6.4.3（第2课时）正弦定理 （教学课件）-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第 6 章 平面向量及其应用 高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019） 6.4.3.2 第2课时 正弦定理 学习目标 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握正弦定理，用向量的方法推导正弦定理. 3.能利用正弦定理解三角形； 4.正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用． 目录 CATALOG 01.正弦定理 03.题型强化训练 02.利用正弦定理解三角形 04.小结及随堂练习 01 正弦定理 6.4.3.2 正弦定理 学习新知 【探究】 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式．如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？ 在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论.实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系.从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为∶ 在△ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，求A，B，a，b之间的定量关系.如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在△ABC中，已知A，B，a，求b”的问题. 学习新知 我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手.根据锐角三角函数，在 Rt△ABC中（如图6.4-9），有 学习新知 在直角三角形中，有 对锐角三角形和钝角三角形，以上关系是否任然成立？因为涉及三角形的边、角关系，所以任然采用向量的方法来研究. 我们希望获得△ABC中的边a，b，c与它们所对角A，B，C的正弦之间的关系式．在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究． 学习新知 【思考】 向量的数量积中出现的是角的余弦,而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？ 由诱导公式 可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系. 学习新知 A B C 学习新知 A B C 学习新知 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即 【问题】 正弦定理有几个等式，每个等式中有几个元素？ 正弦定理中有三个等式，每个等式中有四个元素（两角及其对边）. 【问题】 利用正弦定理可以解决三角形的哪类问题？ 利用正弦定理，我们可以解已知“两角和一边”和“两边和其中一边的对角”的三角形. 学习新知 以上我们利用向量方法获得了正弦定理、余弦定理事实上，探索和证明这两个定理的方法很多，有些方法甚至比上述方法更加简洁你还能想到其他方法吗? 证法二：可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 学习新知 再看钝角三角形的情况 02 利用正弦定理 解三角形 6.4.3.2 正弦定理 学习新知 例7： 学习新知 【变式】 学习新知 例8： 这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理． 【分析】 【详解】 为什么角C有两个值？ 学习新知 学习新知 【变式】 【详解】 学习新知 学习新知 【探究】 【详解】 【分析】 A B C a b A B C a b 学习新知 A B C a b A B C b a=bsinA A B1 B2 C a a b A B C b a<bsinA 学习新知 若A为锐角时: 若A为直角或钝角时: 无解 一解（直角） 二解（一锐、一钝） 一解（锐角） 无解 一解（锐角） 学习新知 学习新知 A B C a b c 学习新知 证法四：图形证明 A B C a b c D A B C a b c D 03 题型强化训练 6.4.3.2 正弦定理 能力提升 【练习1】 题型一、已知两边及其中一边的对角解三角形 【详解】 能力提升 题型一、已知两边及其中一边的对角解三角形 【感悟提升】 已知两边及一边的对角解三角形的方法 (1)首先用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角． (2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角(唯一)． (3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论． 其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值． 能力提升 【练习2】 题型二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 能力提升 【详解】 利用三角函数解决几何问题，首先要审清题意，然后要明确角的取值范围，最后一定要回归到实际问题当中去． 【反思感悟】 能力提升 题型二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 【感悟提升】 判断三角形形状的方法 (1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断． 能力提升 题型二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 【感悟提升】 (2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． (3)判断三角形的形状，主要看是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别． 能力提升 【练习3】 题型三、正弦、余弦定理的综合应用 【详解】 能力提升 能力提升 题型三、正弦、余弦定理的综合应用 【感悟提升】 利用正弦、余弦定理解三角形的注意点 正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键． 能力提升 【练习4】 题型四、有关三角形面积的计算 能力提升 题型四、有关三角形面积的计算 三角形面积计算的依据和解题策略 (2)解题策略： ①若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形， 转化为求三角形的面积； ②若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹 角，再利用三角形面积公式进行求解．　　 能力提升 【练习5】 题型五、已知两角及一边解三角形 能力提升 题型五、已知两角及一边解三角形 【感悟提升】 已知两角及一边解三角形的基本思路 (1)当所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边． (2)当所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边． 注意：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值(这时应注意角的转化，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解． 04 小结及随堂练习 6.4.3.2 正弦定理 课堂总结1 1．知识清单： (1)正弦定理． (2)利用正弦定理解三角形． (3)三角形解的个数的判断． 2．方法归纳：化归转化、数形结合． 3．常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论． 课堂总结2 已知三角形中的三个元素解三角形： （1）已知两边及其夹角（SAS）； （2）已知三条边（SSS）； （3）已知两边及一边对角（SSA）； （4）已知两角和一边； --- 用余弦定理求解 --- 用余弦定理求解 --- 用正、余弦定理都可解 --- 用正弦定理求解 注：已知两边或三边的用余弦定理求解； 已知两角的用正弦定理求解. 课堂总结3 已知边边角的三角形解的个数 已知两边和其中一边的对角，则不能唯一确定三角形，因此解这类三角形问题将出现无解、一个解、两个解三种情况． 课堂总结4 作业 5.7 第2课时　三角函数的应用(二) 教材第48页第1，2，3题 练习（第48页） 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 A．5 B． C． D．3 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【点睛】本题考查了正弦定理得使用，正确代入相关数值进行计算是关键． 故 ，解得 ． 故选：A． 【详解】由正弦定理得： ，即 ， 【分析】使用正弦定理求解即可． 在 中，若 ， ， ，则 （    ） A． B． C． 或 D． 或 已知 ，则 （    ） 由题意， ,因为 ，所以 , 由正弦定理得 ,即 ， 因为 ,所以 或 . 故选：C. 在三角形 中，角 所对的边分别为 ， A． B． C． D． 因为 ， ，所以由正弦定理得 ， ， 得 ，因为 ，所以角 为锐角， 所以 ， 故选：C 中，角 所对的边分别为 . 若 ， ，则 （    ） 如图，在一个半径为 的半圆形铁板中，截取一块矩形 ， 使得矩形的顶点 、 在半圆的直径上， 、 在半圆弧上. 连接 ，设 . (1)试用 和 表示矩形 的面积 ，并求其定义域； (2)求矩形 的面积 的最大值， 并求出取到最大值时 的值. （1） 依题意， ， ，则 ， ， 所以矩形 的面积 ， 定义域为 . （2）因为 ，所以当 时， 取得最大值 . 选择①：在 中，由正弦定理 ，得 ，所以 ， 由余弦定理 ，得 ， ， 解得 ， 边上的高 . 在 中， ， ，________，求 边上的高. 从① ② ③ ，这三个条件中任选一个， 补充在上面问题中并作答. 选择②：在 中，由 ，得 ，由余弦定理 ， 得 ，化简 ，解得 ， 边上的高 . 选择③：在 中，由 ，得 ，所以 ， 由余弦定理 ，得 ， ，解得 ，所以 或 ， 边上的高 . 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】根据平方关系求出 ，再由面积公式计算可得. 【详解】 ， ， ，又 ， ， ． 故选：C． 在 中， ， ， ，则 的面积为（    ） A．24 B．18 C．12 D．9 (1)依据：一般用公式S＝ eq \f(1,2) ab sin C＝ eq \f(1,2) bc sin A＝ eq \f(1,2) ac sin B进行求解；　 【详解】由 ， ，可得 ，由正弦定理可得 ， 即 . 故选：D. 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】先求得 ，再由正弦定理求解即可. 记 的内角 的对边分别为 ， 若 ， ，则 （    ） A． B． C．2 D． $$