【专项练】一次函数与方程（组）相结合的问题-北京版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 一次函数与方程（组）相结合的问题 （有学习卡片可供参考下载哦） 1．B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图像的交点坐标，熟练掌握相关知识是 解题关键．先求出点 P 的坐标，由图像可知，当 4x = 时，两个函数的函数值是相等的，即可求 解． 【详解】解：根据题意得，点 P 的纵坐标为 7， 把 7y = 代入 2 1y x= − ， 可得7 2 1x= − ，解得 4x = ， ∴点 P 的坐标为 ( )4,7 ， ∵一次函数 2y ax= + （ 0a  且 a为常数）与 2 1y x= − 的图像相交于点 P ， ∴关于 x的方程 2 2 1ax x+ = − 的解是 4x = ． 故选：B 2． ( )2,0 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征 是解题的关键． 根据方程解的定义求得 a的值，再令 0y = ，即可求得一次函数与 x轴的交点坐标． 【详解】解：∵关关于 x的方程 5 0ax− = 的解为 2x = ， ∴ 2 5 0a ， 解得： 5 2 a = ． ∴一次函数为 5 5 2 y x= − ， 令 0y = ，得 5 5 0 2 x − = ． 解得： 2x = ， ∴一次函数 5 5 2 y x= − 与 x轴交点的坐标为 ( )2,0 ． 故答案为 ( )2,0 ． 3． 1− 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【分析】先把点 ( ),1P a 代入 y x= − ，求出 a的值，得到两直线交点 ( )1,1P − ，再根据一次函数与 一元一次方程的关系，即可得到答案． 【详解】解： 点 ( ),1P a 在直线 y x= − 上， 1a− = ， 1a = − ， ( )1,1P − ， 由图象可知，方程 kx b x+ = − 的解就是直线 y x= − 与 y kx b= + 的交点的横坐标， 1x = − ， 故答案为： 1− ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次方程的关系，掌握利 用图象法解一元一次方程是解题关键． 4． 4x = 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式 1 1 2 y x= 求出 m 的值， 然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于 x 的方程 2kx b+ = 的解可得答案． 【详解】解：∵直线 1 1 2 y x= 与直线 2y kx b= + 相交于点 ( ), 2A m ， ∴ 1 2 2 m= ， ∴ 4m = ， ∴ ( )4,2A ， ∴当 4x = 时， 2y kx b= + = ， ∴关于 x的方程 2kx b+ = 的解是 4x = ， 故答案为： 4x = ． 5．(1)① 2− ；② 2x− ；③ 2x− − (2)见解析 (3)①2，2；②1；③ 2a  − 【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与方程的关系，正确数形结合分析 是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 （1）直接利用绝对值的性质进而化简得出答案； （2）直接利用（1）中所求得出函数函数解析式，即可画出图象； （3）直接利用函数图象得出答案． 【详解】（1）解：①当 0x = 时， 0 2 2y = − = − ； ②当 0x  时， 2 2y x x= − = − ； ③当 0x  时， 2 2y x x= + = − − ； 故答案为： 2− ； 2x− ， 2x− − ； （2）解：函数 2y x= − 的图象，如图所示： （3）解：从函数图象得到： ①函数图象与 x轴有 2 个交点，方程 2 0x − = 有 2 个解； ②方程 2 2x − = − 有 1 个解； ③若关于 x的方程 2x a− = 无解，则 a的取值范围是 2a  − ． 故答案为：2，2；1； 2a  − ． 6．(1)3 (2)见解析 (3)①函数值 0y  ；②当 1x  时， y 随 x的增大而增大； (4)① 1x = ；② 0a  【分析】本题考查一次函数的图像与性质、一次函数与一元一次方程的关系等知识，解题的关 键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）求出 2x = − 时的函数值即可； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 （2）利用描点法画出函数图像即可； （3）结合图像写出两个性质即可； （4）分别求出方程的解即可解决问题； 【详解】（1）解： 2x = − 时， 1 2 1 3y x= − = − − = ，  3m = ， 故答案为：3； （2）函数图像如图所示： （3）①函数值 0y  ； ②当 1x  时， y 随 x的增大而增大； 故答案为：函数值 0y  ；当 1x  时， y 随 x的增大而增大； （4）①方程 1 0x − = 的解是 1x = ； ②关于 x的方程 1x a− = 有两个不相等实数根，则 a的取值范围是 0a  ， 故答案为： 1x = ， 0a  ． 7．(1)1；1 (2)见解析 (3)函数 2 | 1 | 3y x= + − 有最小值，最小值为 = 3y − ；函数 2 1 3y x= + − 的图象关于直线 1x = − 对称 (4) 1 22, 2x x= − = ，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数 交点坐标的意义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 （1）分别把 3x = − 和 1x = 代入函数解析式，即可求解； （2）根据表格选取点 ( )1, 3A − − ，点 ( )3,1B − 作射线，选取点 ( )1, 3A − − ，点 ( )1,1C 作射线，即可解 答； （3）观察（2）中的函数图象，从最小值，对称性，增减性等方面总结即可； （4）画出函数 2 1 3y x= + − 和 1y x= + 的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解． 【详解】（1）解： 2 3 1 3 1, 2 1 1 3 1m n=  − + − = =  + − = ； 故答案为：1；1 （2）解：如图， （3）解：根据题意得： 结论 1：函数 2 | 1 | 3y x= + − 有最小值，最小值为 = 3y − ； 结论 21：函数 2 1 3y x= + − 的图象关于直线 1x = − 对称； （4）解：方程 2 1 3 1x x+ − = + 的解为： 1 22, 2x x= − = ，理由如下： 画出函数 2 1 3y x= + − 和 1y x= + 的图象，如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 函数 2 1 3y x= + − 和 1y x= + 的图象交点坐标分别为 ( ) ( )2, 1 , 2,3D E− − ， ∴关于 x的方程 2 1 3 1x x+ − = + 的解为： 1 22, 2x x= − = ． 8．(1)① 2− ；② 2x− ；③ 2x− − (2)见解析 (3)见解析 (4)①2，2；②1；③ 2a  − 【分析】（1）直接利用绝对值的性质进而化简得出答案； （2）直接利用（1）中所求得出函数图象； （3）根据图象即可求得； （4）直接利用函数图象得出答案． 【详解】（1）解：①当 0x = 时， | | 2 2y x= − = − ； ②当 0x  时， | | 2 2y x x= − = − ； ③当 0x  时， | | 2 2y x x= + = − − ； 故答案为： 2− ； 2x− ， 2x− − ； （2）函数 2y x= − 的图象，如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ； （3）由图象可知： ①函数图象关于 y 轴对称； ②当 0x = 时， y 有最小值 2− ．（答案不唯一）； （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与 x轴有 2 个交点，方程 | | 2 0x − = 有 2 个解； ②方程 2 2x − = − 有 1 个解； ③若关于 x的方程 2x a− = 无解，则 a的取值范围是 2a  − ． 故答案为：2，2；1； 2a  − ． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与方程的关系，正确数形结合分析 是解题关键． 9．(1) 1− ，6 (2)见解析 (3)①1；②增大；③ 1b  【分析】（1）求出当 1 1 1y x= + + = 时 x的值，当 4x = 时 y的值即可得到答案； （2）先描点，然后连线画出对应的函数图象即可； （3）根据（2）所画函数图象进行求解即可． 【详解】（1）解：在 1 1y x= + + 中，当 1 1 1y x= + + = 时，则 1 0x + = ， ∴ 1x = − ，即 1m = − ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 在 1 1y x= + + 中，当 4x = 时， 1 1 4 1 1 5 1 6y x y= + + = = + + = + = ，即 6n = ， 故答案为： 1− ，6； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：①由函数图象可知，该函数的最小值为 1， 故答案为：1； ②由函数图象可知，当 1x  − 时，函数值 y随自变量 x的增大而增大， 故答案为：增大； ③由函数图象可知，当 1b  时，直线 1 1y x= + + 与直线 y b= 有两个不同的交点，即方程 1 1x b+ = − 有两个不相同的解， ∴ 1b  ． 【点睛】本题主要考查了求一次函数的函数值和自变量，画一次函数图象，一次函数的性质等 等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． 10．(1)见详解 (2)不是 (3)①见详解；② 5− 或 1； 1x  或 5x  − 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 (4)当 1 1 2 k−   时，方程有两个解；当 1k  或 1k  − 或 1 2 k = 时，方程有一个解；当 1 1 2 k  时， 方程没有解 【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是 明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据两点间距离公式可得 | 2 |y x= + ，代入相应的 x的值，求得 y 的值填表即可；找出具体 的点画出函数图象即可； （2）根据函数的定义进行判断其不是函数关系； （3）①观察函数图象可得结论；②观察函数图象可得结论； （4）由题可知 2 1x kx+ = + ，作出 1y kx= + 的图象，观察得知两函数图象交点的横坐标即可； 【详解】（1）解： y 表示与点A 之间的距离，所以， | ( 2) | | 2 |y x x= − − = + ， 填表可得： x … 4− 3− 2− 1− 0 1 2 … y … 2 1 0 1 2 3 4 … 函数图象如下： （2）解：不是； 例如：当 1y = 时，x可以取 3− 或 1− ，不满足函数的定义，给定一个 y 的值，都应该有唯一的 x的 值与之对应； （3）解：①写出该函数的两条不同类型的性质；根据图象可得： 当 2x  − 时， y 随 x的增大而增大，当 2x  − 时， y 随 x的增大而减小； 关于经过 ( 2,0)− 且垂直于 x轴的直线对称； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ②根据图象可得：若 3y = ，则对应的 x的值是 5− 或 1． 若 3y  ，则对应的 x的取值范围是 1x  或 5x  − ． （4）解：如图， ∵关于 x的方程 2 1x kx+ = + ( k 为常数， 0)k  ， 令 1y kx= + ，则图象过点(0,1)， 当 1y kx= + 过点 ( 2,0)− 时， 2 1 0k− + = ， ∴ 1 2 k = ，此时，关于 x的方程 2 1x kx+ = + （ k 为常数， 0)k  有一个解； 当直线 1y kx= + 平行于 2y x= + 时， 1k = ， ∴ 1k  时，关于 x的方程 2 1x kx+ = + （ k 为常数， 0)k  有一个解； 当直线 1y kx= + 平行于 2y x= − − 时， 1k = − ， ∴ 1k  − 时，关于 x的方程 2 1x kx+ = + （ k 为常数， 0)k  有一个解； ∴当 1 1 2 k−   时，方程有两个解； 当 1k  或 1k  − 或 1 2 k = 时，方程有一个解； 当 1 1 2 k  时，方程没有解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 一次函数与方程（组）相结合的问题 （有学习卡片可供参考下载哦） 1．如图，一次函数 2y ax= + （ 0a  且 a为常数）与 2 1y x= − 的图像相交于点 P ，且点 P 的纵坐 标为 7，则关于 x的方程 2 2 1ax x+ = − 的解是（ ） A． 1x = B． 4x = C． 3x = D． 2x = 2．已知关于 x的方程 5 0ax− = 的解为 2x = ，则一次函数 5y ax= − 的图象与 x轴的交点坐标 为 ． 3．如图，已知直线 y x= − 与 y kx b= + 交于点 ( ),1P a ，则方程 kx b x+ = − 的解是 x = ． 4．如图，直线 1 1 2 y x= 与直线 2y kx b= + 相交于点 ( ), 2A m ，则关于 x的方程 2kx b+ = 的解为 ． 5．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数 2y x= − 的图象和性质，并解决问题． (1)填空：①当 0x = 时， 2y x= − = ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ②当 0x  时， 2y x= − = ． ③当 0x  时， 2y x= − = ． (2)在平面直角坐标系中作出函数 2y x= − 的图象 (3)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与 x轴有_____个交点，方程 2 0x − = 有____个解： ②方程 2 2x − = − 有_____个解： ③若关于 x的方程 2x a− = 无解，则 a的取值范围是 ． 6．某班“数学兴趣小组”对函数 1y x= − 的图像和性质进行了探究，过程如下，请补充完整． (1)自变量 x的取值范围是全体实数， x与 y 的几组对应值列表如下： x  3− 2− 1− 0 1 2 3 4 5  y  4 m 2 1 0 1 2 3 4  其中，m = ________； (2)根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请 画出该函数图象的另一部分． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 (3)观察图象，写出该函数的两条性质： ①________； ②________； (4)进一步探究函数图象发现： ①方程 1 0x − = 的解是________； ②关于 x的方程 1x a− = 有两个不相等实数根，则 a的取值范围是________． 7．综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数 2 1 3y x= + − 的 图象． (1)列表： x … 4− 3− 2− 1− 0 1 2 … y … 3 m 1− 3− 1− n 3 … 表格中m = _____________， n =_____________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论 1：_____________； 结论 2：_____________； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 (4)写出关于 x的方程 2 1 3 1x x+ − = + 的解，并简单说明此方程的解是如何得到的． 8．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数 2y x= − 的图象和性质，并解决问题． (1)填空： ①当 0x = 时， 2y x= − = ______； ②当 0x  时， 2y x= − = ______； ③当 0x  时， 2y x= − = ______； (2)在平面直角坐标系中作出函数 2y x= − 的图象； (3)观察函数图象，写出关于这个函数的两条结论； (4)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与 x轴有______个交点，方程 2 0x − = 有______个解； ②方程 2 2x − = − 有______个解； ③若关于 x的方程 2x a− = 无解，则 a的取值范围是______． 9．小明根据学习函数的经验，对函数 1 1y x= + + 的图象与性质进行了探究． 小明的探究过程如下： 列表： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 x … 4− 3− 2− m 0 1 2 3 4 … y … 4 3 2 1 2 3 4 5 n … (1)补全表格：m = ______， n =______； (2)以自变量 x的值为横坐标，相应的函数值 y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出．．表格中 的点，并连线．．． (3)根据表格及函数图象探究函数性质： ①该函数的最小值为______； ②当 1x  − 时，函数值 y随自变量 x的增大而_______（填“增大”或“减小”）； ③若关于 x的方程 1 1x b+ = − 有两个不同的解，求 b的取值范围． 10．如图，数轴上点 A表示的数是 2− ．点 B是数轴上一动点，若它表示的数是 x，与点 A之 间的距离为 y． (1)填写下表，画出 y关于 x的函数图像； x … 4− 3− 2− 1− 0 1 2 … y … … (2)x是 y的函数吗？______（填“是”或者“不是”）； (3)观察图像， ①写出该函数的两条不同类型的性质； ②若 3y = ，则对应的 x的值是______． 若 3y  ，则对应的 x的取值范围是______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 (4)关于 x的方程 2 1x kx+ = + (k为常数， 0k  )，请利用函数图像，根据方程解的个数写出对应 k的值或取值范围． 当_____________时，方程有两个解； 当________________时，方程有一个解； 当____________________时，方程没有解