平移 π 4 个单位长度得到 11．抛物线 2 2 ( 0)y px p  的准线为 l，焦点为 F ，且经过点  1,2A ，点A关于直线 l的对称点为点M ，设抛物线 上一动点 P到直线 2x   的距离为d ，则（ ） A． 4p  B． PM d 的最小值为 2 5 1 C．直线 AF与抛物线相交所得弦的长度为 4 D．过点M 且与抛物线有且只有一个公共点的直线共有两条 12．若实数 m的取值使函数 ( )f x 在定义域上有两个极值点，则称函数 ( )f x 具有“凹凸趋向性”，已知 ( )f x 是函数 ( )f x 的导数，且 2 n( l) mx x xf    ，当函数 ( )f x 具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围的子集有（ ） A． 2 , e       B． 2 ,0 e      C． 2, e       D． 2 1, e e       三、填空题 13．在 6 3 12x x       的展开式中， 4x 的系数是________． 14．曲线 2 1 2 e xy x   在点 1 ,4 2       处的切线方程为___________. 4 15．已知数列 na 满足 1 1 3 a  ， 1 1 n n n aa a   ，则数列 1 na       的前 8 项和为______. 16．若函数   exf x x ax  有两个极值点，则 a的取值范围为_____________ 四、解答题 17．某高中学校开展生涯规划教育，对今年的 1200 名考生（其中女生 540 人）进行调查，统计知：有意向报考师 范专业的学生有 200 人（其中女生 120 人）． (1)完成下面的列联表，并依据小概率值 0 001  ． 的独立性检验分析判断报考师范专业意向是否与性别有关？ 报考意向 报考意向人数 合计 师范专业 非师范专业 男生 女生 合计 (2)对有报考师范专业意向的学生按男女分层抽样得一个容量为 10 的样本，从样本中任意抽取 5 人，记抽取到的男 生人数为 X，求 X 的分布列与期望值． 附：  0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d       （其中 n a b c d    ）． 18．已知数列 na 满足 1 1a  ， 1 1n nS a n   . (1)证明：数列 1na  是等比数列； (2)设 1n n nb a   ，求数列  nb 的前 n项和 nS . 5 19．记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知  2 2sin sin cos 1 sin sinA B C A B    . (1)求∠C. (2)若 ( )sin 2 sinB b A= - ，求 ABC 面积的最小值. 20．如图，圆台下底面圆O的直径为 ,AB C是圆O上异于 ,A B的点，且 30 ,BAC MN   为上底面圆O的一条直径， MAC△ 是边长为 6 的等边三角形， 4 3MB  . (1)证明：平面MBC 平面MAC； (2)求平面MBC和平面 NAB夹角的余弦值. 6 21．已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的离心率为 2，焦点到一条渐近线的距离为 3． (1)求双曲线C的方程． (2)若过双曲线的左焦点 F 的直线 l交双曲线于A，B两点，交 y轴于 P，设 PF FA FB      ．试判断  是否为 定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由． 22．已知函数   ln 2f x x x   . (1)求曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线方程； (2)讨论函数  f x 的单调性； (3)若对任意的  1,x  ，都有  ln 1x x x k x   成立，求整数 k的最大值.