专题11 全等三角形之手拉手模型全攻略-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都七年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题11 全等三角形之手拉手模型全攻略 【知识点梳理】 模型一：等腰三角形的手拉手模型 条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM； 模型二：等边三角形的手拉手模型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°； 模型三：等腰直角三角形的手拉手模型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°； 【模型精讲】 例1．（等腰三角形手拉手模型）在中，，点D是上一点（不与B，C重合），以为一边在 的右侧作，使，，连接 ． (1)如图1，若； ①说明：； ② 求 的度数． (2)设，，如图2，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)①见解析 ② (2)．理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①利用定理证明即可； ②利用全等三角形的性质得出，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）利用定理证明，得到，从而得到，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）①证明：因为， 所以，即． 在 和中，， 所以． ②解： 由 ①，可得． 所以． 所以． （2）解：． 理由：因为， 所以，即． 在 和中， ， 所以， 所以． 所以， 所以． 因为， 所以． 例2．（等边三角形手拉手模型）如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 【答案】(1)，； (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且 （2）（1）中结论仍成立， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ； （3）是等边三角形， ， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时； ∴． 例3．（等腰直角三角形手拉手模型）“如图所示，，都是等腰直角三角形，，画出以点A为旋转中心、逆时针旋转后的三角形．” (1)【操作发现】请在图1中画出以点A为旋转中心、逆时针旋转后的三角形，写出旋转前后CE与其对应线段的数量关系和位置关系：______； (2)【探究证明】如图2所示，把绕点A顺时针旋转得到，设，分别与交于点F，G，判断和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)【问题解决】如图3所示，把绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在上，与交于点F，若与关于直线对称，且，、则： ①______°； ②______°； ③线段的长是______． 【答案】(1)，． (2)，．理由见解析 (3)40，30，7． 【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）结论：，．利用旋转的性质及全等三角形的性质解决问题即可． （3）利用旋转变换的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理解决问题即可． 【详解】（1）如图，即为所求． ∵绕点A顺时针旋转90°得到， ∴， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）结论：，． 理由：如图②中， ∵绕点A顺时针旋转90°得到， ∴， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴． 故答案为：，． （3）如图③中， 由旋转的性质可知，， ∴ ∵与关于对称， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ∵， ∴， 故答案为：40，30，7． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理熟练掌握性质定理是解题的关键． 例4．（辅助线构造手拉手模型）综合与实践： 【问题情境】 (1)八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 (2)如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 (3)如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题实质属于手拉手模型，主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形和等腰三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质得到，，，再利用全等三角形判定定理证出，即可得出结论； （2）连接和交于点，和交于点，利用等腰直角三角形的性质证出，得到，，进而得到，得出四边形面积，再利用线段的性质求出的最大值，即可求出四边形面积的最大值； （3）延长至使得，连接，先证出，得到，，再通过证明得到，最后利用线段的和差即可得出结论． 【详解】（1）解：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． 故答案为：． （2）解：如图，连接和交于点，和交于点， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 四边形面积， ， ， 四边形面积的最大值是． 故答案为：． （3）解：，证明如下： 如图，延长至使得，连接， 等腰直角三角形， ， ，，， ， ，，， ， 等腰直角三角形且， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ． 例5．（辅助线构造手拉手模型）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论）． ②如图3，若点在边的延长线上， 试证明线段、、之间的关系． (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． (3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2) (3)有最小值，最小值为2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造“手拉手”基本图形是解题的关键． （1）①过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，再证明 ，得出，即可得出结论；②过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （2）先证明，在上截取，通过证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）①结论：. 证明：过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②结论： 证明：过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在上截取， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：有最小值，最小值为2 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 【课后练习】 1．如图，在中，，，点O是中点，，将绕点O旋转，的两边分别与射线、交于点D、E． (1)当转动至如图一所示的位置时，连接，求证：； (2)当转动至如图二所示的位置时，线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)CE﹣CD＝AC．理由见解析 【分析】（1）结论：．连接．证明； （2）结论：，证明方法类似（1）． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：． 理由：连接． ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 2．如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 3．在等腰中，，点D在上，延长至点E，使，连接． (1)若， ①如图1，求证：； ②如图2，将绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，使点A，D，E三点在一条直线上，判定的形状，并说明理由． (2)若，如图3，（1）中①的结论是否成立？若不成立，请给出，之间的数量关系；若成立，请给出证明． 【答案】(1)①证明见解析；②为直角三角形；理由见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】（1）①证明，即可得证；②证明，得到，进而得到，从而得到是直角三角形； （2）同（1）证明，即可得证． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②为直角三角形；理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴，即：， ∵，， ∴， ∴， ∴ ； ∴为直角三角形； （2）解：成立，证明如下： ∵， ∴，即：， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．本题是手拉手全等模型，平时多归纳总结，可以快速解题． 4．把两个全等的角三角形的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)如图1，若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，当，时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到， 使， 证明，推出， ， 证， 推出即可； （2）延长到， 使， 证，推出， ， 证， 推出即可； （3）在截取， 连接， 证，推出，， 证， 推出即可． 【详解】（1）， 证明： 延长到， 使， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）， 证明： 延长到， 使， 连接， 由（1）知： ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）， 证明： 在截取， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点 【问题解决】 (1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】 (2)如图2，已知． ①当射线在内，求的度数 ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数； 【答案】(1)见解析 (2)①②；的度数会变化，理由见解析 【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而得到，根据证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案； （2）①在上取一点E，，证明，得到，可求出答案； ②在延长线上取一点E，使得，同理证明，求出，进而求出． 【详解】（1）证明：如图1，在上取一点E，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∵在和中， ∴， ∴， ∴； （2）证明：①在上取一点E，，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴； ②的度数会变化，理由如下： 在延长线上取一点E，使得，如图所示： 同理①的方法可证：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键． 6．在与中，，，．    (1)如图1，若点D，B，C在同一直线上，连接，，则与的关系为________． (2)如果将图1中的绕点B在平面内顺时针旋转到如图2的位置，那么请你判断与的关系，并说明理由 (3)如图3，若，，连接，分别取，，的中点M，P，N，连接，，，将绕点B在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中的面积最大值和最小值． 【答案】(1)，； (2)，；理由见解析； (3)最小值为2，最大值为8． 【分析】（1）延长交于，证明，得出，，根据，得出，即可得出结论； （2）延长交于点，交于点，通过证明，得出，，根据，，得出，即可得出结论； （3）连接，由（1）（2）同理可得，，，根据三角形的中位线定理可得，，进而得出，，则，当点E在上时，取最小值，此时也取最小值，则最小；当点E在延长线上时，取最大值，此时也取最大值，则最大． 【详解】（1）解：延长交于，    在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：，； 理由：延长交于点，交于点，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，； （3）解：连接，    由（1）（2）同理可得，， ∵点M，P，N为，，的中点， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵绕点B在平面内顺时针旋转， ∴点E在以点B为圆心，为半径的圆上运动， 当点E在上时，取最小值，此时也取最小值，则最小， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值；      当点E在延长线上时，取最大值，此时也取最大值，则最大， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值；      综上：最小值为2，最大值为8． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 7．在中，，D为延长线上一点，点E为线段，的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则 °； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足．P为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示与之间的数量关系为 ，并证明． 【答案】(1) (2)①时等边三角形，理由见解析；②，理由见解析． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、多边形的内角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键． （1）求出，由四边形内角和为即可得到； （2）①证明，求出，即可证明结论；②作点D关于直线的对称点，连接．当点P在的延长线上时，的值最大，此时，证明是等边三角形，再证明，得到，进一步得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图1中， ∵点E是线段，的垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①结论：是等边三角形． 理由：如图2中， ∵点E是线段，的垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②结论：． 理由：如图3中，作点D关于直线的对称点，连接． 当点P在的延长线上时，的值最大，此时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于），与交于点，与交于点，与交于点，连接． 试说明： ①； ②填空 °； ③． 【答案】①见详解；②120；③见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． ①由“”可证； ②由全等三角形的性质可得，由外角的性质可求解； ③由“”可证，可得结论． 【详解】证明：①、为正三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， 故答案为：120； ③在和中， ， ， ． 9．已知在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与点B，C重合），连接． (1)在图①中，当点D在边上时，求证：；（提示：证全等） (2)在图②中，当点D在边的延长线上时，结论是否成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；猜想与的位置关系，并说明理由； (3)在图③中，当点D在边的反向延长线上时，补全图形，不需要写证明过程，直接写出，，间存在的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，存在的数量关系为，位置关系为，理由见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质． （1）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）求出，证明，根据全等三角形的性质可得，，即可得，然后由是等腰直角三角形可得，，进而求出即可得出结论； （3）如图3，求出，证明，根据全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：不成立，存在的数量关系为，位置关系为，理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在的数量关系为，理由如下： 如图3， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 10．如图1，在中，于点，，是上的一点，且，连接，． (1)如图1试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)不发生变化，见解析 (3)①，见解析；②能，60° 【分析】（1）延长交于点，证明，得到，，推出，即可； （2）证明，得到，，进一步推出，即可； （3）①证明即可；②证明，得到，，根据，进行求解即可． 【详解】（1）解： ，， 理由如下：延长交于点． ， ． 在 和 中， ， ，．   ，   ． ， ， ， ． （2）不发生变化． 理由如下：  ， ， ． 在 和 中， ， ，． ， ． ， ， ， ． （3）① ，理由如下： ， ， ． 在 和 中， ， ． ②能． 与 所成的夹角的度数为  ． 理由如下： 和 是等边三角形， ，，， ， ， ． 在 和 中， ， ，． ， 即 与 所成的夹角的度数为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关性质，证明三角形全等，是解题的关键． 11．（1）如图1，和都是等边三角形，且A、C、E在一条直线上．与相等吗？证明你的结论． （2）【初步探究】如图2，若BE与AD交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下结论：①；②；③是等边三角形；④．恒成立的结论有（   ） A．①④    B．③④    C．①②③    D．①②③④ （3）【深入探究】如图3，若A、C、E不在一条直线上．其他条件不变，是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1），见解析 （2）C （3）是， 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）证明，得，可判定①成立，，又，可得是等边三角形，可判定③成立；，则，可得，可判定②成立；由于点O不一定是的中点，可判定④不是恒成立； （3）设交于M，由（1）知：，又，，则∴，即可求得． 【详解】解：（1）， 证明：和均为等边三角形， ，，． ∴ ． 在和中， ， ． ． （2）和均为等边三角形， ∴． ∴， ∴， 由（1）知： ∴ 又∵ ∴ ∴，故①成立； ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形，故③成立； ∴ ∴ ∴，故②成立； 由于点O不一定是的中点，故④不是恒成立； 故选：C． （3）设交于M，如图3， 由（1）知： ∵，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握“手拉手”模型是解题的关键． 12．如图，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等，我们把这种图形的变换叫全等变换．    生活体验：（1）数学作图工具中有一个三角尺是等腰直角三角形，它的两个锐角相等，都是______． 问题解决：（2）如图1，在等腰直角三角形中，为边上的一点（不与点重合），连接，把绕点顺时针旋转后，得到，点与点恰好重合，连接． ①填空：____________． ②若，求的度数． 结论猜想：（3）如图1，如果是直线上的一点（不与点重合），其他条件不变，请猜想与的数量关系，并直接写出猜想结论．    【答案】（1）；（2）①，；②；（3）或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的两个锐角相等，三角形内角和定理，即可求解； （2）①根据旋转可得，可得，进而可得即可求解； ②根据三角形的内角和定理可得，根据全等三角形的性质 ，进而根据①可得是等腰直角三角形，即可得出，根据，即可求解； （3）分三种情况讨论，当在的延长线上、线段上，的延长线上，分别画出图形根据（2）而的方法，即可求解． 【详解】解：（1）∵三角形的内角和为180°，等腰直角三角形的两个锐角相等， ∴它的两个锐角都是； 故答案为：． （2）①根据旋转可得， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：． ②∵等腰直角三角形中，， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ （3）当在上时，    ∵， ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ 即； 当在的延长线上时，如图所示，    ∵， ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ 即； 当在的延长线上，如图所示，    ∵， ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ 即； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 13．如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．    (1)观察猜想： 图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______； (2)探究证明： 把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由； (3)拓展延伸： 把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)，； (2)为等腰直角三角形，理由见解析； (3)． 【分析】（）根据，，得 ，再根据三角形中位线定理可知， ，，，利用平行线的性质可证得； （）先通过证明，得 ，，再由()同理可证； （）由三角形三边关系可知：，由() 知：是等边三角形，，则最大值为，即可求得的最大面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点分别为的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∵∠， ∴， 故答案为：，； （2）解：为等腰直角三角形，理由如下： 由旋转可知：， 又∴，， ∴， ∴，， ∵点分别为的中点， ∴，，，， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形； （3）解：由三角形三边关系可知：，即， ∴的最大值为， 由()知，是等腰直角三角形， ， ∴时，最大，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边性质，等腰直角三角形的判定等知识，利用平行线的性质证明是解题的关键． 14．（1）如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，若则线段、、间的数量关系是 ． （2）如图2，在四边形中，，，点、分别在边、上，若，探究、、的之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在中，，，是线段上一点，，且，过点作交的延长线于，过作交于，连接．若，，求的长． 【答案】（1） （2）．理由见解析 （3）6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质．本题的关键是在四边形中通过辅助线构造全等三角形． （1）通过延长构造，进而推出和，再由“”证得，即可得到，从而得出结论． （2）通过延长构造得出、，然后证得，再由即可得出结论． （3）在上取点，使．根据“”证得，得到、，推出，再由“”证得得出，最后由线段和差关系求出的长． 【详解】解：（1）如图，在延长线上取点，使，连接． 在和中，，， ∴． ，， ， ． 在和中，，，， ． ． 故答案为：． （2）结论：． 理由：在延长线上取点，使，连接 ． ． 在和中，，，， ． ，． 在和中，，，， ． ， ． （3）在上取点，使． 根据题意和都是直角三角形． ，， ． ，， 又， ， ． 在和中，，，， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 全等三角形之手拉手模型全攻略 【知识点梳理】 模型一：等腰三角形的手拉手模型 条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM； 模型二：等边三角形的手拉手模型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°； 模型三：等腰直角三角形的手拉手模型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°； 【模型精讲】 例1．（等腰三角形手拉手模型）在中，，点D是上一点（不与B，C重合），以为一边在 的右侧作，使，，连接 ． (1)如图1，若； ①说明：； ② 求 的度数． (2)设，，如图2，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由． 例2．（等边三角形手拉手模型）如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 例3．（等腰直角三角形手拉手模型）“如图所示，，都是等腰直角三角形，，画出以点A为旋转中心、逆时针旋转后的三角形．” (1)【操作发现】请在图1中画出以点A为旋转中心、逆时针旋转后的三角形，写出旋转前后CE与其对应线段的数量关系和位置关系：______； (2)【探究证明】如图2所示，把绕点A顺时针旋转得到，设，分别与交于点F，G，判断和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)【问题解决】如图3所示，把绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在上，与交于点F，若与关于直线对称，且，、则： ①______°； ②______°； ③线段的长是______． 例4．（辅助线构造手拉手模型）综合与实践： 【问题情境】 (1)八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 (2)如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 (3)如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 例5．（辅助线构造手拉手模型）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论）． ②如图3，若点在边的延长线上， 试证明线段、、之间的关系． (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． (3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 【课后练习】 1．如图，在中，，，点O是中点，，将绕点O旋转，的两边分别与射线、交于点D、E． (1)当转动至如图一所示的位置时，连接，求证：； (2)当转动至如图二所示的位置时，线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 2．如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 3．在等腰中，，点D在上，延长至点E，使，连接． (1)若， ①如图1，求证：； ②如图2，将绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，使点A，D，E三点在一条直线上，判定的形状，并说明理由． (2)若，如图3，（1）中①的结论是否成立？若不成立，请给出，之间的数量关系；若成立，请给出证明． 4．把两个全等的角三角形的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)如图1，若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，当，时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 5．已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点 【问题解决】 (1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】 (2)如图2，已知． ①当射线在内，求的度数 ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数； 6．在与中，，，．    (1)如图1，若点D，B，C在同一直线上，连接，，则与的关系为________． (2)如果将图1中的绕点B在平面内顺时针旋转到如图2的位置，那么请你判断与的关系，并说明理由 (3)如图3，若，，连接，分别取，，的中点M，P，N，连接，，，将绕点B在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中的面积最大值和最小值． 7．在中，，D为延长线上一点，点E为线段，的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则 °； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足．P为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示与之间的数量关系为 ，并证明． 8．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于），与交于点，与交于点，与交于点，连接． 试说明： ①； ②填空 °； ③． 9．已知在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与点B，C重合），连接． (1)在图①中，当点D在边上时，求证：；（提示：证全等） (2)在图②中，当点D在边的延长线上时，结论是否成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；猜想与的位置关系，并说明理由； (3)在图③中，当点D在边的反向延长线上时，补全图形，不需要写证明过程，直接写出，，间存在的数量关系． 10．如图1，在中，于点，，是上的一点，且，连接，． (1)如图1试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； 11．（1）如图1，和都是等边三角形，且A、C、E在一条直线上．与相等吗？证明你的结论． （2）【初步探究】如图2，若BE与AD交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下结论：①；②；③是等边三角形；④．恒成立的结论有（   ） A．①④    B．③④    C．①②③    D．①②③④ （3）【深入探究】如图3，若A、C、E不在一条直线上．其他条件不变，是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 12．如图，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等，我们把这种图形的变换叫全等变换．    生活体验：（1）数学作图工具中有一个三角尺是等腰直角三角形，它的两个锐角相等，都是______． 问题解决：（2）如图1，在等腰直角三角形中，为边上的一点（不与点重合），连接，把绕点顺时针旋转后，得到，点与点恰好重合，连接． ①填空：____________． ②若，求的度数． 结论猜想：（3）如图1，如果是直线上的一点（不与点重合），其他条件不变，请猜想与的数量关系，并直接写出猜想结论．    13．如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．    (1)观察猜想： 图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______； (2)探究证明： 把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由； (3)拓展延伸： 把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 14．（1）如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，若则线段、、间的数量关系是 ． （2）如图2，在四边形中，，，点、分别在边、上，若，探究、、的之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在中，，，是线段上一点，，且，过点作交的延长线于，过作交于，连接．若，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$