【专项练】根据点的坐标特征和距离求坐标-北京版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

根据点的坐标特征和距离求坐标 1．在平面直角坐标系中，点  2, 3 在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在平面直角坐标系中，点  3 2P  ， 在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．点 P在第二象限内，且 P到 x轴的距离是 4，到 y轴的距离是 3，那么点 P的坐标为（ ） A．  4,3 B．  4, 3 C．  3, 4 D．  3, 4 4．点  3, 1P m m  在直角坐标系的 x轴上，则点 P的坐标是（ ） A．  2,0 B．  0, 2 C．  4,0 D．  0, 4 5．已知点 (2 1 2 ),M m m  在 y轴上，则 m的值为（ ） A． 12 B．2 C．3 D．0 6．在平面直角坐标系 xOy中，对于任意一点  ,P x y 的“绝对距离”，给出如下定义：若 x y ， 则点 P的“绝对距离”为 x ；若 x y ，则点 P的“绝对距离”为 y ．例如：点  3,1P  ，因为 3 1  ，所以点  3,1P  的“绝对距离”为 3 3  ．当点  ,P x y 的“绝对距离”为 2时，所有满 足条件的点 P组成的图形为（ ） A． B． C． D． 7．已知点 P到 x轴的距离为 3，到 y轴的距离为 5，且点 P位于第二象限，则点 P的坐标为 ________． 8．若点M的坐标为  3 , 1M m m   ，点M在第四象限，则 m的取值范围是________． 9．如果点  3, 1P m  在第一象限，则 m的取值范围是________． 10．若点  , 3P a  在第四象限，且到原点的距离是5，则a ________． 11．若点  P x 3,2 位于第二象限，则 x的取值范围是________． 12．如图，BD是 ABCV 的角平分线，DE BC 于点E．若 3BE  ， BDEV 的面积为15．， 则点D到边 AB的距离为 ． 13．已知直线 y kx b  经过点 (0, 1) ( 1, 2)A B  ， ． (1)求此直线的解析式； (2)若M 点在该直线上，M 到 y轴的距离为 2，求M 的坐标． 14．如图，在Rt OAB 中， 90BAO  ，且点 B的坐标是  2,4 ． (1)将 OAB△ 绕点O按逆时针方向旋转90得到 1 1OAB ，在图中画出 1 1OAB ； (2)点C与点 B关于点 1A中心对称，则点C的坐标为______； (3)点A到直线 1BC的距离为______． 15．在平面直角坐标系 xOy中，对于 P，Q两点给出如下定义：若点 P到两条坐标轴的距离之 和等于点 Q到两条坐标轴的距离之和，则称 P，Q两点为和谐点．例如，图 1中的 P，Q两点 即为和谐点． (1)已知点  3, 1A  ． ①在点      4,0 , 1,1 , 2,0E F G 中，点 A的和谐点是 ； ②若点 B在 y轴上，且 A，B两点为和谐点，则点 B的坐标是 ； (2)已知点  3,0C ，点  0, 3D  ，连接CD，点M为线段CD上一点． ①经过点  ,0n 且垂直于 x轴的直线记作直线 l，若在直线 l上存在点 N，使得M，N两点为 和谐点，则 n的取值范围是 ； ②若点  ,0S m ，点  2,0T m ，在以线段 ST 为斜边的等腰直角三角形的某条边上存在点 K， 使得M，K两点为和谐点，则 m的取值范围是 ． 16．给出如下定义：在平面直角坐标系 xOy中，已知三点  1 1 1,P x y ，    2 2 2 3 2 1, , ,P x y P x y 中 两点间的距离的最小值为三点间的“最佳间距”． 如：      1 2 31,2 , 4,6 , 4,2P P P ，那么“最佳间距”是 3． (1)已知点      3,0 , 0, , 3,A B y C y  ． ①若三点 、 、A B C的“最佳间距”是 2，写出一个满足条件的点 B的坐标； ②直接写出三点间的“最佳间距”的最大值． (2)已知点  3, 3 0 4 4 D x x x        ，点E的坐标是    0,1 , ,1F m ，求三点 , ,D E F的“最佳 间距”的最大值及相应的点D的坐标； 17．在平面直角坐标系 xOy中，对于 P、Q两点给出如下定义：若点 P到两坐标轴的距离之和 等于点 Q到两坐标轴的距离之和，则称 P、Q两点为垂距等点．如图所示 P、Q两点即为垂距 等点． (1)已知点 A的坐标为  2 3 ， ． ① 在点      1 4 7 2 5 0M N T ，， ， ， ， 中，为点 A的垂距等点的是 ； ② 若点 B在 y轴的负半轴上，且 A、B两点为垂距等点，则点 B的坐标为 ； (2)直线 4l y x ： 与 x轴交于点 C，与 y轴交于点 D． ① 当 E为线段CD上一点时，若在直线 x n 上存在点 F，使得 E、F两点为垂距等点，求 n 的取值范围． ② 已知正方形HPKQ的边长为 2， 0t， 是对角线HK PQ、 的交点，且正方形的任何一条边 均与某条坐标轴垂直．当 E为直线 l上一动点时，若该正方形的边上存在点 G，使得 E、G两 点为垂距等点，直接写出 t的取值范围． 根据平行坐标轴或对称求坐标 1．D 【难度】0.85 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关 键，四个象限的符号特点分别是：第一象限 ( , )  ；第二象限 ( , )  ；第三象限 ( , )  ；第四 象限 ( , )  ． 根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点  2, 3 的横坐标大于 0，纵坐标小于 0， 故点  2, 3 所在的象限是第四象限． 故选：D． 2．B 【难度】0.94 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关 键，四个象限的符号特点分别是：第一象限  ,  ；第二象限  ,  ；第三象限  ,  ；第四 象限  ,  ．根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：点  3 2P  ， 的横坐标小于 0，纵坐标大于 0， 点  3 2P  ， 在第二象限． 故选：B． 3．C 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到 x轴的距离等于纵坐标的长度，到 y轴的距离等于横 坐标的长度是解题的关键． 根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到 x轴的距离等于纵坐标的长度，到 y 轴的距离等于横坐标的长度解答． 【详解】解：∵点 P在第二象限内，且 P到 x轴的距离是 4，到 y轴的距离是 3， ∴点 P的横坐标是 3 ，纵坐标是 4， ∴点 P的坐标为  3, 4 ． 故选 C． 4．A 【难度】0.85 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】由纵坐标为 0可得： 1 0m  ，进而求解 m的值，则问题得解． 【详解】解：由点 P  3, 1m m  在直角坐标系的 x轴上，可得： 1 0m  ，解得： 1m   ， 3 1 3 2m      ， 点  2,0P ； 故选 A． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系里点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系里 x轴上点的坐 标特点是解题的关键． 5．A 【难度】0.85 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】直接利用 y轴上点的坐标特点得出 2 1 0m  ，进而得出答案． 【详解】解：∵点 (2 1 2 ),M m m  在 y轴上， ∴2 1 0m  ， 解得： 1 2 m  ， 故选：A． 【点睛】此题考查了点的坐标，正确掌握 y轴上点的坐标特点是解题关键． 6．D 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形，根据新定义分类讨论，结合新定义逐项分析判即可求解． 【详解】解：依题意，当 x y 时， 2x  ， 当 x y 时， 2y  ∴当点  ,P x y 的“绝对距离”为 2时，所有满足条件的点 P组成的图形为 故选：D． 7．  5,3 【难度】0.94 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查点的坐标到坐标轴的距离及各象限中点的坐标符号特征，熟练掌握点的 坐标在象限中的符号特点是解题的关键．根据点到坐标轴的距离及点的坐标在象限中的特征可 进行求解． 【详解】解：由点 P到 x轴的距离为 3，到 y轴的距离为 5：点 P的横坐标可能为 5 ，点 P 的纵坐标可能为 3 ， ∵点 P位于第二象限， ∴点 P的坐标为  5,3 ； 故答案为：  5,3 ． 8． 1m   【难度】0.65 【知识点】已知点所在的象限求参数、求不等式组的解集 【分析】根据第四象限点的坐标符号特征，建立不等式组求解即可． 【详解】解：∵  3 , 1M m m   在第四象限， ∴ 3 0 1 0 m m    ＞ ＜ ， 解得 1m   ， 故答案为： 1m   ． 【点睛】本题考查了点的坐标特征和一元一次不等式组的解法，熟练掌握坐标特征，灵活解不 等式组是解题的关键． 9． 1m   【难度】0.85 【知识点】已知点所在的象限求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】根据第一象限内点的坐标特征得到 m+1＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：∵点 P（3，m+1）在第一象限， ∴m+1＞0， ∴m＞-1． 故答案为：m＞-1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和点的坐标：直角坐标系中点与有序实数对一一对应； 在 x轴上点的纵坐标为 0，在 y轴上点的横坐标为 0；记住各象限点的坐标特点． 10．4 【难度】0.85 【知识点】已知两点坐标求两点距离、已知点所在的象限求参数 【分析】根据勾股定理求出 a的值，然后根据第四象限的点的坐标特征进行取舍． 【详解】解：∵点 P到原点的距离是 5， ∴a2＋32＝52， ∴a＝±4， ∵点  , 3P a  在第四象限， ∴a＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系、勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 11． x 3 【难度】0.65 【知识点】已知点所在的象限求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】点在第二象限时，横坐标<0，纵坐标>0，可得关于 x的不等式，解不等式即可得答案． 【详解】点  P x 3 2 ， 位于第二象限， x 3 0   ， 解得： x 3 ， 故答案为 x 3 ． 【点睛】本题考查了象限内点的坐标特征，解一元一次不等式，解决本题的关键是记住各个象 限内点的坐标的符号，进而转化为解不等式的问题． 12．1 【难度】0.65 【知识点】角平分线的性质定理、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、点到直线的距离等知识点，掌握角平分线上的 点到角的两边距离相等成为解题的关键． 过 D作DF AB 交 AB延长线于 F，根据角平分线的性质定理可得DF DE ，再根据已知条 件可得 1DE  ，进而完成解得． 【详解】解：过 D作DF AB 交 AB延长线于 F， ∵BD是 ABCV 的角平分线，DE BC 于点E． ∴DF DE ， ∵ 3BE  ， BDEV 的面积为15．， ∴ 1 1.5 2 DE BE  ，即 1 3 1.5 2 DE  ，解得： 1DE  ， ∴ 1DF  ，即点D到边 AB的距离为 1． 故答案为 1． 13．(1) 1y x  (2)  2, 3M   【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练 掌握待定系数法是解本题的关键． （1）将 A与 B的坐标代入 y kx b  中求出 k与 b的值，即可确定出解析式； （2）根据平面直角坐标系内的点到 y轴的距离等于其横坐标的绝对值得出M 的横坐标为 2 ， 再将 2x   分别代入（1）中所求解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线 y kx b  经过点 (0, 1) ( 1, 2)A B  ， ， ∴ 1 2 b k b       解得： 1 1 k b     ∴此函数解析式 1y x  ； （2）解：∵M到 y轴的距离为 2 ∴ | | 2x  ， 2x   当 2x  时， 1y  ； 当 2x   时， = 3y  ∴点M 的坐标为  2,1 或  2, 3  14．(1)作图见解析； (2)  2,0 ； (3) 2 2． 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、求一次函数解析式、画旋转图形、坐标与图形 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （ 2）根据中心对称图形的性质作出点C，再根据点C的位置写出坐标即可； （3）设直线 B C的解析式为 y kx b  ，利用待定系数法求得 2y x   ，得到点  2, 4D  ， 由  2,0A ，  2,0C  ，得 90CAD  ， 4AC  ， 4AD ，由勾股定理得 2 24 4 4 2CD    ，设点A到直线 1BC的距离为 h，利用三角形面积即可求解； 本题考查了旋转作图，坐标与图形，待定系数法求出一次函数解析式，勾股定理，三角形面积， 掌握旋转和中心对称图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，由图可得，点C的坐标为  2,0 ， 故答案为：  2,0 ； （3）解：设直线 1BC的解析式为 y kx b  ，把  1 4,2B  、  2,0C  代入得， 2 4 0 2 k b k b        ， 解得 1 2 k b      ， ∴ 2y x   ， 当 2x  时， 2 2 4y      ， ∴点  2, 4D  ， ∵  2,0A ，  2,0C  ， ∴ 90CAD  ， 4AC  ， 4AD ， ∴ 2 24 4 4 2CD    ， 设点A到直线 1BC的距离为 h， 则 1 1· · 2 2ACD S AC AD CD h  ， ∴ 1 14 4 4 2 2 2 h     ， ∴ 2 2h  ， 故答案为： 2 2． 15．(1)①  4,0E  ；②  0,4 或  0, 4 (2)① 3 3n   ；② 5 3m    或1 3m  【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长、求点到坐标轴的距离、坐标与 图形 【分析】（1）①根据和谐点的定义即可求解．②根据点到坐标轴的距离，结合和谐点的定义， 设  0,B y ，则 4y  ，即可求解； （2）①待定系数法求得直线CD的解析式为 3y x  ，进而可得点M到 x轴的距离为 y ， 点M到 y轴的距离为 x ，根据定义可得 3x y x y    ，即点M的和谐点 N满足横纵坐 标的绝对值之和为 3，则点 N在图中所示的正方形CDEF上．②根据①的方法可得当正方形 SK TK 与正方形CDEF有交点时，符合题意，结合图形，即可求解． 【详解】（1）解：①∵点  3, 1A  ， ∴3 1 4  ， 点      4,0 , 1,1 , 2,0E F G 中，4 0 4,1 1 2,2 0 2      ， ∴点 A的和谐点是  4,0E  ； 故答案为：  4,0E  ． ②∵点 B在 y轴上，且 A，B两点为和谐点， ∴B点的横坐标为 0， 设  0,B y ， ∴ 4y  ， ∴ 4y   ， ∴点 B的坐标为  0,4 或  0, 4 ， 故答案为：  0,4 或  0, 4 ． （2）解：①由题意，点  3,0C ，点  0, 3D  ， 设直线CD的解析式为 3y kx  ， 将  3,0C 代入得，0 3 3k  ， 解得： 1k  ， ∴直线CD的解析式为： 3y x  ， 点M在线段CD上，设其坐标为  ,x y ，则 0, 0x y  ，且 3y x  ． ∴点M到 x轴的距离为 y ，点M到 y轴的距离为 x ， ∴ 3x y x y    ． ∴点M的和谐点 N满足横纵坐标的绝对值之和为 3． 即点 N在图中所示的正方形CDEF上． ∵点 E的坐标为  3,0 ，点 N在直线 x n 上， ∴ 3 3n   ． 故答案为： 3 3n   ． ②依题意，以线段 ST 为斜边的等腰直角三角形，点 K，K 为直角三角形的顶点，如图所示， 则四边形 SK TK 是正方形， ∴当正方形 SK TK 与正方形CDEF有交点时，符合题意， ∴ 3 2 1m     或1 3m  ， 即 5 3m    或1 3m  ， 故答案为： 5 3m    或1 3m  ． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，一次函数与坐标轴交点问题，正方形的性质，数形结 合是解题的关键． 16．(1)① (0,2)，或 (0, 2) ② 3； (2) , ,D E F三点间的“最佳间距”的最大值为 2，此时 0,3D（ ） 【难度】0.4 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知两点坐标求两点距离、用一元一次不等式解决几 何问题 【分析】本题考查了点坐标、绝对值运算，两点间的距离，不等式等知识点，理解新定义，正 确分情况讨论是解题关键． （1）① 根据两点间的距离公式，可得 AC y ， 3BC  ， 29AB y  ，而 AB AC ， AB BC ， 3 2BC   ，故三点 、 、A B C的“最佳间距”是 2，即 2AC y  ，由此得解； ② 由于 AC y ， 3BC  ， 29AB y  ，而 AB AC ，AB BC ，故三点 、 、A B C 的“最佳间距”的最大值是 3． （2）根据新定义，找到 , ,D E F 分别与点 1P， 2P ， 3P 的对应关系，找到对应横纵坐标间的关 系，分情况讨论即可求解； 【详解】（1）解：①       3,0 , 0, , 3,A B y C y  ，AC y ， 3BC  ， 29AB y  ， 而 AB AC ， AB BC ， 3 2BC   ， 又 三点 、 、A B C的“最佳间距”是 2，  2AC y  ， 2y   ，  (0, 2)B ，或 (0, 2)B  ． 如图所示， ②       3,0 , 0, , 3,A B y C y  ， AC y ， 3BC  ， 29AB y  ，而 AB AC ， AB BC ，  当 3AC y  时， 三点间的“最佳间距”的最大值为 3. （2）解： 点  3, 3 0 4 4 D x x x        ，点  0,1E ，  ,1F m ， 根据“最佳间距”的定义， ① 若  0,1E 对应  3 2 1,P x y ，  ,1F m 对应  1 1 1,P x y ，则   3, 3 0 4 4 D x x x        对应  2 2 2,P x y ， 则 0x  ，D点坐标为 (0,3)D ， EF m ， 2ED  ， 2 4DF m  ， 当 2EF m  时， EF ED ， DF ED ，  三点间的“最佳间距”的最大值为 2．此时 0,3D（ ）. ② 若  0,1E 对应  1 1 1,P x y ，  ,1F m 对应  3 2 1,P x y ，则   3, 3 0 4 4 D x x x        对应  2 2 2,P x y ，  x m ,D点坐标为 ) 3 4 , 3(D mm   ,  EF m ， 3 2 4 DF m   ， 2 23( 2) 4 ED m m    ，且有 ED EF ，ED DF ， 又  3, 3 0 4 4 D x x x        ，  0 4x  ， x m ，  0 4m  ， 31 2 2 4 m     ，  EF m m  ，分情况讨论 3 2 4 DF m   ， 1）当 80 3 m  ， 30 2 2 4 m    ， 3 2 4 DF m   ， EF m m  令 3 2 4 m m   ，解得 80 7 m  ，  当 80 7 m  ， DF EF ，而 ED EF ，  三点间的“最佳间距”为 EF m ，最大值为 8 7 ，此时 8 7 m  ． 当 8 8 7 3 m  ， EF DF ，而 ED DF ，  三点间的“最佳间距”为 3 2 4 DF m   ，最大值为 8 7 ，此时 8 7 m  ． 2）当 8 4 3 m  ， 31 2 0 4 m     ， 3 2 4 DF m  ， EF m m   30 2 1 4 m   ，  EF DF ，而 ED DF ，  三点间的“最佳间距”为 3 2 4 DF m  ，最大值为 1．此时 4m  ． 综上所述， , ,D E F三点间的“最佳间距”的最大值为 2，此时 0,3D（ ）． 17．(1)①M ，T ②  0, 5 (2)① 4 4n   ② 2t   或 2t  【难度】0.4 【知识点】根据正方形的性质求线段长、一次函数与几何综合、坐标与图形 【分析】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、垂距等点的定义的有关知识，解题的关键 是理解题意，把问题转化为熟悉的内容上来，解决数学问题． （1）①垂距等点的定义一一验证即可； ②设  0, ( 0)B y y  ，所以 0 5y   ，解得 5y   ，从而求出 B点的坐标； （2）①设E点的坐标为  , 4x x  ，E点在第三象限，结合垂距等点的定义可求出答案；② 因为点E到两坐标轴的距离之和最小值为 4，所以可考虑正方形 ABKL上的两个顶点  1,1A t  ，  1,1L t  ，只要A、 L两点满足垂距等点的要求，则存在点G使得E，G两点 为垂距等点． 【详解】（1）解：①点 A的坐标为  2,3 ，  2 3 5   ， 在点  1,4M ，  7, 2N  ，  5,0T  中， 1 4 5 7 | 2 | 9 | 5 | 0 5       ， ， M 、T 为点A的垂距等点， 故答案为：M ，T ； ②点 B在 y轴负半轴上， 点 B的横坐标为0， 设  0, ( 0)B y y  ， 0 5y   ， 5y   ，  0, 5B  ； 故答案为：  0, 5 ； （2）①由题意，直线 4y x  与 x轴交于  4,0C ，与 y轴交于  0, 4D  ， 点E在线段CD上，设E点的坐标为  , 4x x  ， 0 4x  ， 4 0x   ， 点E到坐标轴的距离之和为： 4 4x x   ， E 、 F 两点为垂距等点， 点 F 满足横、纵坐标的绝对值之和等于 4， 点 F 在如图所示的正方形CDRS上， R 点的坐标为  4,0 ， F 点在直线 x n 上， 4 4n   ； 即： n的取值范围 4 4n   ； ②  ,0t 是对角线HK PQ、 的交点， 不妨设  1,1H t  ，  1,1Q t  ， 由①可知，点E到两坐标轴的距离之和的最小值为 4， 当 1t  时，由 1 1 4t    ，得： 2t  ； 当 1t  时，由1 1 4t   ，得： 2t   ； t 的取值范围是 2t   或 2t  ．