专题06 一元一次不等式与不等式组的应用两种考法全攻略-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题06 一元一次不等式与不等式组的应用两种考法全攻略 【考法一、方案选择题】 例．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 变式1．某校七年级（6）班对半学期考试成绩优秀的学生进行奖励，颁发奖品，班主任安排生活委员到某文具店购买甲、乙两种奖品，若买甲种奖品20个，乙种奖品10个，共用110元，买甲种奖品30个比买乙种奖品20个少花10元． (1)求甲、乙两种的单价各是多少元？ (2)因奖品数量的需要和班费的限制，现要求本次购买甲种奖品的数量是乙种奖品的数量的2倍还少10个，而且购买这两种奖品的总金额只能在280元到320元之间（包括280元和320元），请问有几种购买方案？哪种方案最省钱？最省钱为多少？ 变式2．数学项目小组为解决某超市购物车从楼到楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息： 信息 购物车的尺寸如图所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图所示，辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为米． 信息 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运辆购物车，直立电梯一次性最多能转运列长度均为米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： (1)当辆购物车按图的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则与的关系式是_____； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； (3)若该超市需转运辆购物车，使用电梯总次数为次，则有哪几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由． 变式3．我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用3辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用2100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． (1)求A型大巴车和B型大巴车每辆俩各需多少元； (2)若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 变式4．某中学计划购买型和型课桌凳共200套，经招标，购买一套型课桌凳比购买一套型课桌凳少用40元，且购买4套型和5套型课桌凳共需1820元． (1)求购买一套型课桌凳和一套型课桌凳各需多少元？ (2)学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买型课桌凳的数量不能超过型课桌凳数量的，学校购买型课桌凳x套，总费用为元． ①求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． ②该校本次购买型和型课桌凳共有几种购买方案？怎样的方案使总费用最低？并求出最低消费． 【考法二、利润问题】 例．又是一年端阳至，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽，吃粽子是端午节的习俗．某糕点店推出的“鲜肉粽”和“蛋黄粽”深受顾客喜欢．已知3个“鲜肉粽”、2个“蛋黄粽”的售价之和为46元，5个“鲜肉粽”、1个“蛋黄粽”的售价之和为58元． (1)求“鲜肉粽”和“蛋黄粽”的售价各是多少元？ (2)糕点店在今年端午节前夕，购进了3000个“鲜肉棕”，2500个“蛋黄粽”．适逢店庆，为答谢新老顾客，糕点店对两种粽子都展开了降价促销活动，其中“鲜肉粽”按售价打折（a为整数）出售，“蛋黄棕”每个让利元，且保证降价后“鲜肉棕”的售价低于“蛋黄粽”售价的1.5倍，最终两种粽子全部销售出去，且总销售额不低于39000元，求a的值． 变式1．某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（规定每辆汽车满载，并且只装一种水果）．下表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润． 甲 乙 丙 每辆汽车能装的数量（吨） 每吨水果可获利润（万元） (1)用辆汽车装运乙、丙两种水果共吨到地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？ (2)水果基地计划用辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共吨到地销售（每种水果不少于一车），假设装运甲水果的汽车为辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆（结果用含的式子表示）？ (3)在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？ 变式2．用600张甲种木板（规格：）和400张乙种木板（规格：），制作如图所示的A，B两种顶部无盖木盒若干个，制作过程中板材损耗忽略不计． (1)若甲、乙两种木板刚好全部用完，则可以制作A，B两种木盒各多少个？ (2)已知A种木盒的销售单价是B种木盒的两倍，且两种木盒的销售单价之和不低于21元而不超过54元，设B种木盒的销售单价为t元．当制作这批木盒的成本为2100元时，为使这批木盒的销售利润最大，两种木盒的销售单价应分别定为多少元？销售这批木盒的最大利润为多少元？ 变式3．高邮市大力发展本地特色产业——高邮湖大闸蟹养殖，中秋前后进入大闸蟹成熟期，某运输公司经过多轮竞标获得60吨大闸蟹转运权，负责运往市，该公司中标的大闸蟹转运初始费用为800元/吨．已知该公司安排了、、型货车20辆用于装运大闸蟹，已知三种车型每辆车的最大装载量、运输费用如表所示： 车型 A B C 最大装载量（吨） 5吨 3吨 2吨 运输费用（元/辆） 2000 1500 800 规定所有大闸蟹必须一次性同时发货，每辆车都必须装满才能出发，应公司要求，运输货物时型车的装载量不超过型车和型车的装载量总和，同时型车的数量不超过6辆，设这次运输使用型车辆，型车辆，根据以上信息回答下列问题： (1)求与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (2)设此次转运的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润：（利润转运初始总费用运输总费用） (3)由于车辆紧缺，这次运输过程中每辆型车的运输费用要增加元，该公司在本次转运中获得的最大利润为17400元，请求出的值． 【课后练习】 1．仁怀市位于贵州省西北部、赤水河中游，大娄山脉西段北侧，属于云贵高原向四川盆地过渡的典型的山地地带，是酱香酒发源地，茅台酒的故乡，因其特殊的生态、气候、土壤和微生物群，成为酿造茅台酒等优质酱香白酒主要产区，2004年被命名为“中国酒都”，酱香白酒产业逐步扩大，诞生了大、中、小很多酱香白酒生产酒产，现某酱香白酒销售商准备向某酒厂购进一批中档酱香白酒进行销售，该酒厂有甲、乙两种品牌中档酱香白酒可供选择，据了解，购10件甲种品牌中档酱香白酒和5件乙种品牌中档酱香白酒需要12000元；购3件甲种品牌中档酱香白酒和6件乙种品牌中档酱香白酒需要6300元．请根据以上信息解答下面的问题： (1)求甲、乙两种品牌中档酱香白酒的进价； (2)若该酱香白酒销售商准备购进甲、乙两种品牌中档酱香白酒共100件，但准备的资金不超过84000元，那么该酱香白酒销售商最多能购进甲种品牌中档酱香白酒多少件； (3)在（2）的条件下，若该酱香白酒销售商准备的资金不低于83400元，那么该酱香白酒销售商有几种购进方案？若该酱香白酒销售商将甲、乙两种品牌中档酱香白酒分别以每件1200元和每件800元的售价全部卖出，请问该酱香白酒销售商应选择哪一种方案进酒获利最大，最大利润是多少？ 2．某公司有A型产品80件，B型产品120件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中140件给甲店，60件给乙店，且都能卖完．甲店销售A型产品利润每件400元，销售B型产品利润每件340元；乙店销售A型产品利润每件320元，销售B型产品利润每件300元． (1)若公司要求总利润不低于70280元，求出公司能采用几种不同的分配方案？ (2)为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利m元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 3．某商场筹集资金万元，一次性购进空调、彩电共台．根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格． 空调 彩电 进价(元/台) 售价(元/台) 设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元． (1)试写出y与x的函数关系式； (2)商场有哪几种进货方案可供选择？ (3)最大利润为多少？ 4．一个车间有30个工人．已知每个工人每天可以制造甲种零件8个或乙种零件4个．车间以两种零件各自的出厂价对外进行订单式销售，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润350元．在这30人中，车间每天安排x人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件，其中制造甲种零件的的人数不少于制造乙种零件的人数，且车间每天所获利润不低于38000元． (1)设车间每天所获利润为y元，试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)由于市场行情的变化，车间对两种零件的出厂价分别进行了调整：每个甲种零件出厂价上调m元（），每个乙种零件出厂价下调20元．试说明m取何值时，车间每天获得的利润最低是40320元？ 5．新年将至，小开计划购进部分年货进行销售．若购进40副春联和30对窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元． (1)求每副春联、每对窗花的进价各是多少元； (2)小开计划购进春联、窗花共300件进行销售，春联和窗花的售价分别定为15元和6元．春联和窗花的总进价不超过1300元，且全部销售完后总销售额不低于2250元，若购进的春联和窗花全部售出，则购进多少副春联时销售利润最大，并求出最大利润． 6．随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有、两个工种的工人，其中工种有300人，工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个种工人的月工资与5个种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元． (1)、两个工种工人的月工资分别为多少万元； (2)由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘、两个工种工人共60人．其中，再招聘的工种工人不超过再招聘的工种工人的，且最终车间所有工种工人的数量与车间所有工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最少，最少为多少？ 7．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 8．某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价元，售价元；乙种服装每件进价元，售价元．现计划购进两种服装共件，其中甲种服装不少于件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进件服装的总费用不超过元，求最大利润为多少元 (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为元，求的值． 9．太湖山景区有三处景点，三处景点门票价格如下： 票种 类型一 类型二 类型三 景点 月亮湖 动物园 真人CS游戏 单价（元） 20 30 60 某地方企业家支持地方经济和教育事业的发展，购买以上三处景点的门票90张用来奖励某校优秀学生，其中购买类型一票数x张，类型二票数是类型一票数的3倍少20张票，类型三票数y张． (1)求y与x之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (2)设购买90张票总费用为w元，求w（元）与x（张）之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (3)若计划每种票至少购买20张，请你列出所有购票方案，并求购买总费用最少是多少元． 10．为落实“五育并举”，我市某学校积极开展“阳光体育运动”．引导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的开展，学校计划购进，两种品牌的足球共50个，其中品牌足球的价格为100元/个，购买品牌足球所需费用（单位：元）与购买数量（单位：个）之间的关系如图所示． (1)购买数量个时，品牌足球的价格_____元/个； (2)求出当时，与的函数表达式： (3)若购买种品牌足球的数量不超过30个，但不少于种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用（单位：元）最低，并求出最低费用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元一次不等式与不等式组的应用两种考法全攻略 【考法一、方案选择题】 例．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元 (2)超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元 (3)有两种：当时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；当时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 【分析】对于（1），设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解； 对于（2），设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，根据金额不多余7500元，列不等式求解； 对于（3），根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润＝一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的取值范围，再根据a为整数，即可得出答案． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元． （2）解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台． 依题意得：， 解得：， ∵a是整数， ∴a最大是37， 答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元． （3）解：根据题意得：， 解得：， ∵，且a应为整数， ∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种： 当时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台； 当时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，方案设计，根据题意弄清等量（不等）关系是解题的关键． 变式1．某校七年级（6）班对半学期考试成绩优秀的学生进行奖励，颁发奖品，班主任安排生活委员到某文具店购买甲、乙两种奖品，若买甲种奖品20个，乙种奖品10个，共用110元，买甲种奖品30个比买乙种奖品20个少花10元． (1)求甲、乙两种的单价各是多少元？ (2)因奖品数量的需要和班费的限制，现要求本次购买甲种奖品的数量是乙种奖品的数量的2倍还少10个，而且购买这两种奖品的总金额只能在280元到320元之间（包括280元和320元），请问有几种购买方案？哪种方案最省钱？最省钱为多少？ 【答案】(1)甲种奖品的单价为3元，乙种奖品的单价是5元 (2)共3种方案，方案①购买乙种奖品29个，购买甲种奖品48个最省钱，为289元 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设甲种奖品的单价是x元，一种奖品的单价是y元，然后依据买甲种奖品20个，乙种奖品10个，共用110元，买甲种奖品30个比买乙种奖品20个少花10元列方程组求解即可； （2）设购买乙种奖品的数量为a个，则购买甲种奖品的数量为个，然后依据总费用在280元到320元之间列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲种奖品的单价是x元，一种奖品的单价是y元． 根据题意得：， 解得：， 答：甲种奖品的单价为3元，乙种奖品的单价是5元． （2）解：设购买乙种奖品的数量为a个，则购买甲种奖品的数量为个． 根据题意得： 解得：． ∵a只能取正整数， ∴，30，31． ∴有3中购买方案． 方案①：购买乙种奖品29个，购买甲种奖品48个； 方案②：购买乙种奖品30个，购买甲种奖品50个； 方案③：购买乙种奖品31个，购买甲种奖品52个． 方案①最省钱． ∵元；元；元， ∴方案①最省钱． 变式2．数学项目小组为解决某超市购物车从楼到楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息： 信息 购物车的尺寸如图所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图所示，辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为米． 信息 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运辆购物车，直立电梯一次性最多能转运列长度均为米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： (1)当辆购物车按图的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则与的关系式是_____； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； (3)若该超市需转运辆购物车，使用电梯总次数为次，则有哪几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由． 【答案】(1)； (2)直立电梯一次性最多可以运输辆购物车； (3)共有种运输方案：扶手电梯运次，直立电梯运次；扶手电梯运次，直立电梯运次；；扶手电梯运次． 【分析】（）根据“一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加”，列出函数关系式； （）把代入解析式，求出的值即可； （）设用扶手电梯运输次，直立电梯运输次，根据题意得 ，求出的取值范围即可； 本题考查了一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是列出函数解析式和不等式组． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴车身总长与购物车辆数的表达式为， 故答案为：； （2）解：当时，， 解得：，（辆）， 答：直立电梯一次性最多可以运输辆购物车； （3）解：设用扶手电梯运输次，直立电梯运输次， 由（）得：直立电梯一次性最多可以运输辆购物车， ∴ ， 解得：， ∴为正整数， ∴， ， ， ∴共有种运输方案： 扶手电梯运次，直立电梯运次； 扶手电梯运次，直立电梯运次； 扶手电梯运次． 变式3．我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用3辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用2100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． (1)求A型大巴车和B型大巴车每辆俩各需多少元； (2)若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】(1)每辆型大巴车需500元，每辆型大巴车需300元 (2)该校共有3种租车方案，方案1：租用10辆型大巴车，20辆型大巴车；方案2：租用11辆型大巴车，19辆型大巴车；方案3：租用12辆型大巴车，8辆型大巴车； (3)采用租车方案1可使总费用最低，最低费用是11000元 【分析】（1）设每辆型大巴车需元，每辆型大巴车需元，根据“租用3辆型大巴车和2辆台型大巴车，共需费用2100元；4辆台型大巴车比5辆型大巴车的费用多500元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型大巴车，则租用辆型大巴车，根据“型大巴车的辆数不少于型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆型大巴车的租金租用型大巴车的数量每辆型大巴车的租金租用型大巴车的数量，可求出采用各租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出采用各租车方案所需费用． 【详解】（1）解：设每辆型大巴车需元，每辆型大巴车需元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型大巴车需500元，每辆型大巴车需300元； （2）解：设租用辆型大巴车，则租用辆型大巴车， 根据题意得：，解得：， 又为正整数， 可以为10，11，12， 该校共有3种租车方案， 方案1：租用10辆型大巴车，20辆型大巴车； 方案2：租用11辆型大巴车，19辆型大巴车； 方案3：租用12辆型大巴车，8辆型大巴车； （3）解：采用租车方案1所需费用为（元）； 采用租车方案2所需费用为（元）； 采用租车方案3所需费用为（元）． ， 采用租车方案1可使总费用最低，最低费用是11000元． 变式4．某中学计划购买型和型课桌凳共200套，经招标，购买一套型课桌凳比购买一套型课桌凳少用40元，且购买4套型和5套型课桌凳共需1820元． (1)求购买一套型课桌凳和一套型课桌凳各需多少元？ (2)学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买型课桌凳的数量不能超过型课桌凳数量的，学校购买型课桌凳x套，总费用为元． ①求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． ②该校本次购买型和型课桌凳共有几种购买方案？怎样的方案使总费用最低？并求出最低消费． 【答案】(1)购买一套型课桌凳180元，一套B型课桌凳220元 (2)①（，且为整数）；②该校本次购买型和型课桌凳共有3种购买方案．当购买型课桌凳80套，型课桌凳120套时，总费用最低，最低消费为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和不等式组的应用，一次函数的增减性质，根据已知得出不等式组，求出的值是解答关键． （1）设购买一套型课桌凳元，则一套型课桌凳元，根据题意列出方程求解； （2）①设型桌套，则型桌套，购买桌凳总费用为元，根据题意列出方程和不等式求解； ②利用要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买型课桌凳的数量不能超过型课桌凳数量的，列出不等式组求解． 【详解】（1）解：设购买一套型课桌凳元，则一套型课桌凳元， 由题意得， 解得， 则． 答：购买一套型课桌凳180元，一套型课桌凳220元． （2）解：设型桌套，则型桌套，购买桌凳总费用为元， 根据题意得， 且 ， 解得， （，且为整数）． ，为整数， ∴，，， ∴共套方案． ∵，随的增大而减小， ∴时，总费用最低，有最小值（元）， 此时． 即当总费用最低的方案是：购买型课桌凳80套，型课桌凳120套时． 答：该校本次购买型和型课桌凳共有3种购买方案．当购买型课桌凳80套，型课桌凳120套时，总费用最低，最低消费为40800元． 【考法二、利润问题】 例．又是一年端阳至，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽，吃粽子是端午节的习俗．某糕点店推出的“鲜肉粽”和“蛋黄粽”深受顾客喜欢．已知3个“鲜肉粽”、2个“蛋黄粽”的售价之和为46元，5个“鲜肉粽”、1个“蛋黄粽”的售价之和为58元． (1)求“鲜肉粽”和“蛋黄粽”的售价各是多少元？ (2)糕点店在今年端午节前夕，购进了3000个“鲜肉棕”，2500个“蛋黄粽”．适逢店庆，为答谢新老顾客，糕点店对两种粽子都展开了降价促销活动，其中“鲜肉粽”按售价打折（a为整数）出售，“蛋黄棕”每个让利元，且保证降价后“鲜肉棕”的售价低于“蛋黄粽”售价的1.5倍，最终两种粽子全部销售出去，且总销售额不低于39000元，求a的值． 【答案】(1)10元，8元；(2)4 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用： （1）设“鲜肉棕”的售价为x元/个；“蛋黄粽”售价为y元/个，根据3个“鲜肉粽”、2个“蛋黄粽”的售价之和为46元，5个“鲜肉粽”、1个“蛋黄粽”的售价之和为58元，列出方程组进行求解即可； （2）根据“鲜肉棕”的售价低于“蛋黄粽”售价的1.5倍，且总销售额不低于39000元，列出不等式组，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设“鲜肉棕”的售价为x元/个；“蛋黄粽”售价为y元/个， 则，解得： 答：“鲜肉粽”的售价为10元/个；“蛋黄粽”售价为8元/个． （2）由题意得， 解得： 为整数 答：a的值为4． 变式1．某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（规定每辆汽车满载，并且只装一种水果）．下表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润． 甲 乙 丙 每辆汽车能装的数量（吨） 每吨水果可获利润（万元） (1)用辆汽车装运乙、丙两种水果共吨到地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？ (2)水果基地计划用辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共吨到地销售（每种水果不少于一车），假设装运甲水果的汽车为辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆（结果用含的式子表示）？ (3)在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)装运乙种水果的汽车有辆、丙种水果的汽车有辆 (2)装运乙种水果的汽车是辆，丙种水果的汽车是辆 (3)安排运甲水果的车辆，运乙水果的车辆，运丙水果的车辆，可使水果基地获得最大利润，最大利润为万元 【分析】本题考查二元一次方程组，代数式表示式子，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意和表格中的数据可以用关于的代数式表示出装运乙、丙两种水果的汽车数量； （3）根据题意可以写出利润关于的关系式，再根据的取值范围即可解答本题． 【详解】（1）解：设装运乙、丙水果的汽车分别为辆，辆， 由题意得， 解得 答：装运乙种水果的汽车有辆、丙种水果的汽车有辆． （2）设装运乙、丙水果的汽车分别为a辆，b辆， 由题意得 解得 答：装运乙种水果的汽车是辆，丙种水果的汽车是辆． （3）设总利润为万元， 则． ． 又为正整数， ，，． 将，，依次代入中， 可得当时，最大，此时． 答：安排运甲水果的车辆，运乙水果的车辆，运丙水果的车辆，可使水果基地获得最大利润，最大利润为万元． 变式2．用600张甲种木板（规格：）和400张乙种木板（规格：），制作如图所示的A，B两种顶部无盖木盒若干个，制作过程中板材损耗忽略不计． (1)若甲、乙两种木板刚好全部用完，则可以制作A，B两种木盒各多少个？ (2)已知A种木盒的销售单价是B种木盒的两倍，且两种木盒的销售单价之和不低于21元而不超过54元，设B种木盒的销售单价为t元．当制作这批木盒的成本为2100元时，为使这批木盒的销售利润最大，两种木盒的销售单价应分别定为多少元？销售这批木盒的最大利润为多少元？ 【答案】(1)可制作A种木盒100个，可制作B种木盒100个 (2)A种木盒的销售单价是36元，B种木盒的销售单价是18元，最大利润3300元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，理解题意，根据题意列出方程组和一次函数解析式是解题的关键； （1）设可制作A种木盒x个，可制作B种木盒y个，根据题意可得，制作一个A种木盒需要长、宽均为的木板5个，制作一个B种木盒需要长、宽均为的木板1个，长为、宽为的木板4个，列关系式求解即可； （2）设B种木盒的销售单价为t元，利润为w元，则A种木盒的销售单价为元，根据题意列出函数关系式，结合“两种木盒的销售单价之和不低于21元而不超过54元”，得出，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设可制作A种木盒x个，可制作B种木盒y个， 则解得：， 答：可制作A种木盒100个，可制作B种木盒100个； （2）解：设B种木盒的销售单价为t元．利润为w元，则A种木盒的销售单价为元， 则， 两种木盒的销售单价之和不低于21元而不超过54元， ， ， ， 随的增大而增大， 当元时，最大为元， A种木盒的销售单价是36元，B种木盒的销售单价是18元，最大利润3300元． 变式3．高邮市大力发展本地特色产业——高邮湖大闸蟹养殖，中秋前后进入大闸蟹成熟期，某运输公司经过多轮竞标获得60吨大闸蟹转运权，负责运往市，该公司中标的大闸蟹转运初始费用为800元/吨．已知该公司安排了、、型货车20辆用于装运大闸蟹，已知三种车型每辆车的最大装载量、运输费用如表所示： 车型 A B C 最大装载量（吨） 5吨 3吨 2吨 运输费用（元/辆） 2000 1500 800 规定所有大闸蟹必须一次性同时发货，每辆车都必须装满才能出发，应公司要求，运输货物时型车的装载量不超过型车和型车的装载量总和，同时型车的数量不超过6辆，设这次运输使用型车辆，型车辆，根据以上信息回答下列问题： (1)求与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (2)设此次转运的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润：（利润转运初始总费用运输总费用） (3)由于车辆紧缺，这次运输过程中每辆型车的运输费用要增加元，该公司在本次转运中获得的最大利润为17400元，请求出的值． 【答案】(1) (2)；当用6辆A型车，2辆B型车，12辆C型车能获得最大利润23400元 (3)1050 【分析】本题主要考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解答的关键是理解清楚题意，找到相应的等量关系． （1）表示出C型车的数量，从而可求y与x之间的函数关系式； （2）根据利润=转运初始费用-运输费用，列出相应的关系式，再结合x的取值分析即可； （3）根据利润=转运初始费用-运输费用，列出相应的关系式，再结合x的取值分析即可． 【详解】（1）解：由题意得：C型车有：辆， 则， 整理得：． ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， ∵， ∴Q随x的增大而增大， ∴当时，Q的最大值为：（元）， B型车有：辆，C型车有：（辆）， 答：当用6辆A型车，2辆B型车，12辆C型车能获得最大利润23400元； （3）解：， ①当时，无解，故； ②当时，即，则时取到最大值17400元， ∴， 解得：，不符合题意； ③当时，即，则时取到最大值17400元， ∴ 解得：，符合题意． 综上可知，a的值为1050． 【课后练习】 1．仁怀市位于贵州省西北部、赤水河中游，大娄山脉西段北侧，属于云贵高原向四川盆地过渡的典型的山地地带，是酱香酒发源地，茅台酒的故乡，因其特殊的生态、气候、土壤和微生物群，成为酿造茅台酒等优质酱香白酒主要产区，2004年被命名为“中国酒都”，酱香白酒产业逐步扩大，诞生了大、中、小很多酱香白酒生产酒产，现某酱香白酒销售商准备向某酒厂购进一批中档酱香白酒进行销售，该酒厂有甲、乙两种品牌中档酱香白酒可供选择，据了解，购10件甲种品牌中档酱香白酒和5件乙种品牌中档酱香白酒需要12000元；购3件甲种品牌中档酱香白酒和6件乙种品牌中档酱香白酒需要6300元．请根据以上信息解答下面的问题： (1)求甲、乙两种品牌中档酱香白酒的进价； (2)若该酱香白酒销售商准备购进甲、乙两种品牌中档酱香白酒共100件，但准备的资金不超过84000元，那么该酱香白酒销售商最多能购进甲种品牌中档酱香白酒多少件； (3)在（2）的条件下，若该酱香白酒销售商准备的资金不低于83400元，那么该酱香白酒销售商有几种购进方案？若该酱香白酒销售商将甲、乙两种品牌中档酱香白酒分别以每件1200元和每件800元的售价全部卖出，请问该酱香白酒销售商应选择哪一种方案进酒获利最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲种品牌中档酱香白酒的进价为900元，乙种品牌中档酱香白酒的进价为600元 (2)该酱香白酒销售商最多能购进甲种品牌中档酱香白酒80件 (3)有三种进酒方案，方案一：进甲种品牌中档酱香白酒78件，乙种品牌中档酱香白酒22件；方案二：进甲种品牌中档酱香白酒79件，乙种品牌中档酱香白酒21件；方案三：进甲种品牌中档酱香白酒80件，乙种品牌中档酱香白酒20件；选择方案三进酒获利最大，最大利润为112000元 【分析】（1）设甲种品牌中档酱香白酒的进价为元，乙种品牌中档酱香白酒的进价为元，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该酱香白酒销售商能购进甲种品牌中档酱香白酒件，则乙种品牌中档酱香白酒件，根据题意，得，解不等式求整数解即可； （3）设该酱香白酒销售商能购进甲种品牌中档酱香白酒件，则乙种品牌中档酱香白酒件，根据题意，得，结合（2）的解答联立求解符合题意的整数解即可． 本题考查了方程组，不等式的应用，不等式组的应用，熟练掌握方程组，不等式组的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲种品牌中档酱香白酒的进价为元，乙种品牌中档酱香白酒的进价为元，则 ． 解得． 答：甲种品牌中档酱香白酒的进价为900元，乙种品牌中档酱香白酒的进价为600元． （2）解：设该酱香白酒销售商能购进甲种品牌中档酱香白酒件，则乙种品牌中档酱香白酒件， 根据题意，得， 解得， 由m是正整数， 故． 答：该酱香白酒销售商最多能购进甲种品牌中档酱香白酒80件． （3）解：设该酱香白酒销售商进甲种品牌中档酱香白酒件，则乙种品牌中档酱香白酒件， 根据题意，得 解得， 又， ， 为整数， 取，，． 有三种进酒方案，即： 方案一：进甲种品牌中档酱香白酒78件，乙种品牌中档酱香白酒22件； 利润为：元． 方案二：进甲种品牌中档酱香白酒79件，乙种品牌中档酱香白酒21件； 利润为：元． 方案三：进甲种品牌中档酱香白酒80件，乙种品牌中档酱香白酒20件． 利润为：元． 选择方案三进酒获利最大，最大利润为112000元． 2．某公司有A型产品80件，B型产品120件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中140件给甲店，60件给乙店，且都能卖完．甲店销售A型产品利润每件400元，销售B型产品利润每件340元；乙店销售A型产品利润每件320元，销售B型产品利润每件300元． (1)若公司要求总利润不低于70280元，求出公司能采用几种不同的分配方案？ (2)为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利m元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 【答案】(1)有四种不同的分配方案 (2)见解析 【分析】此题主要考查了一次函数的应用，不等式组的应用，得到总利润的关系式是解决本题的关键． （1）根据所有产品数量及所给产品数量分别得到甲店B型商品，乙店A型商品，乙店B型商品的数量，那么总利润等于每件相应商品的利润相应件数之和，再根据根据各个店面的商品的数量为非负数可得自变量的取值范围； （2）根据让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润可得m的取值，结合（1）得到相应的总利润，根据m的取值结合函数的性质可得最大值的方案即可． 【详解】（1）解：设公司给甲店A型产品x件，则甲店B型产品有件；乙店A型有件，B型有件．公司总利润为W元，根据题意得： ． 由， ， 由，解得 ， 为整数， ， ∴有四种不同的分配方案； （2）解：依题意：， ， ， 当时，越大，W越大，得出即甲店A型80件，B型60件；乙店A型0件，B型60件，能使总利润最大， 当时，为定值，符合题意的各种方案使总利润最大， 当时，越小，W越大，得出即甲店A型20件，B型120件；乙店A型60件，B型0件，使总利润最大． 3．某商场筹集资金万元，一次性购进空调、彩电共台．根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格． 空调 彩电 进价(元/台) 售价(元/台) 设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元． (1)试写出y与x的函数关系式； (2)商场有哪几种进货方案可供选择？ (3)最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)商场有三种方案可供选择：方案：购空调台，购彩电台；方案：购空调台，购彩电台；方案：购空调台，购彩电台 (3)最大利润是元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用； （1）根据利润等于售价减去进价再乘以数量，列出函数关系式，即可求解； （2）根据题意列出不等式组，求得整数解，进而即可求解； （3）根据一次函数的性质求最值，即可求解． 【详解】（1）解：设商场计划购进空调台，则计划购进彩电台， 由题意，得； （2）依题意，有 解得 为整数， ，， 即商场有三种方案可供选择： 方案：购空调台，购彩电台；   方案：购空调台，购彩电台； 方案：购空调台，购彩电台 （3），， 随的增大而增大，    即当时，有最大值， 最大元． 故选择方案：购空调台，购彩电台时，商场获利最大，最大利润是元 4．一个车间有30个工人．已知每个工人每天可以制造甲种零件8个或乙种零件4个．车间以两种零件各自的出厂价对外进行订单式销售，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润350元．在这30人中，车间每天安排x人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件，其中制造甲种零件的的人数不少于制造乙种零件的人数，且车间每天所获利润不低于38000元． (1)设车间每天所获利润为y元，试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)由于市场行情的变化，车间对两种零件的出厂价分别进行了调整：每个甲种零件出厂价上调m元（），每个乙种零件出厂价下调20元．试说明m取何值时，车间每天获得的利润最低是40320元？ 【答案】(1)， (2)定为21元时，车间每天获得的利润最低是40320元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、不等式组的应用等知识点，根据题意列出函数解析式是解题的关键． （1）根据每天所获利润为甲种与乙种零件所获利润之和列出函数关系式，再根据题意列不等式组确定x的取值范围即可； （2）先求出价格调整后，y与x的函数关系式，然后分、、三种情况，结合一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ∵制造甲种零件的的人数不少于制造乙种零件的人数，且车间每天所获利润不低于38000元， ∴，解得：． ∴y与x的函数关系式，x的取值范围为． （2）解：； ①当时，随的增大而减小， ， 时，利润最小， ，得，（不符合题意，舍去）． ②当时，利润为39600元，不符合题意， ③当时，随的增大而增大， ， 时，利润最小， ，得． 综上所述，定为21元时，车间每天获得的利润最低是40320元． 5．新年将至，小开计划购进部分年货进行销售．若购进40副春联和30对窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元． (1)求每副春联、每对窗花的进价各是多少元； (2)小开计划购进春联、窗花共300件进行销售，春联和窗花的售价分别定为15元和6元．春联和窗花的总进价不超过1300元，且全部销售完后总销售额不低于2250元，若购进的春联和窗花全部售出，则购进多少副春联时销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)每副春联的进价是8元，每对窗花的进价是3元 (2)购进副春联时销售利润最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用（最大利润问题），二元一次方程组的应用（销售、利润问题），一元一次不等式组的应用等知识点，读懂题意，利用题中的等量关系列出二元一次方程组、一次函数解析式及一元一次不等式组，并利用一次函数的性质求解其最值是解题的关键． （1）设每副春联、每对窗花的进价分别是x元、y元，根据“购进40副春联和30对窗花共需410元，购进60副春联和80对窗花共需720元”列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设批发春联a副，总利润为W元，根据“总利润（售价进价）销售数量”即可得出W与a的函数关系式，根据总进价和总销售额的条件列出不等式组，解不等式组即可求出a的取值范围，然后根据一次函数的增减性即可求出最大利润． 【详解】（1）解：设每副春联、每对窗花的进价分别是x元、y元，由题意可得： ， 解得：， 每副春联的进价是8元，每对窗花的进价是3元； （2）解：设批发春联a副，总利润为W元， ∴， 由题意可得： ， 解得：， ∵在中，W随a的增大而增大， ∴当时，W取得最大值，此时， 购进副春联时销售利润最大，最大利润为元． 6．随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有、两个工种的工人，其中工种有300人，工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个种工人的月工资与5个种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元． (1)、两个工种工人的月工资分别为多少万元； (2)由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘、两个工种工人共60人．其中，再招聘的工种工人不超过再招聘的工种工人的，且最终车间所有工种工人的数量与车间所有工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最少，最少为多少？ 【答案】(1)， (2)三种招聘方案： ①招聘工种工人人，工种工人人 ②招聘工种工人人，工种工人人 ③招聘工种工人人，工种工人人 方案③，万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（其他问题），一元一次不等式组的其他应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程或不等式组是解题的关键． （1）设工种工人的月工资为万元，则工种工人的月工资为万元，根据题意列方程求解即可； （2）设再招聘工种工人人，则再招聘工种工人人，根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设工种工人的月工资为万元，则工种工人的月工资为万元， 根据题意可列方程：， 解得：， 则， 、两个工种工人的月工资分别为万元、万元； （2）解：设再招聘工种工人人，则再招聘工种工人人， 根据题意可列不等式组： ， 解得：， 为整数， 的值为、、， 该车间共有三种招聘方案： ①招聘工种工人人，工种工人人； ②招聘工种工人人，工种工人人； ③招聘工种工人人，工种工人人； 工种工人的月工资比工种工人的月工资低， 招聘工种工人越多，每月付给这个工人的工资总额越少， 招聘工种工人人，工种工人人时，每月付给这个工人的工资总额最少，最少为万元， 答：该车间共有三种招聘方案：①招聘工种工人人，工种工人人；②招聘工种工人人，工种工人人；③招聘工种工人人，工种工人人；方案③可使每月付给这个工人的工资总额最少，最少为万元． 7．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是50元 (2)共有4种购买方案，最低费用是5780元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用，一次函数的应用． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据买套甲型号和10套乙型号共用900元列一元一次方程求解即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 根据总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的倍列一元一次不等式组求解得，再设总费用为元，列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得，． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是50元； （2）解：设需购进甲种型号“文房四宝”套，则需购进乙种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又为正整数， 可以取26，27，28，29； 共有4种购买方案， 设总费用为元，则， ， 随着的增大而增大， 当时，最小，最小值为， 答：共有4种购买方案，最低费用是5780元． 8．某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价元，售价元；乙种服装每件进价元，售价元．现计划购进两种服装共件，其中甲种服装不少于件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进件服装的总费用不超过元，求最大利润为多少元 (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为元，求的值． 【答案】(1)； (2)4500； (3)10． 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键． （1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式． （2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值． （3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于a，b的方程组求值即可． 【详解】（1）解： 其中：； （2）解：由题意得：， ∴， ∵中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，(元)． （3）解：∵， ∴， 由题意得： ． ∵， ∴当时，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴，符合题意． 当时，， 不合题意． 当时，， y随x的增大而减小． ∴当时，， ∴，不合题意，舍去． 综上，． 9．太湖山景区有三处景点，三处景点门票价格如下： 票种 类型一 类型二 类型三 景点 月亮湖 动物园 真人CS游戏 单价（元） 20 30 60 某地方企业家支持地方经济和教育事业的发展，购买以上三处景点的门票90张用来奖励某校优秀学生，其中购买类型一票数x张，类型二票数是类型一票数的3倍少20张票，类型三票数y张． (1)求y与x之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (2)设购买90张票总费用为w元，求w（元）与x（张）之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (3)若计划每种票至少购买20张，请你列出所有购票方案，并求购买总费用最少是多少元． 【答案】(1)； (2)； (3)方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张；方案二：购买类型一票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张；方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票数46张，购买类型三票数22张；购买总费用最少是3140元． 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数表达式； （2）根据题意和（1）中的结果，可以写出w（元）与x（张）之间的函数表达式； （3）根据计划每种票至少购买20张，可以求得x的取值范围，然后即可写出所有购票方案，并求购买总费用最少是多少元． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即y与x之间的函数表达式为； （2）解：由题意可得， ， 即w（元）与x（张）之间的函数表达式为； （3）解：∵计划每种票至少购买20张， ∴， 解得， ∵x为整数， ∴，21，22， ∴共有三种购票方案， 方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张； 方案二：购买类型一票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张； 方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票数46张，购买类型三票数22张； 当时，w取得最小值，此时， 答：方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张；方案二：购买类型一票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张；方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票数46张，购买类型三票数22张；购买总费用最少是3140元． 10．为落实“五育并举”，我市某学校积极开展“阳光体育运动”．引导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的开展，学校计划购进，两种品牌的足球共50个，其中品牌足球的价格为100元/个，购买品牌足球所需费用（单位：元）与购买数量（单位：个）之间的关系如图所示． (1)购买数量个时，品牌足球的价格_____元/个； (2)求出当时，与的函数表达式： (3)若购买种品牌足球的数量不超过30个，但不少于种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用（单位：元）最低，并求出最低费用． 【答案】(1)120 (2) (3)当购买A种品牌的足球个，B种品牌的足球个时，总费用最少，最低费用是元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式、一次函数的增减性及一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）根据“所需费用÷购买数量”列式计算即可; （2）利用待定系数法解答即可； （3）设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球个，列关于m的一元一次不等式组并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W的值最小，求出其最小值及的值即可． 【详解】（1）解：购买数量个时，B品牌足球的价格 (元/个)， 故答案为：120； （2）解：设当时，y与x的函数关系式为， 得，解得 即当时，y与x的函数关系式为； （3）解：设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球个， ∵， 解得， ∵， ∵， ∴W随着m的增大而减小， ∴当时，W取得最小值，此时， ∴， 答：当购买A种品牌的足球个，B种品牌的足球个时，总费用最少，最低费用是元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$