【专项练】一次函数动点问题-北京版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 一次函数动点问题 （有学习卡片可供参考下载哦） 1． 38 9 【分析】本题考查一次函数与几何综合，解题的关键在于从图象中获取需要的信息．由运动过 程得到 E点坐标，设直线DE 解析式为 5y kx= + ，利用待定系数法求出直线DE 解析式，进而求 出点 M坐标，再根据运动情况求出 N点坐标，即可解题． 【详解】解：由运动过程可知，当运动到 B点时， 4PB PQ− = − ， E点坐标为 ( )5, 4− ， 设直线DE 解析式为 5y kx= + ， 5 5 4k + = − ， 解得 9 5 k = − ，即 9 5 5 x− + ， 点 M是直线DE 与 x轴的交点， 即 9 5 0 5 x− + = 时，解得 25 9 x = ， 点 M坐标为 25 ,0 9       ； 由运动过程可知，N点表示 P运动到BC中点，所以 ( )7,0N ，  38 9 MN = ． 2．(1)8，24 (2)图①中的图形的面积为 260cm (3) 17b = 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义． （1）根据题意得：动点 P在BC上运动的时间是 4 秒，又由动点的速度，可得BC的长；结合 6cmAB = ，可以计算出 ABP的面积，计算可得 a的值； （2）分析图形可得，①中的图形面积等于 AB AF CD DE −  ，根据图象求出CD和DE 的长，代 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 入数据计算可得答案； （3）计算BC CD DE EF FA+ + + + 的长度，再由 P的速度，计算可得 b的值． 【详解】（1）解：动点 P在BC上运动时，对应的时间为 0 到 4 秒，易得： 2 4 8cmBC =  = ， 故图①中的BC长是8cm； ∴ 21 24cm 2 a BC AB=   = ， 即图②中的 a是 24； 故答案为：8，24； （2）解：由图可得： 2 2 4cmCD =  = ， 2 3 6cmDE =  = ， 则 14cmAF BC DE= + = ， 又∵ 6cmAB = ， 则①图的面积为 260cmAB AF CD DE −  = ， ∴图①中的图形面积为 260cm ； （3）解：根据题意，动点 P共运动了 8 4 6 2 14 34cmBC CD DE EF FA+ + + + = + + + + = ， 其速度是2cm / s，则 34 17s 2 b = = ， ∴图②中的 b的值是 17． 3．C 【分析】本题主要考查函数图象问题，涉及平行四边形的性质，由点M 的速度和路程可知， 2t = 时，点M 和点 B 重合，过点 N 作NE AB⊥ 于点 E ，求出 NE 的长，进而求出 AN 的长，得出N 点 的速度；由图 2 可得当 3t = 时，点N 和点D重合，进而可求出 AD的长；根据路程除以速度可 得出时间，进而可得出 a的值；由图 2 可知，当 21cmS = 时，有两种情况，根据图象分别求解即 可得出结论，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于 t的方程是解题的关键． 【详解】解： 4cmAB = ，点M 的速度为2cm/s， 当点M 从点A 到点 B ，用时 4 2 2(s)t =  = ， 当 2t = 时，过点 N 作NE AB⊥ 于点 E ， 1 2 2 S AB NE =   = ， 1NE = ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 在 ABCD中， 150D = ， 30A = ， 4cmAB CD= = ， 2 2cmAN NE = = ， N 点的运动速度是1cm/s；故①正确； 点 N 从D到C，用时 4st = ， 由图 2 可知，点 N 从A 到D用时3s， 3cmAD = ，故②正确； 3 4 7(s)a = + = ，故③正确； 当点M 未到点 B 时，过点 N 作NE AB⊥ 于点 E ， 1 1 1 2 1 2 2 2 S AM NE t t =   =   = ， 解得 2t = ，负值舍去； 当点 N 在BC上时，过点 N 作NF AB⊥ 交 AB 延长线于点F ， 此时 10BN t= − ， 1 1 5 2 2 NF BN t = = − ， 1 1 1 4 5 1 2 2 2 S AB NF t    =   =   − =    ， 解得 9t = ， 当 21cmS = 时， t的值为 2 或 9．故④错误； 故选：C． 4．B 【分析】本题考查轴对称 -最短路线问题，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是利用对称性 在找到 CDE周长的最小时点D、点 E 位置，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性 质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．作点C关于 AB 的对称点F ，关于 AO的对称点 G，连接DF ，EG，由轴对称的性质，可得DF DC= ，EC EG= ，故当点F ，D，E ，G 在同一 直线上时， CDE的周长 CD DE CE DF DE EG FG= + + = + + = ，此时 DEC周长最小，依据勾股定 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 理即可得到 FG的长，进而得到 CDE周长的最小值． 【详解】解：如图，作点C关于 AB 的对称点 F ，关于 AO的对称点G ，连接FG分别交 AB 、OA 于点D、 E ，此时三角形CDE的周长最小， ∵直线 1y x= + 与两坐标轴分别交于A 、 B 两点， ∴ (0,1)A ， ( 1,0)B − ， ∴OA OB= ， ∴ 45ABC = ， 由轴对称的性质，可得DF DC= ，EC EG= ， 45ABF ABC = = ，BF BC= ，OG OC= ， ∴ 90FBC = ， ∴ BCF是等腰直角三角形， ∵点C是OB的中点， ( 1,0)B − ∴ 0 1 ( ) 2 ,C − ， ∴OG = 1 2 ，BG = 3 2 ， ∴ 1 2 BF BC= = ， CDE的周长 CD DE CE DF DE EG FG= + + = + + = ，此时 DEC周长最小， 在Rt BFG中， 2 2 2 2 1 3 10 2 2 2 FG BF BG     = + = + =        ， 故选：B． 5． ( )24,0− 或 ( )6,0 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，翻折变换，勾股定理等知识点，根据 勾股定理得到 10AB = ，分类讨论，如图 1，当点A 落在 y 轴的正半轴上时，如图 2，当点A 落 在 y 轴的负半轴上时，根据勾股定理即可得到结论，熟练掌握其性质并能正确的作出图形是解 决此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【详解】解：∵一次函数 3 12 4 y x= − + 的图象与 x轴交于点A ，与 y 轴交于点 B ， ( )16,0A ， ( )0,12B ， 16, 12OA OB = = ， 20AB = ， 如图 1，当点A 落在 y 轴的正半轴上时， 设点C的坐标为 ( ),0m ， 将 ABC沿BC所在的直线折叠，当点A 落在 y 轴上时， 12 20 32, 16A O A C AC m = + = = = − ， 2 2 2A C OC A O = +  ， ( ) 2 2 216 32m m − = + ， 24m = − ； 如图 2，当点A 落在 y 轴的负半轴上时， 设点C的坐标为 ( ),0m ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 将 ABC沿BC所在的直线折叠， 当点A 落在 y 轴上时， 20 12 8, 16A O A C AC m = − = = = − ， 2 2 2A C OC A O = +  ， ( ) 2 2 216 8m m − = + ， 6m = ， 综上所述，当点A 落在 y 轴上时，点C的坐标为 ( )24,0− 或 ( )6,0 ， 故答案为： ( )24,0− 或 ( )6,0 . 6． 6 10 3 或 40 3 【分析】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．（1）直接根据函数图象上 坐标，利用速度=路程 时间即可求解；（2）通过图象可知， APD△ 的面积为 210cm ．即 10S = ， 分别在 3S t= 和 90 6S t= − ，上代入即可求得答案． 【详解】解：（1）由图象可知，点 P在 AB 上运动的时间为6s， 故答案为：6； （2）当 P在 AB 上运动，即0 6t  时，速度为 6 6 1cm s = ，则 AP t= ， ( ) 1 1 6 3 0 6 2 2 S AD AP t t t=  =   =   ， APD△ 的面积为 210cm ，即 10S = 时， ∴3 10t = ， ∴ 10 3 t = ， 当 P在BC上运动， APD△ 的面积为 218cm ，不符合题意， 当 P在CD上运动，即12 15t  时， 在CD上运动的速度为 ( ) ( )6 15 12 2 cm s − = ， ∴ ( )6 2 12 30 2PD t t= − − = − ， ∴ ( ) 1 1 6 30 2 90 6 2 2 S AD PD t t=  =   − = − ， ∵ APD△ 的面积为 210cm ，即 10S = 时， ∴90 6 10t− = ， ∴ 40 3 t = ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 所以当 t为 10 s 3 、 40 s 3 时， APD△ 的面积为 210cm ． 故答案为： 10 3 或 40 3 ． 7．(1) 1 2 3 3 y x= + (2) 7 6 (3) 5 ( ,0) 6 − 或 19 ( ,0) 6 − 【分析】本题考查了一次函数与几何问题，用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握一次 函数与图形的面积问题是解题的关键． （1）把点 (1, )C m 的坐标代入 2 3y x= − + 计算，求得点 C的坐标，再用待定系数法即可求得一次 函数的解析式； （2）先求出两直线与 y轴的交点坐标，即可利用三角形面积公式求解； （3）设点 P的坐标为 ( ,0)t ，再用三角形面积公式列出方程，解方程即得答案． 【详解】（1）解：把点 (1, )C m 的坐标代入 2 3y x= − + ，得 2 1 3 1m = −  + = ， (1,1)C ， 设直线CE的表达式为 y kx b= + ， 把点 (1,1)C ， ( 2,0)D − 的坐标代入，得 1 2 0 k b k b + =  − + = ， 解得 1 3 2 3 k b  =   =  ， 直线CE的表达式为 1 2 3 3 y x= + ； （2）解：由题意及（1）可知 (0,3)B ， 2 (0, ) 3 E ， 2 7 3 3 3 BE = − = ， BCE△ 的面积为 1 7 7 1 2 3 6   = ； （3）解：设点 P的坐标为 ( ,0)t ， 当 CDP△ 的面积等于 BCE的面积的一半时， 1 1 7 2 1 2 2 6 t +  =  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 解得 5 6 t = − 或 19 6 t = − ， 点 P的坐标为 5 ( ,0) 6 − 或 19 ( ,0) 6 − ． 8．(1) ( )4,7 (2) 2 1y x= − (3)存在， 7 11 , 3 3 P       【分析】（1）将点 B横坐标代入 3 4 4 y x= + 即可求解； （2）根据 ABC的面积为 10，求出 ( )0,4A ， ( )0, 1C − ，再用待定系数法求解即可； （3）过点 B作 BE y⊥ 轴于点 E，则 ( ) 224 7 4 5AB = + − = ，由翻折得： 5AD AB= = ，则在Rt AOD 中， 2 2 3OD AD AO= − = ，那么 ( )3,0D ，则 BD的中点为 7 7 , 2 2       ，由翻折可得直线 AP 垂直平分BD， 直线 AP 经过 BD的中点 7 7 , 2 2       ，可求直线 AP 的表达式为 1 4 7 y x= − + ，再与直线 2 1y x= − 联立即可 求解． 【详解】（1）解：由题意得，将 4x = 代入 3 4 4 y x= + 得： 3 4 4 7 4 y =  + = ， ∴ ( )4,7B ， 故答案为： ( )4,7 ； （2）解：如图， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 ∵ ABC的面积为 10， ∴ 1 4 10 2 AC = ， ∴ 5AC = ， 当 0, 4x y= = ， ∴ ( )0,4A ， ∵C在 y轴负半轴， ∴ ( )0, 1C − ， 将 ( )0, 1C − ， ( )4,7B 代入 ( )0y kx b k= +  得： 4 7 1 k b b + =  = − ， 解得： 2 1 k b =  = − ， ∴直线 2l 对应的函数表达式为 2 1y x= − ； （3）解：存在，理由如下， 过点 B作BE y⊥ 轴于点 E， ∵ ( ) ( )4,7 , 0,4B A ∴ ( ) 224 7 4 5AB = + − = ， 由翻折得： 5AD AB= = ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∵ 4OA = ， ∴在Rt AOD中， 2 2 3OD AD AO= − = ， ∴ ( )3,0D ， 则 BD的中点为 7 7 , 2 2       ， 由翻折可得直线 AP 垂直平分 BD， ∴直线 AP 经过 BD的中点 7 7 , 2 2       ， 设直线 AP 的表达式为： y mx n= + ， 代入 ( )0,4A ， BD的中点 7 7 , 2 2       得： 7 7 2 2 4 m n n  + =   = ， 解得： 1 7 4 m n  = −   = ， ∴直线 AP 的表达式为 1 4 7 y x= − + ， ∴ 1 4 7 2 1 y x y x  = − +   = − ， 解得： 7 3 x = ， ∴ 7 11 , 3 3 P       ． 【点睛】本题考查了一次函数与图形的变换，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法 求一次函数解析式，翻折的性质，勾股定理． 9．(1) 1 2 2 y x= − + (2) 4 13 , 3 3       或 8 1 , 3 3   −    (3)存在， 12 13 3 12 3 6 , 11 11 M  + + −     或 ( )6 3,3M − − 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、勾股定理、含30角的直角三角形的特征、一 次函数图象的平移，熟练掌握相关知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）当 0y = 时，得 3x = − ，进而可得 ( 3,0)A − ，进而可得 (4,0)C ，再求出 2 7 , 3 3 D   −    ，利用待定系 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 数法即可求解； （2）过点 P 作 x轴垂线交CD于点Q，设 ( , 3)P t t + ，则 1 , 2 2 Q t t   − +    ，根据 6 7 PCD ACDS S = 得 ( )Δ 1 1 3 14 1 7 2 2 2 3 PCD C DS PQ x x t=   − =  +  = ，进而可求解； （3）先求出 ( )0,3B ，可得OB OA= ，进而可得 45ABO = ，由 3OE = ，根据由平移的性质得出 直线 3l 的解析式为 1 3 2 2 y x= − − ，然后分两种情况分析：当点 M在 y轴右侧时，作点 E关于 y 轴的对称点 F，连接 BF 并延长交 3l 于点 M；当点 M在 y轴左侧时，过点 B作BF x∥ 轴交交 3l 于 点 M，分别利用一次函数的性质及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：当 0y = 时，0 3x= + ， 解得： 3x = − ， ( 3,0)A − ， 3OA = ， 7AC = ， (4,0)C ， ∵ 2 , 3 D d   −    在 3y x 上， ∴ 2 7 3 3 3 d ，故点 2 7 , 3 3 D   −    ， 将 (4,0)C ， 2 7 , 3 3 D   −    代入 y kx b= + 得： 4 0 2 7 3 3 k b k b + =   − + =  ， 解得： 1 2 2 k b  = −   = ， ∴直线 2l 的解析式为： 1 2 2 y x= − + ． （2）解：∵ 2 7 , 3 3 D   −    ， 7AC = ， 0 1 1 7 49 7 2 2 3 6 ACDS AC y=   =   = ， ∴ 6 7 7 PCD ACOS S= =△ ， 过点 P 作 x轴垂线交CD于点Q，如图： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 设 ( , 3)P t t + ，则 1 , 2 2 Q t t   − +    ， ( )Δ 1 1 1 2 ( 3) ( 2) [4 ( )] 7 2 2 2 3 PCD C DS PQ x x t t=   − =  + − − +  − − = ， 即： 1 1 14 1 7 2 2 3 t +  = ∴ 3 1 3 2 t + = ， 4 3 t = 或 8 3 t = − ， ∴ 4 13 , 3 3 P       或 8 1 , 3 3 P   −    ． （3）存在，理由如下： 由（1）得： 3OA = ， 令 0x = ，则 0 3 3y = + = ， ( )0,3B ， OB OA = ， 45ABO = ， 7AC = ， 4OC = ， 3OE = ， ∴ ( )3,0E − ， ∵将直线 2l 平移过 E 点得直线 3l ，直线 2l 的解析式 1 2 2 y x= − + ， ∴设直线 3l 的解析式为 1 2 y x m= − + ， 将点 ( )3,0E − 代入得： 10 3 2 m= −  − +( ) ， 解得： 3 2 m = − ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ∴直线 3l 的解析式为 1 3 2 2 y x= − − ， 当点 M在 y轴右侧时，作点 E关于 y轴的对称点 F，连接 BF 并延长交 3l 于点 M，如图所示： ∴ ( )3,0F ， ∴ 30MBO EBO = = ， ∴ 2 60MBE EBO = = ，符合题意， 设直线 BM 的函数解析式为 y kx d= + ，将点 B、M代入得： 0 3 3 k d d  = +  = ， 解得： 3 3 k d  = −  = ， ∴直线 BM 的函数解析式为 3 3y x= − + ， 联立 3 3 1 3 2 2 y x y x  = − +   = − −  ， 解得： 12 13 3 11 12 3 6 11 x y  + =   + = −  ， ∴ 12 13 3 12 3 6 , 11 11 M  + + −     ； 当点 M在 y轴左侧时，过点 B作BF x∥ 轴交交 3l 于点 M，如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 ∵ 30EBO = ， 60BEO = ， 60MBE BEO = = ， ∵ ( )0,2B ，直线 3l 的解析式为 1 3 2 2 y x= − − ， ∴当 3y = 时， 1 3 3 2 2 x= − − ， 解得 6 3x = − − ， ∴ ( )6 3,3M − − ， 综上可得： 12 13 3 12 3 6 , 11 11 M  + + −     或 ( )6 3,3M − − ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 一次函数动点问题 （有学习卡片可供参考下载哦） 1．如图 1，在Rt ABC△ 中， 90C = ，一动点 P从点 A出发，沿着 A→B→C的路径运动，过 点 P作PQ AC⊥ ，垂足为 Q．设点 P运动的路程为 x， PB与 PQ的差为 y，y与 x的函数图象如 图 2 所示，点M，N是直线DE ， EF 与 x轴的交点，则MN 的长为 ． 2．图①是由一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形．已知动点 P以2cm / s的速度沿 B C D E F A→ → → → → 的路径移动，相应的三角形 ABP的面积 S（单位： 2cm ）与时间 t（单位： s）之间的关系用图②中的图象表示．若 6cmAB = ，试回答下列问题： (1)图①中的 BC的长是_______ cm，图②中 a的值是_______； (2)图①中的图形的面积是多少？ (3)图②中 b的值是多少？ 3．如图①， ABCD中， 4cmAB = ， 150D = ，两动点 M，N同时从点 A出发，点 M在边 AB 上以 2cm/s的速度匀速运动，到达点 B时停止运动，点 N沿 A→D→C→B的路径匀速运动，到 达点 B时停止运动． AMN 的面积 ( )2cmS 与点 N的运动时间 t（s）的关系图象如图②所示．有 下列说法： ①点 N的运动速度是1cm/s； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ② AD的长度为3cm；③a的值为 7； ④当 21cmS = 时，t的值为 2 ． 其中正确的个数（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，直线 1y x= + 与两坐标轴分别交于A ， B 两点，点C是OB的中点，点D， E 分别是直 线 AB ， y 轴上的动点，则 CDE的周长的最小值是( ) A． 10 B． 10 2 C． 5 D． 5 2 5．如图，一次函数 3 12 4 y x= − + 的图象与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B，C是 x轴上一动点， 连接 BC，将 ABC 沿BC所在的直线折叠，当点 A落在 y轴上时，点 C的坐标为 ． 6．如图①所示，正方形 ABCD的边长为6cm，动点 P从点 A出发，在正方形的边上沿 A B C D→ → → 运动，设运动的时间为 st ， APD△ 的面积为 2cmS ，S与 t的函数图象如图②所示， 请回答下列问题： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 （1）点 P在 AB 上运动的时间为 s； （2）当 t为 s时，三角形 APD的面积为 210cm ．. 7．如图，在平面直角坐标系中，直线 2 3y x= − + 分别与 x轴，y轴相交于点 A，点 B，直线CE与 AB 相交于点 (1, )C m ，与 x轴相交于点 ( 2,0)D − ，与 y轴相交于点 E，点 P是 x轴上的一个动点． (1)求直线CE的表达式； (2)求 BCE的面积； (3)当 CDP△ 的面积等于 BCE 的面积的一半时，请求出点 P的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线 1 3 : 4 4 l y x= + 与 y 轴交于点A ，直线 2l ： ( )0y kx b k= +  与直 线 1l 相交于点 B ，交 y 轴负半轴于点C．已知点 B 的横坐标为4, ABC的面积为 10． (1)点 B 的坐标为________； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 (2)求直线 2l 对应的函数表达式； (3)若 P 为线段BC上的一个动点，将 ABP沿着直线 AP 翻折，点 P 是否存在某个位置，使得点 B 的对应点D恰好落在 x轴正半轴上？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图①，直线 1l ： 3y x 与 x轴交于点A ，与 y 轴交于点 B ，直线 2l ： y kx b= + 与 x轴交于点 C，与直线 1l 交于点 2 , 3 D d   −    ，且 7AC = ． (1)直线 2l 的函数表达式为______， (2)点 P 为直线 1l 上一动点，若有 6 7 PCD ACDS S=△ △ ，求点 P 的坐标； (3)如图②，在 x轴负半轴有一点 E ， 3OE = ， 30OBE = ，将直线 2l 平移过点 E 得直线 3l ，连 接 BE ，若点M 为直线 3l 上一动点，是否存在点M ，使得 60MBE = ？若存在，请求出点M 的 坐标；若不存在，请说明理由．