4.4 平行四边形的判定定理（6大题型提分练，同步练习）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（浙教版）

4.4 平行四边形的判定定理 题型一 判断能否构成平行四边形 1．如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形，A正确，符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，B不正确，不符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，C不正确，不符合题意； 当，可得，无法判定四边形是平行四边形，D不正确，不符合题意； 故选：A． 2．依据所标数据，一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由数据可知，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定为平行四边形，故选项A不符合题意； B、由数据可知，一组对边平行且相等，能判定为平行四边形，故选项B符合题意； C、由数据可知，只有一组对边平行，不能判定为平行四边形，故选项C不符合题意； D、由数据可知，有三条边相等，不能判定为平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 3．如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 结合全等三角形的性质，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故C符合题意， 但是A、B、D条件均不能证明，故不符合题意， 故选：C． 4．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选项A不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D不符合题意； 由，，无法得到四边形是平行四边形， ∴选项C符合题意． 故选：C． 题型二 添一个条件成为平行四边形 1．在四边形中，，添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，或两组对边分别平行的四边形为平行四边形，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形；故选项B符合题意； 当时，四边形是平行四边形； 当时，无法判定四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； 当时，无法判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 当，则：，无法判定四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选B 2．如图，在四边形中，，请添加一个条件： ，使四边形成为平行四边形． 【答案】（或）（（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】解：添加条件为：， 理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 添加条件为：， 理由：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 故答案为：（或）（答案不唯一）． 3．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、根据，，能判断四边形为平行四边形，故该选项不符合题意； B、根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项符合题意； C、根据，，能判断四边形为平行四边形，故该选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 4．如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是 ． 【答案】 【分析】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由题目的已知条件可知添加，即可证明，从而进一步证明，且，进而证明四边形为平行四边形． 【详解】解：条件是：， 理由如下：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． 题型三 画已知图形关于某点对称的图形 1．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 2．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于点的中心对称图形，并写出点的坐标； (2)若四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)点的坐标为或或 【分析】本题主要考查了图形的中心对称和旋转变换，平行四边形； （1）使，则点和点关于原点成中心对称，同理可作出点，，进而可作出，然后根据点的位置可确定其坐标； （2）根据平行四边形的判定定理确定出点的位置及坐标． 【详解】（1）解：作图如下： ； （2）解：四边形是平行四边形，则有如下三种情况，如下图： 点的坐标为或或． 3．如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格， 的三个顶点都在网格中的格点上． (1)求 的周长； (2)判断 的形状，并求 边上的高； (3)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置． 【答案】(1) (2)直角三角形，2 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用勾股定理求出每条边的长度即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理即可求解，再根据等面积法即可求出 上的高； （3）根据平行四边形的定义，画出图形即可． 【详解】（1）解：，， 的周长， （2）解：，，， 故是直角三角形， 设边上的高为h， 即 解得：， 则边 上的高为2； （3）解：D点的位置如下图所示： 题型四 证明四边形是平行四边形 1．要求只用圆规来验证纸片的两边是否平行，现有甲、乙两种方案如图1和图2． 甲 乙 ①在纸片的一边上取线段； ②用圆规在另一边上截取，使； ③用圆规比较和的长度，若，则． ①沿折叠纸片，使和重合，和重合，交于点F； ②用圆规比较的长度，若，则． 对于两个方案，说法正确的是（   ） A．只有甲方案可行 B．只有乙方案可行 C．甲、乙方案都可行 D．甲、乙方案都不可行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判断，解题关键是准确理解题意，选择恰当方法证明，然后判断即可． 【详解】解：甲方案根据两组对边分别相等，可判定四边形是平行四边形，所以，方案可行； 乙方案由折叠可知， ∵， ∴， ∴， ∴； 方案可行； 故选：C． 2．如图，在中，平分平分．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质得到，，根据角平分线的性质，结合平行线的性质，得到，进而得到，结合，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵，即， ∴四边形是平行四边形． 3．如图，在中，点，分别是，的中点，且于，于． 求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，由平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点，分别是，的中点， ，， ， ，， ， 在和和中， ， ； （2）因为， 所以， 因为，（或因为，所以）， 所以， 四边形是平行四边形． 4．等边中，点D、E、F分别在上，，连接，，． (1)如图1，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，连接，点G在的延长线上，，请直接写出与相等的所有线段． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】对于（1），根据等边三角形的性质得，再结合可得，接下来说明是等边三角形，然后得出，进而得出，即可得出答案； 对于（2），由（1），得，再根据平行四边形的性质得，然后根据“边角边”证明，可得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即． ∵ ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：． ∵是等边三角形， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，灵活选择平行四边形的判定定理是解题的关键． 题型五 利用平行四边形的判定和性质求解 1．如图，在四边形中，平分，则下列结论中不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质等知识，根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出可判断A正确；根据等腰三角形性质求出，即可推出，故B正确；由三角形内角和定理易得，结合，可证明，故C正确．过点E作，易得，结合三角形外角的性质以及角平分线的性质可知，故D错误． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，，故A正确，不符合题意； ∵，平分， ∴， 又， ∴，故B正确，不符合题意； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； 如图，过点E作， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 2．如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，过点C作，垂足为G，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识．由平行四边形的性质结合等腰三角形的判定，可得，再由等腰三角形的性质和勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∵的平分线与的延长线交于点E，与交于点F， ∴， ∴ ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先证明四边形都是平行四边形，然后证明，根据，求出即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 4．如图，的面积为12，将沿方向平移到处，使点与C重合，连结交于点D，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平移的性质、与三角形中线有关的面积的计算，连接，由平移的性质可得：，，，从而得出四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，即可得解． 【详解】解：如图：连接， ， 由平移的性质可得：，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，平行四边形中，、分别在和的延长线上，，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得，即，进而可求出，则，由已知条件可证得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得，于是得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴,， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，勾股定理，平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 6．如图，在中，平分交于点，平分，，交于点，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义可得，证明得，，从而，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵平分交于点，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 故选：D ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的计算是解题的关键． 题型六 利用平行四边形性质和判定证明 1．如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求椅子最高点A到地面的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行线的性质可得，，进而得，可知，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质得，延长交于，由（1）可知，，，可知四边形是平行四边形，得，，求得，，证明，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 延长交于， 由（1）可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则，， 连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即：椅子最高点到地面的距离为． 2．如图，在中，，是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，．求线段长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）连接交于点，根据平行四边形对角线互相平分，得到与的数量关系即可证明，即可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明． （2）根据勾股定理可求出的长度，则可得到和．最后求出的长度即可． 【详解】（1）证明：连接交于点． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故②③正确；然后由平行四边形的性质得，则④错误；最后求出，故⑤错误；即可得出答案． 【详解】解：，，， 是直角三角形， ，故①正确； ，都是等边三角形 和都是等边三角形 ，， 在与中 ，故②正确； 同理可证： 四边形是平行四边形，故③正确； ，故④错误； 过作于，如图所示：    则 四边形是平行四边形 ，故⑤错误． 综上所述，正确的是①②③，共3个． 故选：B 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 4．如图，已知和均是等边三角形，点D在线段上，过点E作，交B于点F，交于点G，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识正确的识别图形是解题的关键． （1）由证明得出， ，由平行线的性质得出，得出，证出，得出，即可得出结论； （2）由（1）得到，，根据平行线的判定定理得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵和均是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 5．如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再证明，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长． 【详解】解：由折叠可得，，， 平行四边形中，， ， ， ， ，而， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 又， ， 是直角三角形， ， ， 又，， ， ， ， 又是的中点，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 6．如图，在四边形中，，，点，在边上，且．连接，，则四边形周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】如图，取的中点，作D关于直线的对称点，连交于点F，在边上，F点左侧截取，连，，利用轴对称和平行四边形的性质得出为四边形周长的最小值，据此解答即可得解． 【详解】解：如图，取的中点，作D关于直线的对称点，连交于点F，在边上，F点左侧截取，连，，    ， ， ，的中点为， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形周长， 由两点之间线段最短知，此时四边形周长最小， 在中，， 四边形周长最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称—最短距离，勾股定理，垂直平线的性质，平行四边形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能正添加辅助线是解决此题的关键． 1．如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】当运动的时间为时，，，因为四边形是平行四边形，所以，当时，四边形是平行四边形，可得关于的方程，解方程求出的值； 过点作于点，过点作于点，利用三角形的面积公式求出的长度，从而可求的面积，根据三角形中位线的性质可求出的长度，从而可求的面积，用的面积减去的面积即可得到四边形的面积． 【详解】（1）解：当时，四边形是平行四边形， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中，， ， ． ， ． ， ，即时， 四边形是平行四边形， 解得：； （2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ，，， 在中，由勾股定理，得， 由三角形的面积公式，得， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、动点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质．本题的综合性较强，解决本题的关键是根据平行四边形的判定定理确定边之间需要满足的条件，根据条件列方程． 2．在中，连接对角线，，分别是，的平分线，，交于点，为上一点，且． (1)如图1，若是等边三角形，，求的面积； (2)如图2，若是等腰直角三角形，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质和角平分线的性质可推出，，从而得到．再根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可求出和的长，从而可求出答案； （2）延长到，使得，连接．根据等腰直角三角形的性质和角平分线的性质可推出，，从而得到，，再利用四边形是平行四边形可推出，从而得到四边形是平行四边形，得到，最后根据即可证明． 【详解】（1）解：是等边三角形 ， 又，分别是，的平分线 ，，， 在中，， ， ∴ ∴ 的面积为． （2）证明：如图，延长到点，使，连接 是等腰直角三角形，且，，分别是，的平分线 ， ， ， 四边形是平行四边形 ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握以上知识点并正确的作出辅助线是解题关键． 3．如图，已知的面积为a，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，求出平行四边形ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CF×hCF的值即可． 【详解】解：连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M， ∵四边形CDEF是平行四边形， ∴DE∥CF，EF∥CD， ∴AM∥DE∥CF，AC∥FM， ∴四边形ACFM是平行四边形， ∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同， ∴△BDE的面积和△CDE的面积相等， 同理△ADE的面积和△AME的面积相等， 即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是×CF×hCF， ∵△ABC的面积是，， ∴BC×hBC＝×3CF×hCF＝a， ∴CF×hCF＝a， ∴阴影部分的面积是CF×hCF＝a＝， 故答案为： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，正确得出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半是解题关键． 4．如图，在中，已知，，，过的中点作，垂足为，与的延长线相交于点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得到，，求出、、，根据得出，，根据三角形的面积公式求的面积，即可求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， 为中点， ， ，， ， ， 由勾股定理得：， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 5．如图（1），在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(﹣1，0)，(3，0)，将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD． （1）求点C、点D的坐标及S四边形ABDC； （2）点Q在y轴上，且S△QAB=S四边形ABDC，求出点Q的坐标； （3）如图（2），点P是线段BD上任意一个点（不与B、D重合），连接PC、PO，试探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之间的关系，并证明你的结论． 【答案】（1）C(0，2），D(4，2）；S四边形ABDC=8；（2）Q(0，4）或Q(0，﹣4）；（3）∠CPO=∠DCP+∠BOP，证明见解析． 【分析】（1）根据平移直接得到点C、点D的坐标，用面积公式计算S四边形ABDC； （2）设出Q的坐标，OQ=|m|，用S△QAB= S四边形ABDC建立方程，解方程即可； （3）作出辅助线、平行线，用两直线平行，内错角相等即可． 【详解】解：（1）∵线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD 且A(﹣1，0），B(3，0） ∴C(0，2），D(4，2） ∵AB=4，OC=2 ∴S四边形ABDC=AB×OC=8． （2）∵点Q在y轴上，设Q(0，m） ∴OQ=|m| ∴S△QAB=×AB×OQ=×4×|m|=2|m| ∵S四边形ABDC=8 ∴2|m|=8 ∴m=4或m=﹣4 ∴Q(0，4）或Q(0，﹣4）． （3）如图 ∵线段CD是线段AB平移得到 ∴CD∥AB 作PE∥AB ∴CD∥PE ∴∠CPE=∠DCP ∵PE∥AB ∴∠OPE=∠BOP ∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP ∴∠CPO=∠DCP+∠BOP． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质、计算三角形面积的方法、平行线的判定和性质，解本题的关键是用面积建立方程或计算，作出辅助线是解本题的难点． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4 平行四边形的判定定理 题型一 判断能否构成平行四边形 1．如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．依据所标数据，一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型二 添一个条件成为平行四边形 1．在四边形中，，添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，请添加一个条件： ，使四边形成为平行四边形． 3．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是 ． 题型三 求与已知三点组成平行四边形的个数 1．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 2．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于点的中心对称图形，并写出点的坐标； (2)若四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 3．如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格， 的三个顶点都在网格中的格点上． (1)求 的周长； (2)判断 的形状，并求 边上的高； (3)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置． 题型四 证明四边形是平行四边形 1．要求只用圆规来验证纸片的两边是否平行，现有甲、乙两种方案如图1和图2． 甲 乙 ①在纸片的一边上取线段； ②用圆规在另一边上截取，使； ③用圆规比较和的长度，若，则． ①沿折叠纸片，使和重合，和重合，交于点F； ②用圆规比较的长度，若，则． 对于两个方案，说法正确的是（   ） A．只有甲方案可行 B．只有乙方案可行 C．甲、乙方案都可行 D．甲、乙方案都不可行 2．如图，在中，平分平分．求证：四边形是平行四边形． 3．如图，在中，点，分别是，的中点，且于，于． 求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 4．等边中，点D、E、F分别在上，，连接，，． (1)如图1，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，连接，点G在的延长线上，，请直接写出与相等的所有线段． 题型五 利用平行四边形的判定和性质求解 1．如图，在四边形中，平分，则下列结论中不正确的是（  ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，过点C作，垂足为G，若，则的长为 ． 3．如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为 ． 4．如图，的面积为12，将沿方向平移到处，使点与C重合，连结交于点D，则的面积为 ． 5．如图，平行四边形中，、分别在和的延长线上，，，，，则的长是 ． 6．如图，在中，平分交于点，平分，，交于点，，若，，则（    ） A． B． C． D． 题型六 利用平行四边形性质和判定证明 1．如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求椅子最高点A到地面的距离． 2．如图，在中，，是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，．求线段长． 3．如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图，已知和均是等边三角形，点D在线段上，过点E作，交B于点F，交于点G，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 5．如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 6．如图，在四边形中，，，点，在边上，且．连接，，则四边形周长的最小值为 ．    1．如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 2．在中，连接对角线，，分别是，的平分线，，交于点，为上一点，且． (1)如图1，若是等边三角形，，求的面积； (2)如图2，若是等腰直角三角形，且，求证：． 3．如图，已知的面积为a，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 ． 4．如图，在中，已知，，，过的中点作，垂足为，与的延长线相交于点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 5．如图（1），在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(﹣1，0)，(3，0)，将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD． （1）求点C、点D的坐标及S四边形ABDC； （2）点Q在y轴上，且S△QAB=S四边形ABDC，求出点Q的坐标； （3）如图（2），点P是线段BD上任意一个点（不与B、D重合），连接PC、PO，试探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之间的关系，并证明你的结论． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$