精品解析：江西省景德镇市乐平市第三中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度高二数学月考卷 第I卷（选择题） 一､单选题（共40分） 1. 5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间x 1 2 3 4 5 销售量y (千只) 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若x与y线性相关，且线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 由题中数据可知，变量y与x正相关，且相关系数 B. 当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加个单位 C. 线性回归方程中 D. 可以预测时， 该商场5G手机销量约为1.72 (千只) 2. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（ ） A. B. C. D. 3. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 132 B. 88 C. 44 D. 33 5. 从1，2，……，10中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等差数列的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对与的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（ ） 第个月 1 2 3 繁殖数量 A. 百只 B. 百只 C. 百只 D. 百只 8. 设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（ ） A. 与B相互独立 B. C. D. 二､多选题（共18分） 9. 下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ） A. 线性回归方程至少经过点中的一个点 B. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 C. 若设直线回归方程为，则当变量增加1个单位时，平均增加2个单位 D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是. 10. 甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（ ） A. 若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为 B. 若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为 C. 若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大 D. 若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大 11. 随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三､填空题（共15分） 12. 如图所示网格中，要从点出发沿实线走到点，距离最短的走法中，经过点的概率为__________. 13. 已知,分别是等差数列的前项和，且，则________ 14. 已知数列的前n项和为，且，设函数，则______． 四､解答题（共77分） 15. 为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了部分高一学生进行调查，得到了他们的日平均阅读时长（单位：时），将全部样本数据分成九组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）从该地区的高一学生中随机抽取1人，估计其日平均阅读时长在内的概率； （2）为进一步了解高一学生电子书阅读时间和纸质书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时长在，，三组内的学生中，按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记日平均阅读时长在内的学生人数为，求的分布列和期望； （3）以样本的频率估计总体的概率，从该地区的高一学生中随机抽取21名学生，用表示这21名学生中恰有名学生日平均阅读时长在内的概率，其中，当最大时，求的值． 16. 已知正项数列的前n项和为，且满足． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 17. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值； （2）从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望； （3）将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值． （附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） 18. 已知数列为等差数列，． （1）求数列的通项公式． （2）若，求数列的前n项和． 19. 第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落下帷幕．在这场盛大的亚洲冰雪盛会中，奖牌榜见证了各国运动员的荣耀与拼搏．中国队以32金27银26铜，总计85枚奖牌的傲人成绩，强势登顶奖牌榜，成为最大赢家．这一成绩不仅创造了中国队亚冬会历史最佳，更是追平了单届金牌数纪录，书写了中国冰雪运动的崭新篇章．冰球深受广大球迷的喜爱，每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支冰球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某阶段所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 38 45 未上场 3 合计 40 （1）完成列联表，并判断根据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关联？ （2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.9，0.5． （ⅰ）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率； （ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率． 附：． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.741 5.024 6.635 10.728 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高二数学月考卷 第I卷（选择题） 一､单选题（共40分） 1. 5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间x 1 2 3 4 5 销售量y (千只) 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若x与y线性相关，且线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 由题中数据可知，变量y与x正相关，且相关系数 B. 当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加个单位 C. 线性回归方程中 D. 可以预测时， 该商场5G手机销量约为1.72 (千只) 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知数据，分析总体单调性，结合增量的变化判断A选项；根据已知数据得到样本中心点，代入回归方程求解即可判断C选项；根据回归方程判断BD选项. 【详解】从数据看，随的增加而增加，故变量与正相关，由于各增量并不相等，故相关系数，故A错误； 根据线性回归方程，可得每增加一个单位时，预报变量平均增加0.24个单位，故B错误； 由已知数据得，，代入中得到，故C错； 将代入中得到，故D正确. 故选：D. 2. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布求得特定区间的概率，在的概率为，则，从而求得期望，方差及概率. 【详解】由，则， 则，故A错误； 在的概率为，则， 则，故C正确； ，故D错误； ，故B错误. 故选：C. 3. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列的性质得，再由期望的求法列方程求得，最后结合期望的性质、方差公式及概率的性质判断各项的正误. 【详解】由题设，则，A对； 由，则，联立， 所以，则，D错； ，B对； ，C对. 故选：D 4. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 132 B. 88 C. 44 D. 33 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式以及通项公式列出关于首项和公差的方程，求出与，再利用前项和公式求出. 【详解】根据是等差数列的前项和，由等差数列前项和公式可得.所以，化简可得.  ，即.得.  将代入中，解得. 将代入，可得. 可得： 故选：C. 5. 从1，2，……，10中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等差数列的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设取出的3个不同的数分别为a、b、c，结合等差数列的性质分析可知故a、c同为奇数或同为偶数，且a与c确定后，b随之而定，利用古典概型的概率公式求解可得答案. 【详解】设取出的3个不同的数分别为a、b、c， 不同的取法共有种， 若这3个数构成等差数列，则有. 故a、c同为奇数或同为偶数，且a与c确定后，b随之而定. 从而所求概率为. 故选：D． 6. 已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数列单调递增得到分段函数单调递增，然后建立不等式组，解得的取值范围. 【详解】由，数列是递增数列， 得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C 7. 下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对与的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（ ） 第个月 1 2 3 繁殖数量 A. 百只 B. 百只 C. 百只 D. 百只 【答案】D 【解析】 【分析】将回归模型两边取自然对数，并令，由此构建一个与的回归直线模型，根据回归直线必过中心点，可求出a值，利用所得回归模型进行预测. 【详解】由题意，两边取自然对数得， 令，则， ，， ∵回归直线必过样本点的中心，∴， 得，∴，则， 当时，． 故选：D. 8. 设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（ ） A. 与B相互独立 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】AC选项，求出各个事件的概率，得到，，A错误，C正确；BD选项，由条件概率公式进行求解. 【详解】AC选项，由题意得，， ，， ，， 故，C正确； 由于，故， 故与B不互相独立，A错误； B选项，由条件概率得，B错误； D选项，，D错误； 故选：C 二､多选题（共18分） 9. 下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ） A. 线性回归方程至少经过点中的一个点 B. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 C. 若设直线回归方程为，则当变量增加1个单位时，平均增加2个单位 D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用回归直线的性质即可判断选项A，C，利用线性相关系数的性质即可判断选项B，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D. 【详解】对于A，直线由点拟合而成，可以不经过任何样本点，A错； 对于B，相关系数的绝对值越接近于，表示相关性越强，越接近于，相关性越弱，B正确； 对于C，回归直线方程为，变量x增加1个单位时，平均增加2个单位，故C正确； 对于D，样本点的中心为，所以，， 因为满足线性回归方程，所以，所以，D正确. 故选： BCD. 10. 甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（ ） A. 若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为 B. 若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为 C. 若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大 D. 若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二项分布及相互独立事件的概率计算公式逐项求解判断A、B、C，由二项分布及条件概率计算公式求解判断D. 【详解】对于A：若采用3局2胜制，可将比赛看作赛满3局处理，甲获胜则需在3局获胜2局或3局都胜， 其概率为，A正确； 对于B：若采用5局3胜制，甲以获胜则需在第4局比赛中获胜，且在前3局比赛中获胜2局， 其概率为，B错误； 对于C：若，则在5局3胜制中将比赛看作赛满5局处理，则甲获胜的概率为 ， 在3局2胜制中将比赛看作赛满3局处理，甲获胜的概率为 ， ，C正确； 对于D：由事件表示“甲获胜”，设事件表示“比赛局数为4局”， 事件C表示“比赛局数为3局”，事件D表示“比赛局数为5局”， 则，， ，， 所以，， ，，D正确； 故选：ACD. 11. 随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先计算出正态分布与二项分布的期望与方差，再分析正态分布与二项分布的基本参数和性质，然后逐一验证选项的正确性. 【详解】对于正态分布，其期望和方差分别为3和1， 对于二项分布，有，， 选项A： ，，因此成立，故A正确； 选项B： ，，因此，故B错误； 选项C： 由于正态分布具有对称性，若，则，故C正确； 选项D： 对于二项分布，其概率公式为 ， ， 而，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三､填空题（共15分） 12. 如图所示网格中，要从点出发沿实线走到点，距离最短的走法中，经过点的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出从点出发沿实线走到点的情况数，再求出从点出发沿实线走到点经过点C的情况数，两个作商即可. 【详解】从点A到点C一共有（一共六步需要向下走两步）， 点C到点B一共有（一共四步向右走一步）， 则根据分步计数原理得从点出发沿实线走到点经过点C的情况数为； 计算从点点出发沿实线走到点： 如图连接,则从点点出发沿实线走到点又经过的情况为：, 同理经过另外一条不连上的线情况为， 则从点点出发沿实线走到点的情况为； 故距离最短的走法中，经过点的概率为 故答案为： 【点睛】关键点点睛：计算从点点出发沿实线走到点的情况时先假设所有的线都是连着的情况数为， 再将经过不连着的两条线时的情况数求出来，相减即可. 13. 已知,分别是等差数列的前项和，且，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用等差数列的性质得，再结合条件，即可求解. 【详解】因为是等差数列， 所以，又， 所以， 故答案为：. 14. 已知数列的前n项和为，且，设函数，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据题干递推式求得，然后根据作差即可求得，再结合诱导公式化简得，最后利用倒序相加法求和即可. 【详解】，① 当时，，② ①-②得； 当时，，此时仍然成立，． 当时，； 当时，， 当时，上式也成立，故． 由于， 设 ， 则， ． 故答案为： 四､解答题（共77分） 15. 为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了部分高一学生进行调查，得到了他们的日平均阅读时长（单位：时），将全部样本数据分成九组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）从该地区的高一学生中随机抽取1人，估计其日平均阅读时长在内的概率； （2）为进一步了解高一学生电子书阅读时间和纸质书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时长在，，三组内的学生中，按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记日平均阅读时长在内的学生人数为，求的分布列和期望； （3）以样本的频率估计总体的概率，从该地区的高一学生中随机抽取21名学生，用表示这21名学生中恰有名学生日平均阅读时长在内的概率，其中，当最大时，求的值． 【答案】（1）0.5 （2）的分布列为 0 1 2 3 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图矩形面积之和为建立方程求得参数值，利用矩形面积的意义以及概率加法公式，可得答案； （2）利用分层抽样的概念以及比例可得每个区间的人数，根据超几何分布求得分布列，结合数学期望的计算公式，可得答案； （3）利用二项分布的概率公式，根据组合数的对称性与二项式系数的单调性，可得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，解得． 所以区间对应的频率为， 所以所求概率为． 【小问2详解】 由题可知，该地区高一学生中日平均阅读时长在三组内的学生人数比为， 则需从日平均阅读时长在内的学生中分别抽取人，人，人． 现从这6人中随机抽取3人，则的所有可能取值为0，1，2，3． ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． 【小问3详解】 由（1）可知从该地区的高一学生中随机抽取1人，估计其日平均阅读时长在内的概率为， 则， 由组合数的性质可得，当时，递增，且， 故当或时，最大． 16. 已知正项数列的前n项和为，且满足． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可求得，进而利用的关系可求通项公式； （2）分n为偶数或n为奇数两种情况，利用并项求和法可求. 【小问1详解】 因为，所以，即， 又，所以，所以，即， 当时，， 当时，也适合上式，所以． 【小问2详解】 由（1）知，则， 当n为偶数时，， 当n为奇数时，为偶数，， 所以. 17. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值； （2）从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望； （3）将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值． （附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） 【答案】（1）， （2）的分布列为： （3） 【解析】 【分析】（1）由在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为，可求出的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应的矩形面积，再将所求结果全加可得的值； （2）分析可知，随机变量可能取的值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）利用原则求得，结合百分位数的定义可求得的估计值. 【小问1详解】 由于在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为， 由题可知：，解得， 所以，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取件的平均数为： ． 所以，. 【小问2详解】 样本中质量指标值在和的芯片数量为， 所取样本的个数为件， 质量指标值在的芯片件数为件，故可能取的值为、、、， 所以，，， ，， 随机变量的分布列为： 所以的数学期望． 【小问3详解】 由（1）可知：，则，， 由题可知：． 所以：，即. 18. 已知数列为等差数列，． （1）求数列的通项公式． （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，由等差数列通项公式求得公差即可求解； （2）结合（1）得到，再分和两种情况即可． 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 因为，所以． 又因为，则， 所以数列的通项公式． 【小问2详解】 由（1）知，． 当时，， ； 当时，， ． 综上，. 19. 第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落下帷幕．在这场盛大的亚洲冰雪盛会中，奖牌榜见证了各国运动员的荣耀与拼搏．中国队以32金27银26铜，总计85枚奖牌的傲人成绩，强势登顶奖牌榜，成为最大赢家．这一成绩不仅创造了中国队亚冬会历史最佳，更是追平了单届金牌数纪录，书写了中国冰雪运动的崭新篇章．冰球深受广大球迷的喜爱，每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支冰球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某阶段所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 38 45 未上场 3 合计 40 （1）完成列联表，并判断根据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关联？ （2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.9，0.5． （ⅰ）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率； （ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率． 附：． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.741 5.024 6.635 10.728 【答案】（1） 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 38 7 45 未上场 2 3 5 合计 40 10 50 有关 （2）（ⅰ）0.78；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先补全表格再计算卡方，最后根据临界值判断即可； （2）（ⅰ）先应用条件概率及全概率公式计算；（ⅱ）再应用贝叶斯公式计算求解. 【小问1详解】 根据题意，可得的列联表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 38 7 45 未上场 2 3 5 合计 40 10 50 零假设：球队胜负与甲球员是否上场无关 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为球队胜负与甲球员是否上场有关，此推断犯错误的概率不大于0.025． 【小问2详解】 甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢的概率分别为0.7，0.9，0.5 （ⅰ）设事件：“甲球员上场打边锋”，事件：“甲球员上场打中锋” 事件：“甲球员上场打后卫”，事件：“球队赢球” 则 所以当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率 当甲球员上场参加比赛时，求球队胜的概率0.78 （ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率 ． 当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $