【专项练】根据平行坐标轴或对称求坐标-北京版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

根据平行坐标轴或对称求坐标 1．D 【难度】0.85 【知识点】已知点所在的象限求参数、坐标与图形变化——轴对称 【分析】由点  ,A a b 在第二象限，可得 a＜0,b＞0, 再由点  2 2, 1B a b   关于 x轴的对 称点的坐标为：  2 2, 1 ,a b    而 2 2a  ＞ 0, 1b  ＜0, 从而可得答案． 【详解】解： 点  ,A a b 在第二象限， a ＜0,b＞0,  点  2 2, 1B a b   关于 x轴的对称点的坐标为：  2 2, 1 ,a b    2 2a  ＞ 0, 1b  ＜0,  点  2 2, 1a b    在第四象限． 故选： .D 【点睛】本题考查的是象限内的坐标特点，关于 x轴对称的点的坐标特点，不等式的基本性质， 掌握以上知识是解题的关键． 2．B 【难度】0.85 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了用数轴表示不等式组的解集、平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点 的坐标之间的关系，根据关于 x轴对称的点坐标之间的关系，转化为不等式组的问题；解题的 关键是根据 1(2 , ) 2 P m m 关于 x轴的对称点在第四象限，则点 P在第一象限，从而横纵坐标 都大于 0，就得到关于m的不等式组，求出m的范围． 【详解】解：根据题意得： 2 0 1 0 2 m m      ， 解得：0 2m  ． 故选：B． 3．D 【难度】0.85 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查的是利用坐标表示位置，先建立坐标系，再根据坐标系可得答案． 【详解】解：如图，∵按图所示，表示东直门的点的坐标为  3,4.5 ，表示宣武门的点的坐标为  2, 1  ， ∴建立如下图的坐标系， ∴正阳门  0, 1 ，永定门  0, 5 ，广渠门  4, 2 ，西直门  3,4.5 ， ∴A，B，C不符合题意，D符合题意； 故选 D 4．D 【难度】0.65 【知识点】判断点所在的象限、坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据关于 y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出对称点的坐标，再根据 各象限内点的坐标特点解答． 【详解】解：∵点 A（﹣3，﹣2）关于 y轴的对称点是（3，﹣2）， ∴A（﹣3，﹣2）关于 y轴的对称点在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了已知点的坐标和该点关于 y轴的对称点的坐标的关系（二者的纵坐标不变， 横坐标互为相反数），以及四个象限中点的坐标的特点． 5．  2, 3  【难度】0.94 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标规律，熟练掌握坐标规律是解题的关键．根据 关于 x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y轴对称的点，纵坐标相同，横坐 标互为相反数，求解即可． 【详解】解：点  2, 3A  关于 y轴的对称点的坐标为  2, 3  ， 故答案为：  2, 3  ． 6． 3 4 (3，﹣4) 【难度】0.94 【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】根据点关于 x轴对称则横坐标不变纵坐标互为相反数，关于 y轴对称则纵坐标不变横 坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵A(x，4)关于 y轴的对称点是 B(-3，y)， ∴x=3，y=4， ∴A点坐标为(3，4)， ∴点 A关于 x轴的对称点的坐标是(3，-4)． 故答案为：3；4；(3，-4)． 【点睛】本题考查了点关于坐标轴对称的特点：点关于 x轴对称则横坐标不变纵坐标互为相反 数，关于 y轴对称则纵坐标不变横坐标互为相反数，由此即可求解． 7．  3,4 【难度】0.94 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于 x轴、y轴对称的点的坐标，根据“关于 x轴对称的点，横坐标相同， 纵坐标互为相反数”解答，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律． 【详解】∵关于 x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数 ∴点  3, 4M  关于 x轴的对称点M 的坐标是  3,4 故答案为：  3,4 ． 8．点D 【难度】0.94 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断、坐标系中的对称 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是根据题意，其余三个点中存在两个点 关于一条坐标轴对称，根据平面直角坐标系的性质，找到坐标原点，即可． 【详解】解：其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称， 如图所示：点A和点 B关于 x轴对称， ∴当原点为点D时，其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称， 故答案为：点D． 9．  2,1 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形的变化，根据题意可知：C、B关于直线 m对称，即关于 直线 1x  对称，即可得出答案． 【详解】∵ ABCV 关于直线 m（ 直线 m上各点的横坐标都为 1）对称， ∴C、B关于直线 m对称，即关于直线 1x  对称. ∵点C的坐标为  4,1 ，设点 B的坐标为 ( ,1)a ， ∴ 4 1 2 a  ， 解得： 2x   ， ∴点 B的坐标为  2,1 ． 故答案为：  2,1 ． 10．(1,-4) 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【详解】点 A（1,4）关于 x的对称点的坐标是（1，-4）. 【点睛】关于 x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y轴对称的两点，纵坐 标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数； 11．  3, 1  【难度】0.85 【知识点】坐标与图形、求关于原点对称的点的坐标 【分析】关于原点对称，横纵坐标符号都改变即可． 【详解】∵B（3，1）， ∴点 B关于原点的对称点的坐标（-3，-1）， 故答案为：（-3，-1）. 【点睛】本题考查对称点的坐标，掌握两点到对称中心的距离相等，原点为对称中心，变为只 有符号改变是关键． 12．  4,5 【难度】0.85 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】根据点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可． 【详解】∵点  4, 5 关于原点对称， ∴点  4, 5 关于原点的对称点的坐标为：  4,5 ， 故答案为：  4,5 ． 【点睛】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握点关于原点对称横纵坐标互为相 反数． 13．-2＜a＜3． 【难度】0.65 【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【详解】解：∵P关于 x轴的对称点在第四象限内， ∴点 P位于第一象限． ∴3a+6＞0①，3-a＞0②． 解不等式①得：a＞-2， 解不等式②得：a＜3， 所以 a的取值范围是：-2＜a＜3． 【点睛】本题考查关于 x轴、y轴对称的点的坐标；解一元一次不等式组． 14． 1 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、点坐标规律探索 【分析】本题考查点的坐标规律、代数式求值，利用关于 y轴对称的点纵坐标相同，可得 1n m   ，即可求出答案． 【详解】解：∵点 E的坐标为 ( 2, )n  ，其关于 y轴对称的点 F的坐标 (2, 1) m ， 1   n m ， 1   n m ， 2023 2023( ) ( 1) 1     n m ． 故答案为： 1 ． 15．(1)①5；② 7 2 t  或 16 3 t  (2)OM OF ，证明见解析 【难度】0.4 的逆定理，知识点较多，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定，灵活运用勾股定理的 逆定理，适当添加辅助线． 15．(1)见解析 (2)  0 6， (3)  1,5 和  1, 3  【难度】0.4 【知识点】坐标与图形、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、画轴对称图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质和判定，轴对称的性质，垂直平 分线的性质．恰当分类并构造等腰直角三角形是解题的关键． （1）根据点 B与点 C的坐标求出中点坐标 D，然后过点 D作 BC的垂线即可得出直线 l； （2）根据轴对称的性质：对应点到对称轴的距离相等，结合点A的坐标求解即可； （3）分两种情况：当 P在直线 BC上方时，当 P在直线 BC下方时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵  5,1B  ，  3,1C ， ∴中点 D的坐标为  1,1 ， 过点 D作 BC的垂线，即为所求作的直线 l，如图所示： （2）解：∵  2,6A  ，直线 l为 1x   ， ∴ 1 [( 1) ( 2)] 0      ， ∴点 A关于 l的对称点 A的坐标为  0 6， ， 故答案为：  0 6， ； （3）解：∵B与点 C关于直线 l对称， ∴直线 l垂直平分 BC， ∵点 P在直线 l上， ∴BP CP ， ∵PD BC ， ∴PD平分 BPC ， ∵ 90BPC  ， ∴ 1 90 45 2 BPD CPD      ， ∴ BPD△ 为等腰直角三角形， ∴ 1 4 2 PD BD BC   ， 当 P在直线 BC上方时，如图所示： 此时点 P的纵坐标为：1 4 5  ， ∴此时点 P的坐标为  15 ， ； 当 P在直线 BC下方时，如图所示： 此时点 P的纵坐标为：1 4 3   ， ∴此时点 P的坐标为  1, 3  ； 综上分析可知，点 P的坐标为  1,5 和  1, 3  ． 16．(1)①(6，4)；②(3，-2) (2)m的值为 2 【难度】0.65 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）由题意根据点 P为点M关于点 N的对称平移点的定义画出图形，可得结论； （2）根据题意分两种情形：m＞0，m＜0，利用三角形面积公式，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：①如图 1中，点A关于点 B的对称平移点为 (6,4)F ． 故答案为： (6, 4)． ②若点A为点 B关于点C的对称平移点，则点C的坐标为 (3, 2) ． 故答案为： (3, 2) ； （2）解：如图 2中，当 0m  时，四边形OKDE是梯形， 1.5OE m ， 0.5DK m ， ( , )D m m ， Δ 1 0.5 1 2DEK S m m     ， 2m  或 2 （舍弃）， 当 0m  时，同法可得 2m   ， 综上所述，m的值为 2 ． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，三角形的面积公式，轴对称，平移变换等知识，解 题的关键是理解新定义，学会利用参数构建方程解决问题． 17．(1)  5,5 (2)①  1 ,2B n n b  ；②3， 2 (3) 2 2 2 2 n nc    【难度】0.65 【知识点】坐标系中的平移、中点坐标 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，中点坐标公式，解题的关键是理解“ n型对 照变换图形”的定义． （1）根据“ n型对照变换图形”的定义求解即可； （2）①根据“ n型对照变换图形”的定义求解即可；②根据点  ,x y 关于第一、三象限的角平 分线对称的点的坐标为  ,y x ，列方程即可求解； （3）当 ( , 2)D c c  时， ( 2, 2)E c c  ，可得  , 2 2D c n n c    ，  2 ,2 2E c n n c     ， 当 ( , 2 2)E c c  时，则 ( 2, 2)D c c  ，可得  2 ,2 2D c n n c     ， ( , 2 2 2)E c n n c    ，根据线段D E 与第一、三象限的角平分线存在交点，列不等式即可 求解． 【详解】（1）解：点  2,1A 关于直线 3y  对称的点的坐标为  2,5 ，再向右平移3个单位长 度后坐标为  5,5 ，   5,5A ， 故答案为：  5,5 ； （2）解：①点  1,B b 关于直线 y n 对称的点的坐标为  1,2n b ，再向右平移 n个单位长度 后坐标为  1 ,2n n b  ，   1 ,2B n n b   ； ②点  ,x y 关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为  ,y x ，  1 2 1 n b n b      ， 解得： 2 3 n b    ； （3）解：   ,C c c ， 90CDE  ， 2CD DE  ，C，D，E三点顺时针排列， 当 ( , 2)D c c  时， ( 2, 2)E c c  ， ∴将D，E两点进行“ n型对照变换图形”后，  , 2 2D c n n c    ，  2 ,2 2E c n n c     ， 线段D E 与第一、三象限的角平分线存在交点，  2 2c n n c    ， 2 2 2c n n c     ， 解得： 1 2 2 2 n nc    ， 当 ( , 2 2)E c c  时，则 ( 2, 2)D c c  ， ∴将D，E两点进行“ n型对照变换图形”后，  2 ,2 2D c n n c     ， ( , 2 2 2)E c n n c    ， 线段D E 与第一、三象限的角平分线存在交点， ∴ 2 2 2c n n c     ， 2 2 2c n n c    ， 解得： 2 2 2 n nc   ， ∴ 2 2 2 2 n nc    ． 18．(1)作图见解析，  3,3 ；  4,0 (2)作图见解析 (3)7 【难度】0.4 【知识点】坐标与图形、两点之间线段最短、画轴对称图形、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据对称的性质作出点A的对称点 A、点 B的对称点B，连接 A B ，再结合 直角坐标系即可得出对称点的坐标； （2）连接 A B ，交直线 l于点 P即可； （3）分两种情况：当点Q在 x轴上时，设  ,0Q m ；当点Q在 y轴上时，设  0,Q n ，根据 两点间距离公式，分别用代数式表示出 ABQ 各边的长，再根据等腰三角形的性质列出方程 求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点 A是点A的对称点、点B是点 B的对称点，连接 A B ， 则 A B 即为所作， ∴点 A的坐标为  3,3 ，点B的坐标为  4,0 ， 故答案为：  3,3 ；  4,0 ； （2）连接 A B ，交直线 l于点 P，连接 AP、 AA， ∵点A与点 A关于直线 l对称， ∴直线 l垂直平分 AA， ∴PA PA ， ∴ AP BP A P BP A B     ， 此时 AP BP 的最小值为 A B 的长， 则点 P即为所作； （3）∵ ABQ 为等腰三角形，  1,3A  ，  2,0B  ， 当点Q在 x轴上时，设  ,0Q m ， ∴    2 22 22 0 2BQ m m      ，    2 22 1 2 3 0 10AB       ，      2 2 22 1 3 0 1 9AQ m m        ， ①当 AB AQ 时，则 2 2AB AQ ，得：  21 9 10m   ， 解得： 0m  或 2m   （舍去）， 此时点Q的坐标为  0,0 ； ②当 AB BQ 时，则 2 2AB BQ ，得：  22 10m  ， 解得： 2 10m    或 2 10m    ， 此时点Q的坐标为  2 10,0  或  2 10,0  ； ③当 AQ BQ 时，则 2 2AQ BQ ，得：    2 22 1 9m m    ， 解得： 3m  ， 此时点Q的坐标为  3,0 ； 当点Q在 y轴上时，设  0,Q n ， ∴    2 22 22 0 0 4BQ n n       ，    2 22 1 2 3 0 10AB       ，      2 2 22 1 0 3 1 3AQ n n        ， ①当 AB AQ 时，则 2 2AB AQ ，得：  21 3 10n   ， 解得： 0n  或 6n  ， 当 6n  时， 2 24 4 6 2 10BQ n     ， 10AQ AB  ， 得： BQ AQ AB  ，不能构成三角形，不符合题意， 此时点Q的坐标为  0,0 ； ②当 AB BQ 时，则 2 2AB BQ ，得： 24 10n  ， 解得： 6n  或 6n   ， 此时点Q的坐标为  0, 6 或  0, 6 ； ③当 AQ BQ 时，则 2 2AQ BQ ，得：  224 1 3n n    ， 解得： 1n  ， 此时点Q的坐标为  0,1 ； ∴符合条件的点Q的坐标为  0,0 ， 2 10,0  ， 2 10,0  ， 3,0 ， 0, 6 ， 0, 6 ，  0,1 ， ∴这样的点Q有7个． 故答案为：7． 【点睛】本题考查图形变换—轴对称，考查了对称的性质，坐标与图形，垂直平分线的性质， 两点之间线段最短，等腰三角形的性质，两点间的距离，利用平方根的定义解方程等知识点．正 确理解题意、画出图形，利用方程的思想解决问题是解题的关键． 根据平行坐标轴或对称求坐标 1．如果点  ,A a b 在第二象限，则点  2 2, 1B a b   关于 x轴的对称点在（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．平面直角坐标系中的点 1(2 , ) 2 P m m 关于 x轴的对称点在第四象限，则m的取值范围在数 轴上可表示为（ ） A． B． C． D． 3．北京中轴线创建于元代，形成、完善于明清两代，是北京城市建筑东西对称布局的对称轴 线．若按图所示，表示东直门的点的坐标为  3,4.5 ，表示宣武门的点的坐标为  2, 1  ，则 表示下列地点的点的大致坐标正确的是（ ） A．正阳门  0,0 B．永定门  0, 4 C．广渠门  3, 2 D．西直门  3,4.5 4．在平面直角坐标系中，点 A（﹣3，﹣2）关于 y轴的对称点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．点  2, 3A  关于 y轴的对称点的坐标为 ． 6．若 A（x，4）关于 y轴的对称点是 B（﹣3，y），则 x= ，y= ．点 A关于 x轴的对称 点的坐标是 ． 7．点  3, 4M  关于 x轴的对称点的坐标是 ． 8．如图，在3 3 的正方形网格中有四个格点A， B，C，D，以其中一个点为原点，网格 线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称， 则原点可能是 ． 9．如图，在平面直角坐标系中， ABCV 关于直线m（直线m上各点的横坐标都为 1）对称， 点C的坐标为  4,1 ，则点 B的坐标为 ． 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为  1 4， ，则点A关于 x轴的对称点的坐标是 ． 11．在平面直角坐标系中点 B的坐标为  3,1 ，点 B关于原点的对称点的坐标为 ． 12．点  4, 5 关于原点的对称点的坐标是 ． 13．点 P（3a+6，3-a）关于 x轴的对称点在第四象限内，则 a的取值范围为 ． 14．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴 蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点 E的坐标为 ( 2, )n  ，其关于 y轴 对称的点 F的坐标 (2, 1) m ，则 2023( ) n m ． 15．如图， ABCV 位于平面直角坐标系 xOy中，  2,6A  ，  5,1B  ，  3,1C ．点 B与点 C 关于直线 l对称，直线 l与 BC， AC的交点分别是点 D，E． (1)画出直线 l； (2)写出点 A关于 l的对称点 A的坐标______； (3)若点 P在直线 l上， 90BPC  ，请直接写出点 P的坐标． 16．在平面直角坐标系中，对于点 ( , )M a b ， ( , )N c d ，将点M 关于直线 x c 对称得到点M ， 当 0d 时，将点M 向上平移 d个单位，当 0d  时，将点M 向下平移 | |d 个单位，得到点 P， 我们称点 P为点M 关于点N 的对称平移点． 例如，如图已知点 (1, 2)M ， (3,5)N ，点M 关于点N 的对称平移点为 (5,7)P ． (1)已知点 (2,1)A ， (4,3)B ， ①点A关于点 B的对称平移点为________（直接写出答案）． ②若点A为点 B关于点C的对称平移点，则点C的坐标为________．（直接写出答案） (2)已知点D在第一、三象限的角平分线上，点D的横坐标为m，点E的坐标为 (1.5 ,0)m ．点 K为点E关于点D的对称平移点，若以D，E，K为顶点的三角形围成的面积为 1，求m的 值． 17．在平面直角坐标系 xOy中，将过点  0,n 且与 y轴垂直的直线记为直线 y n ，对于图形 P， 给出如下定义：将图形 P关于直线 ( 0)y n n  对称后，再向右平移 n个单位长度，得到的图形 记为P，称图形 P为图形 P的“ n型对照变换图形”． (1)点  2,1A 的“3型对照变换图形” A的坐标为________； (2)已知点  1,B b 的“ n型对照变换图形”为点 B． ①点 B的坐标为________（用含b， n的式子表示）； ②当点 B与点 B关于第一、三象限的角平分线对称时，b  ________； n  ________； (3)已知  ,C c c ，作 CDE ，其中 90CDE  ， 2CD DE  ， 2 2CE  ，C，D，E三 点顺时针排列，并且D，E两点的横坐标均不超过C． CDE 的“ n型对照变换图形”为 C D E   ．当线段D E 与第一、三象限的角平分线存在交点时，直接写出 c的取值范围（用 含 n的式子表示）． 18．如图，在平面直角坐标系 xOy中，点A坐标为  1,3 ，点 B坐标为  2,0 ，直线 l经过 点  1,0 且与 x轴垂直，连接 AB． (1)请在图中画出线段 AB关于直线 l对称后的图形—线段 A B ，点A的对称点 A的坐标为 ， 点 B的对称点B的坐标为 ； (2)直线 l上有一动点 P，当 AP BP 取最小值时，请在图中画出点 P； (3)在坐标轴上取点Q，使 ABQ 为等腰三角形，这样的点Q有 个．