第07讲 一元一次不等式与一次函数和一元一次不等式组 （6个知识清单+11类热点题型讲练+分层练习）2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（北师大版）

第07讲 一元一次不等式与一次函数和一元一次不等式组 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01由直线与坐标轴的交点求不等式的解集........................................................................................................................3 题型02根据两条直线的交点求不等式的解集............................................................................................................................6 题型03一元一次不等式组的定义................................................................................................................................................9 题型04求不等式组的解集...........................................................................................................................................................11 题型05解特殊不等式组...............................................................................................................................................................14 题型06求一元一次不等式组的整数解.......................................................................................................................................17 题型07由一元一次不等式组的解集求参数................................................................................................................................20 题型08由不等式组解集的情况求参数.......................................................................................................................................23 题型09不等式组和方程组结合的问题.......................................................................................................................................26 题型10列一元一次不等式组.......................................................................................................................................................29 题型11一元一次不等式组的其他应用........................................................................................................................................31 分层练习.........................................................................................................................................................................................33 夯实基础.........................................................................................................................................................................................33 能力提升.........................................................................................................................................................................................50 知识点1．一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 知识点2．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 知识点3．一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点4．由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 知识点5．一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 知识点6．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 题型01由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．（23-24八年级下·广东汕头·阶段练习）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，直线交轴于点，交轴于点，则不等式的解集是 ． 3．（23-24八年级下·全国·期末）已知一次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)在图中的网格中画出该函数的图象； (3)当时，的取值范围是 ． 题型02根据两条直线的交点求不等式的解集 4．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·全国·期末）如图，已知函数和的图像相交于点，则不等式的解集是 ． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与y轴交于点M． (1)求直线的表达式． (2)求的面积． (3)点是x轴上一个动点，过点P垂直于x轴的直线分别与直线和交于C、D两点，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围． 题型03一元一次不等式组的定义 7．（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 题型04求不等式组的解集 9．（24-25八年级下·全国·期中）若点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（22-23八年级下·四川成都·阶段练习）若不等式组无解，则a的取值范围是 ． 11．（24-25八年级下·全国·期末）阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：， ． 又， ． ． 又， ．　① 同理，可得．② ①②，得． 即， 的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是 ； (2)已知，且关于、的方程组中，，求的取值范围（结果用含的式子表示）． 题型05解特殊不等式组 12．（21-22八年级下·福建福州·期中）一次函数（k为常数，k≠0）和．当x＜2时，＞，则k取值范围（　　） A．k≤﹣2 B．﹣2≤k≤1且k≠0 C．k≥1 D．﹣2＜k＜1且k≠0 13．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 14．（22-23八年级下·辽宁锦州·期中）已知关于x，y的方程组的解满足不等式组．求：满足条件的m的整数值． 题型06求一元一次不等式组的整数解 15．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如果不等式组有且仅有3个整数解，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·河南焦作·期中）若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 17．（24-25八年级下·全国·期中）在平面直角坐标系中，，，． (1)若点在第四象限，且是正整数，求的值； (2)若以为顶点的中，，求点坐标． 题型07由一元一次不等式组的解集求参数 18．（23-24八年级下·全国·单元测试）若关于x的不等式组的解集为，则的值是（     ） A． B． C． D． 19．（22-23八年级下·四川成都·期中）已知不等式组的解集是，则的值是 ． 20．（23-24八年级下·全国·期中）在实数范围内规定新运算“※”，其运算规则为：． (1)求不等式的解集； (2)已知不等式组的解集为，求的值． 题型08由不等式组解集的情况求参数 21．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级下·重庆·开学考试）若整数k使得关于x的一元一次方程的解为正整数，且使得关于y的不等式组有且仅有两个偶数解，则所有满足条件的整数k的和为 ． 23．（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）已知关于x的不等式组 (1)若该不等式组的解集为，求m的值； (2)若该不等式组无解，求m的取值范围． 题型09不等式组和方程组结合的问题 24．（21-22八年级下·福建漳州·期末）非负数，满足，，则的最大值是（      ） A．－7 B． C．7 D．14 25．（2023·山东淄博·一模）关于、的方程组的解中与的和不小于，则的取值范围为 . 26．（23-24八年级下·广东梅州·期中）（1）【情境再现】如下是某种八年级课下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容． 已知关于的方程：的解是负数，求的取值范围． （2） 【拓展】若关于、的方程组 的解满足 ，求的最小整数值． 题型10列一元一次不等式组 27．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）东明县某日最高气温是，最低气温是 ，则东明县当日气温：的变化范围是（   ） A． B． C． D． 28．（22-23八年级下·山西运城·阶段练习）盐湖区今天的最高气温是，最低气温是，当天盐湖区气温的变化范围用不等式表示为 ． 29．（23-24八年级下·全国·假期作业）某市为鼓励居民节约用水，对每户用水按如下标准收费：若每户每月用水不超过立方米，则每立方米按元收费；若每户每月用水超过立方米，则超过的部分每立方米按元收费．某用户月份用水立方米，缴纳水费元． (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)此用户要想每月水费不超过元，那么每月的用水量不超过多少立方米？ 题型11一元一次不等式组的其他应用 30．（23-24八年级下·全国·单元测试）某商店计划用不超过2000元的资金，购进甲、乙两种单价分别为30元、60元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利5元、15元，两种商品均售完．若所获利润大于380元，则该店进货方案有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 31．（23-24八年级下·全国·期中）甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜适宜的温度是，将两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是 ． 32．（23-24八年级下·全国·单元测试）奉新县人民政府为了支持地方农业的发展，决定购买10台耕田机赠送农田承包大户，现在国产与进口的两种型号的耕田机，其价格与耕田效率如表．已知购买1台进口耕田机比购买1台国产耕田机多2万元，购买3台进口耕田机比购买4台国产耕田机少4万元． 进口耕田机 国产耕田机 价格（万元） a b 耕田效率（亩/月） 240 200 (1)求a，b的值； (2)受近几年经济大环境的影响，该县政府购买耕田机的资金最多为105万元．若每个月耕田机耕田面积不低于2040亩，为节约资金，请你为该县政府设计一种最省钱的购买方案． 夯实基础 一、单选题 1．下列不等式组中，无解的是 （     ） A． B． C． D． 2．甲种蔬菜保鲜适宜温度是，乙种蔬菜保鲜适宜温度是，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是（    ） A． B． C． D． 3．一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是（　　） A．x＞-2 B．x＞0 C．x＜-2 D．x＜0 4．如图，直线与的交点坐标为，则使的的取值范围为(    ) A．x＞1 B．x＞2 C．x＜2 D．x＜1 5．对于的一切实数不等式都成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P.下面有四个结论:①k>0；②b>0；③当x>0时，>0；④当x<-2时，kx>-x+b.其中正确的是(       ) A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 7．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是(　　) A． B． C． D． 8．如图，已知直线y1＝x+a与y2＝kx+b相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+a＞kx+b的解集正确的是（　　）    A．x＞﹣1 B．x＞1 C．x＜1 D．x＜﹣1 二、填空题 9．关于的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为 ． 10．已知关于x的方程的解是负数，则k的取值范围是 ． 11．已知关于x的不等式组的解集是，则 ． 12．一次函数的图象如图，则当x 时，． 13．若x为有理数，则表示不大于x的最大整数，表示大于x的最小整数．例如：，，．对任意的有理数x，都有，则的所有解为 ． 14．已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论： ①当时，x，y的值互为相反数； ②是方程组的解； ③无论a取何值，x，y恒有关系式； ④若，则． 其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上） 三、解答题 15．某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共辆调拨不超过吨蔬菜和吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜吨和肉制品吨；一辆中型车可运蔬菜吨和肉制品吨． （1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来； （2）若一辆大型车的运费是元，一辆中型车的运费为元，试说明中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？ 16．在同一直角坐标系中，画出函数和的图象，并结合图象比较这两个函数的函数值的大小关系． 17．解下列不等式（组）． (1)； (2)． 18．已知：关于x、y的方程组的解为非负数． （1）求a的取值范围； （2）化简|2a+4|﹣|a﹣1|； （3）在a的取值范围内，a为何整数时，使得2ax+3x＜2a+3解集为x＞1． 19．已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(0，1)． (1)若函数图象还经过点(－1，3)， ①求这个函数的表达式； ②若点P（a，a＋3）关于x轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求a的值． (2)若函数图象与x轴的交点的横坐标满足2＜＜3，求k的取值范围． 20．在平面直角坐标系中，已知直线经过，两点． （1）画出该一次函数的图象，求经过，两点的直线的解析式； （2）观察图象直接写出时的取值范围； （3）求这个一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积． 能力提升 一、单选题 21．若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（　　） A． B． C． D． 22． 如图所示，直线与轴交于点，关于的不等式的解集是（ ） A．x＜3 B．x＞3 C． D． 二、填空题 23．已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围是 ． 24．在课外阅读课上，老师将43本书分给各个小组，每组8本，还有剩余；每组9本，却又不够，则一共有 个小组． 三、解答题 25．将两个班学生编成人数相等的8组，若每组分配人数比预定多1名，则总数超过100人；若每组分配比预定人数少1名，则总数不足90人，问预定每组分配多少名学生？ 26．已知a，b，c为三个非负数，且满足3a＋2b＋c＝5，2a＋b－3c＝1. (1)求c的取值范围． (2)设S＝3a＋b－7c，求S的最大值和最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 一元一次不等式与一次函数和一元一次不等式组 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01由直线与坐标轴的交点求不等式的解集........................................................................................................................3 题型02根据两条直线的交点求不等式的解集............................................................................................................................6 题型03一元一次不等式组的定义................................................................................................................................................9 题型04求不等式组的解集...........................................................................................................................................................11 题型05解特殊不等式组...............................................................................................................................................................14 题型06求一元一次不等式组的整数解.......................................................................................................................................17 题型07由一元一次不等式组的解集求参数................................................................................................................................20 题型08由不等式组解集的情况求参数.......................................................................................................................................23 题型09不等式组和方程组结合的问题.......................................................................................................................................26 题型10列一元一次不等式组.......................................................................................................................................................29 题型11一元一次不等式组的其他应用........................................................................................................................................31 分层练习.........................................................................................................................................................................................33 夯实基础.........................................................................................................................................................................................33 能力提升.........................................................................................................................................................................................50 知识点1．一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 知识点2．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 知识点3．一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点4．由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 知识点5．一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 知识点6．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 题型01由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．（23-24八年级下·广东汕头·阶段练习）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在x轴的左侧，写出对应的取值范围即可． 【详解】解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，直线交轴于点，交轴于点，则不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】根据图象，得到直线交轴于点为，结合可得到． 本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，灵活运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：根据图象，得到直线交轴于点为， 由， 故． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·全国·期末）已知一次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)在图中的网格中画出该函数的图象； (3)当时，的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】画一次函数图象、求一次函数解析式、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数的上点的坐标特点、一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据一次函数的图象经过点，可以求得的值； （2）根据（1）中的值可以画出该函数对应的函数图形； （3）根据函数图象可以写出当时，的取值范围． 【详解】（1）解：将代入得， ∴． （2）图象如下图所示． （3），解得． 题型02根据两条直线的交点求不等式的解集 4．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数和的图象相交于点，求出点的坐标，再根据当时， 的图象在的图象的下方，得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵函数和的图象相交于点， ∴， 解得：， ∴点， ∵当时， 的图象在的图象的下方， ∴不等式的解集为：， 故选：A． 5．（24-25八年级下·全国·期末）如图，已知函数和的图像相交于点，则不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了利用函数图像求一元一次不等式的解集，确定点坐标是解题关键．首先将点代入函数，求解即可获得点坐标，然后结合图像即可获得答案． 【详解】解：将点代入函数， 可得，解得， ∴， 结合图像可知，不等式的解集是． 故答案为：． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与y轴交于点M． (1)求直线的表达式． (2)求的面积． (3)点是x轴上一个动点，过点P垂直于x轴的直线分别与直线和交于C、D两点，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)3 (3) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查两条直线平行、相交问题，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象，根据条件确定自变量取值范围． （1）先求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题． （2）把代入解析式，求出M坐标，利用三角形面积公式解答即可； （3）由图象可知直线在直线上方即可，由此即可写出n的范围． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴点， 设直线的表达式为， 将，代入得：， 解得， ∴直线的表达式为； （2）将代入，得：， ∴， ∴， ∴的面积； （3）当点C位于点D上方时，即是直线在直线上方，如图： 由图象可知． 题型03一元一次不等式组的定义 7．（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 8．（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 题型04求不等式组的解集 9．（24-25八年级下·全国·期中）若点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】求不等式组的解集、判断点所在的象限 【分析】本题考查平面直角坐标系中象限内点的坐标特征，解题的关键是根据第二象限内点的坐标特征得出a，b的取值范围． 先根据点在第二象限得出关于a，b的不等式，进而求出和的正负，再根据象限内点的坐标特征判断点所在象限． 【详解】因为点在第二象限，可得： ， 解得，， 那么， 因为，两边同时乘，不等号方向改变，得，两边同时加1，得， 根据第四象限内点的坐标特征：横坐标大于0，纵坐标小于0， 可知点在第四象限． 故选：D． 10．（22-23八年级下·四川成都·阶段练习）若不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．掌握求不等式组的解集的方法：同大取大，同小取小，大小小大中间跨，大大小小无处找．要求出a的值，首先分别求出这两个不等式解，最后根据不等式组无解的情况来确定a的值． 【详解】解： 解①式得：， 解②式得：， ∵若不等式组无解， ∴， 解得：． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·全国·期末）阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：， ． 又， ． ． 又， ．　① 同理，可得．② ①②，得． 即， 的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是 ； (2)已知，且关于、的方程组中，，求的取值范围（结果用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，掌握一元一次不等式的解法、理解阅读材料是解题的关键． （1）仿照阅读材料求出的取值范围； （2）解出一元一次不等式组，仿照阅读材料求出的取值范围． 【详解】（1）解：， ． 又， ． ． 又， ．　① 同理，可得．② ①②，得． 即， 的取值范围是， 故答案为：； （2）解：解方程组得，， ， ， ，， ，， 解得，， 则， ． 题型05解特殊不等式组 12．（21-22八年级下·福建福州·期中）一次函数（k为常数，k≠0）和．当x＜2时，＞，则k取值范围（　　） A．k≤﹣2 B．﹣2≤k≤1且k≠0 C．k≥1 D．﹣2＜k＜1且k≠0 【答案】B 【知识点】解特殊不等式组、比较一次函数值的大小、求不等式组的解集 【分析】解不等式kx+3＞x﹣3，根据题意得出k﹣1＜0且2且k≠0，解此不等式组即可． 【详解】解：∵一次函数（k为常数，k≠0）和．当x＜2时，＞， ∴kx+3＞x﹣3， ∴kx﹣x＞﹣6， ∴（k－1）x＞﹣6， ∴k﹣1＜0且2且k≠0， 当k﹣1＜0即k＜1时，2则k≥﹣2， 所以不等式组的解集为﹣2≤k＜1且k≠0； 当k＝1时，，，很明显＞也成立， 故k的取值范围是﹣2≤k≤1且k≠0， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式组，一次函数的性质，关键是根据题意得出k﹣1＜0时，2且k≠0解答． 13．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 【答案】或 【知识点】绝对值方程、解特殊不等式组 【分析】本题考查了绝对值方程，解不等式，分类讨论是解题的关键．根据绝对值的意义，将方程转化为一般的方程，然后求解，再解不等式即可． 【详解】解：根据题意，当时， 解得： 此时，解得 当时， 解得： 此时，解得或 综上所述，或 故答案为：或． 14．（22-23八年级下·辽宁锦州·期中）已知关于x，y的方程组的解满足不等式组．求：满足条件的m的整数值． 【答案】1和2 【知识点】加减消元法、求不等式组的解集、解特殊不等式组 【分析】方法一：得，，得，，根据不等式组即可求出；方法二：求解二元一次方程组，把方程组的解代入得到关于m的不等式组，即可求解． 【详解】方法一： 解：， 得，， ∵， ∴， 解得：， 得，， ∵， ∴， 解得：， ∴，则满足条件的m的整数值为1和2； 方法二： ， 解得：， 把代入得：， 解得： ∴满足条件的m的整数值为1和2． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤，以及解一元一次不等式组的方法和写出不等式组解集的方法． 题型06求一元一次不等式组的整数解 15．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如果不等式组有且仅有3个整数解，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组的解集和整数解得出答案即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以根据题意，不等式组的解集是， 不等式组有且仅有个整数解，这个整数解是，，， ， 故选：B． 16．（23-24八年级下·河南焦作·期中）若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先解每一个不等式，再根据不等式组解集的范围内有四个整数解，得出新的不等式，求a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组有四个整数解，即为， ∴， 故答案为：． 17．（24-25八年级下·全国·期中）在平面直角坐标系中，，，． (1)若点在第四象限，且是正整数，求的值； (2)若以为顶点的中，，求点坐标． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知点所在的象限求参数、三线合一、求一元一次不等式组的整数解 【分析】（）由在第四象限，则，求出，再根据是正整数，从而求出； （）由，，，得点的横坐标为，求出的值，然后代入即可求解； 本题考查了平面直角坐标系的坐标特征，解不等式组，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵在第四象限， ∴， ∴， ∵是正整数， ∴； （2）解：∵， ，， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型07由一元一次不等式组的解集求参数 18．（23-24八年级下·全国·单元测试）若关于x的不等式组的解集为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得到a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 19．（22-23八年级下·四川成都·期中）已知不等式组的解集是，则的值是 ． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了一元一次不等式组，代数式求值，解题的关键是掌握不等式组的解．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出、的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集为， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 20．（23-24八年级下·全国·期中）在实数范围内规定新运算“※”，其运算规则为：． (1)求不等式的解集； (2)已知不等式组的解集为，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】新定义下的实数运算、由一元一次不等式组的解集求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了新定义运算和解一元一次不等式，解一元一次不等式组： （1）根据新定义可得，解不等式即可； （2）根据新定义得到，分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴． 题型08由不等式组解集的情况求参数 21．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了不等式组的整数解，解不等式组应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组恰有2个整数解，即可确定整数解，然后得到关于a的不等式求解即可． 【详解】解：解不等式组得：， ∵恰好有2个整数解， ∴整数解是2，1， ∴． 故选：D． 22．（24-25八年级下·重庆·开学考试）若整数k使得关于x的一元一次方程的解为正整数，且使得关于y的不等式组有且仅有两个偶数解，则所有满足条件的整数k的和为 ． 【答案】10 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组和一元一次方程的整数解，正确掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．解元一次方程得到或6或12，由不等式组有且仅有两个偶数解求出k的取值范围，即可得到所有满足条件的的和． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 整数k使得关于x的一元一次方程的解为正整数， ∴， 或6或12， ， 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式的解集为， 关于y的不等式组有且仅有两个偶数解， ， ， 所有符合条件的整数k的值有4，6， 所有满足条件的整数k的和为． 故答案为：． 23．（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）已知关于x的不等式组 (1)若该不等式组的解集为，求m的值； (2)若该不等式组无解，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求参数，熟练掌握不等式组的解法是解答本题的关键． （1）先求出不等式组两个不等式的解集，再根据解集为列方程求解即可； （2）不等式组无解得出求解即可． 【详解】（1）解不等式，得； 解不等式，得． ∵该不等式组的解集为 ∴且， ∴． （2）∵该不等式组无解， ∴， 解得． 题型09不等式组和方程组结合的问题 24．（21-22八年级下·福建漳州·期末）非负数，满足，，则的最大值是（      ） A．－7 B． C．7 D．14 【答案】C 【知识点】不等式组和方程组结合的问题、判断一次函数的增减性 【分析】根据，是非负数，可得，把代入到，得到，再求出的取值范围，进而求出的最大值． 【详解】∵，是非负数，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，不等式组的解法，灵活掌握非负数的性质，不等式组的解法问题是解本题的关键． 25．（2023·山东淄博·一模）关于、的方程组的解中与的和不小于，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】加减消元法、不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，把两个方程相减，可得，与的和不小于，即可求出答案． 【详解】把两个方程相减，可得 与的和不小于 解得： k的取值范围为． 故答案为：． 26．（23-24八年级下·广东梅州·期中）（1）【情境再现】如下是某种八年级课下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容． 已知关于的方程：的解是负数，求的取值范围． （2） 【拓展】若关于、的方程组 的解满足 ，求的最小整数值． 【答案】（1）；（2）的最小整数值为 【知识点】加减消元法、不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查了一元一次方程的解，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先解一元一次方程，可得，然后题意可得，进行计算即可解答； （2）先利用加减消元法解方程组，求出、的值，然后根据题意可得关于的不等式，解不等式即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， 关于的方程的解是负数， ， 解得：； （2） 得：， 解得：， 得：， 解得：， ， ， 解得：， 的最小整数值为． 题型10列一元一次不等式组 27．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）东明县某日最高气温是，最低气温是 ，则东明县当日气温：的变化范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题主要考查了将实际问题抽象出一元一次不等式组，抓住关键词语、列出不等式组是解答本题的关键．先根据最高气温与最低气温列出不等式组，然后再确定其解集即可解答． 【详解】解：由题意可得： 当天气温的变化范围是． 故选：A． 28．（22-23八年级下·山西运城·阶段练习）盐湖区今天的最高气温是，最低气温是，当天盐湖区气温的变化范围用不等式表示为 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】根据题意列出不等式组即可． 【详解】根据题意知：盐湖区今天的最高气温是，最低气温是， ∴当天盐湖区气温的变化范围为： 故答案为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 29．（23-24八年级下·全国·假期作业）某市为鼓励居民节约用水，对每户用水按如下标准收费：若每户每月用水不超过立方米，则每立方米按元收费；若每户每月用水超过立方米，则超过的部分每立方米按元收费．某用户月份用水立方米，缴纳水费元． (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)此用户要想每月水费不超过元，那么每月的用水量不超过多少立方米？ 【答案】(1) (2)每月的用水量不超过立方米 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、列一元一次不等式组 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）分情况讨论：当时，当时，分别根据题意列出等量关系即可； （2）根据用户每月水费不超过元，且要求每月的用水量不超过多少立方米，可得，求出的范围即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 关于的函数解析式为； （2）由题意得：， 解得：， 每月的用水量不超过立方米． 题型11一元一次不等式组的其他应用 30．（23-24八年级下·全国·单元测试）某商店计划用不超过2000元的资金，购进甲、乙两种单价分别为30元、60元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利5元、15元，两种商品均售完．若所获利润大于380元，则该店进货方案有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的不等关系，并据此列出不等式组．设该店购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据“购进甲乙商品不超过2000元的资金、两种商品均售完所获利润大于380元”列出关于的不等式组，解之求得整数的值即可得出答案． 【详解】解：设该店购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 根据题意，得：， 解得：， ∵为整数， ∴、35、36， ∴该店进货方案有3种， 故选：A． 31．（23-24八年级下·全国·期中）甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜适宜的温度是，将两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了不等式解集的应用，掌握相关知识是解题的关键．找出甲乙两种蔬菜保鲜适宜的温度范围的公共部分即可． 【详解】解：甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是， 将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是， 故答案为：． 32．（23-24八年级下·全国·单元测试）奉新县人民政府为了支持地方农业的发展，决定购买10台耕田机赠送农田承包大户，现在国产与进口的两种型号的耕田机，其价格与耕田效率如表．已知购买1台进口耕田机比购买1台国产耕田机多2万元，购买3台进口耕田机比购买4台国产耕田机少4万元． 进口耕田机 国产耕田机 价格（万元） a b 耕田效率（亩/月） 240 200 (1)求a，b的值； (2)受近几年经济大环境的影响，该县政府购买耕田机的资金最多为105万元．若每个月耕田机耕田面积不低于2040亩，为节约资金，请你为该县政府设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1)a的值为12，b的值为10 (2)最省钱的购买方案为购买1台进口耕田机，9台国产耕田机 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解决本题的关键读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系． （1）由“购买1台进口耕田机比购买1台国产耕田机多2万元，购买3台进口耕田机比购买4台国产耕田机少4万元”列方程组即可求解； （2）设购买m台进口耕田机，则购买台国产耕田机，可列不等式组，解之由m的值确定方案，进行比较，作出选择． 【详解】（1）根据题意得：， 解得：， 答：a的值为12，b的值为10； （2）设购买m台进口耕田机，则购买台国产耕田机， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴，2， ∴政府有2种购买方案： ①购买1台进口耕田机，9台国产耕田机，所需资金为：（万元）； ②购买2台进口耕田机，8台国产耕田机，所需资金为：（万元）； ∵， ∴最省钱的购买方案为购买1台进口耕田机，9台国产耕田机． 夯实基础 一、单选题 1．下列不等式组中，无解的是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式取解集的方法：同大取大，同小取小，大大小小无解，大小小大取中间即可得到正确的选项． 【详解】解：A、x>-5，x>5，同大取大，解集为x>5； B、x>-3，x<2，解集为-3<x<2； C、x<0，x>6，无解； D、x<1，，解集为. 故选C. 【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握取解集的方法是解本题的关键． 2．甲种蔬菜保鲜适宜温度是，乙种蔬菜保鲜适宜温度是，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出甲乙两种蔬菜保鲜适宜温度的公共部分即可. 【详解】解：因为甲种蔬菜保鲜适宜温度是，乙种蔬菜保鲜适宜温度是， 所以将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是. 故选A. 【点睛】本题考查了不等式组的实际应用，正确理解题意，得出甲乙两种蔬菜保鲜适宜温度的公共部分是关键. 3．一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是（　　） A．x＞-2 B．x＞0 C．x＜-2 D．x＜0 【答案】A 【分析】由图象可知kx＋b＝0的解为x＝−2，所以kx＋b＞0的解集也可观察出来． 【详解】解：从图象得知一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的图象经过点（−2，0），并且函数值y随x的增大而增大，因而则不等式kx＋b＞0的解集是x＞−2． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 4．如图，直线与的交点坐标为，则使的的取值范围为(    ) A．x＞1 B．x＞2 C．x＜2 D．x＜1 【答案】D 【详解】此题考查一次函数图像的交点问题、考查学生读图的能力；一次函数图像的交点坐标是有两个一次函数对应的方程联立的二元一次方程组的解构成的；如上图所示：当时，即直线在直线的下方部分，所以；选D 5．对于的一切实数不等式都成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先解不等式可得，再根据包含在解集里，可得出，即可得答案． 【详解】解不等式得， ∵对于的一切实数不等式都成立 ∴ ∴ 故选B． 【点睛】本题考查求不等式中的参数，理解包含在解集中得到是解题的关键． 6．如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P.下面有四个结论:①k>0；②b>0；③当x>0时，>0；④当x<-2时，kx>-x+b.其中正确的是(       ) A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】A 【分析】根据正比例函数和一次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵直线y1=kx经过第一、三象限， ∴k＞0，故①正确； ∵y2=-x+b与y轴交点在负半轴， ∴b＜0，故②错误； ∵正比例函数y1=kx经过原点，且y随x的增大而增大， ∴当x＞0时，y1＞0；故③正确； 当x＜-2时，正比例函数y1=kx在一次函数y2=-x+b图象的下方，即kx＜-x+b，故④错误． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断． 7．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分并在数轴上表示出来即可． 【详解】 由①，得x≥2， 由②，得x＜3， 所以不等式组的解集是：2≤x＜3． 不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 8．如图，已知直线y1＝x+a与y2＝kx+b相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+a＞kx+b的解集正确的是（　　）    A．x＞﹣1 B．x＞1 C．x＜1 D．x＜﹣1 【答案】A 【分析】根据图象求解不等式，要使x+a＞kx+b，则必须在y1＝x+a在y2＝kx+b上方，根据图形即可写出答案. 【详解】解：因为直线y1＝x+a与y2＝kx+b相交于点P（﹣1，2） 要使不等式x+a＞kx+b，则必须在y1＝x+a在y2＝kx+b上方 所以可得x＞﹣1时，y1＝x+a在y2＝kx+b上方 故选A. 【点睛】本题主要考查利用函数图形求解不等式,关键在于根据图象求交点坐标. 二、填空题 9．关于的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示． 【详解】解：该不等式组的解集为 故答案为： 【点睛】本题考查了不等式组解集在数轴上的表示方法，数形结合是解题的关键． 10．已知关于x的方程的解是负数，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解出x，根据题意列出不等式求出k即可； 【详解】解方程得：， ∵关于x的方程的解是负数， ∴， 解得． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程与不等式的结合，准确计算是解题的关键． 11．已知关于x的不等式组的解集是，则 ． 【答案】 【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再根据不等式组的解集是得到，再利用求出，即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②，， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法、完全完全平方公式的变形、平方根等相关知识，读懂题意正确计算是解题的关键． 12．一次函数的图象如图，则当x 时，． 【答案】 【分析】，对应一次函数的函数值小于4时，x的取值范围，观察图像即可求解． 【详解】解：观察函数图象，当时， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是掌握观察图象的方法求不等式的取值范围． 13．若x为有理数，则表示不大于x的最大整数，表示大于x的最小整数．例如：，，．对任意的有理数x，都有，则的所有解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义、解一元一次不等式组等知识点，明确题意、正确列出一元一次不等式是解答本题的关键．根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得的取值范围即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵表示不大于x的最大整数， ∴为整数， ∴或， ∴或； 故答案为：或． 14．已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论： ①当时，x，y的值互为相反数； ②是方程组的解； ③无论a取何值，x，y恒有关系式； ④若，则． 其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上） 【答案】③④/④③ 【分析】①先求出方程组的解，把代入求出x、y即可；②把代入，求出a的值，再根据判断即可；③根据原方程组的解，计算即可；④根据和求出，求出，再求出（）的范围即可． 【详解】解：解方程组， 得， ①当时， ，， 故结论①错误； ②把代入， 得， 解得， ∵， ∴此时不符合题意，故结论②错误； ③由原方程组的解可知， ，故结论③正确； ④∵， ∴，即， 由∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论④正确． 故答案为：③④． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程解的定义、解二元一次方程组和解不等式组等知识，根据条件分别求得方程组的解是解题关键． 三、解答题 15．某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共辆调拨不超过吨蔬菜和吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜吨和肉制品吨；一辆中型车可运蔬菜吨和肉制品吨． （1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来； （2）若一辆大型车的运费是元，一辆中型车的运费为元，试说明中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）符合题意的运输方案有种，方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；（2）方案1安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元． 【分析】设安排辆大型车，则安排辆中型车，根据辆车调拨不超过吨蔬菜和吨肉制品补充当地市场，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各运输方案； 根据总运费＝单辆车所需费用租车辆车可分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设安排辆大型车，则安排辆中型车， 依题意，得： 解得：． 为整数， ． 符合题意的运输方案有种，方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车． 方案1所需费用为：（元）， 方案2所需费用为：（元）， 方案3所需费用为：（元）． ， 方案1安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元． 答：（1）符合题意的运输方案有种，方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；（2）方案1安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 16．在同一直角坐标系中，画出函数和的图象，并结合图象比较这两个函数的函数值的大小关系． 【答案】图见解析，当时，；当时，；当时，． 【分析】利用两点法作出两种函数的图象后直接写出函数值的大小关系即可． 【详解】解：由函数可知x＝2，y＝6；x＝−2，y＝−4， 根据（2，6），（−2，−4）画出直线函数； 由可知x＝−3，y＝2；x＝−4，y＝−3， 根据（−3，2），（−4，−3）画出直线； 联立两解析式：，解得：， 因此两图象交点为（，）， 根据图象可知： 当时，； 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，解题的关键是正确地找出两点． 17．解下列不等式（组）． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，然后移项、合并同类项，系数化为1即可得出结果； （2）先求出各个不等式的解集，然后再由“同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小无处找”确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查求不等式及不等式组的解集，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键． 18．已知：关于x、y的方程组的解为非负数． （1）求a的取值范围； （2）化简|2a+4|﹣|a﹣1|； （3）在a的取值范围内，a为何整数时，使得2ax+3x＜2a+3解集为x＞1． 【答案】（1）﹣2≤a≤﹣1；（2）3a+3；（3）在a的取值范围内，a＝﹣2时，使得2ax+3x＜2a+3解集为x＞1． 【分析】（1）先解方程组，根据解为非负数，得出a的取值范围； （2）根据a的取值范围化简|2a+4|﹣|a﹣1|即可； （3）根据2ax+3x＜2a+3解集为x＞1，得出a的值即可． 【详解】（1）由． ∵方程组的解为非负数，∴，得：﹣2≤a≤﹣1； （2）∵﹣2≤a≤﹣1，∴|2a+4|﹣|a﹣1|=2a+4﹣（1﹣a）=2a+4﹣1+a=3a+3； （3）∵2ax+3x＜2a+3解集为x＞1，∴2a+3＜0，∴a＜－1.5． ∵﹣2≤a≤﹣1，∴若a为整数，则a=﹣2，即在a的取值范围内，a=﹣2时，使得2ax+3x＜2a+3解集为x＞1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解、绝对值、解二元一次方程组，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法． 19．已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(0，1)． (1)若函数图象还经过点(－1，3)， ①求这个函数的表达式； ②若点P（a，a＋3）关于x轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求a的值． (2)若函数图象与x轴的交点的横坐标满足2＜＜3，求k的取值范围． 【答案】(1)①y=－2x+1；②4 (2)－＜k＜－ 【分析】（1）①把点（0，1），（－1，3）代入y=kx+b，待定系数法求解析式即可求解；②P(a，a＋3)关于x轴对称的对称点是（a，－a－3），代入解析式即可求解； （2）把x=2，y=0； x=3，y=0代入一次函数解析式，求出对应的k值，即可求解． 【详解】（1）解：①把点（0，1），（－1，3）代入y=kx+b，得， 解得： ∴一次函数的表达式为y=－2x+1． ②P(a，a＋3)关于x轴对称的对称点是（a，－a－3）， ∵该对称点在函数的图象上， ∴－a－3＝－2a＋1， ∴a＝4． （2）由已知，得y=kx+1， 把x=2，y=0代入，得0=2k+1，解得k=－， 把x=3，y=0代入，得0=3k+1，解得k=－， ∴k的取值范围是－＜k＜－． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点的问题，掌握一次函数的性质是解题的关键． 20．在平面直角坐标系中，已知直线经过，两点． （1）画出该一次函数的图象，求经过，两点的直线的解析式； （2）观察图象直接写出时的取值范围； （3）求这个一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】（1）y＝−2x＋1，图像见详解；（2）x≥；（3） 【分析】（1）建立平面直角坐标系，描出A（−3，7）、B（2，−3）两点，画直线AB即可，可设一次函数的表达式为y＝kx＋b，进而利用方程组求得k、b的值，即可得到函数解析式； （2）由直线在x轴下方部分所对应的y≤0，进而即可求解； （3）求出直线与x，y轴的交点坐标，结合三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）一次函数图像如图所示： 设一次函数的表达式为y＝kx＋b， 由题意，得：，解得：， ∴一次函数的表达式为y＝−2x＋1； （2）令y=0，代入y＝−2x＋1得：x=， ∴直线与x轴的交点坐标为（，0）， ∵直线在x轴下方部分所对应的y≤0， ∴当时的取值范围：x≥； （3）令x=0，则y=1， ∴直线与y轴的交点坐标为（0，1）， ∴一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积=． 【点睛】本题主要考查一次函数的图像和性质以及待定系数法，画出函数图像，理解函数图像上的点的坐标特征，是解题的关键． 能力提升 一、单选题 21．若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算可得，再根据题意可得，从而求出，然后解方程可得，再根据题意可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组恰好有3个整数解， ∴， ∴， 由方程得， ， 解得：， ∵方程的解是非负数， ∴， ∴， 综上所述，， ∴符合条件的所有整数m的值为：， ∴符合条件的所有整数m的和为， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 22． 如图所示，直线与轴交于点，关于的不等式的解集是（ ） A．x＜3 B．x＞3 C． D． 【答案】A 【详解】法一：由图示可得，当时，函数图像在轴的上方，此时，即． 所以不等式的解集为． 故选：A． 法二：由直线与轴交于点，则， 于是． 由得； 又，则． 故选：A． 二、填空题 23．已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由已知方程组得出且，根据得出关于的不等式组，解之即可得出答案． 【详解】解：， ，得：， ∴， ，得：， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据方程组和不等式组得出关于m的不等式组． 24．在课外阅读课上，老师将43本书分给各个小组，每组8本，还有剩余；每组9本，却又不够，则一共有 个小组． 【答案】5 【分析】设一共有x个小组，根据题意，得，求整数解即可． 【详解】设一共有x个小组，根据题意，得， 解得， ∵x是整数， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了不等式组的应用，熟练掌握不等式组的整数解是解题的关键． 三、解答题 25．将两个班学生编成人数相等的8组，若每组分配人数比预定多1名，则总数超过100人；若每组分配比预定人数少1名，则总数不足90人，问预定每组分配多少名学生？ 【答案】预定每组分配12名学生 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，弄清题意，根据关键语句“分配给每组的人数比预定人数多1名，那么学生总数超过100人；如果每组分配的人数比预定人数少1名，那么学生人数不到90人”得到学生总数的两个关系式是解决本题的关键．首先设预定每组分配x人，根据题意可得关系式为：（预定每组分配的人数+1）×组数；（预定每组分配的人数-1）×组数，把相关数值代入后可得到不等式组，解不等式组后，取整数解即可． 【详解】解：设预定每组分配x名学生，得 ， 解得， ∴整数． 答：预定每组分配12名学生． 26．已知a，b，c为三个非负数，且满足3a＋2b＋c＝5，2a＋b－3c＝1. (1)求c的取值范围． (2)设S＝3a＋b－7c，求S的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) S的最大值为－，最小值为－. 【详解】试题分析：（1）把c看作已知数，分别用c表示出a和b，让a≥0，b≥0列式求值即可； （2）求得S用c表示的形式，根据c的取值范围代入可得S的最大值和最小值． 试题解析：(1)根据题意，得 解得 ∵a≥0，b≥0，c≥0， ∴ ∴≤c≤. (2)S＝3a＋b－7c＝3(7c－3)＋(7－11c)－7c＝3c－2. ∵≤c≤， ∴≤3c≤， ∴－≤3c－2≤－， ∴S的最大值为－，最小值为－. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$