精品解析：江苏省南京市第一中学2024-2025学年 下学期3月月考八年级数学试卷

八年级数学 一、选择题（本大题共6小题．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填（涂）在答卷纸上．） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中适合采用普查的是（ ） A. 了解秦淮河的水质 B. 了解某班学生3分钟跳绳成绩 C. 了解一批灯泡的使用寿命 D. 了解南京市中学生课后作业时间 3. 为了解某校八年级320名学生的体重情况，从中抽查了80名学生的体重进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 320名学生的全体是总体 B. 80名学生是总体的一个样本 C. 每名学生的体重是个体 D. 80名学生是样本容量 4. 能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( ) A. AB∥CD，AD=BC B. ∠A=∠B，∠C=∠D C. AB∥CD，∠C=∠A D. AB=AD，CB=CD 5. 如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点、、，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝2．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（　　） A. 1 B. C. D. ﹣1 二、填空题（本大题共10小题．不需写出解答过程，把答案直接填写在答卷纸相应位置上．） 7. 在数中，数字“”出现的频率是______． 8. “太阳总是从东方升起”是_______事件．（填“不可能”、“必然”或“随机”） 9. 平行四边形ABCD中，∠C=∠B+∠D，则∠A=__． 10. 如图，将绕点C逆时针旋转，得到，若点A恰好在的延长线上，则_______°． 11. 如图，在平行四边形中，AC、BD相交于点O，AC=20cm，BD=32cm，若的周长等于40cm，则_______________cm． 12. 如图所示，菱形的对角线相交于点，，垂足为．若则的长为______． 13. 如图，点E在正方形ABCD内，且，则_______________°． 14. 如图，在△ABC中，点D、E分别是边、的中点，连接，的平分线交于点F，若，，则的长为________． 15. 如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为_______． 16. 如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝ ，∠BAC＝105°，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为__________． 三、解答题（本大题共9小题．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应根据需要，写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 如图，在中，E，F是上的两点，且．求证． 18. 某区教育部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机调查了部分学生，并将他们某一学期参加综合实践活动的天数进行统计，绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）． 请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）参加调查的八年级学生总人数为 人； （2）根据图中信息，补全条形统计图； （3）扇形统计图中“活动时间为6天”的扇形所对应的圆心角的度数为 °； （4）全区共有八年级学生12000人，请你估计“活动时间至少5天”的大约有多少人？ 19. 下表是某口罩生产厂对一批N95口罩质量检测的情况： 抽取口罩数 200 500 1000 1500 2000 3000 合格品数 188 471 946 1426 1898 2850 合格品频率 （精确到0.001） 0.940 0942 0.946 0.951 a b （1）a=__________，b=__________； （2）从这批口罩中任意抽取一个是合格品的概率估计值是多少？（精确到0.01） （3）若要生产380000个合格的N95口罩，该厂估计要生产多少个N95口罩？ 20. 已知的三个顶点的坐标分别为、、 （1）画出关于坐标原点O成中心对称； （2）将绕坐标原点O顺时针旋转，画出对应的； （3）若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则在第四象限中的点坐标为　 　． 21. 如图，在中，，垂足为．分别是边的中点，连接．若，求的周长． 22. 如图，已知平行四边形，根据所学知识，利用直尺和圆规在平行四边形内作一个菱形．（要求：菱形的顶点都在平行四边形上） （1）小明的作图中，用到的作图依据有_______（填序号） ①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ②两组对边分别相等四边形是平行四边形． ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形． ④对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （2）请再用一种不同的方法作图．（保留作图痕迹，并写出简要的文字说明） 23. 如图，在四边形中，，E是的中点，的延长线交于点F，． （1）求证：四边形矩形； （2）当满足条件 ___________时，四边形是正方形． 24. 如图，在菱形中，，分别为上的动点，，点从点向点运动的过程中，试判断的长度是否发生变化？并说明理由． 25. 在矩形ABCD中，P是线段BC上的一个动点，将△ABP沿直线AP翻折，点B的对应点为E，直线PE与直线AD交于点F． （1）如图①，当点F在AD的延长线上时，求证； （2）若，BC足够长，当点E到直线AD距离等于3时，求BP的长； （3）若，．当点P、E、D在同一直线上（如图②）时，点P开始向点C运动，到与C重合时停止，则点F运动的路程是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题（本大题共6小题．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填（涂）在答卷纸上．） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念，数形结合，找出对称轴中心是解题的关键． 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心，由此即可求解． 【详解】解：A、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； B、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、有一个对称中心，是中心对称图形，符合题意； D、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C ． 2. 下列调查中适合采用普查的是（ ） A. 了解秦淮河的水质 B. 了解某班学生3分钟跳绳成绩 C. 了解一批灯泡的使用寿命 D. 了解南京市中学生课后作业时间 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽样调查和全面调查的意义，结合具体的问题情境进行判断即可． 【详解】解：A．了解秦淮河的水质，适合使用抽样调查，因此选项A不符合题意； B．了解某班学生3分钟跳绳成绩，适合使用普查，因此选项B符合题意； C．了解一批灯泡的使用寿命，由于实验具有破坏性，所以不适合采用普查，应采取抽查，因此选项C不符合题意； D．由于南京市的中学生人数较多，因此了解南京市中学生课后作业时间宜使用抽样调查，所以选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查抽样调查和全面调查，理解抽样调查和全面调查的意义是正确判断的前提． 3. 为了解某校八年级320名学生的体重情况，从中抽查了80名学生的体重进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 320名学生的全体是总体 B. 80名学生是总体的一个样本 C. 每名学生的体重是个体 D. 80名学生是样本容量 【答案】C 【解析】 【分析】根据总体、样本、样本容量及个体的定义对选项逐一判断即可得答案． 【详解】A、320名学生的体重情况是总体，故该选项错误； B、80名学生的体重情况是样本，故该选项错误； C、每个学生的体重情况是个体，故该选项正确； D、样本容量是80，故该选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查总体、个体、样本、样本容量的定义，熟练掌握相关定义是解题关键． 4. 能判定四边形ABCD为平行四边形条件是( ) A. AB∥CD，AD=BC B. ∠A=∠B，∠C=∠D C. AB∥CD，∠C=∠A D. AB=AD，CB=CD 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件结合平行四边形的性质直接作出判断即可． 【详解】解：根据平行四边形的判定可知： A、若AB∥CD，AD=BC，则可以判定四边形是梯形，故A错误， B、两组邻角相等也有可能是等腰梯形，故B错误． C、∵AB∥CD， ∴∠B+∠C=180°， ∵∠C=∠A， ∴∠B+∠A=180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形的条件，故C正确． D、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定的知识点，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理，此题基础题，比较简单． 5. 如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点、、，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用中点坐标公式求答案． 【详解】∵线段AB和线段CD线关于P点对称 ∴P为线段AC中点，也为线段BD中点． 根据中点公式得： ∴ C点坐标： 故选：B 【点睛】本题考查了中心对称，正确运用中点坐标公式是解题的关键． 6. 如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝2．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（　　） A. 1 B. C. D. ﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】如图连接EF，延长BA使得AM=CE，则△OCE≌△OAM．先证明△OFE≌△FOM，推出EF=FM=AF+AM=AF+CE，设AF=x，在Rt△EFB中利用勾股定理列出方程即可解决问题． 【详解】如图连接EF，延长BA使得AM＝CE，则△OCE≌△OAM． ∴OE＝OM，∠COE＝∠MOA， ∵∠EOF＝45°， ∴∠COE+∠AOF＝45°， ∴∠MOA+∠AOF＝45°， ∴∠EOF＝∠MOF， 在△OFE和△OFM中， ， ∴△OFE≌△FOM， ∴EF＝FM＝AF+AM＝AF+CE，设AF＝x， ∵CE＝， ∴EF＝2+x，EB＝2，FB＝4﹣x， ∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2， ∴x＝， ∴点F的纵坐标为， 故选B． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，解题关键在于做辅助线 二、填空题（本大题共10小题．不需写出解答过程，把答案直接填写在答卷纸相应位置上．） 7. 在数中，数字“”出现的频率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据频率频数总次数，进行计算即可得到最后答案． 【详解】解：数字中，一共有个数字，其中有个， ， 在数中，数字“”出现的频率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了频率与频数，熟练掌握频率频数总次数是解答本题的关键． 8. “太阳总是从东方升起”是_______事件．（填“不可能”、“必然”或“随机”） 【答案】必然 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，掌握不可能事件、必然事件、随机事件的概念是解题的关键． 必然事件是指在一定的条件下重复进行试验时，每次试验中必然会发生的事件；不可能事件是指在一定的条件下重复进行试验时，每次试验中都不会发生的事件；随机事件是指在一定的条件下重复进行试验时，每次试验中可能发生，也可能不发生的事件；由此即可求解． 【详解】解：“太阳总是从东方升起”是必然事件， 故答案为：必然 ． 9. 平行四边形ABCD中，∠C=∠B+∠D，则∠A=__． 【答案】120° 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠B=∠D，∠A=∠C． ∵∠C=∠B+∠D，∴∠C=2∠D，∠C+∠D=180°，∴∠A=∠C=120°，∠D=60°． 故答案为：120°． 10. 如图，将绕点C逆时针旋转，得到，若点A恰好在的延长线上，则_______°． 【答案】80 【解析】 【分析】根据旋转的性质得，，，再根据三角形内角和定理得到，则，即可得到答案． 【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转，得到， ∴，，， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 11. 如图，在平行四边形中，AC、BD相交于点O，AC=20cm，BD=32cm，若的周长等于40cm，则_______________cm． 【答案】14 【解析】 【分析】的周长等于与两条对角线一半的和，根据平行四边形的性质，对边相等，对角线互相平分即可求解 【详解】四边形是平行四边形，AC=20cm，BD=32cm ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟悉四边形的性质是解题的关键． 12. 如图所示，菱形的对角线相交于点，，垂足为．若则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用菱形的面积公式：，即可解决问题．本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求线段的长，属于中考常考题型． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，点E在正方形ABCD内，且，则_______________°． 【答案】135 【解析】 【分析】由题意可得 ，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴CB=CD，∠BCD=90°， ∵CE=CB， ∴CB=CE=CD， ∴ 故答案为135°． 【点睛】本题考查正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键． 14. 如图，在△ABC中，点D、E分别是边、的中点，连接，的平分线交于点F，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质定理，等腰三角形的判定，平行线的性质和角平分线的定义，根据图形得到是解题的关键．由于，可先证得是的中位线，求得的长度，再利用平行线的性质和角平分线的定义证得，即可求解． 【详解】解：∵点、分别为边、的中点，， ∴，， ∴是的中位线， ∵， ∴，， ∴， ∵的平分线交线段于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 15. 如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质及折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质得出是解题的关键． 根据矩形的性质和折叠的性质，，，设，则，运用勾股定理得到，则，再证，得到，，如图所示，过点作于点，在中运用勾股定理得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴，则， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为： ． 16. 如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝ ，∠BAC＝105°，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为__________． 【答案】2 【解析】 【详解】∵△ABD，△ACE都是等边三角形， ∴∠DAB=∠EAC=60°， ∵∠BAC=105° ∴∠DAE=135°． ∵△ABD和△FBC都是等边三角形， ∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°， ∴∠DBF=∠ABC． ∴在△ABC与△DBF中， ， ∴△ABC≌△DBF（SAS）， ∴AC=DF=AE= ， 同理可证△ABC≌△EFC， ∴AB=EF=AD=2， ∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． ∴∠FDA=180°-∠DAE=45°， 根据勾股定理可求得平行四边形DAEF边AD上的高为1， ∴平行四边形AEFD的面积是 ． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，综合性比较强，难度较大，有利于培养学生综合运用知识进行推理和计算的能力． 三、解答题（本大题共9小题．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应根据需要，写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 如图，在中，E，F是上的两点，且．求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由，可得，，证明四边形是平行四边形，则，进而结论得证． 【详解】证明：∵， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质． 18. 某区教育部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机调查了部分学生，并将他们某一学期参加综合实践活动的天数进行统计，绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）． 请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）参加调查的八年级学生总人数为 人； （2）根据图中信息，补全条形统计图； （3）扇形统计图中“活动时间为6天”的扇形所对应的圆心角的度数为 °； （4）全区共有八年级学生12000人，请你估计“活动时间至少5天”的大约有多少人？ 【答案】（1）200 （2）见解析 （3）54 （4）5400人 【解析】 【分析】（1）根据2天的人数和所占的百分比求出参加调查的八年级学生总人数； （2）用总人数减去其他活动天数的人数求出活动5天的人数，再补全统计图即可； （3）用360°乘以“活动时间为6天”的人数所占的百分比即可得出“活动时间为6天”的扇形所对应的圆心角的度数； （4）根据全市共有的八年级学生数乘以“活动时间不少于5天”的人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：参加调查的八年级学生总人数为：20÷10%=200（人）； 故答案：200； 【小问2详解】 解：实践活动7天的人数有：200×5%=10（人）， 实践活动5天的人数有：200-20-30-60-30-10=50（人）， 补全统计图如下： 【小问3详解】 解：“活动时间为6天”的扇形所对应的圆心角的度数是：360°×15%=54°； 故答案为：54； 小问4详解】 解：根据题意得：12000×（1－10%－15%－30%）＝5400（人） 答：估计“活动时间至少5天”的大约有5400人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 19. 下表是某口罩生产厂对一批N95口罩质量检测的情况： 抽取口罩数 200 500 1000 1500 2000 3000 合格品数 188 471 946 1426 1898 2850 合格品频率 （精确到0.001） 0.940 0.942 0.946 0.951 a b （1）a=__________，b=__________； （2）从这批口罩中任意抽取一个是合格品的概率估计值是多少？（精确到0.01） （3）若要生产380000个合格的N95口罩，该厂估计要生产多少个N95口罩？ 【答案】（1）0.949，0.950；（2）0.95；（3）400000 【解析】 【分析】（1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在0.95左右摆动，从而利于频率估计概率可判断任意抽取一只口罩是合格品的概率为0.95； （3）用样本数据估计总体即可． 【详解】解：（1）1898÷2000=0.949，2850÷3000=0.950； 故答案为：0.949，0.950； （2）由表格可知，随着抽取的口罩数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在0.95附近波动， 所以任意抽取的一个是合格品的概率估计值是0.95； （3）． 答：该厂估计要生产400000个N95口罩． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 20. 已知的三个顶点的坐标分别为、、 （1）画出关于坐标原点O成中心对称的； （2）将绕坐标原点O顺时针旋转，画出对应的； （3）若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则在第四象限中的点坐标为　 　． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质即可画出关于坐标原点O成中心对称的； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据平行四边形的性质即可得点坐标． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：因为四边形为平行四边形，且点在第四象限， 所以点坐标为． 故答案为： 【点睛】本题考查了作图-旋转变换，平行四边形的判定，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 21. 如图，在中，，垂足为．分别是边的中点，连接．若，求的周长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，直线三角形斜边中线等于斜边的一半，中位线的判定和性质，掌握以上知识，数学结合是解题的关键． 根据勾股定理得到，根据等面积法得到，在中运用勾股定理得到，则，根据直线三角形斜边中线等于斜边一半得到，根据中位线的判定和性质得到，根据周长计算公式即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，点是斜边的中点， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴， ∴的周长． 22. 如图，已知平行四边形，根据所学知识，利用直尺和圆规在平行四边形内作一个菱形．（要求：菱形的顶点都在平行四边形上） （1）小明作图中，用到的作图依据有_______（填序号） ①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形． ④对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （2）请再用一种不同的方法作图．（保留作图痕迹，并写出简要的文字说明） 【答案】（1）①③ （2）作图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定方法，结合作图分析即可； （2）运用对角线互相垂直的平行四边形是菱形的方法作图即可． 【小问1详解】 解：根据作图，， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形， ∴用到的作图依据有①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③有一组邻边相等的平行四边形是菱形， 故答案为：①③； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点， 连接交于点，交于点， 连接， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形． 23. 如图，在四边形中，，E是的中点，的延长线交于点F，． （1）求证：四边形是矩形； （2）当满足条件 ___________时，四边形是正方形． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到，根据正方形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 即， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：当时，四边形是正方形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形和正方形的判定定理是解题的关键． 24. 如图，在菱形中，，分别为上的动点，，点从点向点运动的过程中，试判断的长度是否发生变化？并说明理由． 【答案】的长度不会变化，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识得到是解题的关键． 如图所示，连接，由菱形的性质得到是等边三角形，再证，得到，即可求解． 【详解】解：的长度不变，理由如下， 如图所示，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，即，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的长度不会发生变化． 25. 在矩形ABCD中，P是线段BC上的一个动点，将△ABP沿直线AP翻折，点B的对应点为E，直线PE与直线AD交于点F． （1）如图①，当点F在AD的延长线上时，求证； （2）若，BC足够长，当点E到直线AD的距离等于3时，求BP的长； （3）若，．当点P、E、D在同一直线上（如图②）时，点P开始向点C运动，到与C重合时停止，则点F运动的路程是______． 【答案】（1）见解析 （2）或 （3）4.8 【解析】 【分析】（1）由矩形对边平行可得，再由翻折性质可得，则由等量代换及等腰三角形的判定即可得结论； （2）过点E作于F点，易证，分点矩形内部与外部两种情况即可求解； （3）取BM=AB=6，AN=AB=6，连接MN，则四边形ABMN是正方形，当点P由P、E、D重合时的状态运动到与M重合时，则F点的路程为线段DN长；当点P继续向点C运动直到与点C重合时，点F的路程为NF的长，为此求出DF的长即可求得点F的路程． 【小问1详解】 ∵四边形ABCD是矩形， ∴． ∴． 由翻折得：． ∴． ∴． 【小问2详解】 过点E作于F点， 则 ∴． 当点E在矩形内部时，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠B=90°， ∴∠BAE=90°−∠EAF=60°． 由翻折得，， ∴， ∴由勾股定理得：， 解得． 当点E在矩形外部时，如图， 则∠BAE=∠BAD+∠EAF=120°． 由翻折得：， ∴∠APB=90°−∠BAP=30°， ∴， 则由勾股定理得 综上，线段BP的长为或． 【小问3详解】 如图，取BM=AB=6，AN=AB=6，连接MN，则四边形ABMN是正方形， 当点P由P、E、D重合时的状态运动到与M重合时，则F点的路程为线段DN=AD-AN=10-6=4， 当点P继续向点C运动直到与点C重合时，点F的路程为NF的长，即点F的路程为DN+NF， 由矩形性质得：AB=CD=6，∠D=90°， 由翻折的性质得：AB=AE=6， 当点P与点C重合时，由（1）知AF=CF． 则CF=AF=AD−DF=10−DF， 在Rt△CDF中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴点F的运动路程为：DN+NF=4+0.8=4.8． 故答案为：4.8． 【点睛】本题是矩形折叠的综合问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，注意（2）有两种情况，难点是（3）中确定点F的运动路径是由D到N再到F． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $