易错04 一次函数与反比例函数（七大易错分析+举一反三+易错题通关）-备战2025年中考数学考试易错题（浙江专用）

易错04 一次函数与反比例函数 易错陷阱一：动点与函数图象理解错误致错 函数图象与动点问题，从函数图象中看出增减性，找到关键点和关键的数据 例题：（2024·浙江温州·一模）如图，在中，，为线段上动点，并以每秒1个单位的速度从点向点运动，到达点时停止．过点作于点，于点，连接，线段的长度与点的运动时间（秒）的函数关系如图2所示，则函数图象最低点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长、垂线段最短、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理理，矩形的性质与判断，垂线段最短，动点问题的函数图象； 如图所示，过点C作于D，连接，证明四边形是矩形，得到，故当点P与点D重合时，最小，即最小，根据函数图象得出，进而勾股定理求得，根据等面积法求得，勾股定理求得，结合题意，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点C作于D，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，即最小， 根据图2可得，在中，， ∴, ∴， ∴， ∴； ∴当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，， ∴点E的坐标为， 故选B． ( 易错警示： 动点问题的函数图象、 结合 用勾股定理解三角形、 等的 性质求 解 ) 1．（2024·浙江金华·模拟预测）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图）到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，设军车与大巴离仓库的路程为s，所用时间为t，则下列图象能正确反映上述过程的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查了函数图象，根据题意、明确两个变量之间的关系是解题的关键． 根据题意结合函数图像的实际意义逐项判断即可． 【详解】解：根据题意，函数s表示车与大巴离仓库的路程，所用时间为t， A、该图象反映随着行驶时间增大，距离仓库越来越远，不符合题意； B、军车到达仓库后停留了一段时间，函数图象没有显示出来，不符合题意； C、图象准确反映了题意，符合题意； D、图象函数一直下降，不符合题意． 故选：C． 2．（2023·江苏苏州·三模）如图1，点为矩形中边的中点，点从点出发，沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的值为（　　） A．5 B．4​ C．3 D．2 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查动点问题函数图象，根据图象分析得出的值是解题关键． 根据图象的三角形的面积可得长为，再利用矩形的性质和勾股定理列方程可求． 【详解】解：矩形中，， 当点在边上运动时，的值不变， ， 点为矩形中边的中点， ， ， 即． 当点在上运动时，逐渐减小， ， 在 中， ， ， 解得． 故选：B． 3．（2024·浙江·一模）A，B两地相距，甲货车从A地以的速度匀速前往B地，到达B地后停止．在甲货车出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的路程与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示．则下列说法错误的是（   ） A．两货车2.4小时相遇 B．两货车相遇时，甲货车比乙货车少行驶 C．乙货车的速度为 D．乙货车到达A地时，甲货车距离B地 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 由乙货车4小时到达地，可知乙货车速度为，判断C正确；由路程除以两车的速度和列式计算可得两货车2．4小时相遇，判断A正确；由时间乘以两车的速度差可得，两货车相遇时，甲货车比乙货车少行驶，判断B正确；根据，知乙货车到达地时，甲货车距离地，判断D错误． 【详解】解：由图可知，乙货车4小时到达地， ∴乙货车速度为，故C正确，不符合题意； ， ∴两货车2.4小时相遇，故A正确，不符合题意； ， ∴两货车相遇时，甲货车比乙货车少行驶，故B正确，不符合题意； ， ∴乙货车到达地时，甲货车距离地，故D错误，符合题意； 故选：D． 易错陷阱二、一次函数图象与性质理解错误致错 一次（正比例）函数的图象与性质 1）一次函数图象是一条直线； 2）已知两点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； 4）过象限、增减性 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 易错总结：一次函数图象与性质理解要透彻 例题：（2024·浙江杭州·一模）小明在平面直角坐标系内画了一个一次函数的图象，图象特点如下： ①图象过点 ②图象与轴的交点在轴下方 ③随的增大而减小 符合该图象特点的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，把点代入四个函数解析式中可知A、C、D中的函数都不经过点，而B中的函数图象经过点，再由B中一次项系数小于0，常数数小于0可知其满足②③的条件，据此可得答案． 【详解】解：A、在中，当时，，则函数不经过点，不符合题意； B、在中，当时，，则函数经过点，且该函数与轴的交点在轴下方 ，随的增大而减小，符合题意； C、在中，当时，，则函数不经过点，不符合题意； D、在中，当时，，则函数不经过点，不符合题意； 故选：B． ( 易错警示： 一次函数的增减性、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数自变量或函数值 ) 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知一次函数（m为实数），当时，，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数的定义及图象与性质，一元一次不等式的解法，根据，，得出，即可求出m的取值范围． 【详解】解：当时，， 解得：， 时，， ， ， 故答案为：． 2．（2023·浙江湖州·模拟预测）已知一次函数的图象经过点， (1)求和的值 (2)若，是该函数图象上的两点，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质； （1）根据待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得：； （2）由（1）可得， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴． 3．（2024·浙江·模拟预测）已知点，在一次函数的图像上． (1)用含有，，，的代数式表示的值． (2)若，，．试比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】比较一次函数值的大小、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数的性质以及一次函数图像上点的坐标特征， （1）由一次函数图像上点的坐标特征即可得出、，二者做差即可得出，再结合即可求出值； （2）由，，即可得出，用函数的代数式表示出值，根据的取值范围即可得出，结合一次函数的增减性及即可得出结论； 解题的关键是：（1）找出；（2）根据的取值范围找出． 【详解】（1）解：∵点，在一次函数的图像上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵ 又∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴一次函数中随的增大而减小． 又∵， ∴． 易错陷阱三、一次函数和方程组、不等式的关系 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 例题：（2024·浙江杭州·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（    ）      A．当时， B．当时，， C． D．关于，的方程组的解为 【答案】C 【知识点】图象法解二元一次方程组、求一次函数自变量或函数值、根据两条直线的交点求不等式的解集、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与方程、不等式的关系，解题的关键是根据一次函数与方程、不等式的关系并利用数形结合思想进行分析即可． 【详解】解：A．由图象得：当时，，故此选项不符合题意； B．由图象得：当时，，，故此选项不符合题意； C．由图象得：一次函数与的图像交于点， ∴，， ∴， ∴，故此选项符合题意； D．由图象得：关于，的方程组的解为，故此选项不符合题意． 故选：C． ( 易错警示： 一次函数与方程、不等式的关系，解题的关键是根据一次函数与方程、不等式的关系并利用数形结合思想进行分析 ) 1．（2024·浙江温州·三模）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合思想求解是解答的关键． 根据图象得到与x轴的交点，求得图象上位于x轴下方的点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴不等式的解集是， 故选：B． 2．（2024·浙江杭州·一模）已知一次函数与(，是常数）的图象的交点横坐标是，则方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【详解】解：一次函数与，是常数）的图象的交点横坐标是， ， 一次函数与，是常数）的图象的交点坐标是， 方程组的解． 故答案为：． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与轴交于点，连结，的面积为3． (1)求反比例函数的表达式． (2)当时，根据图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）先求出一次函数解析式，根据面积求出长点的点的横坐标，根据横坐标和一次函数解析式求出点纵坐标，即可得到反比例函数解析式； （2）根据两个函数的交点坐标和函数图象，直接写出不等式解集即可． 【详解】（1）在直线的图象上， 一次函数解析式为，， 如图，作轴，垂足为点， ， ， ， 点的横坐标为， 在直线中，令得，， 点的坐标为，且在反比例函数图象上， 反比例函数的表达式为：； （2）解：根据图象可知，当时，． 易错陷阱四、反比例函数的图象和性质理解错误致错 反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 例题：（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． ( 易错警示： 反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数 ，可知函数位于第一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出 与 的大小 ) 1．（2025·浙江温州·模拟预测）反比例函数的图象上有，两点，下列正确的选项是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于第一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数位于第一、三象限，随的增大而减小， ∴时，， 解得：， 即当，； 时，， 解得：， 即当，， 所以结合选项可知：符合题意， 故选：． 2．（2024·浙江杭州·二模）借助描点法可以帮助我们探索函数的性质，某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下结论：①当时，存在最小值；②当时，随的增大而增大；③当时，自变量的取值范围是；④若点在的图像上，则点也必定在的图像上．其中正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】题目主要考查反比例函数的图象及反比例函数的性质，根据题意描点画出函数大致草图，连线过程需注意图象走势并结合完全平方公式得出其最值，最后根据图象和取点算法大致分析其性质作进一步判断即可． 【详解】解：∵， x ．．． 0 1 3 ．．． y ．．． 5 4 5 ．．． ．．． ．．． 随着描点的数量不断增加，其草图如下， 令， 当时，即时，， 当且仅当，即，，故①正确，符合题意； 同理，结合图象得，当时，，即在时，y存在最大值，此时结合草图分析得：当时，随的增大而增大，故②正确，符合题意； 由草图可知，当时，或，故③错误，不符合题意； 由描点可知，其图形关于对称，即当时，，， 则有，． 故④正确，符合题意． 故答案为：①②④． 3．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知一次函数的图像与轴交于点，与函数的图象交于点． (1)若点坐标为． ①求和的值． ②当时，比较和的大小． (2)若点在的图像上，点先向下平移个单位，再向左平移个单位，得到点，点恰好落在的图像上，求的值． 【答案】(1)，； (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的相关知识是解决本题的关键． （1）将点代入可求，将代入可求；求出两个函数的交点，根据图像可得结果； （2）写出点的坐标，将、两点分别代入即可． 【详解】（1）解：将点代入，得：， ， 一次函数为：， 将代入得：， ， 将代入得；， 当时，解得：，， 由图像可知：当时，，    （2）由题意可知， 、都在上， ， 解得：． 易错陷阱五、反比例函数系数k的几何意义问题 这类问题通常是由几何图形的面积求k，所以，重点掌握对应几何图形的面积的转化是解这类题的关键，如： 例题：（2025·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数   的图象上，延 长交x轴于C点，且，D是第二象限一点，且，若的面积是15， 则k的值为（  ） A．8 B．10 C．11.5 D．13 【答案】B 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查的是反比例函数的的几何意义，过作轴于，过作轴于，连接，证明，可得，设，而，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：过作轴于，过作轴于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，而， ∴的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：B ( 易错警示： 反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 ) 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知点 A ，B分别在反比例函数与的图象上，且．若，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．过点A作轴，过B作轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形与三角形相似，由A、B分别在反比例函数与的图象上，利用反比例函数k的几何意义求出三角形与三角形面积，进而得到面积之比，利用面积比等于相似比的平方确定出相似比，即为与之比，设出，，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出与的长，即可求出三角形的面积． 【详解】解：过点A作轴，过B作轴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵点A，B分别在反比例函数与图象上， ∴，，即， ∴， 在中，设，则， ， 根据勾股定理得：，即， 解得：（负值舍去）， ∴， 则． 故答案为：． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，点A，B在反比例函数的图象上，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，线段交x轴于点E，连接．若，四边形的面积为9，则k的值为 ． 【答案】4 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，设，结合点A，B在反比例函数的图象上，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，得出，结合四边形的面积为9，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设， ∵点A，B在反比例函数的图象上，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D， ∴ ∵四边形的面积为9 ∴ 即 解得 故答案为：4 3．（2024·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，函数的图象经过线段的中点D，交于点C，连接．若的面积为12，则 ；的面积为 ．    【答案】 12 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查的是反比例函数与几何综合，设，可得，，再结合三角形的面积可得的值，如图，过作轴于，设，，则由中点含义可得：，再结合面积列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵轴于点B，的中点为D， ∴， ∴， ∵的面积为12， ∴， ∴， 如图，过作轴于，    设，， 则由中点含义可得：， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：， 易错陷阱六、反比例函数与一次函数综合问题 1．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 例题：（2024·浙江台州·模拟预测）设函数，函数，且都经过点． (1)求出m的值及的函数表达式； (2)点在函数上，在函数上，若，求a的取值范围． 【答案】(1)m的值为4，的函数表达式为 (2)a的取值范围为或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将代入反比例函数解析式求出的值，再代入一次函数解析式求出的值即可； （2）结合图象解答即可． 【详解】（1）解：将代入中，得， 将代入中得：， 解得：， ∴的函数表达式为； （2）解：联立，解得：，， ∴，， 画出函数图象如图所示： , 由图象可得：若，a的取值范围为或． ( 易错警示： 根据两条直线的交点求不等式的解集、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 ) 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与轴交于点，连结，的面积为3． (1)求反比例函数的表达式． (2)当时，根据图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）先求出一次函数解析式，根据面积求出长点的点的横坐标，根据横坐标和一次函数解析式求出点纵坐标，即可得到反比例函数解析式； （2）根据两个函数的交点坐标和函数图象，直接写出不等式解集即可． 【详解】（1）在直线的图象上， 一次函数解析式为，， 如图，作轴，垂足为点， ， ， ， 点的横坐标为， 在直线中，令得，， 点的坐标为，且在反比例函数图象上， 反比例函数的表达式为：； （2）解：根据图象可知，当时，． 2．（2024·浙江·模拟预测）如图所示，直线与双曲线交于，两点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)请结合上述两个函数的图象，请直接写出的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （1）将点代入直线得，确定，将代入反比例函数解析式确定即可； （2）令 中，得，确定，联立解析式求出点，进而求出的面积； （3）根据图象直接判断即可． 【详解】（1）将点代入 得， ， 将代入， ； （2）令 中，得， ， 解方程组， 得或， ， ； （3）即为， 根据图象得或． 3．（2023·浙江杭州·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数，（a，b，k是常数，，）的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，．（O是坐标原点）    (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)直接写出当时x的取值范围； (3)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？ 【答案】(1)； (2)或 (3)1或9个 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法确定函数关系式、利用函数图象解不等式、函数图象平移及图象交点与一元二次方程解得情况等知识点是解决问题的关键． （1）根据题意，由待定系数法确定函数关系式直接代入点列方程及方程组求解即可得到答案； （2）根据图象即可求解； （3）根据函数图象平移，设直线向下平移n个单位长度，此时直线对应的表达式为，联立方程组，消去y整理得，结合图象只有一个交点，确定只有一个解，即，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）把代入是常数，，，得， ∴反比例函数的解析式为， 把代入，得， ∴， 把，坐标分别代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）由图可知，当时x的取值范围为：或； （3）设直线向下平移n个单位长度，此时直线对应的表达式为， 联立方程组得， 消去y得， 整理得， ∵由于直线与反比例函数图象只有一个交点， ∴，即，解得，， ∴将直线向下平移1或9个单位长度，直线与反比例图象只有一个交点． 易错陷阱七、反比例函数与几何图形综合问题 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 例题：（2024·浙江台州·二模）如图，点A是反比例函数上一动点，点的坐标为，过点作轴，垂足为点，以、为边作矩形，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，在点运动的过程中，点的对应点坐标为，则与满足的关系式为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，旋转的性质，由点坐标为，点的坐标为，得出，，根据旋转的性质得到，，进一步得到，于是得到，于是得到，即． 【详解】解：点坐标为，点的坐标为， 则，， 矩形绕点顺时针旋转得到矩形， ，， ， ， 在此反比例函数图象上， ， ． 故答案为：． ( 易错警示： 反比例函数与几何综合、利用平行四边形 、 特殊的平行四边形 的性质求解 ) 1．（2024·浙江舟山·三模）如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为， 以为一边向上作，对角线与相交于点P，若点C和点P同时在反比例函数图象上，则点B的坐标为 ．    【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，设点B的坐标为，得到点P的坐标为，点C的坐标是，根据点C和点P同时在反比例函数图象上得到关于m、n的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设点B的坐标为， ∵四边形是平行四边形，A点的坐标为，O点的坐标为， ∴点P是、的中点， ∴点P的坐标为，即， ∴点C的坐标是 ∵点C和点P同时在反比例函数图象上， ∴， 解得， ∴点B的坐标为 故答案为：． 2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图，四个边长均为1的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，其中一个顶点在反比例函数的图像上，则k的值为 ． 【答案】6 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键． 过点P作轴于点E，依题意得：，，，，进而根据勾股定理求得，证明，得到，求出，， 同理可得，得到，求得，，进而，因此点P的坐标为，将点P坐标代入函数中即可求出k的值． 【详解】解：过点P作轴于点E， 如图所示：    依题意得：，，，， 在中 ，， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， 同理可证：， ∴，即 ∴，， ∴， ∴点P的坐标为， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：6． 3．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线与x 轴相交于点C，与y 轴相交于点 D，以 为边作矩形， 点 A 在x 轴上，反比例函数的图象过点B，与直线 相交于点E， 求： (1)k 的值， (2)E 点坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据一次函数解析式可得点的坐标，根据勾股定理可得的长，根据矩形的性质可得，可求出点的值，作轴，根据平行线的性质，全等三角形的判定和性质可得，即可得点的坐标，由此即可求解； （2）联立一次函数与反比例函数的解析式，求二元一次方程组的解即可． 【详解】（1）解：在一次函数中，令，则；令，则； ∴，则， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴反比例函数中； （2）解：由（1）可得反比例函数， ∴联立方程组得，， 解得，或， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握矩形的性质，一次函数与反比例函数交点与解二元一次方程组，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 一、单选题 1．（2024·浙江·模拟预测）一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了判断一次函数经过的象限，由一次函数解析式得出，，从而得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴一次函数的图象不经过第三象限， 故选：C． 2．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，双曲线与直线相交于A，B两点，将直线向上平移1个单位长度，所得的直线在第一象限内交双曲线于点C，则点C的横坐标是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数与反比例函数的交点问题、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数的图象的交点问题，一次函数图象的平移，根据平移规则，得到新的直线的解析式为，联立直线与双曲线的解析式，求出点的横坐标即可． 【详解】解：将直线向上平移1个单位长度，得到新直线， 联立，得：， 解得：， ∵点在第一象限， ∴点C的横坐标是1； 故选C． 3．（2024·广东深圳·二模）在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．随x的增大而减小 B． C．当时， D．方程组的解为 【答案】C 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图可知，随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； B、由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故选项B正确，不符合题意； C、把代入得，解得，故与的交点为，由图象可知：当时，，故选项C错误，符合题意； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 4．（2023·浙江宁波·一模）如图所示，满足函数和的大致图象是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】B 【知识点】判断一次函数的图象、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限． 分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可． 【详解】解：， 函数过点， 故不合题意； 当时，函数过第一、三、四象限，函数在一、三象限； 当时，函数过第一、二、四象限，函数在二、四象限； 故符合题意； 故选：． 5．（2024·浙江嘉兴·一模）如图1，在矩形中，点E在上，连接，过点D作于点F．设，已知x，y满足反比例函数，其图像如图2所示，则矩形的面积为（    ）． A． B．9 C．10 D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、动点问题的函数图象 【分析】本题主要考查了矩形的动点问题、勾股定理等知识点，正确从函数图像上获取信息成为解题的关键． 由图可知，当与点B重合时，最小，与重合，此时，；当与点C重合时，最大，与重合，根据，矩形的面积，据此列方程求解即可． 【详解】解：如图：连接． 由函数图像可知：，，，到的距离等于2． ∵，矩形的面积， ∴，解得：（负数已经舍去） ∴矩形的面积为， 故选C． 二、填空题 6．（2024·浙江·三模）若正比例函数的图象与反比例函数 的图象交于点，则的值为 ． 【答案】10 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的对称性，待定系数法求解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据反比例函数的对称性求得，，继而可求和． 【详解】解：反比例函数的图象是关于原点为对称中心的中心对称图形， 点与关于原点对称， ，， ，， 正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， ，， ． 故答案为：10． 7．（2024·浙江·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．点P是y轴上的点，若的面积是10，则点P的坐标是 ． 【答案】或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． 先利用待定系数法求出两个函数解析式，再根据三角形面积的计算公式列出含有绝对值的方程求出值即可得到点坐标． 【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． ， ， ， ∵一次函数的图象过两点， ，解得， 直线解析式为：， 设直线与轴交于点，则， 设点坐标为，则有：， 即， 解得或． 或． 故答案为：或 8．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，O是原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求角的正弦值、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，两点间距离公式，求三角函数值，先根据一次函数解析式，求出点A、B的坐标，然后根据勾股定理求出，最后根据三角函数定义求出结果即可． 【详解】解：将代入直线函数解析式得，， ∴点B坐标为， 将代入直线函数解析式得， ， 解得：， ∴点A坐标为， 函数图象如图所示， 在中，， ∴． 故答案为：． 9．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，边与x轴重合，，C是边上一点，，若反比例函数的图象同时经过点B和点C，则点C的坐标为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．过点B和点C，作轴的垂线，求得点B的坐标为，即，设点C的坐标为，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：过点B和点C，作轴的垂线，垂足分别为， ∴， ∵， ∴， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴点B的坐标为， ∴， 设点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 10．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，坐标平面内正方形的顶点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，过正方形内一点P分别作轴，轴，点E，F，D，G在正方形的边上，且有，过点P的反比例函数与交于点H．若，连结，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】35 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，正方形与矩形的判定与性质，设，求出正方形的边长，再证明四边形是正方形，四边形是矩形，设则得出点，得到，根据图中阴影部分的面积为可得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ 设， ∵， ∴ ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴ ∵轴，轴，且， ∴四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，， 设则， ∴点， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴图中阴影部分的面积为 ， 故答案为：35． 三、解答题 11．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，已知点的纵坐标为3． (1)求一次函数的表达式和B点坐标； (2)已知点在一次函数上，点在反比例函数上，若，观察图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出一次函数解析式，再联立方程组即可求解； （2）根据图象和题意直接写出解集即可． 【详解】（1）解：∵点A的纵坐标为3，且A在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， ∴， ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为：． 联立方程组， 解得，或， ∵ ∴； （2）解：∵点在一次函数上，点在反比例函数上，且， 由两个函数图象m的取值范围为：或． 12．（2024·浙江金华·二模）如图，菱形的边在轴上，点，反比例函数的图象经过菱形两条对角线，的交点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)将菱形向左平移，当点B落在反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】(1)； (2)6． 【知识点】求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用平移的性质求解 【分析】（1）延长交轴于点，交反比例函数于点，根据勾股定理求出的长，再由菱形的性质得出的长，进而得出点坐标，利用中点坐标公式得出点坐标，代入反比例函数解析式求出的值即可； （2）根据点，，得出点坐标，再求出点的坐标，求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，延长交轴于点，交反比例函数于点，   菱形的边在轴上，点， ， ， ， ∵四边形是菱形， ∴， ，即， 反比例函数的图象经过菱形两条对角线，的交点， ， 反比例函数的解析式为：； （2）解：如图：   点，，， ， 反比例函数的解析式为， ， 解得， ， ， 当点落在反比例函数的图象上时，平移的距离是6． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求反比例函数的解析式，菱形的性质，平移的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 13．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为， (1)求直线的函数表达式． (2)点D是x轴上一动点，连接，当的面积是面积的时，求点D的坐标． (3)点E坐标为连接，点P为直线上一点，若，求点P坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先求得，再结合点C的坐标，运用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而得到的面积为6，如图：设D的坐标为，则，然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）由题意可得：，如图：过C作且，，再证明可得，即，即；再求出直线的解析式为，再与直线即可确定点P的坐标； 如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为，再求出直线的解析式为，再与直线即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：∵直线 交x轴于点A，交y轴于点B， ∴， ∵点C 的坐标为， ∴设直线的函数表达式为， 则，解得：， ∴直线的函数表达式为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 如图：设D的坐标为，则， 则，解得：或4． ∴点D的坐标为或． （3）解：∵，， ∴，， 如图：过C作且， ∴是等腰三角形，即, 过G作轴，垂足为D， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴直线与直线的交点即为所求点P； 如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴直线与直线的交点即为所求点P． 综上，点P的坐标为或． 14．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点．    (1)已知点的坐标为，求： 一次函数和反比例函数的解析式；   在轴上取一点，当的面积为时，求点的坐标； (2)过点作轴于点，点为中点，线段交轴于点，连结．若的面积为，求的值． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为； 的坐标为或； (2)． 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】（）把代入一次函数的图象与反比例函数即可求解； 根据三角形面积求得的长，然后由直线的解析式求得的坐标，即可求得的坐标； （）由一次函数，可得，，得出是等腰直角三角形，设，则，进一步得出是等腰直角三角形，则，由的面积为，即可求解； 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积求法，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于， ∴，， ∴，， ∴一次函数解析式为，反比例函数解析式为； ∵，的面积为， ∴， ∴， ∴， 由直线得，， ∴的坐标为或； （2）∵一次函数， ∴，， ∵轴于点， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于， ∴设，则， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵的面积为， ∴ 即， ∴． ( 19 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错04 一次函数与反比例函数 易错陷阱一：动点与函数图象理解错误致错 函数图象与动点问题，从函数图象中看出增减性，找到关键点和关键的数据 例题：（2024·浙江温州·一模）如图，在中，，为线段上动点，并以每秒1个单位的速度从点向点运动，到达点时停止．过点作于点，于点，连接，线段的长度与点的运动时间（秒）的函数关系如图2所示，则函数图象最低点的坐标为（    ） A． B． C． D． ( 易错警示： 动点问题的函数图象、 结合 用勾股定理解三角形、 等的 性质求 解 ) 1．（2024·浙江金华·模拟预测）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图）到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，设军车与大巴离仓库的路程为s，所用时间为t，则下列图象能正确反映上述过程的是（    ） A．B． C． D． 2．（2023·江苏苏州·三模）如图1，点为矩形中边的中点，点从点出发，沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的值为（　　） A．5 B．4​ C．3 D．2 3．（2024·浙江·一模）A，B两地相距，甲货车从A地以的速度匀速前往B地，到达B地后停止．在甲货车出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的路程与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示．则下列说法错误的是（   ） A．两货车2.4小时相遇 B．两货车相遇时，甲货车比乙货车少行驶 C．乙货车的速度为 D．乙货车到达A地时，甲货车距离B地 易错陷阱二、一次函数图象与性质理解错误致错 一次（正比例）函数的图象与性质 1）一次函数图象是一条直线； 2）已知两点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； 4）过象限、增减性 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 易错总结：一次函数图象与性质理解要透彻 例题：（2024·浙江杭州·一模）小明在平面直角坐标系内画了一个一次函数的图象，图象特点如下： ①图象过点 ②图象与轴的交点在轴下方 ③随的增大而减小 符合该图象特点的函数关系式为（   ） A． B． C． D． ( 易错警示： 一次函数的增减性、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数自变量或函数值 ) 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知一次函数（m为实数），当时，，则m的取值范围是 ． 2．（2023·浙江湖州·模拟预测）已知一次函数的图象经过点， (1)求和的值 (2)若，是该函数图象上的两点，试比较与的大小． 3．（2024·浙江·模拟预测）已知点，在一次函数的图像上． (1)用含有，，，的代数式表示的值． (2)若，，．试比较和的大小，并说明理由． 易错陷阱三、一次函数和方程组、不等式的关系 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 例题：（2024·浙江杭州·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（    ）      A．当时， B．当时，， C． D．关于，的方程组的解为 ( 易错警示： 一次函数与方程、不等式的关系，解题的关键是根据一次函数与方程、不等式的关系并利用数形结合思想进行分析 ) 1．（2024·浙江温州·三模）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·浙江杭州·一模）已知一次函数与(，是常数）的图象的交点横坐标是，则方程组的解是 ． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与轴交于点，连结，的面积为3． (1)求反比例函数的表达式． (2)当时，根据图象直接写出的取值范围． 易错陷阱四、反比例函数的图象和性质理解错误致错 反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 例题：（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， ( 易错警示： 反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数 ，可知函数位于第一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出 与 的大小 ) 1．（2025·浙江温州·模拟预测）反比例函数的图象上有，两点，下列正确的选项是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（2024·浙江杭州·二模）借助描点法可以帮助我们探索函数的性质，某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下结论：①当时，存在最小值；②当时，随的增大而增大；③当时，自变量的取值范围是；④若点在的图像上，则点也必定在的图像上．其中正确结论的序号有 ． x ．．． 0 1 3 ．．． y ．．． 5 4 5 ．．． ．．． ．．． 3．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知一次函数的图像与轴交于点，与函数的图象交于点． (1)若点坐标为． ①求和的值． ②当时，比较和的大小． (2)若点在的图像上，点先向下平移个单位，再向左平移个单位，得到点，点恰好落在的图像上，求的值． 易错陷阱五、反比例函数系数k的几何意义问题 这类问题通常是由几何图形的面积求k，所以，重点掌握对应几何图形的面积的转化是解这类题的关键，如： 例题：（2025·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数   的图象上，延 长交x轴于C点，且，D是第二象限一点，且，若的面积是15， 则k的值为（  ） A．8 B．10 C．11.5 D．13 ( 易错警示： 反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 ) 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知点 A ，B分别在反比例函数与的图象上，且．若，则的面积为 ． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，点A，B在反比例函数的图象上，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，线段交x轴于点E，连接．若，四边形的面积为9，则k的值为 ． 3．（2024·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，函数的图象经过线段的中点D，交于点C，连接．若的面积为12，则 ；的面积为 ．    易错陷阱六、反比例函数与一次函数综合问题 1．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 例题：（2024·浙江台州·模拟预测）设函数，函数，且都经过点． (1)求出m的值及的函数表达式； (2)点在函数上，在函数上，若，求a的取值范围． ( 易错警示： 根据两条直线的交点求不等式的解集、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 ) 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与轴交于点，连结，的面积为3． (1)求反比例函数的表达式． (2)当时，根据图象直接写出的取值范围． 2．（2024·浙江·模拟预测）如图所示，直线与双曲线交于，两点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)请结合上述两个函数的图象，请直接写出的解集． 3．（2023·浙江杭州·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数，（a，b，k是常数，，）的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，．（O是坐标原点）    (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)直接写出当时x的取值范围； (3)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？ 易错陷阱七、反比例函数与几何图形综合问题 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 例题：（2024·浙江台州·二模）如图，点A是反比例函数上一动点，点的坐标为，过点作轴，垂足为点，以、为边作矩形，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，在点运动的过程中，点的对应点坐标为，则与满足的关系式为 ． ( 易错警示： 反比例函数与几何综合、利用平行四边形 、 特殊的平行四边形 的性质求解 ) 1．（2024·浙江舟山·三模）如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为， 以为一边向上作，对角线与相交于点P，若点C和点P同时在反比例函数图象上，则点B的坐标为 ．    2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图，四个边长均为1的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，其中一个顶点在反比例函数的图像上，则k的值为 ． 3．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线与x 轴相交于点C，与y 轴相交于点 D，以 为边作矩形， 点 A 在x 轴上，反比例函数的图象过点B，与直线 相交于点E， 求： (1)k 的值， (2)E 点坐标． 一、单选题 1．（2024·浙江·模拟预测）一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，双曲线与直线相交于A，B两点，将直线向上平移1个单位长度，所得的直线在第一象限内交双曲线于点C，则点C的横坐标是（    ） A． B． C．1 D． 3．（2024·广东深圳·二模）在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．随x的增大而减小 B． C．当时， D．方程组的解为 4．（2023·浙江宁波·一模）如图所示，满足函数和的大致图象是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 5．（2024·浙江嘉兴·一模）如图1，在矩形中，点E在上，连接，过点D作于点F．设，已知x，y满足反比例函数，其图像如图2所示，则矩形的面积为（    ）． A． B．9 C．10 D． 二、填空题 6．（2024·浙江·三模）若正比例函数的图象与反比例函数 的图象交于点，则的值为 ． 7．（2024·浙江·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．点P是y轴上的点，若的面积是10，则点P的坐标是 ． 8．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，O是原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，则的值为 ． 9．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，边与x轴重合，，C是边上一点，，若反比例函数的图象同时经过点B和点C，则点C的坐标为 ． 10．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，坐标平面内正方形的顶点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，过正方形内一点P分别作轴，轴，点E，F，D，G在正方形的边上，且有，过点P的反比例函数与交于点H．若，连结，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 11．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，已知点的纵坐标为3． (1)求一次函数的表达式和B点坐标； (2)已知点在一次函数上，点在反比例函数上，若，观察图象，直接写出的取值范围． 12．（2024·浙江金华·二模）如图，菱形的边在轴上，点，反比例函数的图象经过菱形两条对角线，的交点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)将菱形向左平移，当点B落在反比例函数的图象上时，求平移的距离． 13．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为， (1)求直线的函数表达式． (2)点D是x轴上一动点，连接，当的面积是面积的时，求点D的坐标． (3)点E坐标为连接，点P为直线上一点，若，求点P坐标． 14．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点．    (1)已知点的坐标为，求： 一次函数和反比例函数的解析式；   在轴上取一点，当的面积为时，求点的坐标； (2)过点作轴于点，点为中点，线段交轴于点，连结．若的面积为，求的值． ( 19 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$