【专项练】坐标系中规律问题-北京版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

坐标系中规律问题 1．A 【难度】0.85 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了坐标与图形规律，读懂图形，找出规律是解答关键． 由题意知，每经过 4次变换后点C回到原来的位置，且经过第2024次变换与经过第 4次变换 后点C的对应点相同，进而可得答案． 【详解】解：由题意知，每经过 4次变换后点C回到原来的位置，坐标是 31（ ，）． ∵ 2024 4 506  ， ∴经过第2024次变换与经过第 4次变换后点C的对应点相同， ∴经过第2024次变换后点C的对应点的坐标为 31（ ，）． 故选：A． 2．C 【难度】0.85 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，由四边形 ABCD的周长找出细线另一端点所在的位 置是解题的关键．由点A，B，C，D的坐标可得出四边形 ABCD为矩形及 AB，AD的长， 由矩形的周长公式可求出矩形 ABCD的周长，结合 2023 202 10 3   可得出细线的另一端在 线段 AD上且距A点 1个单位长度，结合点A的坐标即可得出结论． 【详解】解： (1,1)A ， ( 1,1)B  ， ( 1, 2)C   ， (1, 2)D  ， AB 2  ， 3AD  ，四边形 ABCD为矩形，  3 2 2 10ABCDC    矩形 ． 2023 202 10 3   ， 细线的另一端在线段 BC上，且距 B点 1个单位长度， 细线的另一端所在位置的点的坐标是 ( 1,1 1)  ，即 ( 1,0) ． 故选：C 3．A 【难度】0.85 【知识点】点坐标规律探索 【分析】此题考查点的坐标规律探究；先求出凸形 ABCDEFGHP的周长为 20，得到 2039÷20 的余数为 19，由此即可解决问题． 【详解】∵  1,2A ，  1,2B  ，  3,0D  ，  3, 2E   ，  3, 2G  ， , ,AB EG x轴互相平行， , , , ,BC DE HG AP y轴互相平行， ∴ 2 2 2 2 6 2 2 2AB BC CD DE EG GH PH AP       ， ， ， ， ， ， ， ∴“凸”形 ABCDEFGHP的周长为 20， ∵2039÷20的余数为 19， 差 1个单位回到  1,2A ∴细线另一端所在位置的点在  1,1 ． 故选：A． 4．  2025,1 【难度】0.85 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了规律型—点的坐标，观察点的坐标变化总结规律是解题的关键． 观察点的坐标变化，发现每个点的横坐标与次数相同，纵坐标是1,0, 2,0, 4个数一个循环， 进而可得经过第2025次运动后动点 P的坐标． 【详解】解：观察点的坐标变化可知， 第 1次从原点运动到点  1,1 ， 第 2次接着运动到点  2,0 ， 第 3次接着运动到点  3,2 ， 第 4次接着运动到点  4,0 ， 第 5次接着运动到点  5,1 ， ， 按这样的运动规律发现每个点的横坐标与运动次数相同，纵坐标是1,0, 2,0,，4个数一个 循环， 2025 4 506 1   ， 经过第2025次运动后动点 P的坐标是  2025,1 . 故答案为：  2025,1 ． 5．  1012,0 【难度】0.85 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用 得到的规律解题． 动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标， 根据规律找坐标即可． 【详解】解：根据题意可知，  1 0,1A ，  2 1,1A ，  3 1,0A ，  4 2,0A ，  5 2,1A ，  6 3,1A ，  7 3,0A ，  8 4,0A ，……，每 4个点一循环， ∵2024 4 506  ， 点 2024A 在 4A ， 8A ， 12A 的位置上，纵坐标为 0，横坐标为序号的一半，即 2024 2 1012  ， ∴点 2024A 的坐标  1012,0 ， 故答案为：  1012,0 ． 6．C 【难度】0.65 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是观察各个正方形，能发现正方形四条边上 的整点数的规律． 依次找到从内到外的几个正方形上的整数点，得到规律，由规律求得第 n个正方形的整点个数． 【详解】解：由内到外规律，第 1个正方形边上整点个数为 4 1 4  （个）， 第 2个正方形边上整点个数为 4 2 8  （个）， 第 3个正方形边上整点个数为 4 3 12  （个）， 第 4个正方形边上整点个数为 4 4 16  （个）， … 故第 n个正方形边上的整点个数为4n个． 由此可得，由里向外第10个正方形四条边上的整点个数为：4 10 40  ． 故选：C． 7．C 【难度】0.65 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的规律探究．分别找到横坐标和纵坐标的变化规律，再算出2025与 2的 商和余数求出横坐标，  2025 1 与 2的商与余数，求出纵坐标，继而得解． 【详解】解：第 1次：  1,0 ， 第 2次：  1,1 ， 第 3次：  2,1 ， 第 4次：  2,2 ， 第 5次：  3,2 ， …， 则横坐标是从 1开始的正整数，每个正整数出现 2次， 纵坐标是从 0开始的正整数，其中只有 0出现 1次，其余数出现 2次， ∵2025 2 1012 1   ，  2025 1 2 1012   ， ∴第 2025次的坐标是：  1013,1012 ， 故选：C． 8．D 【难度】0.65 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中中点坐标公式的应用．解题的关键是总结规律． 根据题目所给的信息，确定点 P关于点A的对称点为 1P，则点A为点 P和点 1P的中点，根据 公式 0 2 0 21 1,2 2 x x y yx y   可以求出点 1P的坐标，依次类推求出点 2P ，点 3P ，点 4P ，点 5P， 点 6P，点 7P 总结规律，利用周期原理，求出点 2024P 的坐标． 【详解】设 1( , )P x y ， 点 (0, 2)P 关于点A的对称点为 1P， 点A为点 P和点 1P的中点， (1, 1)A - ， 0 21, 1 2 2       x y ， 2, 4x y    ， 1(2, 4)P\ - ， 同理可得： 2 3( 4, 2), (4,0)P P ， 4 5 6( 2, 2), (0,0), (0, 2), P P P 7 (2, 4) . P ， 每 6个点坐标循环一次， 2024 337 2 6 Q LL ， 2024( 4, 2) P ， ∴每 6个点坐标循环一次， ∴点 2024P 的坐标是 ( 4,2) ． 故选：D． 9．  3036,1013 【难度】0.65 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查点的坐标规律；熟练掌握平面内点的坐标，能够根据图形的变化得到点的坐 标规律是解题的关键．根据题意得：  2 3,2A ，  4 6,3A ，  6 9,4A ，  8 12,5A ，……，由 此发现：脚标为偶数的点的坐标的规律，即可求解． 【详解】解：根据题意得：  2 3,2A ，  4 6,3A ，  6 9,4A ，  8 12,5A ，……， 由此发现：脚标为偶数的点的坐标的规律为  2 3 , 1nA n n  ， ∵2024 2 1012  ， ∴点 2024A 的坐标为  3036,1013 ． 故答案为：  3036,1013 ． 10．  12,12 【难度】0.65 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查点的坐标规律探究，根据题意，得到  1 3,0A ，  2 3,6A ，  3 6,6A  L依 次类推，求出 7A 点的坐标即可． 【详解】解：由题意，得：  1 3,0A ，  2 3,0 6A  ，即：  2 3,6A ；  3 3 9,6A  ，即：  3 6,6A  ；  4 6,6 12A   ，即：  4 6, 6A   ；  5 6 15, 6A    ，即：  5 9, 6A  ；  6 9, 6 18A   ，即：  6 9,12A ； ∴  7 9 21,12A  ，即：  7 12,12A  ； 故答案为：  12,12 ． 11．  506 506 ， 【难度】0.65 【知识点】点坐标规律探索 【分析】根据题意可得各个点分别位于象限的角平分线上（ 1A和第四象限内的点除外），逐 步探索出下标和各点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理点 2024A 的坐标． 【详解】解：由图象得，点 A的坐标有 4种情况，依次在四个象限， ∵2024 4 506  ， ∴点 2024A 在第三象限，且转动了 506圈上， ∴ 2024A 的坐标为  506 506 ， ． 故答案为：  506 506 ， ． 12．  0,675 【难度】0.65 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，读懂题意找到点坐标的规律是解题的关键．根据可知 每三个点一圈进行循环，得到点 2025A 位于 y轴上，再根据 y轴上点的坐标规律即可得到． 【详解】解： 2025 3 675  ， 点 2025A 位于 y轴上， 根据图中规律，  3 0,1A ，  6 0,2A ，  9 0,3A ，…，  3 0,nA n 2025A 坐标为  0,675 ， 故答案为：  0,675 ． 13． ( 3,0) (1, 2) 【难度】0.65 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了规律型中点的坐标，根据点的坐标的变化找出点 nA 的坐标 4个一循环是 解题的关键．根据伴随点的定义可找出： 1(3, 2)A ， 2 (1, 2)A  ， 3( 3,0)A  ， 4 ( 1, 4)A  ， 5 (3, 2)A ， ，根据点的坐标的变化可找出点 nA 的坐标 4个一循环，再结合2022 505 4 2   可得出点 2022A 的坐标与点 2A 的坐标相同，此题得解． 【详解】解： 1(3, 2)A ， 2 (1, 2)A  ， 3( 3,0)A  ， 4 ( 1, 4)A  ， 5 (3, 2)A ， ， 点 nA 的坐标 4个一循环． 2022 505 4 2    ， 点 2022A 的坐标与点 2A 的坐标相同． 2022A 的坐标为 (1, 2) ， 故答案为： ( 3,0) ， (1, 2) ． 14．(1)8 (2)  5,2 或  2,5 (3)见解析 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、点坐标规律探索、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查平面直角坐标系，新定义运算： （1）根据  1 2 1 2 1 2,D P P x x y y   总 求解； （2）分 0 7 0x x    和 0 7 0x x    两种情况，根据D远的定义分别求解； （3）根据  , 4D C O 总 可得 4x y  ，由此作图即可． 【详解】（1）解：  , 5 0 3 0 5 3 8D A O       总 ， 故答案为：8； （2）解：点  ,7B x x 在第一象限，  0x  ，7 0x  ， 当 0 7 0x x    时，  , 0 5D B O x x   远 ， 7 7 5 2x    ， 此时点 B的坐标为  5,2 ； 当 0 7 0x x    时，  , 7 0 7 5D B O x x     远 ，  2x  ，7 7 2 5x    ， 此时点 B的坐标为  2,5 ； 综上可知，点 B的坐标为  5,2 或  2,5 ． （3）解：   , 0, 0C x y x y  ，  , 4D C O 总 ，  0 0 4x y x y      ，图形G如下图所示． 15．(1)2 (2)  4,0 或  3,0 (3)见解析 【难度】0.15 【知识点】坐标与图形、点坐标规律探索、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点与坐标，含绝对值的方程等知识，有一定的难度，关 键是理解题目中“纵横距离”及“视差”的意义． （1）根据“纵横距离”的定义： 1 2 1 2ABd x x y y    计算即可； （2）①当点 C在 x轴上，根据点 C的位置不同分两种情况：在点 B的左侧或右侧讨论其最大 值与最小值，根据线段 BC关于点 A的“视差”为 3，列方程即可求解； ②根据当  ,S A OE 取最小值时，此时点 A到线段 OE上一点的“纵横距离”的最大值始终是 4AEd  ，画出点 E组成的图形． 【详解】（1）解：点  0,1A ，  1,0B  ． ∴ 1 2 1 2ABd x x y y    0 ( 1) 1 0 2      ． 故答案为 2； （2）设点 C坐标为  ,0CC x ， 当点 C在 x轴上，并且在点 B的左侧时，如图： 0Cx  此时点 A到线段 BC上一点的“纵横距离”的最大值是 0 1 0 1AC c cd x x      ，最小值为 2ABd  ， ∴1 2 3cx   ，解得 4cx   ， 当点 C在 x轴上，并且在点 B的右侧时，如图： ∵  , 3S A BC  ，最大值不能为 2ABd  ，∴点 C在 x轴正半轴， 0Cx  此时点 A到线段 BC上一点的“纵横距离”的最大值是 0 1 0 1AC c cd x x      ，最小值为 1AOd  ， ∴1 1 3cx   ，解得 3cx  ， 综上所述：点 C的坐标为  4,0 或  3,0 ， 故答案为：  4,0 或  3,0 ； （3）①若点 E与点 A的“纵横距离”为 4． 此时点 A到线段 OE上一点的“纵横距离”的最大值始终是 4AEd  ， 此时点A到线段OE上一点的“纵横距离”的最小值最大为 1AOd  ，最小为OE过点A， 0AAd  0，  ,S A OE 的最小值为4 1 3  ，最大值为4 0 4  ， 故答案为 3；4． ②当  ,S A OE 取最小值时，在平面直角坐标系中画出所有符合题意的点 E组成的图形是折线 5 1 2 3 4E E E E E ，如图： 此时折线的端点为 1(4,1)E 、 2 0 3( , )E  、 3( 4,1)E  、 4 ( 3, 2)E  、 5 (3, 2)E ． 坐标系中规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，对 ABCV 进行循环往复地轴对称变换，若原来点C的坐标 是 31（，），则经过第2024次变换后点C的对应点的坐标为（ ） A． 31（ ，） B．  31 ， C．  3 1- ，- D．  3 1，- 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点 (1,1)A ， ( 1,1)B  ， ( 1, 2)C   ， (1, 2)D  ，把一条长 为 2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按 A B C D A    的规律紧绕在四边形 ABCD的边上，则细线另一端所在位置的坐标 是（ ） A． (1,1) B．（0，1） C． 10（﹣，） D． 1 0（，） 3．如图，在平面直角坐标系中， , ,AB EG x轴互相平行， , , , ,BC DE HG AP y轴互相平行，点 D、C、P、H 在 x轴上，  1,2A ，  1,2B  ，  3,0D  ，  3, 2E   ，  3, 2G  ，把一条 长为2039个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按 A B C D E F G H P A         的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位 置的点的坐标是( ) A．  1,1 B．  1,2 C．  1,2 D．  1, 2  4．如图，动点 P在平面直角坐标系中按箭头所示方向运动，第 1次从原点运动到点  1,1 ，第 2次接着运动到点  2,0 ，第 3次接着运动到点  3,2 ，按这样的运动规律，第 2025次运动后， 动点 P的坐标是 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不 断地移动，每移动一个单位，得到点  1 0,1A ，  2 1,1A ，  3 1,0A ，  4 2,0A ，…那么点 2024A 的坐标为 ． 6．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第 2个 正方形开始，分别是由第 1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘以 2，3，…得到的．请你 观察图形，猜想由里向外第 10个正方形四条边上的整点共有（ ） A．10个 B．20个 C．40个 D．80个 7．如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按如图所示的路线进行“爬楼梯”运动，它从原点第 1次运动到点  1,0 ，第 2次运动到点  1,1 ，第 3次运动到点  2,1 ，……按这样的运动规律， 经过第 2025次运动后，小蚂蚁的坐标是（ ） A．  1012,1011 B．  1012,1012 C．  1013,1012 D．  1013,1013 8．已知点  0 0,E x y ，  2 2,F x y ，点  1 1,M x y 是线段EF的中点，则 0 21 2 x xx  ， 0 2 1 2 y yy  ．在平面直角坐标系中有三个点  1, 1A  ，  1, 1B   ，  0,1C ，点  0, 2P 关 于A的对称点为 1P（即 P，A， 1P三点共线，且 1PA PA ）， 1P关于 B的对称点为 2P ， 2P 关 于C的对称点为 3P ，按此规律继续以 A，B，C为对称点重复前面的操作，依次得到 4P ， 5P， 6P，…，则点 2024P 的坐标是（ ） A．  0,0 B．  0,2 C．  2, 4 D．  4,2 9．如图，点  0,1A ，点  1 2,0A ，点  2 3,2A ，点  3 5,1A ，…，按照这样的规律下去，点 2024A 的坐标是 ． 10．如图，一个机器人从 O点出发，向正东方向走 3m，到达 1A点，再向正北走 6m到达 2A 点， 再向正西走 9m到达 3A 点，再向正南走 12m，到达 4A 点，再向正东方向走 15m到达 5A 点， 按如此规律走下去，当机器人走到 7A 点时， 7A 点的坐标是 ． 11．如图，已知  1 1,0A ，  2 1,1A ，  3 1,1A  ，  4 1, 1A   ，  5 2, 1A  …，则点 2024A 的坐 标为 ． 12．如图，以O为顶点，x轴正半轴上选点 1 4 7A A A、 、 、…作边长为 1、2、3、L的正方形 1 2 3OA A A 、 4 5 6OA A A 、 7 8 9OA A A 、L，其中 3 6 9A A A、 、 、…在 y轴的正半轴上．则点 2025A 的坐标 为 ． 13．在平面直角坐标系 xOy中，对于点 ( , )P x y ，我们把点 ( 1, 1)P y x    叫做点 P的伴随点．已 知点 1A的伴随点为 2A ，点 2A 的伴随点为 3A ，点 3A 的伴随点为 4A ，，这样依次得到点 1A， 2A ， 3A ，， nA ，．若点 1A的坐标为 (3, 2)，则点 3A 的坐标为 ，点 2022A 的坐标 为 ． 14．在平面直角坐标系 xOy中，对于任意两点  1 1 1,P x y 与  2 2 2,P x y ，我们重新定义这两点 的“距离”： ①当 1 2 1 2y y x x   时， 1 2x x 为点 1P与点 2P 的“远距离”D远，即  1 2 1 2,D P P x x 远 ； 当 1 2 1 2x x y y   时， 1 2y y 为点 1P与点 2P 的“远距离”D远，即  1 2 1 2,D P P y y 远 ． ②点 1P与点 2P 的“总距离”D总为 1 2x x 与 1 2y y 的和，即  1 2 1 2 1 2,D P P x x y y   总 ． 根据以上材料，解决下列问题： (1)已知点  5,3A ，则  ,D A O 总 ______． (2)若点  ,7B x x 在第一象限，且  , 5D B O 远 ．求点 B的坐标． (3)若点   , 0, 0C x y x y  ，且  , 4D C O 总 ，所有满足条件的点C组成了图形G，请在 图中画出图形G． 15．在平面直角坐标系 xOy中，对于点  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，将 1 2 1 2x x y y   的值叫做 点 A与点 B的“纵横距离”，记为 ABd ，即 1 2 1 2ABd x x y y    ．若点 P在线段 CD上，将 APd 的最大值与最小值之差称为线段CD关于点 A的“视差”，记为  ,S A CD ．已知点  0,1A ，  1,0B  ． (1)点 A与点 B的“纵横距离” ABd 的值为__________； (2)已知点 C在 x轴上，线段 BC关于点 A的“视差”为 3，则点 C的坐标为__________； (3)若点 E与点 A的“纵横距离”为 4． ①  ,S A OE 的最小值为__________，最大值为__________； ②当  ,S A OE 取最小值时，请在平面直角坐标系中画出所有符合题意的点 E组成的图形．