精品解析：四川省南充市高坪中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题

四川省南充市高坪中学高二第二次月考数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共八个小题，每小题5分，共40分） 1. 椭圆的焦距是（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 已知点，动点满足，则动点的轨迹是（ ） A. 射线 B. 线段 C. 双曲线的一支 D. 双曲线 3. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存在 4. 从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是(　　) ． A. B. C. D. 1 5. 在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 相交或相切 D. 内切 6. 若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ） A 1 B. 2 C. D. 4 7. 空间中，两两互相垂直且有公共原点三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”．若，则向量的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，定义为，的“对称距离”．若点，在圆：上，则，的“对称距离”的最小值为（ ） A 2 B. C. D. 二、多选题（本题共三个小题，每小题6分，共18分） 9. 已知：直线，直线，直线，直线，则下列正确的是（ ） A. 对任意恒成立 B. 对任意的恒成立 C. 存在，使得成立 D. 存在，使得成立 10. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点为椭圆上一点，则（ ） A. 若，则的面积为 B. 存在点，使得 C. 的周长为 D. 使得为等腰三角形的点共有4个 11. 如图①，四边形ABCD是两个直角三角形拼接而成，，，，.现沿着BD进行翻折，使平面平面BCD，连接AC，得到三棱锥（如图②），则下列选项中正确的是（ ） A. 平面平面ACD B. 二面角的大小为60° C. 异面直线AD与BC所成角的余弦值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 三、填空题（本题共三个小题，每小题5分，共15分） 12. 若圆关于直线对称，则_________． 13. 若直线与直线平行，则直线与之间的距离为__________. 14. 设分别是椭圆的左､右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为______. 四、解答题（本题共五个小题，共77分） 15. 已知点在圆上运动，点. （1）求的最小值； （2）若为的中点，求点的轨迹方程. 16. 在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的. （1）求比赛只需打三局的概率； （2）已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率. 17. 设向量，满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）若点，设斜率为且过的直线与（1）中的轨迹交于P，Q两点，求的面积. 18. 如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且. （1）求证：； （2）求平面与平面所成角正弦值； （3）侧棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 19. 在直角坐标系中，已知直线（不同时为0），到直线的距离为，直线的法向量为；推广，在空间三维直角坐标系中，已知平面（不同时为0），到平面的距离为，平面的法向量为.已知，平面. （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）已知点在平面内，直线与平面所成角的正弦值为，求点到点距离的最小值及此时的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省南充市高坪中学高二第二次月考数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共八个小题，每小题5分，共40分） 1. 椭圆的焦距是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程，判断焦点位置，确定的值，求出值，即得. 【详解】由可得椭圆焦点在轴上， 且则， 故椭圆的焦距是. 故选：B. 2. 已知点，动点满足，则动点的轨迹是（ ） A. 射线 B. 线段 C. 双曲线的一支 D. 双曲线 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，计算A，B之间的距离，比较可得，由双曲线的定义分析可得答案. 【详解】根据题意，点，则， 若动点P满足，且， 则P的轨迹是以A，B为焦点双曲线的右支， 故选：C. 3. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】由直线倾斜角的定义，即可得到结果. 【详解】∵直线与x轴垂直，∴的倾斜角为． 故选：B 4. 从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是(　　) ． A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】解：甲，乙，丙三人中任选两名代表有种选法，甲被选中的情况有两种，所以甲被选中的概率，故选C. 5. 在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 相交或相切 D. 内切 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程为圆，再判断圆心距和半径的关系即可得解. 【详解】由，得， 则，整理得， 表示圆心为，半径为的圆， 圆的圆心为为圆心，半径， 两圆的圆心距为，满足， 所以两个圆相交. 故选：A. 6. 若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离. 【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式， 则. 根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径. 由勾股定理，当取最小值时，最小， 此时. 故选：B 7. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”．若，则向量的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设及空间向量的加减、数乘运算得，即得坐标. 【详解】由题设，，， 所以，则， 所以，其对应坐标为. 故选：D 8. 已知点，，定义为，的“对称距离”．若点，在圆：上，则，的“对称距离”的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析得到点，的“对称距离”，相当于点关于直线：的对称点与点的距离，设圆关于的对称圆为圆，转化为两圆上的点，的距离的最小值，由于两圆外离，点到的距离的最小值的两倍即为所求，得到答案. 【详解】点，的“对称距离”， 相当于点关于直线：的对称点与点的距离， 所以当点，在圆上时，点在圆关于的对称圆上， 又圆心到直的距离，所以圆与相离，从而圆与圆外离． 所以，的“对称距离”的最小值，即为两圆上的点，的距离的最小值， 也即点到的距离的最小值的两倍， 其中点到的距离最小值为圆心到直的距离减去半径，即， 所以所求最小值为． 故选：D 二、多选题（本题共三个小题，每小题6分，共18分） 9. 已知：直线，直线，直线，直线，则下列正确的是（ ） A. 对任意的恒成立 B. 对任意的恒成立 C. 存在，使得成立 D. 存在，使得成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用来判断否垂直来研究A，C选项；利用来判断平行问题，来研究B，D． 【详解】A．直线，直线， 又，，故恒成立，选项正确，符合题意； B．，， 又，故不成立，选项错误，不符合题意； C．，， 又当时，，故成立，选项正确，符合题意； D．，， 又当时，， 且，使得成立，选项正确，符合题意； 故选：ACD． 10. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点为椭圆上一点，则（ ） A. 若，则的面积为 B. 存在点，使得 C. 的周长为 D. 使得为等腰三角形的点共有4个 【答案】BC 【解析】 【分析】结合椭圆定义和余弦定理，计算焦点三角形的面积可判断A；考虑为短轴顶点时，焦点三角形的形状判断B；根据焦点三角形的周长为判断C；分情况讨论，找出使为等腰三角形的所有点可判断D． 【详解】由题意，， 对于A，当时，如图，中， 由余弦定理得， 即①， 又，即②， 联立①②可得， 所以，故A错误； 对于B，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，， 则为直角，故B正确； 对于C，的周长为，故C正确； 对于D，由椭圆的性质可知，即. 若是以为顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个； 若是以为顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个； 同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个； 故使得为等腰三角形的点共6个，故D错误． 故选：BC． 11. 如图①，四边形ABCD是两个直角三角形拼接而成，，，，.现沿着BD进行翻折，使平面平面BCD，连接AC，得到三棱锥（如图②），则下列选项中正确的是（ ） A. 平面平面ACD B. 二面角的大小为60° C. 异面直线AD与BC所成角的余弦值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，面面垂直线面垂直平面ABC平面平面ACD； B、C选项，建立空间直角坐标系，利用直线方向向量和平面法向量求解； D选项，三棱锥的外接球，寻求斜边中点（球心位置）. 【详解】A项，平面平面BCD，交线为BD，，平面ABD，所以平面BCD， 因为平面BCD，所以.又，且，所以平面ABC. 因为平面ACD，所以平面平面ACD，选项A正确. B，C选项，以B为原点，过B在平面BCD内作BD的垂线为x轴，直线BD为y轴，直线AB为z轴，建立空间直角坐标系， 则，则，. 易知平面ABD的一个法向量为.设平面ACD的法向量为， 则即取，则，则， 由图可知二面角为锐角，则二面角的余弦值为， 即二面角的大小为60°，选项B正确；，选项C正确； D项，取AD的中点N，因为与都是直角三角形，所以点N到A，B，C，D的距离相等，即为三棱锥外接球的球心， 球半径为，则三棱锥外接球的表面积为，选项D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本题共三个小题，每小题5分，共15分） 12. 若圆关于直线对称，则_________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求出并验证即得. 【详解】圆的圆心为， 依题意，点在直线上，即，解得， 此时圆，即，符合题意， 所以. 故答案为： 13. 若直线与直线平行，则直线与之间的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两直线平行求参数，根据两平行线间的距离公式可得结果. 【详解】由与平行，得，解得， 故两直线方程分别为，所以直线与之间的距离为. 故答案为：. 14. 设分别是椭圆的左､右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据椭圆定义表示，再根据勾股定理建立关系，解得离心率. 【详解】设，则， 根据椭圆定义，因此，， 又因为，所以， 即，解得， 则 则在中，， 即，所以 故答案为： 四、解答题（本题共五个小题，共77分） 15. 已知点在圆上运动，点. （1）求的最小值； （2）若为的中点，求点的轨迹方程. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）首先判断点在圆外，再根据圆外点到圆上点距离的最小值为圆外点到圆心的距离减半径求解即可； （2）通过中点建立相关关系，列方程求解轨迹方程 【小问1详解】 圆的标准方程为， 故圆心，半径. 因为，所以点在圆外. 所以的最小值为. 【小问2详解】 设. 因为为线段的中点， 所以则 因点在圆上运动， 所以， 代入得， 化简得， 所以点的轨迹方程为. 16. 在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的. （1）求比赛只需打三局的概率； （2）已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）“比赛只需打三局”可看作互斥事件“甲前三局都获胜”与“乙前三局都获胜”的和事件，可按相互独立事件积事件的概率与互斥事件和事件的概率求解即可； （2）“甲最终获胜”是互斥事件“第三局甲胜”、“第三局甲输第四局甲胜”与“第三局第四局甲均输第五局甲胜”的和事件，按相互独立事件积事件的概率与互斥事件和事件的概率求解即可； 【小问1详解】 设事件=“甲前三局都获胜”，事件=“乙前三局都获胜”， 则， ， 比赛只需打三局的概率为： . 【小问2详解】 甲需要打三局的概率为：， 甲需要打四局的概率为：， 甲需要打五局的概率为：， 则甲最终获胜概率为：. 17. 设向量，满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）若点，设斜率为且过的直线与（1）中的轨迹交于P，Q两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量模长公式，表达出，再根据椭圆定义，可推出动点轨迹； （2）根据点斜式求出直线方程，和椭圆方程联立，根据韦达定理求出两交点长度，根据点到直线距离公式可求出到直线距离，即可求出的面积. 【小问1详解】 由得， 由椭圆定义知： 点到两定点的距离之和为4，且， 所以，，所以可得 所以点的轨迹C的方程为：. 【小问2详解】 因为， 所以直线方程为， 联立方程组得， 设，则 所以 点到直线PQ的距离 所以 18. 如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且. （1）求证：； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）侧棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）结合正四棱锥的定义证明，从而利用线面垂直的判定定理可得面，由此得； （2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，再求出与平面的一个法向量为，利用向量的数量积运算即可求结论； （3）假设存在，且，由此求得，再由平面得，从而求得，由此可得的值. 【小问1详解】 连结，连结，如图，因为四棱锥是正四棱锥， 所以面，又面，所以， 在正方形中，，又面， 所以面，因为面, 所以. 【小问2详解】 （2）由（1）知两两垂直，以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则由平面几何知识易知，，， 所以， 则，， 因为，所以， 故， 设平面的一个法向量为， 则，即，令则， 故， 设平面的一个法向量为，， 则，即，令，则， 即为面的一个法向量， 设面与平面所成角为，则， 所以面与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 假设上存在点满足题意，不妨设，， 则，因为平面，所以，即，故， 所以，所以 19. 在直角坐标系中，已知直线（不同时为0），到直线的距离为，直线的法向量为；推广，在空间三维直角坐标系中，已知平面（不同时为0），到平面的距离为，平面的法向量为.已知，平面. （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）已知点在平面内，直线与平面所成角的正弦值为，求点到点距离的最小值及此时的坐标. 【答案】（1）； （2）； （3），. 【解析】 【分析】（1）根据材料结合已知条件可求出点到面的距离； （2）求出平面法向量，进而计算得线面角； （3）小问利用向量共线定理结合条件求出点的坐标，根据分析，发现动点的轨迹是圆，再次利用向量共线定理得到三点共线，由此易得距离最小值及点的坐标. 【小问1详解】 由题知； 【小问2详解】 由题意，易知点在平面内，，平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，故， 直线与平面所成角正弦值为； 【小问3详解】 过点作平面的垂线，垂足为，设，有， 存在唯一实数，使得，又， 则，， 又在平面内， ，解得， ， 由（1）知，， 又由题知，根据勾股定理可得， 点落在以为球心，为半径的球面与平面所截的圆上，即点落在以为圆心，为半径的圆上. 由（2）可知，点在以上圆上， 又∵点， ∴，，三点共线， ， 此时点的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$