专题08 全等三角形之倍长中线模型全攻略-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都七年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题08 全等三角形之倍长中线模型全攻略 【知识点梳理】 【模型一】 在三角形ABC中，AD为BC边上的中线. 证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE.；若连结BE，则；若连结EC，则 【模型二】 为的中点 证明思路：若延长至点，使得，连结，则; 若延长至点，使得，连结，则. 【模型精讲】 例1．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 例2．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，在中，点在上，且，过点作交于点．若，求证：平分． 思路分析：当题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑用倍长法构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解题思路： 思路1：考虑倍长，如图②，延长至点，使，连接； 思路2：考虑倍长，如图③，延长至点，使，连接． (1)请挑选其中一种解题思路，给出证明． (2)如图，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，已知，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及四边形内角和，等腰三角形的判定和性质，利用倍长法作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）思路1：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明；思路2：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而推出，，再证明，得到，即可求出的长． 【详解】（1）解：思路1：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； 思路2：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 例3．【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题： 如图1，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过证明，把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得，从而得到的取值范围是； 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，，求证：； 【变式拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，，延长交于点．若，，则四边形的面积等于． 【答案】（1）；（2）见详解；（3）12 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，三角形的三边关系，关键是通过作辅助线构造全等三角形． （1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，由“”可证，可得，，即可求解； （3）延长到使，连接，又，即可判定，得到，，而，得到，由，得到，由三角形那么久公式求出的面积，又的面积的面积，于是得到四边形的面积的面积． 【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是的中线， ， 又， ， ， ， ， 是的中线， ， ， ， 又， ， ． （3）延长到K使，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， 的面积， ， 的面积的面积， 四边形的面积的面积． 变式1．如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． (1)数学兴趣小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可求得中线的取值范围______． (2)如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，，求证：平分． (3)如图3，在中，是边上的中线，是上一点，连接并延长交于点，，求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】本题是三角形综合题和倍长中线问题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）延长到，使得，连接，得出，根据三角形三边关系即可求解； （2）延长交延长线于，得到，得到，，进而求得，可证明结论； （3）延长到点，使得 ，连接，得出，从而得到，，进而得到从而证明． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使得，连接． 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ； （2）证明：如图2，延长交的延长线于点， ， ， ，， 为的中点， ， ， ，， ， ， 即， 平分； （3）证明：如图3，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 变式2．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是______． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），，理由见解析． 【分析】（1）由三角形三边关系可得到的取值范围，再根据即可求得的取值范围； （2）由可证，可得，由可证，可得； （3）延长到，使得，连接，先证明，得，再证明，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论． 【详解】解：（1）在，，，由三角形三边关系可得： ，即取值范围为：， ∴的取值范围为：； 故答案为：； （2）如图，延长至点，使得，连接，则， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ， ∵， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (3)，，理由如下： 如图，延长交于点，延长到，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 变式3.已知中， (1)如图1，点E为的中点，连接并延长到点F，使，则与的数量关系是 　　． (2)如图2，若，点E为边上一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：． (3)如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连接交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）通过证明，即可求解； （2）过点A作于H，过点C作交的延长线于T，通过得到AF=CD，再通过即可求解； （3）过点M作交的延长线于T，交于G，在上取一点K，使得，利用全等三角形的性质证明，即可解决． 【详解】（1）解：∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2，过点A作于H，过点C作交的延长线于T， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）证明：过点M作交的延长线于T，交于G，在上取一点K，使得， 连接． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【课后练习】 1．（1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：（1）如图①，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点，使，连接、，如图②所示． 同（1）得：， ， ，， ， 在中，由三角形的三边关系得： ， ； （3），理由如下： 如图③，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 2．（1）阅读理解：如图①，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断：之间的等量关系为 ； （2）如图②，在中，，，是的中线，，，且，求的长； 【答案】（1）；（2）4 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，中线的定义，等腰三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． （1）先判断出，得出，得出，进而得出，，即可得出结论； （2）证明，则，，可求，根据线段垂直平分线的性质可得的长； 【详解】解：（1）延长交的延长线于点F， ∵， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， （2）如图2，延长，交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴ 3．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程． （1）求证：∴； 证明：∵延长到点，使， 在和中（已作）， （______）， （中点定义）， ∴（______）， （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等，；（2）；（3） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及垂直平分线的判定和性质，解题的关键是作辅助线． （1）根据题干已知可得； （2）根据全等三角形性质得，利用三角形三边关系即可求得答案； （3）延长交于点，证明，根据全等性质得，，利用得垂直平分，即可求得答案． 【详解】证明：（1）∵延长到点，使， 在和中，（已作）， （对顶角相等）， （中点定义）， ∴， 故答案为：对顶角相等，； （2）∵， ∴， ∴， 则， 故， 即； （3）延长交的延长线于点，如图； ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； 又∵， ∴垂直平分， ∴． 4．【阅读理解】 (1)如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再证明“”．探究得出的取值范围是 ；    【灵活运用】 (2)如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．   【拓展延伸】 (3)如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作，交于点，交的延长线于点．若，，求．      【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可得，再利用三角形的三边关系可得，进而可求解． （2）延长交的延长线于，利用全等三角形的判定及性质和线段垂直平分线的性质即可求解． （3）解法一：利用倍长中线法，延长到，使，连接，如图所示，利用等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，最后数形结合得到，代值求解即可得到答案； 解法二：过点作交的延长线于点，利用平行线的性质可得，，根据交平分线的性质可得，进而可得，再根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】（1）解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：延长交的延长线于，如图：   ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ； （3）解法一：中线倍长法 延长到，使，连接，如图所示： ， ，， 平分， ， ， ， 点G是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ，， ， ； 解法二：过点作交的延长线于点，如图：   ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， 又点是的中点， 是的中位线， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、线段垂直平分线的性质、平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题的关键． 5．综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．       图1 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________； A．　B．　C．　D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，且，若与不平行，试判断与之间的数量关系； 【灵活运用】 （4）如图3，若在（3）的基础上，增加平分，，，则________．              　图3 【答案】（1）C；（2）；（3）；（4）2 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答； （2）根据三角形的三边关系计算即可； （3）延长到E，使，连接，，证明，根据全等三角形的性质及三角形三边关系解答； （4）延长延长，交于点F，证明，得出，证明，得出则可得出结论． 【详解】（1）在和中， ， ∴， 故选：C； （2）∵， ∴， 在中，， ， 即， ∴， 故答案为； （3）延长到E，使，连接，， 在和中 ， ， ， ，， 为等腰三角形， ， 在中 ， ； （4）解：延长，交于点F，， 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ，， 在和中， ，， ，，， 故答案为：2． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系，角平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 6．【问题情境】 （1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果，求间的距离． 【探索应用】 （2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是什么？并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，在中，，，，，的延长线交于点F，求证：． 【答案】（1）间的距离为；（2），理由见解析；（3）证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，由全等的性质得出； （2）延长到点，使，连接，证明，可得，再由三角形三边关系即可求解； （3）在上截取，易证，得到，，再证明，得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，连接， 在和中， ∵， ∴ ∴， （2）延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （3）证明：在上截取， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 7．（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线的取值范围是______； （2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：； （3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）， 【分析】（1）延长至，使，连接，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可； （2）延长至点，使，连接，利用“”证明，易得，可知为的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得，然后由三角形的三边关系可证明结论； （3）延长于，使得，连接，延长交于，首先证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，可得，，进而可证明． 【详解】解：（1）如图1，延长至，使，连接， ∵为边上的中线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据三角形三边关系可得：， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）如图2中，延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴； （3）结论：，， 如图3，延长于，使得，连接，延长交于， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形内角和定理、三角形中线、垂直平分线的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 8．【问题情境】 如图1，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，，求证：F为的中点． 【探究实践】 （1）小明发现：分别过点A、D向直线作垂线段，利用全等三角形的知识就能解决问题．请你根据小明的发现完成证明过程 【拓展应用】 小华想到了我们研究数学命题的思路，提出问题：这个问题的逆命题成立吗？于是小华写出了已知、求证，并画出了图形 已知：如图2，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，F为中点，求证：． （2）小聪说：我利用倍长中线的方法和全等三角形的知识就能解决这个问题． 请你根据小聪的思路在图2中作出辅助线，并完成证明过程． （3）小刚说：我不但证明了小华的问题，还发现了新结论：线段与线段，与的面积都有一定的数量关系． 请你直接写出小刚说的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题关键是利用倍长中线模型构造全等三角形证明线段关系． （1）过点A作，垂足为M，过点D作，垂足为N， 根据一线三垂直模型证明，可得，，进而证明，即可得到，即F为的中点． （2）延长到点G，使，连接，可得，可得，，再证明，进而证明，从而可得，由，可得，即可证明结论； （3）由可得，，再结合，可得，由此得出结论． 【详解】（1）过点A作，垂足为M，过点D作，垂足为N， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴ 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：； ∴， 又∵，， ∴， ∴，即F为的中点． （2）延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）由（2）得：， ∴， ， ∵， ∴，， ∴，． 9．综合与实践 【问题情境】 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，连接，，，为的中点，连接． 【数学思考】 （1）线段与的数量关系，说明理由． 【猜想证明】 （2）若把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，猜想（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【深入探究】 （3）若把绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，若是的中点，连接AN，若，直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3）的长为2． 【分析】此题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线性质、三角形的中位线定理，直角三角形的性质的综合运用； （1）先证明，进而判断出，在由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出结论；     （2）延长到点F，使，连接，由，可得，，进而可得，再由，证明即可得出，由此得出，继而得出结论； （3）延长到点M，使得，连接．先证明可得，由中位线性质定理得．由此即可得出． 【详解】解：（1）． 理由：， ． ， ， 为CD的中点， ． （2）结论成立． 证明：如图1，延长到点F，使，连接． ，，， ，， ， ， ， 又，， ， ． ， （3）的长为2． 解：如图2，延长到点M，使得，连接． ， ． ， ． ， ， ． 为的中点，， ， ． 10．如图1，在五边形中，，，连接，且，． (1)求证：； (2)如图2，若，为边上的中线，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，，，，则五边形的面积为______；点到直线的距离为______． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)20； 【分析】（1）由已知可得，可得结论； （2）延长 ，交于点，连接，可得，可证明得：，可得，，可证明得，，可得结论； （3）在（2）的条件下，根据五边形 的面积=直角梯形的面积+的面积，求解即可 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在 和 中， ∴， ∴ （2）延长 ， 交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在 和 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 在 和 中， ， ∴， ∴， ∵即：， ∴∠， ∴； （3）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴五边形 的面积=直角梯形的面积+的面积， ∴五边形 的面积， ∵，，， ∴五边形 的面积 由（2）得， ∴，即， ∴， 设点到直线的距离为， 又∵，即， ∴， 故答案为20；. 【点睛】本题主要考查三角形全等及性质，综合性大，灵活构造辅助线是解题的关键. 11．学习理解： （1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________； 活学活用： （2）如图2，，，，点F为的中点． 求证：； 思维拓展： （3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）13 【分析】（1）延长至点E，使，连接，证明，得出的取值范围为，从而得到； （2）如图2，延长至点G，使，连接，证明，，通过三角形面积转化得到结论； （3）先证明，如图3，在上截取，，连接，通过三角形全等和三角形面积转化，得出的面积． 【详解】解：（1）如图1，延长至点E，使，连接， ∵点D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2，延长至点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵分别平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图3，在上截取，，连接， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴，，，， 过点N作于点P，过点E作于点Q， 则， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 12．已知：在中，是的中点． 【问题解决】 （1）如图1，若，，求的取值范围． 小明的做法是：延长至点，使，连接，证明，小明判定全等的依据为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在的延长线上存在点，，，求证：． 【变式迁移】 （3）如图3，，，，试探究线段与的关系，并证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，三角形的三边关系等知识；正确作出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键． （1）利用证明； （2）延长到，使，连接，根据证，推出，根据，推出，根据全等三角形的判定与性质求出即可． （3）在的延长线上截取，连接，则，先证明得到和，进一步证明、和，再证明得到和，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴，其中判定全等的依据为， 故答案为：； （2）解：延长到E，使，连接， ∵是的中点， ， 在和中 ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：， 证明如下： 如图，在的延长线上截取，连接， 则， ∵是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 全等三角形之倍长中线模型全攻略 【知识点梳理】 【模型一】 在三角形ABC中，AD为BC边上的中线. 证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE.；若连结BE，则；若连结EC，则 【模型二】 为的中点 证明思路：若延长至点，使得，连结，则; 若延长至点，使得，连结，则. 【模型精讲】 例1．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 例2．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，在中，点在上，且，过点作交于点．若，求证：平分． 思路分析：当题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑用倍长法构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解题思路： 思路1：考虑倍长，如图②，延长至点，使，连接； 思路2：考虑倍长，如图③，延长至点，使，连接． (1)请挑选其中一种解题思路，给出证明． (2)如图，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，已知，求的长． 例3．【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题： 如图1，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过证明，把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得，从而得到的取值范围是； 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，，求证：； 【变式拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，，延长交于点．若，，则四边形的面积等于． 变式1．如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． (1)数学兴趣小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可求得中线的取值范围______． (2)如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，，求证：平分． (3)如图3，在中，是边上的中线，是上一点，连接并延长交于点，，求证：． 变式2．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是______． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，判断线段与的位置关系，并说明理由． 变式3.已知中， (1)如图1，点E为的中点，连接并延长到点F，使，则与的数量关系是 　　． (2)如图2，若，点E为边上一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：． (3)如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连接交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：． 【课后练习】 1．（1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 2．（1）阅读理解：如图①，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断：之间的等量关系为 ； （2）如图②，在中，，，是的中线，，，且，求的长； 3．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程． （1）求证：∴； 证明：∵延长到点，使， 在和中（已作）， （______）， （中点定义）， ∴（______）， （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 4．【阅读理解】 (1)如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再证明“”．探究得出的取值范围是 ；    【灵活运用】 (2)如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．   【拓展延伸】 (3)如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作，交于点，交的延长线于点．若，，求．      5．综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．       图1 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________； A．　B．　C．　D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，且，若与不平行，试判断与之间的数量关系； 【灵活运用】 （4）如图3，若在（3）的基础上，增加平分，，，则________．               6．【问题情境】 （1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果，求间的距离． 【探索应用】 （2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是什么？并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，在中，，，，，的延长线交于点F，求证：． 7．（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线的取值范围是______； （2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：； （3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系． 8．【问题情境】 如图1，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，，求证：F为的中点． 【探究实践】 （1）小明发现：分别过点A、D向直线作垂线段，利用全等三角形的知识就能解决问题．请你根据小明的发现完成证明过程 【拓展应用】 小华想到了我们研究数学命题的思路，提出问题：这个问题的逆命题成立吗？于是小华写出了已知、求证，并画出了图形 已知：如图2，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，F为中点，求证：． （2）小聪说：我利用倍长中线的方法和全等三角形的知识就能解决这个问题． 请你根据小聪的思路在图2中作出辅助线，并完成证明过程． （3）小刚说：我不但证明了小华的问题，还发现了新结论：线段与线段，与的面积都有一定的数量关系． 请你直接写出小刚说的数量关系． 9．综合与实践 【问题情境】 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，连接，，，为的中点，连接． 【数学思考】 （1）线段与的数量关系，说明理由． 【猜想证明】 （2）若把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，猜想（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【深入探究】 （3）若把绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，若是的中点，连接AN，若，直接写出的长． 10．如图1，在五边形中，，，连接，且，． (1)求证：； (2)如图2，若，为边上的中线，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，，，，则五边形的面积为______；点到直线的距离为______． 11．学习理解： （1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________； 活学活用： （2）如图2，，，，点F为的中点． 求证：； 思维拓展： （3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________． 12．已知：在中，是的中点． 【问题解决】 （1）如图1，若，，求的取值范围． 小明的做法是：延长至点，使，连接，证明，小明判定全等的依据为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在的延长线上存在点，，，求证：． 【变式迁移】 （3）如图3，，，，试探究线段与的关系，并证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$