【专项练】一次函数与不等式（组）相结合的问题-北京版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 一次函数与不等式（组）相结合的问题 （有学习卡片可供参考下载哦） 1．若函数 y ax= 和函数 3y x= − + 的图象如图所示，其交点为 ( ), 2A x ，则关于 x的不等式 3ax x+  的解集是（ ） A． 3x  − B． 1x  − C． 1x  D． 2x  2．如图是关于 x的函数 ( )0y kx b k= +  的图象，则不等式 0kx b+  的解集在数轴上可表示为（ ） A． B． C． D． 3．下列函数中，自变量的取值范围为 5x  的是（ ） A． 5y x= − B． 1 5 y x = − C． 5y x= − D． 1 5 y x = − 4．古代手工艺文化是中华民族宝贵的文化遗产，是千百年来劳动人民智慧的结晶，承载着民 族文化的传承与发展．凤翔泥塑手工艺品厂每天生产𝐴、𝐵两种工艺品共 60 件，成本和售价如 下表： 成本/（元/ 件） 售价/（元/ 件） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A种工艺 品 40 60 B 种工艺 品 30 45 设每天生产A 种工艺品 x件，每天获得的总利润为 y 元． (1)求 y 与 x之间的函数表达式； (2)如果该手工艺品厂每天最多投入的成本为 2000 元，那么每天生产多少件 A种工艺品，所获 得的利润最大？并求出这个最大利润． 5．已知关于 x的一次函数 (2 4) (3 )y m x m= + + − ． (1)当 y 随 x的增大而增大时，求m的取值范围； (2)若函数图像经过第一、二、三象限，求m的取值范围； (3)若 1m = ，当 1 2x−   时，求 y 的取值范围． 6．某企业计划购买 A、B两种型号的笔记本电脑共 15台，已知 A型笔记本电脑每台 5200元， B型笔记本电脑每台 6400 元，设购买 A型笔记本电脑 x台，购买两种型号的笔记本电脑共需 要总费用 y元． (1)求出 y与 x之间的函数表达式 (2)若因为经费有限，该企业预算不超过 8.6万元，且购买 A型笔记本电脑的数量不得大于 B 型笔记本电脑数量的 4倍，请问该企业共有几种购买方案?哪种方案费用最省，并求出该方案 所需费用 7．用描点法，列表画出函数 2 4y x= + 的图象，并利用图象解答下列问题： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 (1)求方程 2 4 0x+ = 的解； (2)求不等式 2 4 0x+  的解集． 8．如图是将 4个规格都相同的碗整齐叠放成一摞的示意图．小华结合学习函数的经验，探究 整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度 y(单位：cm)随着碗的数量 x(单位：个)的变化规律， 发现 y与 x满足一次函数关系．如表是小华经过测量得到的 y与 x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 y/cm 6 8.4 10.8 13.2 (1)求出 y与 x之间的函数表达式； (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm，求此时碗的数量最多为多少个？ 9．已知函数 ( )2 1 3y m x m= + + − （m为常数）． (1)当m满足条件______时，该函数是正比例函数；当m满足条件______时， y 随 x的增大而增 大． (2)当m满足条件______时，函数图象经过点 ( )2,4 ． (3)若该函数图象不经过第一象限，求m的取值范围． 10．如图，直线 1 1 3 : 2 2 l y x= + 与 y轴的交点为A，直线 1l 与直线 2 :l y kx= 的交点M的坐标为 (3, )M a ． （1）求 a和 k的值； （2）直接写出关于 x的不等式 1 3 2 2 x kx+  的解集； （3）若点 B 在 x轴上，MB MA= ，直接写出点 B 的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 一次函数与不等式（组）相结合的问题 （有学习卡片可供参考下载哦） 1．A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键先求出交点坐标，进而确定 a的值． 先根据交点 ( ,2)A x 在 3y x= − + 上，求出 1x = ，从而确定交点A 坐标，把 (1,2)A 代入 y ax= ，算出 2a = ， 然后代入不等式 3ax x+  ，即可求解． 【详解】∵函数 y ax= 和函数 3y x= − + 的交点为 ( ), 2A x ， 2 3x = − + ， 1x = ， ( )1,2A ， 把 A点的坐标代入 y ax= 得， 2a = ， 把 2a = 代入 3ax x+  得， 2 3x x+  解得： 3x  − 故选：A． 2．B 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合的思想方法．从图象可 以得到函数的增减性以及与 x轴的交点，从而得到 0kx b+  的解集． 【详解】解：函数 ( )0y kx b k= +  的图象，与 x轴的交点是 ( )2,0 ，且函数值 y随自变量 x的增 大而增大， ∴不等式 0kx b+  的解集是 2x  ． 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了函数的自变量、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟练掌握分 式的分母不等于 0 和二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据分式的分母不等于 0 和二 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 次根式的被开方数的非负性求解即可得． 【详解】解：A、函数 5y x= − ，自变量 x的取值范围是所有实数，则此项不符合题意； B、函数 1 5 y x = − ，自变量 x的取值范围为 5 0x−  ，即 5x  ，则此项不符合题意； C、函数 5y x= − ，自变量 x的取值范围为 5 0x−  ，即 5x≥ ，则此项不符合题意； D、函数 1 5 y x = − ，自变量 x的取值范围为 5 0x −  ，即 5x  ，则此项符合题意； 故选：D． 4．(1) 5 900y x= + (2)每天生产 20 件 A种工艺品，所获得的利润最大，为 1000 元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确的求出函数解析式是解 题的关键． （1）根据总利润等于两种工艺品的利润之和，列出函数关系式即可； （2）根据题意，列出不等式求出 x的取值范围，再根据一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得： ( ) ( )( )60 40 45 30 60y x x= − + − − 20 900 15x x= + − 5 900x= + ； （2）由题意，得： ( )40 30 60 2000x x+ −  ， 解得： 20x  ， ∵ 5 900y x= + ， ∴ y 随 x的增大而增大， ∴当 20x 时， y 有最大值，为5 20 900 1000 + = ； 答：每天生产 20 件 A种工艺品，所获得的利润最大，为 1000 元． 5．(1) 2m  − (2) 2 3m−   (3) 4 14y−   【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式（组）； （1）依题意，2 4 0m+  ，解不等式，即可求解； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 （2）根据函数 (2 4) (3 )y m x m= + + − 图像经过第一、二、三象限，得出 2 4 0 3 0 m m +   −  ，解不等式组， 即可求解； （3）依题意，函数解析式为： 6 2y x= + ，根据 6 0k =  ，y 随 x的增大而增大，分别求得 1,2x = − 时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，2 4 0m+  ， 解得： 2m  − （2）解：∵函数 (2 4) (3 )y m x m= + + − 图像经过第一、二、三象限， ∴ 2 4 0 3 0 m m +   −  ， 解得： 2 3m−   ； （3）解：∵ 1m = ， ∴函数解析式为： 6 2y x= + ， 6 0k =  ， y 随 x的增大而增大 当 1x = − 时， 4y = − ，当 2x = 时， 14y = ， ∴当 1 2x−   时， 4 14y−   6．(1) 1200 96000y x= − + (2)共有 4 种购买方案，购买A 型笔记本电脑 12 台，B 型笔记本电脑 3 台费用最省，费用为 81600 元． 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出一次函 数是解此题的关键． （1）根据题意直接可以写出 y与 x之间的函数表达式； （2）根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出 25 12 3 x  ，再由一次函数的性质求解 即可． 【详解】（1）解：由题意得 ( )5200 6400 15 1200 96000y x x x= + − = − + ． ∴y与 x之间的函数表达式为 1200 96000y x= − + ； （2）解：∵学校预算不超过8.6万元，购买 A型笔记本电脑的数量不得大于 B型笔记本电脑数 量的 4 倍， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ∴ 1200 96000 86000 4 15 x x x − +    − （ ） ， 解得： 25 12 3 x  ， ∴共有 4 种购买方案，其中 1200 96000y x= − + ， ∵ 1200 0−  ， ∴当 12x = 时，y有最小值，最小值为 1200 12 96000 81600−  + = ， ∴购买A 型笔记本电脑 12 台， B 型笔记本电脑 3 台费用最省，为 81600 元． 7．(1) 2x = − (2) 2x  − 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一 次方程等知识点，能根据一次函数的图象和性质求出一元一次不等式和一元一次方程的解是解 此题的关键． （1）根据函数的解析式画出函数的图象，根据图象得出一元一次方程的解即可； （2）根据一次函数的图象得出一元一次不等式的解集即可． 【详解】（1）解：函数 2 4y x= + ，列表如下： x 3− 2− 1− 0 1 2 y 2− 0 2 4 6 8 描点法画出函数 2 4y x= + 的图象如下： 由图象可知，当 0y = 时， 2x = − ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∴方程2 4 0x+ = 的解为： 2x = − ； （2）解：由函数图象可知，不等式2 4 0x+  的解集为： 2x  − ． 8．(1) 2.4 3.6y x= + (2)此时碗的数量最多为 10 个 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，掌握待定系数法求一次函数的关 系式和一元一次不等式的解法是解题的关键． ( )1 利用待定系数法解答即可； ( )2 根据题意列关于 x的一元一次不等式并求其解集即可． 【详解】（1）解：设 y 与 x之间的函数表达式为 ( ,y kx b k b= + 为常数，且 0)k  ． 将 1, 6x y= = 和 2, 8.4x y= = 分别代入 y kx b= + ， 得 6 2 8.4 k b k b + =  + = ， 解得 2.4 3.6 k b =  = ， ∴与 x之间的函数表达式为 2.4 3.6y x= + ． （2）解：根据题意，得2.4 3.6 28.8x+  ， 解得 10.5x  ， ∵x为非负整数， ∴此时碗的数量最多为 10 个． 9．(1) 3m = ， 1 2 m  − (2) 1m = (3) 1 2 m  − 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数的定义和性质，解不等式组，根据题意正 确的得到不等式组是解题的关键． （1）根据 y是 x的正比例函数列方程，即可得到结论； （2）根据函数图象经过点 ( )2,4 ，将 ( )2,4 代入求解即可； （3）根据函数图象不经过第一象限，列不等式组，即可得到结论． 【详解】（1）解：对于函数 (2 1) 3y m x m= + + − ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∵ y 是 x的正比例函数， 3 0m − = 且2 1 0m+  ， 解得： 3m = ； 当 2 1 0m+  ，即 1 2 m  − 时， y 随 x的增大而增大； 故答案为： 3m = ； 1 2 m  − ； （2）解：当函数图象经过点 ( )2,4 时， 将 ( )2,4 代入 (2 1) 3y m x m= + + − ， 得： 4 2(2 1) 3m m= + + − ， 解得： 1m = ， 故答案为： 1m = ． （3）解：∵该函数图象不经过第一象限， 则 2 1 0 3 0 m m +   −  ， 解得： 1 2 m  − ， 故m的取值范围为 1 2 m  − ． 10．（1） 3a = ， 1k = ；（2） 3x  ；（3） 1 2 3 9 ( ,0), ( ,0) 2 2 B B 【分析】（1）把 M（3，a）代入 1 1 3 : 2 2 l y x= + 求得 a，把 M（3，3）代入 y=kx，即可求得 k 的 值； （2）由 M（3，3）根据图象即可求得； （3）先求出 AM 的长度，作 MN⊥x 轴于 N，根据勾股定理求出 BN 的长度即可得答案． 【详解】解：∵直线 1l 与直线 2l 的交点为 (3, )M a ， (3, )M a 在直线 1 3 2 2 y x= + 上，也在直线 y kx= 上， 将 (3, )M a 的坐标代入 1 3 2 2 y x= + ，得 3 3 2 2 a+ = ， 解得 3a = ． ∴点 M 的坐标为 (3,3)M ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 将 (3,3)M 的坐标代入 y kx= ，得3 3k= ， 解得 1k = ． （2）因为： (3,3)M 所以利用图像得 1 3 2 2 x kx+  的解集是 3x  ． （3）作 MN⊥ x轴于 N， ∵直线 1 3 2 2 y x= + 与 y 轴的交点为 A， ∴A（0， 3 2 ）， ∵M（3，3）， ∴ 2 2 23 45(3 0) (3 ) 2 4 AM = − + − = ， ∵MN=3，MB=MA， ∴ 2 2 3 2 BN MB MN= − = ， 所以： 1 2 3 9 , 2 2 OB OB= = ∴ 1 2 3 9 ( ,0), ( ,0) 2 2 B B ．（如图 3）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，数形结合是解题的关键．