专题03 二元一次方程组的解法（6种类型56道题）-【名校压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题精讲精练（浙教版2024）

专题03 二元一次方程组的解法（6种类型56道题） 考点导航 考点清单 题型01 用代入消元法解二元一次方程组 用代入消元法解二元一次方程组： 答案： 【思路点拨】解二元一次方程组问题，只需要将其中一个未知数消掉，使二元一次方程组，变成熟悉的一元一次方程即可；此题可以用x去表示y，即：y=2x-3；再将2x-3带入②式即可。 第一步：用x去表示y 解：由①得：y=2x-3；③ 第二步：代入求值 将③代入②得：+3(2x-3)=7； 第三步：求解 解得：； 第四步：将未知数的值代入求值 将代入③，得y=1； 第五步：写出解 ∴方程组的解为：； 第六步：检验 这一步只需把求出来的解代入方程组验证即可 1．用代入消元法解下列二元一次方程组： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)； (9)；(10)． 【详解】（1）解： 把代入，得：，解得：； 把代入②，得：； ∴方程组的解为：； （2）， 由得：+③； 将③代入②得： 解得； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解为：； （3）解：， 由②得，， 把③代入①得，， ∴ 把代入③得，， 所以原方程组的解为； （4）解：把①代入②，得， 解得：． 把代入①，得． 故这个方程组的解为． （5）解：由②，得③， 把③代入①，得，解得：． 把代入③，得． 故这个方程组的解为． （6）解：， 由①得：③ 把③代入②得，解得：． 把代入③得：． 所以原方程组的解为：． （7）解： 由②，得．③ 把③代入①，得． 把代入③，得， 原方程组的解为 （8）解：； 把①代入②中，得， 解得． 把代入①中，得， 所以原方程组的解为； （9）解： 由得；③ 将③代入②得； 解得； 将，代入③得； 原方程组的解为 （10）解：． 由得：，③ 将③代入②得：； 解得：； 将代入①中，得，解得， 所以原方程组的解为． 题型02 用加减消元法解二元一次方程组 用加减消元法解二元一次方程组： 答案： 【思路点拨】解二元一次方程组问题，只需要将其中一个未知数消掉，使二元一次方程组，变成熟悉的一元一次方程即可；此题如需消掉y，只需将①式与②式中含y项的系数的绝对值化为一样即可，即①式乘3再加上②式即可。 第一步：将系数化为一致 解：①×3得：；③ 第二步：通过加减法消去未知数 将③+②得：=22； 第三步：求解 解得：； 第四步：将未知数的值代入求值 将代入①，得y=1； 第五步：写出解 ∴方程组的解为：； 第六步：检验 这一步只需把求出来的解代入方程组验证即可 注意：加减消元时，需先将想要消掉的未知数系数绝对值化为一致；然后，同号就两式相减；异号就两式相加。 1．用加减消元法解下列二元一次方程组： (1) (2)． (3) ； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)； (8)；(9)；(10) 【详解】(1)解： 得： 得：， 整理得：， 系数化为得：， 把代入方程得：， 解得：， 原方程组的解是． (2)解：， ①得③； ③−②得， 解得； 把代入②得， 解得； 方程组的解集为． (3)解： ，得：，解得：； 把，代入，得：，解得：； ∴方程组的解为：． （4）解： 由得：， 解得， 将代入得：， 解得， 所以该方程组的解为； （5）解： 由得：， 解得， 将代入得：， 解得， 所以该方程组的解为； （6）解： 由得：， 解得， 将代入得：， 解得， 所以该方程组的解为； （7）解： 整理得： 由得：， 解得， 将代入得：， 解得， 所以该方程组的解为． （8）解：， ，得， 解得：， 将代入，得， 原方程组的解是； （9）解：， ，得， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， 原方程组的解是． （10）解： ①②，得，解得． 将代入①，得，解得， 原方程组的解是； 题型03 解含分数的二元一次方程组 解二元一次方程组： 答案： 【思路点拨】含有分数的二元一次方程组，在计算时，为了计算方便，有时候可以先去分母，再利用代入消元法或者加减消元法解方程组 第一步：去分母 解：①×6得：③ 第二步：加减消元 将②×3+③得：=39； 第三步：求解 解得：； 第四步：将未知数的值代入求值 将代入②，得y=； 第五步：写出解 ∴方程组的解为：； 第六步：检验 这一步只需把求出来的解代入方程组验证即可 1．解下列二元一次方程组： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；（6）；(7)； (8)；(9)；(10)； 【详解】（1）化简①②，得 ，得，解得． 将代入③，得，解得， ∴方程组的解为 （2）化简①②，得 ，得，解得． 将代入③，得，解得， ∴方程组的解为 （3）解：方程组整理，得， ，得， 即． 将代入①，得， 即， 则方程组的解为； （4）解：方程组整理，得 ，得， 即． 将代入①，得， 则方程组的解为． （5）解：原方程组可化为， 得， 解得：， 将代入得， 解得：， 所以原方程组的解为． （6）原方程组化为：， ，得：，解得：， 把代入③，得：，解得：， ∴方程组的解为：． （7）解：， 整理方程组得：， ，可得：， 解得：， 把代入，可得：， 方程组的解为． （8）解：， 整理，得， 可得：， 解得：， 将代入②可得： ， 故方程组的解为． （9）解：方程组整理得：， 得：， 将代入①中，得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． （10）解：整理方程组得：， 得： ， 得： ， 得：， 解得：， 把代入方程， 得到：， 解得：， 方程组的解为． 题型04 相加相减叠加法解二元一次方程组 【思路点拨】一般系数比较大时，可以通过相加相减的方法，将方程组变成或的形式来解题。 1．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得，代入③，得， 原方程组的解是； (1)请你仿照上面的解法解方程组； (2)解关于的二元一次方程组：． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． （1）仿阅读解法，用加减法求解即可； （2）仿阅读解法，用加减法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入③，得， ∴； （2）解：， ，得， ，得， ，得， 把代入③，得， ∴． 2．解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）先由得③，，得④，将原方程组简化后再解方程组即可； （2）先由，得，即，再用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得，即③， ，得，即④， 联立③④，得， 解得， 故原方程组的解为； （2）解：， ，得，即， 把代入①，得， 解得， 把代入，得， 故原方程组的解为． 3．计算及解方程组：； 【答案】 【分析】加减消元法解方程组即可； 【详解】解：，得：， 化简，得， ，得， ，得，即， ，得，即， 所以这个方程组的解是； 4．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，根据所给方程特点，选择合适的消元方法是解题的关键． 利用加减消元法求解． 【详解】解：， ，得， 即， ，得， 即， 联立， 解得． 5．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，爱思考的慧慧同学发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单： 得：，即．③ 得：．④ 得：，代入③得．所以这个方程组的解是． (1)请你运用慧慧的方法解方程组 (2)规律探究：猜想关于、的方程组的解是_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的求法，理解题意，熟练掌握运用二元一次方程组的解法是解题关键． （）根据题意，利用例题方法求解即可； （）根据题意，利用例题方法求解即可得． 【详解】（1）解：， 得：，即，③ 得：，④ 得：，即， 把代入③得， 所以这个方程组的解是． （2）解：， 得：，即，③ 得：，④ 得：，即， 把代入③得， 所以这个方程组的解是． 故答案为：． 6．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将是计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： 得：，所以， 得：， 得：，从而得， 所以原方程组的解是． (1)请你仿照上述方法，解方程组； (2)请你直接写出方程组的解是_____________； (3)猜测关于的方程组的解是什么？并用方程组的解加以验证． 【答案】(1)； (2)； (3)，验证见解析． 【分析】（）根据题干给定的方法求解即可； （）根据题干给定的方法求解即可； （）根据已有方程组进行猜想即可，将解代入两个方程进行验证即可； 本题考查了解二元一次方程组，掌握题干给定的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 得：， 得：， 得，， 解得， 把代入得，， 解得， ∴原方程组的解是； （2）解：， 得，， ∴， 得，， 得，， 把代入得，， 解得， ∴原方程组的解是； （3）猜测：． 当时， 第一个方程：左边右边， 第二个方程：左边右边， 是原方程组的解． 题型05 设参换元法解二元一次方程组 解二元一次方程组： 答案： 【思路点拨】为比例关系式时，可以设参数，将二元一次方程组化为含的一元一次方程即可。 第一步：设参数 解：设，； 第二步：代入求值 将，代入②得：=； 第三步：求解 解得：； 第四步：求未知数的值 得，y=； 第五步：写出解 ∴方程组的解为：； 第六步：检验 这一步只需把求出来的解代入方程组验证即可 1．解下列二元一次方程组： （1）； （2）； (3)； (4)； (5)； (6)； （7） ； (8)； (9)； (10)； 【答案】（1）（2）；(3)；(4)；(5)；(6)；（7） (8)；(9)；(10)； 【详解】解：（1）设，， 将，代入②得：=； 解得：； 得，y=； ∴方程组的解为：； （2）设， 得-1，； 将-1，代入②得：； 解得：； 得，y=； ∴方程组的解为：． （3）设， 得+1，； 将+1，代入②得：； 解得：； 得，y=； ∴原方程组的解为：． （4）设， 得-1，； 将-1，代入②得：； 解得：； 得，y=； 所以原方程组的解是． （5）设， 得-1，； 将-1，代入②得：； 解得：； 得，n=； 所以方程组的解为． （6）设， 得-2，； 将-2，代入得：； 解得：； 得，y=； ∴原方程组的解为． （7）设， 得-1，； 将-1，代入②得：； 解得：； 得，y=； 所以，该方程组的解为． （8）设， 得-1，； 将-1，代入②得：； 解得：； 得，y=； 所以方程组的解是 （9）设， 得-2，； 将-2，代入②得：； 解得：； 得，y=； ∴ （10） 设， 得，； 将，代入②得：； 解得：； 得，y=； ∴方程组的解为：． 题型06 换元法解二元一次方程组 1．解方程组： 答案： 【思路点拨】将和可以分别看成一个整体，设，解新的二元一次方程即可。 第一步：换元 解：设， 第二步：原方程组变形 则原方程组可化为， 整理，得 ②－①，得，解得， 把代入②，得，解得， 第三步：求出原未知数的解 即，解得． 第四步：检验 这一步只需把求出来的解代入方程组验证即可 1．解方程组： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)； 【详解】（1）解： 令，， 则原方程则可化为， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴， 解得， ∴原方程组的解为． （2）解：， 设， 则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得， 即， 解得； （3）解：， 设， 则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得， 即， 解得． （4）解：令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得， 解得，， 原方程组的解为； （5）解：令，， 原方程组化为， 解得， 将代入，， 得， 解得， 原方程组的解为． （6）解： 设，则原方程组化为 得 将代入①得， 解得： ∴ 得， 得 ∴方程组的解为： 2．阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为 ； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关键． （1）设，，则原方程组可化为，根据的解为，即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解得，即，即可求解； （3）原方程组可化为，设，，则原方程组可化为，根据的解为，得，即可求解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 根据题意，得，即， 解得． 故答案为：． （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得，即， 解得． （3）解：原方程组可化为， 设，，则原方程组可化为， 根据题意，得，即， 解得． 3．在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：设、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为． (1)若方程组的解为，则方程组的解为_____； (2)若方程组的解为，其中为常数．求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用整体法解二元一次方程组； （1）设，，则方程组可化为，再进一步解方程组即可； （2）设，，则方程组可化为，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：的解为， 的解为， 设，， 则方程组可变为：， ，解得：． （2）解：设，， 则可变为：， 的解为， 的解为， 即， 解得： 4．数学思想·整体思想  综合与实践 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 【观察发现】 （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____； 【探索猜想】 （2）运用上述方法解下列方程 组：． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； 【详解】解：（1）设， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得， 故答案为：，； （2）设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二元一次方程组的解法（6种类型56道题） 考点导航 考点清单 题型01 用代入消元法解二元一次方程组 用代入消元法解二元一次方程组： 答案： 【思路点拨】解二元一次方程组问题，只需要将其中一个未知数消掉，使二元一次方程组，变成熟悉的一元一次方程即可；此题可以用x去表示y，即：y=2x-3；再将2x-3带入②式即可。 第一步：用x去表示y 解：由①得：y=2x-3；③ 第二步：代入求值 将③代入②得：+3(2x-3)=7； 第三步：求解 解得：； 第四步：将未知数的值代入求值 将代入③，得y=1； 第五步：写出解 ∴方程组的解为：； 第六步：检验 这一步只需把求出来的解代入方程组验证即可 1．用代入消元法解下列二元一次方程组： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； 题型02 用加减消元法解二元一次方程组 用加减消元法解二元一次方程组： 答案： 【思路点拨】解二元一次方程组问题，只需要将其中一个未知数消掉，使二元一次方程组，变成熟悉的一元一次方程即可；此题如需消掉y，只需将①式与②式中含y项的系数的绝对值化为一样即可，即①式乘3再加上②式即可。 第一步：将系数化为一致 解：①×3得：；③ 第二步：通过加减法消去未知数 将③+②得：=22； 第三步：求解 解得：； 第四步：将未知数的值代入求值 将代入①，得y=1； 第五步：写出解 ∴方程组的解为：； 第六步：检验 这一步只需把求出来的解代入方程组验证即可 注意：加减消元时，需先将想要消掉的未知数系数绝对值化为一致；然后，同号就两式相减；异号就两式相加。 1．用加减消元法解下列二元一次方程组： (1) (2)． (3) ； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10) 题型03 解含分数的二元一次方程组 解二元一次方程组： 答案： 【思路点拨】含有分数的二元一次方程组，在计算时，为了计算方便，有时候可以先去分母，再利用代入消元法或者加减消元法解方程组 第一步：去分母 解：①×6得：③ 第二步：加减消元 将②×3+③得：=39； 第三步：求解 解得：； 第四步：将未知数的值代入求值 将代入②，得y=； 第五步：写出解 ∴方程组的解为：； 第六步：检验 这一步只需把求出来的解代入方程组验证即可 1．解下列二元一次方程组： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； 题型04 相加相减叠加法解二元一次方程组 【思路点拨】一般系数比较大时，可以通过相加相减的方法，将方程组变成或的形式来解题。 1．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得，代入③，得， 原方程组的解是； (1)请你仿照上面的解法解方程组； (2)解关于的二元一次方程组：． 2．解下列方程组： (1)； (2) 3．计算及解方程组：； 4．解方程组： 5．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，爱思考的慧慧同学发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单： 得：，即．③ 得：．④ 得：，代入③得．所以这个方程组的解是． (1)请你运用慧慧的方法解方程组 (2)规律探究：猜想关于、的方程组的解是_______． 6．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将是计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： 得：，所以， 得：， 得：，从而得， 所以原方程组的解是． (1)请你仿照上述方法，解方程组； (2)请你直接写出方程组的解是_____________； (3)猜测关于的方程组的解是什么？并用方程组的解加以验证． 题型05 设参换元法解二元一次方程组 解二元一次方程组： 答案： 【思路点拨】为比例关系式时，可以设参数，将二元一次方程组化为含的一元一次方程即可。 第一步：设参数 解：设，； 第二步：代入求值 将，代入②得：=； 第三步：求解 解得：； 第四步：求未知数的值 得，y=； 第五步：写出解 ∴方程组的解为：； 第六步：检验 这一步只需把求出来的解代入方程组验证即可 1．解下列二元一次方程组： （1）； （2）； (3)； (4)； (5)； (6)； （7） ； (8)； (9)； (10)； 题型06 换元法解二元一次方程组 1．解方程组： 答案： 【思路点拨】将和可以分别看成一个整体，设，解新的二元一次方程即可。 第一步：换元 解：设， 第二步：原方程组变形 则原方程组可化为， 整理，得 ②－①，得，解得， 把代入②，得，解得， 第三步：求出原未知数的解 即，解得． 第四步：检验 这一步只需把求出来的解代入方程组验证即可 1．解方程组： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 2．阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为 ； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的方程组的解． 3．在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：设、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为． (1)若方程组的解为，则方程组的解为_____； (2)若方程组的解为，其中为常数．求方程组的解． 4．数学思想·整体思想  综合与实践 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 【观察发现】 （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____； 【探索猜想】 （2）运用上述方法解下列方程 组：． 学科网（北京）股份有限公司 $$