【专项练】坐标系中动点问题-北京版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

坐标系中动点问题 1．平面直角坐标系中，点 ( 1 4)A  ， ， (31)B ，，经过点A的直线a x∥ 轴，点C是直线 a上的 一个动点，当线段 BC的长度最短时，点C的坐标为（ ） A． ( 11) ， B． (4 3)， C． (3 4)， D． (3 1)， 2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， ABCV 的顶点均在格点上． (1)请建立合适的平面直角坐标系，使点A， B的坐标分别为  0,3 和  4,2 ，并写出点C的 坐标为___________； (2)在（1）的条件下： ① ABCV 中任意一点  0 0,P x y 经平移后对应点为点  1 0 02, 1P x y  ，将 ABCV 作同样的平 移得到 A B C   ，请画出 A B C   ； ②点D是 y轴上一动点，当 ACD 的面积是10时，点D的坐标为___________． 3．对于一些二次根式，我们可以用数形结合的方法进行研究． 例如       222 26 10 6 9 1 3 0 1x x x x x              ，可以看作平面直角坐标系 xOy中，动点  ,0A x 与定点  1 3,1B 或  2 3, 1B  之间的距离（如图）． 请参考上面的方法解决下列问题： (1)若将  22 9x   看作平面直角坐标系 xOy中，动点  ,0A x 与定点 C之间的距离，则点 C 的坐标可以是 （写出一个即可）； (2)若 2 24 13 2 2d x x x x      ，直接写出 d的最大值． 4．如图，在平面直角坐标系中，点 C在 x轴的正半轴上，以线段OC为边在第一象限内作等 边 OBC△ ，点D为 x轴正半轴上一动点且在点C的右侧，连接 BD，以线段 BD为边在第一 象限内作等边 ABD△ ，连接 AC，若 4AC  ，则点D的坐标为（ ） A． (4,0) B． (0,2) C． (2,0) D． (0,4) 5．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单 位长度，依次得到点            1 2 3 4 5 60,1 , 1,1 , 1,0 , 1, 1 , 2, 1 , 2,0 ,P P P P P P  ，则点 2025P 的 坐标是（ ） A．  674,0 B．  675,0 C．  674,1 D．  675, 1 6．如图，动点 P从 (0,3)出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形OABC的边时反弹，反弹 时反射角等于入射角，当点 P第2024次碰到长方形的边时，点 P的坐标为（ ） A． (7, 4) B． (3,0) C． (8,3) D． (1,4) 7．如图，在平面直角坐标系 xOy中，  5,0A ，  0,7B ，动点 P，Q分别按照 A O B  和 B O A  的路线同时开始运动，到各自的终点时停止．直线 l经过原点 O，且 l AB∥ ，过 P， Q分别作 l的垂线段，垂足分别为 E，F．若点 P的速度为每秒 2个单位长度，点 Q的速度为 每秒 4个单位长度，运动时间为 t秒，当 OPE 与 OQF△ 等时，t的值为 ． 8．如图，在平面直角坐标系 xOy中，A，B，C，D四点的坐标分别是        2 3 4 3 01 1 2A B C D ，， ，， ，， ， ，动点 P从点 A出发，在线段 AB上以每秒 1个单位长 度的速度向点 B运动，到达点 B时停止运动．射线PC PD， 与 x轴分别交于点 M，点 N，设 点 P运动的时间为 t秒，若以点 C，D，M，N为顶点能围成一个四边形，则 t的取值范围 是 ． 9．如图，在边长为 1个单位长度的小正方形组成的网格中， BCFV 、正方形 ABFG、正方 形FCDE的顶点均在格点上． (1)以格点为原点，建立合适的平面直角坐标系，使得 B、C坐标分别为  1, 3B   、  4, 3C  ， 则点 A的坐标为___________，点 D的坐标为___________； (2)利用面积计算线段FC  ___________； (3)点 H为直线 BF上一动点，求CH 的最小值． 10．如图，在平面直角坐标系中， ABO 各顶点坐标分别为  0,4A 、  3,0B  、  0,0O ， 5AB  ，点 P为 x轴上一个动点，且已知 2 2 2OP OA AP  始终成立，求出所有能使 ABP 为等腰三角形的点 P坐标． 11．对于平面直角坐标系 xOy中的任意一点  P x y， ，给出如下定义：记 ， ，    a x y b x y 将点  M a b， 与点  N b a， 称为点 P的一对伴随点．例如，点  1, 5M  与点  51N  ，为点  3, 2P  的一对伴随点． (1)点  41A ，的一对伴随点坐标为； (2)将点   3 1 1 0C m m m  ， 向左平移 m个单位长度，得到点C，若点C的一对伴随点 重合，求点 C的坐标； (3)已知点    3 3 1E n F n  ， ， ， ，点 D为线段EF上的动点，点 G，H为点 D的一对伴 随点．当点 D在线段EF上运动时，线段GH与 x轴总有公共点，请直接写出 n的取值范围 _____________． 12．在平面中，对于点 M，N，P，若 90MPN  ，且 PM PN ，则称点 P是点 M和点 N 的“垂等点”． 在平面直角坐标系 xOy中， (1)已知点 ( 3,2)M  ，点 (1,0)N ，则点 1 2 3(0,3), ( 2, 1), ( 5, 2)P P P    中是点 M和点 N的“垂等 点”的是___________； (2)已知点 ( 4,0), (0, )( 0)A B b b  ． ①若在第二象限内存在点 C，使得点 B是点 A和点 C的“垂等点”，写出点 C的坐标（用含 b 的式子表示），并说明理由； ②当 4b  时，点 D，点 E是线段 AO，BO上的动点（点 D，点 E不与点 A，B，O重合）．若 点 F是点 D和点 E的“垂等点”，直接写出点 F的纵坐标 t的取值范围. 13．在平面直角坐标系 xOy中，对于点  1 1P x y， ，点  2 2Q x y， ，定义 1 2x x 与 1 2y y 中 的较大值为点 P，Q的“绝对距离”，记为  d P Q， ．特别地，当 1 2 1 2x x y y   时，规定   1 2d P Q x x ， ． (1)已知  2,1P  ，  2,5Q ， ①  d P Q ， ； ②点A是坐标系内一动点，当    d A P d A Q， ， 时，直接写出满足条件的绝对距离最小时 的点A坐标； (2)已知点  1,2B ，点  1,1C  ，当  , 4d C D  时，  ,d B D 的最小值是 ，  ,d B D 的最大 值是 ； (3)已知点  1, 1E   ，点  3,3F ，点G在线段EF上，点M 的坐标是  ,n n ，点M 向右平 移 1个单位长度得到点 N ，对于线段MN上任意一点H ，存在点G满足   3d G H ， ，直 接写出 n的取值范围． 14．在平面直角坐标系 xOy中，对于点 P和线段 AB给出如下定义：若点 P满足 AP BP 最 小，且 90APB  ，则称点 P为线段 AB的美好点． (1)若点A的坐标是  1,0 ，点 B的坐标是  0, 1 ，线段 AB的美好点 P的坐标是_____． (2)若点  ,0M m 为 x轴上一动点，点  0,N n 为 y轴上一动点， ①在图 1中画出线段MN的所有美好点C； ②当点C的坐标为 ( 4, 4)  ，点M 在 x轴正半轴时，m n 的值为_____． (3)如图 2，点D和点E的坐标分别是  1,0 ，  3,2 ，点F 为线段DE上的动点，点G的坐标 是   0, 0t t  ，以点O为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为6的正方形上存在线段 FG的 美好点，直接写出 t的取值范围． 坐标系中动点问题 1．C 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形 【分析】根据题意画出图形，根据直线a x∥ 轴，得到直线 a为直线 4y  ，根据垂线段最短 即可得出答案． 【详解】解：如图， 如图，∵直线a x∥ 轴， ∴直线 a为直线 4y  ， 当BC a 时，线段 BC最短， ∴点 C的坐标为 (3 4)， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，掌握平行于 x轴的直线上点的坐标特点，以及垂线段最 短是解题的关键． 2．(1)平面直角坐标系见解析  5,5 (2) A B C   见解析  0,7 或  0, 1 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形、平移(作图) 【分析】（1）点A在 y轴的正半轴上，且距离原点O为3，可确定原点O的位置，即可画出 平面直角坐标系；由点C向 x轴作垂线，垂线与 x轴的交点在 x轴上的坐标为点C的横坐标， 由点C向 y轴作垂线，垂线与 y轴的交点在 y轴上的坐标为点C的纵坐标． （2） ABCV 由顶点A，B，C确定，只需确定顶点A，B，C平移后的对应点 A，B，C 即可确定 A B C   ，  0 0,P x y 经平移后对应点为  1 0 02, 1P x y  ，则顶点A，B，C均向 x 轴正方向移动 2，向 y轴正方向移动1． ACD 的边CD上的高为5，可求得CD的长度，即 可确定点D的坐标． 【详解】（1）因为点A的坐标为  0,3 ，所以点A在 y轴的正半轴上，且距离原点O为3， 可确定原点O的位置，可画出平面直角坐标系，如图所示． 由点C向 x轴作垂线，垂线与 x轴的交点在 x轴上的坐标为 5 ，由点C向 y轴作垂线，垂线 与 y轴的交点在 y轴上的坐标为5，所以点C的坐标为  5,5 ． （2）①  0 0,P x y 经平移后对应点为  1 0 02, 1P x y  ，则顶点A，B，C均向 x轴正方向移 动 2，向 y轴正方向移动1，可得到顶点A， B，C平移后的对应点 A，B，C，顺次连接 A B ， B C ，C A ，即为 A B C   ，如图所示． ②根据题意可知 ACD 的边CD上的高为5． 1 5 10 2ACD S CD  △ ，则 4CD  ． 根据题意可知，点D的坐标为  0,7 或  0, 1 ． 故答案为：  0,7 或  0, 1 ． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系和平移的性质，牢记平面直角坐标系相关的定义及平移 的性质是解题的关键． 3．(1)  2,3 ，  2, 3  (2) 13 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形、已知两点坐标求两点距离、最短路径问题 【分析】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求 出答案，本题考查学生综合能力，属于中等题型． （1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据已知条件得到    2 22 22 3 1 1x x     ，由（1）可知：    2 22 22 3 1 1x x     表示点  0P x， 与点  2 3E  ， 的距离PE和点  0P x， 与点  1,1F 的距离 PF 之差，根据三角形任意两边之差小于第三边，得出当 P、E、F三点共线时， PE PF 取最大值，且最大值为EF的长，求出最大值即可． 【详解】（1）解：∵      2 2 22 9 2 0 3x x          ， ∴动点  ,0A x 与定点 C之间的距离，则点 C的坐标可以是  2,3 或  2, 3  ． （2）解：∵    2 22 2 2 24 13 2 2 2 3 1 1d x x x x x x            ， ∴由（1）可知：    2 22 22 3 1 1x x     表示点  0P x， 与点  2 3E  ， 的距离PE和点  0P x， 与点  1,1F 的距离 PF 之差， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴当 P、E、F三点共线时， PE PF 取最大值，且最大值为EF的长． ∴d的最大值为：    2 22 1 3 1 13EF       ． 4．A 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和 SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、坐标与图形综合 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，由等边三角 形的性质可证  SASDBO ABC ≌ ，即得 4OD AC  ，据此即可求解，掌握等边三角形 的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ OBC△ 和 ABD△ 是等边三角形， ∴OB CB ，DB AB ， 60OBC ABD    ， ∴ OBC CBD ABD CBD    ， 即 OBD CBA   ， ∴  SASDBO ABC ≌ ， ∴ 4OD AC  ， ∴点D的坐标为  4,0 ， 故选：A． 5．B 【难度】0.65 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查坐标系下点的规律探究，根据图形找到点的规律是解题的关键．根据  6 2,0P ，  12 4,0P ...，得到 6 (2 ,0)nP n ，再结合图中点坐标规律可得 6 1(2 ,1)nP n ， 6 2 (2 1,1)nP n  ， 6 3(2 1,0)nP n  ，由于2025 6 337 3   ，得到  2025 675,0P ． 【详解】解：  6 2,0P ，  12 4,0P ...，  6 (2 ,0)nP n ， 由图中点的坐标规律可得， 6 1(2 ,1)nP n ， 6 2 (2 1,1)nP n  ， 6 3(2 1,0)nP n   2022 6 337  ，  337 6 2 (675,1)P   ，即  2024 675,1P ，  337 6 3(675,0)P   ，即  2025 675,0P ． 故选：B． 6．A 【难度】0.65 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查点的坐标规律探究，根据题意找到规律是解题的关键； 根据反射角与入射角的性质作出图形；由图可知，每6次反弹为一个循环组依次 循环，用2024除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图所示： 经过6次反弹后动点回到出发点， ∵2024 6 337 2   ， ∴ P的坐标与第 2次的坐标相同， 即为： (7, 4)； 故选：A 7．1或 2 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和一元一次方程的应用，解题的关键是恰当分类并 利用全等三角形的性质建立方程．判断出OP OQ 再分三种情况讨论，表示出OP，OQ建立 一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵  5,0A ，  0,7B ， ∴ 5OA  ， 7OB  ， 由题意，OP和OQ是两直角三角形的斜边， 当 OPE 与 OQF△ 全等时，OP OQ ， ①当点 P在OA上，点 Q在OB上时， 根据题意可得， st 时， 2AP t ， 4BQ t ∴ 5 2OP OA AP t    ， 7 4OQ OB BQ t    ， ∴5 2 7 4t t   ， 解得 1t  ； ②当点 P，Q都在OA上时，点 P，Q重合时，两三角形重合时， P点行程为2t，Q点行程为4t， ∴2 4 5 7t t   ， 解得 2t  ； ③当点 P在OB上，点 Q在OA上且点 Q与点 A重合时， 2 5OP t  ， 5OQ  ∴2 5 5t   ． 解得 5t  （舍去）； 综上所述，当 OPE 与 OQF△ 全等时，满足题意的 t的值为 1或 2． 故答案为：1或 2． 8．0 6t  且 4t  【难度】0.65 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形性质，利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的 位置关系成为解题的关键． 先计算出 AB的长，则0 6t  ，然后找出点 P、C、D共线的时间点即可得到 t的取值范围． 【详解】解：∵    2 3 4 3A B ，， ， ， ∴ 4 2 6AB    ， ∴0 6t  ， ∵点 P运动到P时，点 P、C、D共线，点 C，D，M，N为顶点不能围成一个四边形， ∴ 4t  ， ∴t的取值范围为0 6t  且 4t  ． 故答案为：0 6t  且 4t  ． 9．(1)  4,1 ，  7, 2 (2) 10 (3)3 【难度】0.65 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形 【分析】（1）建立合适的平面直角坐标系，即可得出答案； （2）由正方形FCDE的面积得出 2 10FC  ，即可得出答案； （3）当CH BF 时，CH有最小值；由正方形 ABFG的面积求出 5BF  ，由 BCFV 的面积 1 1 5 3 2 2 BF CH     ，求出 3CH  即可． 【详解】（1）解：建立合适的平面直角坐标系如图 1所示： 则点 A的坐标为  4,1 ，点 D的坐标为  7, 2 ； 故答案为：  4,1 ，  7, 2 ； （2）∵正方形FCDE的面积 14 4 4 1 3 10 2        ，正方形 FCDE的面积 2FC ， ∴ 2 10FC  ， ∴ 10FC  ； 故答案为： 10 ； （3）当CH BF 时，CH 有最小值；如图 2所示： ∵正方形 ABFG的面积 2 17 7 4 4 3 25 2 BF        ， ∴ 5BF  ， ∵ BCFV 的面积 1 1 5 3 2 2 BF CH     ， ∴ 1 15 5 3 2 2 CH    ， ∴ 3CH  ， 即CH 的最小值为 3． 【点睛】本题考查坐标与图形，解题的关键是正确的画出平面直角坐标系，利用割补法求面积． 10．  8,0 或  2,0 或  3,0 或 7 ,0 6       【难度】0.65 【知识点】坐标与图形综合、等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形 【分析】设点 P的坐标为  ,0x ，分情况讨论，根据等腰三角形的性质和勾股定理分别求出 x 的值，即可得出结论． 本题考查了勾股定理、坐标与图形性质、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识，熟练掌握勾 股定理和 等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设点 P的坐标为  ,0x ， 当 0x  时， BP BA ，则 3 5x- - = ， 解得： 8x   ，  8,0P  ； 当 0x  时，分两种情况： ① BP BA 时，则  3 5x    ， 解得： 2x  ，  2,0P ； ② AP AB 时，OB OP ， 3x  ；  3,0P ； ③ AP BP 时， 2 2AP BP ，则  3BP x   ，   22 24 3x x       ， 解得： 7 6 x  ， 7 ,0 6 P       ． 综上所述，P的坐标为  8,0 或  2,0 或  3,0 或 7 ,0 6       ． 11．(1) (5, 3), ( 3,5)  (2) 1 3, 2 2       (3) 3 2n   【难度】0.65 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形，新定义，解不等式组，理解和应用新定义是解题的关键． （1）根据“伴随点”的定义求解即可； （2）根据“伴随点”的定义列方程求解即可； （3）设出点D的坐标，根据新定义，建立不等式组，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得， 4 1 5    a x y ， 4 1 3       b x y ， ∴点A的一对伴随点坐标为： (5, 3), ( 3,5)  ； （2）由题意得， (2 1, 1)  C m m ， 此时， 2 1 1 3    a m m m， 2 1 1 2       b m m m ， 则C点的伴随点为 ( 2,3 ) m m 和 (3 , 2) m m ， ∴这两个伴随点重合，(即两点的横、纵坐标分别相等)， ∴ 2 3  m m，解得， 1 2 m  ， ∴ 1 33 1 , 1 2 2    m m ， ∴C点坐标为 1 3, 2 2       ； （3）∵D为线段EF上的动点， 设D点坐标为 ( 3, )( 1)   t n t n ， ∴D点的伴随点为： 3 , 3    a t b t ，即 ( 3 ,3 ), (3 , 3 )     t t t t ， ∴ ( 3 ,3 ), (3 , 3 )     G t t H t t ， ∵线段GH 与 x轴总有公共点， 3 3  t t ， ∴ 3 0 3 0 t t      ，解得： 3 3t   ， 由 1n t n   ， 可得， 3 1 3 n n      ，解得， 3 2n   ， ∴ n的取值范围为： 3 2n   ． 12．(1) 1P， 2P (2)①点C的坐标是 ( , 4)b b  ；② 2 4t   ． 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、坐标与图形 【分析】（1）由“垂等点”的定义，通过三角形全等即可解决问题； （2）①由 (AAS)CBK BAO ≌ 可得CK BO ，KB AO ，即可求出点C的坐标； ②当D，E分别与A， B重合时，点F 是点D和点E的“垂等点”，可求出点 F 的坐标，即 可求出 t的取值范围． 【详解】（1）由题意得： 1MH OP ， 1 1 90MHP NOP   ， 1HP ON ， 1MHP ≌ 1 (SAS)PON ， 1 1MP NP  ， 1 1PMH NPO  ， 1 1 90PMH MPH   ， 1 1 90NPO MPH   ， 1 90MPN  ， 点 1P是点M 和点N 的“垂等点”， 同理点 2P 是点M 和点N 的“垂等点”，点 3P 不是点M 和点N 的“垂等点”， 故答案为： 1P， 2P ； （2）①点C的坐标是 ( , 4)b b  ，理由如下： 在第二象限内存在点C，使得点 B是点A和点C的“垂等点， BC AB  ， 90ABC  ， 90CBK ABO BAO ABO      ， CBK BAO  ， 90CKB BOA    ， ∴ (AAS)CBK BAO ≌ ， CK BO  ，KB AO ， 点 ( 4,0)A  ， (0B ， )( 0)b b  ， 点C的坐标是 ( , 4)b b  ； ②当 4b  时，当D，E分别与A，B重合时，点 F 是点D和点E的“垂等点”，点F 是线段 AB的垂直平分线上的点， FA FB ， 90FAB  ，显然点F 的纵坐标是 0或 4， 当点 F 是线段 AB的垂直平分线上的点，显然点F 的纵坐标是 2 ，2． t 的取值范围是 2 4t   ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是理解“垂等点”的定义． 13．(1)① 4；②  0,3A ； (2)  ,d B D 的最大值为6，最小值为 2； (3) 2 2n- 【难度】0.15 【知识点】坐标与图形、由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）①直接利用定义计算即可；②先判断符合条件的 A的位置，再结合图形解答即 可； （2）设  ,D x y ，当  , 4d C D  时，分两种情况讨论，结合新定义可得答案； （3）根据点的坐标特点分两种情况讨论；当M 在第四象限时，当M 在第二象限时，再进一 步结合图形与新定义可得答案． 【详解】（1）解：①∵  2,1P  ，  2,5Q ， ∴ 2 2 4   ， 1 5 4  ， ∴   4d P Q ， ； ②当    d A P d A Q， ， 时， ∴满足条件的A点如图所示； ∴满足条件的绝对距离最小时的点A坐标为  0,3 ； （2）解：∵点  1,2B ，点  1,1C  ，设  ,D x y ， 当  , 4d C D  时， ①当 1 4x   ， 1 4y   ， 解得： 3x  或 5x   ， 3 5y   ， ∴ 1 3 1 2x     或 1 5 1 6x      ；0 2 5y   ， ∴  ,d B D 的最大值为6，最小值为 2； 当 1 4y   ， 1 4x   时， 解得： = 3y  或 5y  ， 5 3x   ； ∴ 2 3 2 5y      或 2 5 2 3y     ，2 1 6x   ； ∴  ,d B D 的最大值为6，最小值为 2； 综上：  ,d B D 的最大值为6，最小值为2； （3）解：如图，当M 在第四象限时， 当  2, 2M  时，满足条件， ∴此时 2n  ，即 2n   ， 如图，当M 在第二象限时， 由平移可得：  1,N n n  ， 此时  2,2M  满足条件， ∴ 2n   ，即 2n  ， 综上： 2 2n- ； 【点睛】本题考查的是新定义的含义，坐标与图形，平移的性质，理解新定义的含义，熟练的 利用数形结合的方法解题是关键． 14．(1)  0,0 或( )1, 1- (2)①见解析；② 8 (3) 7 1t    【难度】0.4 【知识点】坐标与图形综合、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和 ASA（AAS）综合（ASA 或者 AAS） 【分析】（1）根据新定义可得 APB△ 是等腰直角三角形，且 AB是斜边；结合坐标系，写出 点 P的坐标，即可求解； （2）①构造等腰直角三角形，结合坐标系得出美好点C的坐标，进而可得美好点C在象限平 分线上，进而画出图形，即可求解； ②根据①的结论得出点C的坐标为 , 2 2 n m n mC       即 ( 4, 4)  ，即可求解； （3）根据题意画出图形，找到 t的最大值与最小值，根据全等三角形的性质结合坐标系，得 出点G的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：点 P满足 AP BP 最小，且 90APB  ， ∴ AP BP ，即 APB△ 是等腰直角三角形，且 AB是斜边； ∵  1,0A ，  0, 1B  ，且 90APB  ，如图所示， 线段 AB的美好点 P的坐标是  0,0 或  1, 1 ， 故答案为：  0,0 或  1, 1 ； （2）①如图所示，直线 1 2,l l 即为所求 理由如下， 如图所示，设 , 0m n  ，过点C作DE x 轴，过点N 作EN DE 于点E， ∵ 90MCN  ，CN CM ，则C是MN的美好点C； 又 90E CDM   ， ∴ 90ECN MCD CMD     ， ∴  AASECN DMC ≌ ， ∴ ,EN CD EC DM  ， ∵  ,0M m ，  0,N n ∴EC CD DM CD n    ,DM EN DM CD m    ∴ , 2 2 m n n mDM CD   ∴ 2 2 m n n mOD DM OM m      ∴OD CD 即点C在第二象限的平分线上， 如图所示，当C在MN的另一侧时， 同理可得 FC N GMC  ≌ ， ∴ ,C G NF MG FC   ∵  ,0M m ，  0,N n ∴ ,C G MG n C G MG m     ∴ 2 2 m n n mC G MG   ， ∴ 2 2 n m n mOG OM MG m       ∴OG GC ， 即点C在第一象限的平分线上， 如图所示，同理可得C在第三、四象限的平分线上， 综上所述，线段MN的所有美好点C组成的图形为象限平分线； ②如图所示， 由①可得 CQM NPC ≌ ， ∴ ,CQ PN PC QM  ∴ ,PQ CQ PC QM CQ n OM QM OQ QM PN QM CQ m             ∴ , 2 2 m n n mQM CQ    ， ∴ 2 2 m n n mOQ QM OM m       ∴ , 2 2 n m n mC       又∵点C的坐标为 ( 4, 4)  ， ∴ 4 2 n m   ∴ 8m n   故答案为： 8 ． （3）解：如图所示，∵点D和点E的坐标分别是  1,0 ，  3,2 ，点F 为线段DE上的动点， 设  ,F m n ，过点F 分别作 ,FA EB FC DB  垂足分别为 ,A C ，B C， 分别在 x轴上， ∵ 2DB EB  ，则 DBE ， EFA△ 是等腰直角三角形， ∴  2 3 1n FC AB EB EA EB AF m m           即  , 1F m m 由（2）可得GF 的美好点与 ,G F 构成以GF 为对角线的正方形， 设以点O为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为6的正方形为MNKL， 如图所示，当 t取得最大值时，GF 的美好点  1P P 在正方形的边 LK上， ∵点D和点E的坐标分别是  1,0 ，  3,2 ， 点  0,G t ， 又∵ 1GEP 是等腰直角三角形， ∴ 1 1 3GP EP  ∴2 3t  ∴ 1t   ，即 t的最大值为 1 当美好点 P在边MN上时，如图所示， 同理可得 TFP SPG ≌ ∴ 3TP GS  ，TF PS ∵  , 1F m m ∴  3 3 6ST TP PS SG TF m m         ∴  1 6 1 7OG TS m m m        ∴  7,0G  综上所述， t的取值范围为 7 1t    ． 【点睛】本题考查了几何新定义，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的 性质与判定，熟练掌握以上知识，理解新定义，分类讨论是解题的关键．