安徽省合肥一六八中学2024-2025学年高二下学期第一次检测数学试卷

合肥一六八中学高二（下）数学第一次检测 命题： 审题： 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等比数列中，，，则首项（ ） A. B. C. D. 0 2．已知为偶函数，当时，，则曲线在处的切线经过点（ ） A． B． C． D． 3.记为等差数列的前项和，若，，则（ B） A． B． C． D． 4．定义在R上的函数与函数在上具有相同的单调性，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5.在数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 6．在函数的图象上存在两个不同点，使得关于直线的对称点在函数的图象上，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7.等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（ ） A．若有最大值，则数列的公差小于0 B．若，则使的最大的n为18 C．若，，则中最大 D．若，，则数列中的最小项是第9项 8.已知函数f（x）＝ex+x3+（a﹣3）x+1在区间（0，1）上有最小值，则实数a的取值范围是（　） A．（﹣e，2） B．（﹣e，1﹣e） C．（1，2） D．（﹣∞，1﹣e） 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．若公差为d的等差数列满足，则下列结论正确的为（ ） A．数列也是等差数列 B． C． D．13是数列中的项 10．下列求导正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11.已知数列是各项为正的等比数列，为其前n项和．数列满足，其前n项和为．则（ ） A．数列一定为等比数列 B．数列一定为等比数列 C．数列一定为等差数列 D．若有最大值，则必有 12.已知函数f（x）＝（x2+1）lnx﹣m（x2﹣1），则下列结论正确的是（　　） A．当m＝0时，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x B．当m≤1时，f（x）在定义域内为增函数 C．当m＞1时，f（x）既存在极大值又存在极小值 D．当m＞1时，f（x）恰有3个零点x1，x2，x3，且x1x2x3＝1 三．填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13．已知曲线在点处的切线方程是，则的值为___________． 14．已知等差数列的公差，且、、成等比数列，_________． 15.如果有两个零点，则实数的取值范围为_________． 16.已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为_________． 4、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的倍，求这三个数． （2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数． 18.已知函数f（x）＝2x+1﹣4lnx． （1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）求f（x）在[1，3]上的最大值与最小值． 19．已知数列{}的首项＝2，(n≥2，)，，. (1)证明：{+1}为等比数列； (2)设数列{}的前n项和，求证：. 20.已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，求a的取值范围． 21. 已知数列的前n项和为，当时，；数列中，.直线经过点． （1）求数列的通项公式和； （2）设，求数列的前n项和，并求的最大整数n． 22．（12分） 已知函数． （1）当时，恒成立，求b的值； （2）当，且时，恒成立，求b的取值范围． 合肥一六八中学高二（下）数学第一次检测 命题： 审题： 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等比数列中，，，则首项（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 2．已知为偶函数，当时，，则曲线在处的切线经过点（ ） A． B． C． D． 【答案】D 3.记为等差数列的前项和，若，，则（ B） A． B． C． D． 4．定义在R上的函数与函数在上具有相同的单调性，则k的取值范围是（ B） A． B． C． D． 5.在数列中，，，则（ A ） A． B． C． D． 6．在函数的图象上存在两个不同点，使得关于直线的对称点在函数的图象上，则实数的取值范围是（ C） A． B． C． D． 7.等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（ B ） A．若有最大值，则数列的公差小于0 B．若，则使的最大的n为18 C．若，，则中最大 D．若，，则数列中的最小项是第9项 8.已知函数f（x）＝ex+x3+（a﹣3）x+1在区间（0，1）上有最小值，则实数a的取值范围是（A　　） A．（﹣e，2） B．（﹣e，1﹣e） C．（1，2） D．（﹣∞，1﹣e） 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．若公差为d的等差数列满足，则下列结论正确的为（ ABC ） A．数列也是等差数列 B． C． D．13是数列中的项 10．下列求导正确的有 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 11.已知数列是各项为正的等比数列，为其前n项和．数列满足，其前n项和为．则（ ） A．数列一定为等比数列 B．数列一定为等比数列 C．数列一定为等差数列 D．若有最大值，则必有 【答案】AC 12.已知函数f（x）＝（x2+1）lnx﹣m（x2﹣1），则下列结论正确的是（BCD　　） A．当m＝0时，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x B．当m≤1时，f（x）在定义域内为增函数 C．当m＞1时，f（x）既存在极大值又存在极小值 D．当m＞1时，f（x）恰有3个零点x1，x2，x3，且x1x2x3＝1 三．填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13．已知曲线在点处的切线方程是，则的值为_____11_____． 14．已知等差数列的公差，且、、成等比数列，_________． 15.如果有两个零点，则实数的取值范围为 16.已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为， 5、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的倍，求这三个数． （2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数． 【解析】（1）设这三个数依次为，，， 由题意可得：，解得， 所以这三个数依次为，，． （2）设这四个数依次为，，，(公差为)， 由题意可得，解得或(舍)， 故所求的四个数依次为，，，． 18.已知函数f（x）＝2x+1﹣4lnx． （1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）求f（x）在[1，3]上的最大值与最小值． 【分析】（1）求得f′（1）＝﹣2，又f（1）＝3，可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）求导分析，可得f（x）极小值＝f（2）＝5﹣4ln2，再分别求得f（1）与f（3），比较可得答案． 【解答】解：（1）∵f（x）＝2x+1﹣4lnx（x＞0）， ∴f′（x）＝2， ∴f′（1）＝﹣2，又f（1）＝3， ∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣3＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣5＝0； （2）由f′（x），得x∈[1，2）时，f′（x）＜0，x∈（2，3]时，f′（x）＞0， ∴f（x）在[1，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增， ∴f（x）极小值＝f（2）＝5﹣4ln2，也是[1，3]上的最小值； 又f（1）＝3，f（3）＝7﹣4ln3＜7﹣4＝3， ∴f（x）在[1，3]上的最大值为3，最小值为5﹣4ln2． 19．已知数列{}的首项＝2，(n≥2，)，，. (1)证明：{+1}为等比数列； (2)设数列{}的前n项和，求证：. 【分析】 (1)利用已知条件证明为常数即可； (2)求出和通项公式，再求出通项公式，利用裂项相消法可求，判断的单调性即可求其范围. (1) ∵＝2，(n≥2，)， ∴当n≥2时，(常数)， ∴数列{＋1}是公比为3的等比数列； (2) 由(1)知，数列{＋1}是以3为首项，以3为公比的等比数列， ∴，∴， ∴ ∵，∴ ∴， ∴ ∴. 当n≥2时， ∴{}为递增数列，故的最小值为， ∴. 20.已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，求a的取值范围． 【试题来源】安徽省部分学校2021-2022学年高三上学期期末联考 【答案】（1）答案见解析，（2） 【解析】（1）函数的定义域为， ， 当时，在定义域上单调递减； 当时，， 当时，单调递减，当时，单调递增． 综上所述，时，在定义域上单调递减； 时，在上单调递减，在单调递增． （2）当时，函数，， 符合题意， 由（1）可知，当时，在定义域上单调递减， 所以，故不满足． 当时，在上单调递减，在单调递增， 要想满足，满足即可． 因为，所以即， 化简得，即，综以a的取值范围是． 21. 已知数列的前n项和为，当时，；数列中，.直线经过点． （1）求数列的通项公式和； （2）设，求数列的前n项和，并求的最大整数n． 【答案】（1）， （2），7 【解析】 【分析】（1）根据之间的递推关系，可写出。，采用和相减得方法，可求得，由题意可推得为等差数列，利用等差数列的通项公式可求得答案； （2）写出的表达式，利用错位相减法可求得数列的前n项和，进而利用数列的单调性求的最大整数n． 【小问1详解】 ∵，∴，则， ∴，即，得． 又，∴，即， 可得数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，则 ； ∵点在直线上，∴， ∴，即数列是等差数列， 又，∴； 【小问2详解】 ∵，∴， ∴， ∴， 两式相减可得： ，∴, 设， 则， 故，是单调递增的 故当时，单调递增的， 当时，；当时，， 故满足的最大整数． 22．（12分） 已知函数． （1）当时，恒成立，求b的值； （2）当，且时，恒成立，求b的取值范围． 【试题来源】湖北省十堰市2021-2022学年高三上学期元月期末 【答案】（1）1；（2）． 【解析】（1）当时，令函数， 则等价于恒成立，因为， 所以为函数的最小值点，又， 当时，，函数单调递增，显然不合题意， 当时，令，得， 当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 所以，解得，即b的值为1． （2）因为等价于， 即恒成立． 构造函数， 则等价于恒成立． 因为，所以． 令函数，，则． 显然是增函数，则，单调递增， 所以， 故， 所以，又恒成立， 所以在上单调递增， 所以当时，恒成立，即， 故b的取值范围是． 23.已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)证明：对任意正整数n，． 【分析】 (1)由，令，得，或，又的定义域为，讨论两个根及的大小关系，即可判定函数的单调性； (2)当时，在，上递减，则，即，由此能够证明． (1) 的定义域为， ， 令，得，或， ①当，即时，若，则，递增；若，则，递减； ②当，即时，若，则，递减； 若，则，递增；若，则，递减； 综上所述， 当－2＜a＜0时，f(x)在，单调递减，在单调递增； 当a≥0时，f(x)在单调递增，在单调递减. (2) 由(2)知当时，在，上递减，，即， ，，，2，3，，， ， 学科网（北京）股份有限公司 $$