专题05菱形压轴题（6大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（浙教版）

专题05菱形压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、菱形之中点问题 2 类型二、菱形中折叠问题 3 类型三、菱形中最值问题 5 类型四、菱形中的规律问题及创新题型 6 类型五、菱形的性质与判定综合 8 类型六、菱形形动点压轴题 12 压轴能力测评 13 1、 菱形的性质 1、 具有平行四边形的性质； 2、 菱形的四边相等； 3、 菱形的对角线垂直平分对角； 4、 菱形的面积：； 注意：菱形的对角线具有角平分线的性质也具有中垂线的性质； 2、 菱形的判定 在四边形基础上： 1、 四边形相等的四边形是菱形； 2、 对角线互相垂直平分的四边形是菱形； 在平行四边形的基础上： 3、 邻边相等的平行四边形是菱形； 4、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 解题技巧：根据条件信息，导向找角还是找边，选定判定定理，来判定是菱形 3、 菱形综合题解决方法 1、 利用菱形的性质和判定进行解题： 角:邻角互补，对角互相平分，对角线互相垂直； 边：四边相等，对边平行； 对角线：互相垂直又互相平分； 类型一、菱形之中点问题 例1．如图，在菱形中，，，分别是边和的中点，于点，则的度数为　　 A． B． C． D． 变式1-1．在菱形中，，边长为8，点，分别是，的中点；连结，，，分别是，的中点，则　　． 变式1-2．如图，在四边形中．，、分别是、的中点．、分别是对角线、的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，时，求四边形的面积． 类型二、菱形中折叠问题 例2．如图，菱形中，，，点、分别在边、上．若将沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，则 ． 变式2-1．如图，在菱形中，，，为边上一动点，将沿折叠为，为边上一点，，则的最小值为 　　． 变式2-2．如图，四边形是菱形，，，点是边上一动点，把△沿折叠，其中点的对应点为点，若垂直于菱形的边时，则的长为 　 　． 例3．如图，在中，，，．记的长为，是边上的一个动点，连结，是点关于的对称点，连结，． （1）如图1，当点落在上且时，求的值． （2）如图2，若点恰好落在边上，判断四边形的形状，并说明理由． （3）若点恰好落在的边上，且．求的值． 变式3-1．如图，点，分别是正方形的边，上的点，将正方形沿折叠，使得点的对应点恰好落在边上，交于点，作于点，交于点，连结． （1）求证：． （2）问四边形是什么特殊四边形？请说明理由． （3）①若，，三点在一条直线上，求证：． ②若为的中点，求的值． 类型三、菱形中最值问题 例4．如图，已知四边形为菱形，，，为对角线，为边上一动点，且交于点，连接，，为的中点，连接． ①若为的中点，则的长为 　　； ②点在运动过程中，的最小值为 　　． 变式4-1．如图，已知菱形的边长为5，面积为15，点是对角线上的动点（不与点重合），以为对角线作平行四边形，则的最小值为　　． 例5．如图，菱形中，，，、分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 　　． 变式5-1． 如图，已知菱形的面积为，，点，分别是在边，上（不与点重合），且，连结，，则的最小值为 　　． 变式5-2．如图，在菱形中，，，将向右平移得到△（点在线段上），连接，，．在平移过程中， （1）若四边形是矩形，则　　； （2）的最小值为 　　． 例6．对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”． 问题：如图，在中，，，且的面积为，如果存在“最优覆盖菱形”为菱形，那么的取值范围是　 　． 变式6-1．如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”．如图，已知“完美菱形” 的边长为4，是它的较短对角线，点、分别是边，上的两个动点，且满足，设的面积为，则的取值范围是 　　． 类型四、菱形中的规律问题及创新题 例7．如图所示，菱形的对角线，交于点，，，过点作交于点，连接交于点，过点作交于点依此规律进行下去，则　　（填入、或，△的面积是　　． 变式7-1．如图，网格中的每个四边形都是菱形，如果格点三角形的面积为，按照如图所示方式得到的格点三角形的面积是，格点三角形的面积是，那么格点三角形的面积为 　 ，如此下去，格点三角形的面积为　 　． 例8．如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，将沿直线平移，并连结，． 【基础巩固】 （1）求证：在沿直线平移过程中，四边形是平行四边形； 【操作思考】 （2）如图2，已知，，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时的长； 【拓展探究】 （3）如图3，连结，若四边形为菱形，且，求的度数． 变式8-1．我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形中，连接，在的延长线上取点使得，以、为边作菱形，我们称菱形是菱形的“伴随菱形”． （1）如图2，在菱形中，连接，在的延长线上作，作的平分线交的延长线于点，连接，求证：四边形为菱形的“伴随菱形”． （2）①如图3，菱形为菱形的“伴随菱形”，过作垂直于点，对角线、相交于点，连接若，试判断与的数量关系并加以证明． ②在①的条件下请直接写出的值． 类型五、菱形的性质与判定综合 例9．如图，在菱形中，点是对角线上一动点，于点，于点，记菱形高线的长为，则下列结论：①当为中点时，则；②；③；④若，，连结，则有最小值为2；⑤若，，连结，则的最大值为．其中错误的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式9-1．如图，已知菱形的边长为2，对角线、相交于点，点，分别是边、上的动点，，连接、．以下四个结论正确的是　　 ①是等边三角形； ②的最小值是； ③当最小时，； ④四边形周长最小值为． A． ①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 变式9-2．如图，在菱形中，，是边上一点，且，有下列结论： ①是等边三角形； ②； ③周长的最小值为， ④面积的最大值为． 其中正确结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例10．已知有两张全等的矩形纸片． （1）将两张纸片叠合成如图1，请判断四边形的形状，并说明理由； （2）设矩形的长是6，宽是3．当这两张纸片叠合成如图2时，菱形的面积最大，求此时菱形的面积． 变式10-1．小宇将两张长为8宽为2的矩形条交叉如图①，发现重叠部分可能是一个菱形． （1）请你帮助小宇证明四边形是菱形． （2）小宇又发现：如图②时，菱形的周长最小，等于　　； 如图③时菱形的周长最大，求此时菱形的周长． 变式10-2．将两张长为，宽为的长方形纸条按如图所示的形式交叉叠放，其中重叠部分是四边形． （1）求证：四边形为菱形； （2）在纸条转动的过程中，菱形面积的最大值为 　　（两张纸条不完全重合）． 例11．在菱形中，，为对角线的中点，为边上一点，且．若为等腰三角形，则菱形的边长为 　 　． 变式11-1．如图，菱形的边长是4，，点，分别是，边上的动点（不与点，，重合），且，若，，与相交于点，当为等腰三角形时，的长为　 　． 例12．在边长为1的菱形中，以点为圆心，长为半径画弧，交对角线于点． （1）若时，求的度数； （2）设， ①当时，求的长； ②用含的代数式表示． 变式12-1． 如图，四边形是菱形，． （1）如图1，以点为顶点作顶角为的等腰，，且、、在同一条直线上，连接、，求证：； （2）如图2，点是边上一点，点是菱形外一点，且，，连接，延长交于点，连接． ①求的度数； ②如图3，把绕点顺时针旋转得到，连接，求证：． 类型六、菱形中的动点问题 例13．如图，在中，，延长中线到点，作，点从点开始沿射线方向以秒的速度运动，设运动时间为秒．过点作，垂足是点，连接，．若，，且当时，四边形是菱形． （1）求的长． （2）若四边形的一条对角线等于其中一边，求的值． 变式13-1．如图，已知在菱形中．，，对角线与交于点，点是射线上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，． （1）如图1，当点在线段上运动时， ①求证：； ②当时，判断四边形的形状，并说明理由． （2）在点的整个运动过程中，将沿着翻折得到四边形，当四边形为菱形时，求出此时的面积． 1．如图，菱形中，，点在边上，将菱形沿直线翻折，使点恰好落在对角线上，连接，则　　． 2．如图，在菱形中，，、分别是、上的动点，满足．若，则△周长的最小值为　　 A． B． C．12 D．18 3．如图，线段，是线段上一动点，分别以和为边在同侧作菱形和菱形，且，，在同一条直线上，，连结，取的中点，连结，，以下说法正确的是　　 A．的长不会随着点的运动而变化，始终为 B．的长随着点的运动而变化，其最小值为 C．的长不会随着点的运动而变化，始终为 D．的长随着点的运动而变化，其最小值为 4．如图，在菱形中，，，点为对角线上一动点，过点作交直线于点．若是以为底边的等腰三角形，则的长为 　　． 5． 如图，边长为1的菱形中，，以对角线为边作 第2个菱形，使．连接，再以为边作 第3个菱形使，则第3个菱形的边长是　　， 按此规律所作第个菱形的边长是　　． 6．菱形中，，是中点，连接，，点是上一动点，为中点，连接． （1）　　； （2）若，则的最小值为 　　． 7．如图，在菱形中，，，分别是，的中点，，相交于点连接，．有下列结论： ① ②； ③； ④． 其中正确的有 　　（将正确答案的序号填在横线上）． 8．如图1两张等宽的矩形纸片，矩形纸片不动，将矩形纸片按如图2方式缠绕：先将点与点重合，再依次沿、对折，点、所在的相邻两边不重叠、无空隙，最后边刚好经过点． （1）四边形是 　　（填写四边形的形状） （2）若，，则长为 　　 9．如图，在菱形中，已知，，点是对角线上的一个动点，连结，将沿边翻折得到，连结． （1）　 　度． （2）若是以为腰的等腰三角形，则的值为 　　． 10．如图，在菱形中，，．点在边上由向运动，点在边上由向运动，速度均为，连结、，以，为邻边构造，连结过点作，交折线于点，分别交、于点、． （1）求证：为菱形． （2）连结，，求 周长的最小值，并说明理由． （3）当点在线段上时，若某时刻满足， ①证明：为中点． ②请直接写出此时点的运动时间． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05菱形压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、菱形之中点问题 2 类型二、菱形中折叠问题 4 类型三、菱形中最值问题 10 类型四、菱形中的规律问题及创新题型 16 类型五、菱形的性质与判定综合 20 类型六、菱形形动点压轴题 31 压轴能力测评 34 1、 菱形的性质 1、 具有平行四边形的性质； 2、 菱形的四边相等； 3、 菱形的对角线垂直平分对角； 4、 菱形的面积：； 注意：菱形的对角线具有角平分线的性质也具有中垂线的性质； 2、 菱形的判定 在四边形基础上： 1、 四边形相等的四边形是菱形； 2、 对角线互相垂直平分的四边形是菱形； 在平行四边形的基础上： 3、 邻边相等的平行四边形是菱形； 4、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 解题技巧：根据条件信息，导向找角还是找边，选定判定定理，来判定是菱形 3、 菱形综合题解决方法 1、 利用菱形的性质和判定进行解题： 角:邻角互补，对角互相平分，对角线互相垂直； 边：四边相等，对边平行； 对角线：互相垂直又互相平分； 类型一、菱形之中点问题 例1．如图，在菱形中，，，分别是边和的中点，于点，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】：A 【解析】：解：延长交的延长线于点．如图所示： 四边形是菱形，，， 是边的中点，， 在与中，，， ，为中点． 又，，， ，，， ， ，即， 四边形为菱形，，， ，分别为，的中点，，， ； 选：． 变式1-1．在菱形中，，边长为8，点，分别是，的中点；连结，，，分别是，的中点，则　　． 【答案】： 【解析】：解：如图，连接并延长交于，连接，过点作于， 四边形是菱形，，边长为8， ，，，， 点是的中点，， 又，，，， 又点是的中点，， 点，分别是，的中点，， ，，， ，，，， ，， 答案：． 变式1-2．如图，在四边形中．，、分别是、的中点．、分别是对角线、的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，时，求四边形的面积． 【答案】：(1) 见解析 ; （2）; 【解析】：（1）证明：是的中点，是的中点，，， 同理，，，，，， 又， 四边形是菱形． （2）解：四边形中，、、分别是、、的中点， ，，， ，． ，， 四边形是菱形，， 作于，如图所示：则是等腰直角三角形， ， 四边形的面积． 类型二、菱形中折叠问题 例2．如图，菱形中，，，点、分别在边、上．若将沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，则 ． 【答案】：； 【解析】：解：连接，，如图， 四边形是边长为2的菱形，，和都是边长为2的等边三角形， ，， 为的中点，，， 在中，，根据翻折变换可知， ，，， 在中，设，则， ，， 解得，． 答案：． 变式2-1．如图，在菱形中，，，为边上一动点，将沿折叠为，为边上一点，，则的最小值为 　　． 【答案】：； 【解析】：解：作于点，则， 四边形是菱形，，，， ，， ，， ， ，， 由折叠得，， ，， 的最小值为， 答案：． 变式2-2．如图，四边形是菱形，，，点是边上一动点，把△沿折叠，其中点的对应点为点，若垂直于菱形的边时，则的长为 　 　． 【答案】：或2或或． 【解析】：解：分4种情况：①当时，如图1，设， 由折叠得：， 四边形是菱形，，， △中，， ， △中，，， ； ②当时，如图2，过作于， ，， ，，， 由折叠得， △是等腰直角三角形， 设，则，， ，，， ； ③当时，如图3，延长交于，则， △中，，， ，， △中，，， ， ； ④当时，如图4，延长交于， ，， ，， ，， 由折叠得：， ，， ， ， 综上所述，的长为或2或或． 答案：或2或或． 例3．如图，在中，，，．记的长为，是边上的一个动点，连结，是点关于的对称点，连结，． （1）如图1，当点落在上且时，求的值． （2）如图2，若点恰好落在边上，判断四边形的形状，并说明理由． （3）若点恰好落在的边上，且．求的值． 【答案】：(1) ; （2）菱形，见解析; （3）8或 ； 【解析】：解：（1）如图1，在中， ，， 在中，，，， ，， 是点关于的对称点，， 的值为； （2）四边形是菱形， 如图2，在中，，则， 是点关于的对称点，，，， 是等边三角形．， ， 四边形是菱形； （3）当恰好落在的边上时，可分三种情况： ①当点在上时，如图3，，，， 是点关于的对称点，，， 在中，，，； ②当点在上时，如图4，过点作于点， 由（1）知，， 则在△中，，， ， 根据勾股定理得，， 即， 解得； ③当点在上时，即（2）中如图2的情况，连结，过作于点，如图5， 由（2）证此时四边形是菱形，，， 在中，，， ，，， 在中，， 由勾股定理得：， 整理得：， △，此方程无解， 综上：的值为8或． 变式3-1．如图，点，分别是正方形的边，上的点，将正方形沿折叠，使得点的对应点恰好落在边上，交于点，作于点，交于点，连结． （1）求证：． （2）问四边形是什么特殊四边形？请说明理由． （3）①若，，三点在一条直线上，求证：． ②若为的中点，求的值． 【答案】：(1) 见解析 ; （2）菱形，见解析; （3）①见解析 ；② 2 ； 【解析】：（1）证明：四边形为正方形，， 由折叠可知，， ，， ； （2）解：四边形为菱形．理由如下： 由折叠知，，，， ，， ，， 又，，， 四边形为菱形； （3）解：①连结，， 四边形为菱形，， ，， 在与中， ，， ，， ，， ，，，， ，，三点在同一直线上，，， ； ②设，，则，，， ，， 在中，， 即，解得， ． 类型三、菱形中最值问题 例4．如图，已知四边形为菱形，，，为对角线，为边上一动点，且交于点，连接，，为的中点，连接． ①若为的中点，则的长为 　　； ②点在运动过程中，的最小值为 　　． 【答案】：①2 ；② 3 ； 【解析】：解：（1）四边形为菱形，， 点为的中点，，为的中位线， 点为的中点， ； （2）延长到，使，连接，，延长交于， 四边形为菱形，， 又，为等边三角形， ， ，，， 为等边三角形，， ，， ，， ， 无论点在上如何运动，始终有，即：， ，即，， 点为的中点，， 为的中位线， ， 当为最小时，为最小， 根据“垂线段最短”得：当时，为最小， 即当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长， 在中，，， ，， 的最小值为6， 的最小值为3． 变式4-1．如图，已知菱形的边长为5，面积为15，点是对角线上的动点（不与点重合），以为对角线作平行四边形，则的最小值为　　． 【答案】： 【解析】：解：如图，过作于，连接交于， ，且，， 由勾股定理得：，， 由勾股定理得：， ，，， ， 四边形是平行四边形，， 当时，的值最小， ，，， 即的最小值为． 答案：． 例5．如图，菱形中，，，、分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 　　． 【答案】：； 【解析】：解：如图，的下方作，在上截取，使得，连接，． 四边形是菱形，， ，， ，，， ，， ，， ， ， ，， 的最小值为， 答案：． 变式5-1． 如图，已知菱形的面积为，，点，分别是在边，上（不与点重合），且，连结，，则的最小值为 　　． 【答案】：； 【解析】：解：如图，过点作于点，延长到点，使， 四边形是菱形，，， 菱形的面积为，，， 在中，根据勾股定理得：， 以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系， ，，，，，，， ，，， 在和中， ，， ， 连接，，， ，，，三点共线时，取最小值， 的最小值的最小值． 答案：． 变式5-2．如图，在菱形中，，，将向右平移得到△（点在线段上），连接，，．在平移过程中， （1）若四边形是矩形，则　　； （2）的最小值为 　　． 【答案】：(1) 4 ; （2）12; 【解析】：解：（1）连接交于点，如图所示： 在菱形中，，， ，，， 在中，，则， 将向右平移得到△（点在线段上）， ， 若四边形是矩形，则，， 在中，，则，， 答案：4； （2）连接，延长到，使，如图所示： 将向右平移得到△（点在线段上）， ，，是平行四边形，， 在菱形中，由菱形对称性得到，， ，则当、、三点共线时，有最小值为， ，，是等边三角形， ，， 由于是的一个外角，，， 在中，，，则， 的最小值为12， 答案：12． 例6．对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”． 问题：如图，在中，，，且的面积为，如果存在“最优覆盖菱形”为菱形，那么的取值范围是　 　． 【答案】： 【解析】：解：的面积为，的边上的为高， 如图：当高取最小值时，为等边三角形， 点与或重合， 如图：过作，垂足为 等边三角形，， ，，． ， ， ，即． 如图：当高取最大值时，菱形为正方形． 点在的中点， ， ， 答案：． 变式6-1．如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”．如图，已知“完美菱形” 的边长为4，是它的较短对角线，点、分别是边，上的两个动点，且满足，设的面积为，则的取值范围是 　　． 【答案】：； 【解析】：解：菱形的边长为4，， 和都为正三角形，，， ，，， 在和中， ，； ，， ，， ，为正三角形； 设，则， 当时，最小为：，， 当与重合时，最大， 菱形的边长为4，， 最大为4，， ． 则的取值范围是． 答案：． 类型四、菱形中的规律问题及创新题 例7．如图所示，菱形的对角线，交于点，，，过点作交于点，连接交于点，过点作交于点依此规律进行下去，则　　（填入、或，△的面积是　　． 【答案】：=；； 【解析】：解：①，， 答案：． ②四边形是菱形，， ，和都是等边三角形，， 在中，，， ，， ， ，，，， ，， ，△， ，， 同理，， ，． 答案：． 变式7-1．如图，网格中的每个四边形都是菱形，如果格点三角形的面积为，按照如图所示方式得到的格点三角形的面积是，格点三角形的面积是，那么格点三角形的面积为 　 ，如此下去，格点三角形的面积为　 　． 【答案】：37， 【解析】：解：已知格点的面积为， 格点△的面积是：， 格点△的面积是：， 则格点△的面积是：， 以此类推：格点△的面积为：． 答案：37，． 例8．如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，将沿直线平移，并连结，． 【基础巩固】 （1）求证：在沿直线平移过程中，四边形是平行四边形； 【操作思考】 （2）如图2，已知，，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时的长； 【拓展探究】 （3）如图3，连结，若四边形为菱形，且，求的度数． 【答案】：(1) 见解析 ; （2），四边形能成为菱形；; （3）； 【解析】：（1）证明：， ，，， 四边形是平行四边形； （2）解：，，， ， 如图2，连接交于点， 平移的过程中，四边形能成为菱形， 四边形能成为菱形，，，， ，，， 设，，， ，， ，整理得， 解得：或（舍去），． 当时，四边形能成为菱形； （3）解：如图3，连结，延长交于点， 四边形为菱形，，， ，， ，，， 是等腰直角三角形，， 四边形为菱形，， ． 变式8-1．我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形中，连接，在的延长线上取点使得，以、为边作菱形，我们称菱形是菱形的“伴随菱形”． （1）如图2，在菱形中，连接，在的延长线上作，作的平分线交的延长线于点，连接，求证：四边形为菱形的“伴随菱形”． （2）①如图3，菱形为菱形的“伴随菱形”，过作垂直于点，对角线、相交于点，连接若，试判断与的数量关系并加以证明． ②在①的条件下请直接写出的值． 【答案】：(1) 见解析 ; （2）① ；② ； 【解析】：（1）证明：四边形是菱形，，， 平分，，，， ，， 四边形是平行四边形，是菱形， 菱形为菱形的“伴随菱形”； （2）解：①如图， ，理由如下：作于， 四边形是菱形，，， ，， ，， 不妨设，则，，， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ，，（舍去）， ，， ，， ，，，， ，，，， ，由得， ，，，； ②由①知：，， ． 类型五、菱形的性质与判定综合 例9．如图，在菱形中，点是对角线上一动点，于点，于点，记菱形高线的长为，则下列结论：①当为中点时，则；②；③；④若，，连结，则有最小值为2；⑤若，，连结，则的最大值为．其中错误的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】：B; 【解析】：解：（1）如图： 菱形，，平分， ，，． ①正确，故①不符合． （2）如图：延长交于． 菱形，， ，． 菱形，平分， ，，． ．②正确，故②不符合． （3）菱形，． ，，， ，． ③正确,故③不符合． （4）过作，交于， ，． 最小，最小． ，， ，最小值． ④错误,故④符合． （5）过作． 设，由②知． ，又，， ， ，， ， ⑤错误，故⑤符合． 选：． 变式9-1．如图，已知菱形的边长为2，对角线、相交于点，点，分别是边、上的动点，，连接、．以下四个结论正确的是　　 ①是等边三角形； ②的最小值是； ③当最小时，； ④四边形周长最小值为． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】：D; 【解析】：解：四边形是菱形， ，，，， ，和都是等边三角形， ，， ，， ，， 是等边三角形，故①正确； 当 时，的值最小，此时的值也最小， ，，， ， 的最小值是，故②正确； 时，的值最小，此时， ，， ，， ，， ，，故③正确； 由①可知，， ，， 由①可知是等边三角形， 根据“垂线段最短”得：当且仅当时，最小， 则为最小，即四边形周长最小， ，，， ．四边形周长的最小值为，故结论结论④正确． 选：． 变式9-2．如图，在菱形中，，是边上一点，且，有下列结论： ①是等边三角形； ②； ③周长的最小值为， ④面积的最大值为． 其中正确结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】：D; 【解析】：解：连接， 菱形中，，与是等边三角形， ，， ，， 在和中 ，，，， ，，，， 是等边三角形，故①正确； ，， ，， 即，故②正确； 的周长， 等边三角形的边长最小时，的周长最小， 当时，最小 周长的最小值为，故③正确； 菱形边长为4，； 与为正三角形，，， ，， 设，则， 的面积 当时，的面积最大值为故④正确； 综上正确的有①②③④共4个． 选：． 例10．已知有两张全等的矩形纸片． （1）将两张纸片叠合成如图1，请判断四边形的形状，并说明理由； （2）设矩形的长是6，宽是3．当这两张纸片叠合成如图2时，菱形的面积最大，求此时菱形的面积． 【答案】：(1) 菱形，见解析 ; （2）; 【解析】：解：（1）四边形是菱形．理由：作于，于， 由题意知：，，四边形是平行四边形， 两个矩形全等，， ，， 平行四边形是菱形； （2）设，则，， 在中，， ，解得， ． 变式10-1．小宇将两张长为8宽为2的矩形条交叉如图①，发现重叠部分可能是一个菱形． （1）请你帮助小宇证明四边形是菱形． （2）小宇又发现：如图②时，菱形的周长最小，等于　　； 如图③时菱形的周长最大，求此时菱形的周长． 【答案】：(1) 见解析，8 ; （2）17； 【解析】： （1）证明：如图①，过点作于，于， 两条纸条宽度相同（对边平行），，，， 四边形是平行四边形， ， 又，，四边形是菱形； 解：（2）如图②，当两纸条互相垂直时，菱形的周长最小，此时菱形的边长等于纸条的宽，为2， 所以，菱形的周长． 答案：8； （3）如图③，菱形的一条对角线与矩形的对角线重合时，周长最大， 设，则， 在中，， 即， 解得，所以，菱形的周长． 变式10-2．将两张长为，宽为的长方形纸条按如图所示的形式交叉叠放，其中重叠部分是四边形． （1）求证：四边形为菱形； （2）在纸条转动的过程中，菱形面积的最大值为 　　（两张纸条不完全重合）． 【答案】：(1)见解析 ; （2） ； 【解析】：（1）证明：如图，过点作 于点， 于点． 两条纸条宽度相同（对边平行）， ，，， 四边形是平行四边形， ，，， 四边形是菱形； （2）四边形是菱形，，， ， 当越大时，菱形的面积越大， 当两张纸片旋转如图位置时，如图2，此时取最大值， 设，则， 在中，， ，， ， 此时菱形的面积取得最大值为，答案：． 例11．在菱形中，，为对角线的中点，为边上一点，且．若为等腰三角形，则菱形的边长为 　 　． 【答案】：或2．； 【解析】：解：当为等腰三角形时，分以下三种情况： ①当时，如图， 四边形是菱形，为对角线的中点，， ，，， ，， ， 是等边三角形， ，， ， 菱形的边长为； ②当时，如图， 由①知，在中，，， ， 菱形的边长为2； ③当时，， ， ， 点在边上，不在边上，不合题意舍去， 综上所述，菱形的边长为或2． 答案：或2． 变式11-1．如图，菱形的边长是4，，点，分别是，边上的动点（不与点，，重合），且，若，，与相交于点，当为等腰三角形时，的长为　 　． 【答案】：或； 【解析】：解：如图，连接交于， 菱形的边长是4，， ，，，，， ，，四边形是平行四边形， 又，四边形是菱形， ，点，点，点三点共线， ，， ，， ，， 同理可求， 若时，，， 若时，过点作于，， ，，，， ， ， 综上所述：为或． 例12．在边长为1的菱形中，以点为圆心，长为半径画弧，交对角线于点． （1）若时，求的度数； （2）设， ①当时，求的长； ②用含的代数式表示． 【答案】：(1) ; （2）① ；② ； 【解析】：解：（1）以点为圆心，长为半径画弧，交对角线于点， ，， 菱形，，又，， 设，则，， ，即，得， 的度数为； （2）①过点作于点，连接交于点， 和是菱形对角线， ，且， ，，，， 又，， 在直角三角形中， ，， ，即，， 在中，， ，， 的长为； ②过点作于点，连接交于点， 和是菱形对角线，，且， ，，， 又，， 在直角三角形中，， ， ，即， ， 在中，，， 在中，，， ， ． 变式12-1． 如图，四边形是菱形，． （1）如图1，以点为顶点作顶角为的等腰，，且、、在同一条直线上，连接、，求证：； （2）如图2，点是边上一点，点是菱形外一点，且，，连接，延长交于点，连接． ①求的度数； ②如图3，把绕点顺时针旋转得到，连接，求证：． 【答案】：(1) 见解析 ; （2）; （3）①300 ；②见解析 ； 【解析】：（1）证明：四边形是菱形，， ，， 是顶角为的等腰三角形，，， ，，即， 在和中， ，； （2）①解：以点为顶点作交于， 在和中， ，， ， ，，即， 在和中，，，， ； ②证明：以点为顶点作交于， 同①得：，，， 把绕点顺时针旋转得到，，， ，，， 四边形是平行四边形，， ． 类型六、菱形中的动点问题 例13．如图，在中，，延长中线到点，作，点从点开始沿射线方向以秒的速度运动，设运动时间为秒．过点作，垂足是点，连接，．若，，且当时，四边形是菱形． （1）求的长． （2）若四边形的一条对角线等于其中一边，求的值． 【答案】：(1) ; （2） 的值是或． ； 【解析】：解：（1），，点从点开始沿射线方向以秒的速度运动， 当时，，， ，， ，是的中线，垂直平分，， ，，， 当时，四边形是菱形，， 即的长是； （2）当时， ，， ，，， ， ，，， 解得，； 当时，则， ，，，， ，， ，，， 解得，； 当时，不成立； 当时， ，， ，解得，（舍去）， 综上所述，的值是或． 变式13-1．如图，已知在菱形中．，，对角线与交于点，点是射线上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，． （1）如图1，当点在线段上运动时， ①求证：； ②当时，判断四边形的形状，并说明理由． （2）在点的整个运动过程中，将沿着翻折得到四边形，当四边形为菱形时，求出此时的面积． 【答案】：(1) ①见解析 ；② 四边形是矩形，见解析; （2）的面积为或． ； 【解析】：（1）①证明：四边形是菱形，，， ，， 由旋转得：，，， 即， 在和中，，； ②解：四边形是矩形，理由如下： 四边形是菱形，，，，， ，即， ，，即，， 在和中，，，，， 由①可知，，，， ，，，， 四边形是平行四边形， 由（1）可知，，， ，平行四边形是矩形； （2）解：分两种情况： ①当点在线段上，四边形为菱形时， 如图2，过点作于点，则， 四边形是菱形，，， ，，，， ，， ， 四边形是菱形，，， 由①可知，，，， ， ，， ， ； ②当点在线段的延长线上，四边形为菱形时， 如图3，过点作，交的延长线于点， 同理得：，，， ， ， ； 综上所述，当四边用为菱形时，此时的面积为或． 1．如图，菱形中，，点在边上，将菱形沿直线翻折，使点恰好落在对角线上，连接，则　　． 【答案】：75； 【解析】：解：四边形是菱形， ，，， ，． ，． 将菱形沿直线翻折，使点恰好落在对角线上， ，， ． 答案：75． 2．如图，在菱形中，，、分别是、上的动点，满足．若，则△周长的最小值为　　 A． B． C．12 D．18 【答案】：B 【解析】：解：连接， 四边形是菱形，，，， △是等边三角形，， ，，， 在△和△中，，△△， ，， ， △是等边三角形；△的周长为， 当时最短，此时：，， ，， ． △周长的最小值为：， 选：． 3．如图，线段，是线段上一动点，分别以和为边在同侧作菱形和菱形，且，，在同一条直线上，，连结，取的中点，连结，，以下说法正确的是　　 A．的长不会随着点的运动而变化，始终为 B．的长随着点的运动而变化，其最小值为 C．的长不会随着点的运动而变化，始终为 D．的长随着点的运动而变化，其最小值为 【答案】： 【解析】：解：如图，连接，， 菱形和菱形，， ，，，，， ，， ，， ，是等边三角形， 点是的中点，， 设，则， 是等边三角形，， ，，， ，， 当时，有最小值为， 的最小值为， 选：． 4．如图，在菱形中，，，点为对角线上一动点，过点作交直线于点．若是以为底边的等腰三角形，则的长为 　　． 【答案】： 【解析】：解：如图，过作于， 四边形是菱形，，，， ， ，，， ，， ，， ，，，， ， ，，是等腰直角三角形，， ， ． 答案：． 5．如图，边长为1的菱形中，，以对角线为边作第2个菱形，使．连接，再以为边作第3个菱形使，则第3个菱形的边长是　　，按此规律所作第个菱形的边长是　　． 【答案】：3，； 【解析】：解：连接，四边形是菱形， ．， ，是等边三角形， ，， ，， 同理可得第3个菱形的边长为：， 第4个菱形的边长为：， 按此规律所作的第个菱形的边长为， 答案：3，． 6．菱形中，，是中点，连接，，点是上一动点，为中点，连接． （1）　　； （2）若，则的最小值为 　　． 【答案】：； 【解析】：解：（1）连接，如图1所示： 四边形为菱形，， ，为等边三角形，， 点是的中点，平分， ， 答案：． （2）设的中点为，的中点为，连接，，，，，过作于，如图2所示： 点为的中点，为的中位线，为的中位线， ，，点，，在同一条直线上， 当点在上运动时，点在上运动， 根据“垂线段最短”得：当点与点重合时，为最短，最短距离为线段的长， 四边形为菱形，，， ，，， 和均为等边三角形， 点为的中点，点为的中点， ，，，， ，， 四边形为矩形，，， 在中，由勾股定理得：，， 点为的中点，， 在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：，即， ，的最小值为， 答案：． 7．如图，在菱形中，，，分别是，的中点，，相交于点连接，．有下列结论： ① ②； ③； ④． 其中正确的有 　　（将正确答案的序号填在横线上）． 【答案】：①②④； 【解析】：解：四边形是菱形， ，，、都是等边三角形， ，， ，分别是，的中点，，，， ，，，故①正确； 在和中，，，， ，， ，，故②正确； 为直角三角形，， ，，故③错误； ，，，由勾股定理得：， ，故④正确； 答案：①②④． 8．如图1两张等宽的矩形纸片，矩形纸片不动，将矩形纸片按如图2方式缠绕：先将点与点重合，再依次沿、对折，点、所在的相邻两边不重叠、无空隙，最后边刚好经过点． （1）四边形是 　　（填写四边形的形状） （2）若，，则长为 　　 【答案】：(1) 菱形 ; （2）1; 【解析】：解：（1）两张纸片是等宽的矩形纸片， ，，，， ，四边形是平行四边形，， 在和中，，，， 四边形是菱形， （2）如图，标记点， 两张纸片是等宽的矩形纸片， ，，，， 四边形和四边形是平行四边形，， 由（1）得，，四边形是菱形， ，，，四边形是菱形，， ，， 和是等边三角形，和是等边三角形， ，， ，，，、是等边三角形， 、、、依次有公共边， 、、、是边长相等的等边三角形，， ，，， ，，， ，答案：1． 9．如图，在菱形中，已知，，点是对角线上的一个动点，连结，将沿边翻折得到，连结． （1）　 　度． （2）若是以为腰的等腰三角形，则的值为 　　． 【答案】：(1) 67.5 ; （2）或． ； 【解析】：解：（1）如图1中， 四边形是菱形， ，，， ，，， ，关于对称，， ． 答案：67.5； （2）如图2中，当，，共线时， ，，， 满足条件， ，， ， ，， 在上取一点，使得，连接．则． 设，则， ，， ，， ． 如图3中，当经过点时，， 满足条件， 过点作于点．则有， ． ， ，， ，， ， 综上所述，或． 答案：或． 10．如图，在菱形中，，．点在边上由向运动，点在边上由向运动，速度均为，连结、，以，为邻边构造，连结过点作，交折线于点，分别交、于点、． （1）求证：为菱形． （2）连结，，求 周长的最小值，并说明理由． （3）当点在线段上时，若某时刻满足， ①证明：为中点． ②请直接写出此时点的运动时间． 【答案】：(1) 见解析; （2）; （3）① 见解析；② ； 【解析】：（1）证明：如图1，连接， 四边形是菱形，， ，， 、点的运动速度相同，， ，，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2）解：如图2，连接，， 四边形是菱形，，， ，，，， ，，，， ，， ，， ，，， 的周长， ，，， 的周长的最小值为； （3）①证明：，， ，， ，，， ，是的中点； ②解：连接交于点， ，，为等边三角形，， ， ，，， ，， 设，，， ，， ，． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$