2025年九年级中考数学复习训练-三角形及全等三角形（二）

三角形及全等三角形（二） 一、单选题 1．（2023·吉林长春·中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·新疆·中考真题）如图，在中，若，，，则______．    5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 6．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时，____．    7．（2024·湖北·中考真题）平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 9．（2023·湖北十堰·中考真题）一副三角板按如图所示放置，点A在上，点F在上，若，则___________________．    10．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，点分别在的边上，且，点在线段的延长线上．若，，则_________．    11．（2024·广东广州·中考真题）下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．  B．  C．   D．     12．（2024·安徽·中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（    ） A． B． C． D． 13．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则___________．    14．（2023·湖南·中考真题）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为__________． 15．（2023·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则______．    二、填空题 16．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 17．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，，，．则 ． 18．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，直线，直线，，则 ． 19．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 20．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 三、解答题 21．（2023·江西·中考真题）如图，，平分．求证：．    22．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 23．（2023·云南·中考真题）如图，是的中点，．求证：．    24．（2023·四川宜宾·中考真题）已知：如图，，，．求证：．    25．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，． 求证：． 26．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：． (1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______． 27．（2023·福建·中考真题）如图，．求证：． 28．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 29．（2023·四川乐山·中考真题）如图，AB、CD相交于点O，AO=BO，AC∥DB．求证：AC=BD． 30．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，时，求的面积． 答案 1．【答案】A 【分析】根据题意易证，根据证明方法即可求解． 【详解】解：O为、的中点， ，， （对顶角相等）， 在与中， ， ， ， 故选：A． 2．【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 3．【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接．   中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：C． 4．【答案】 【分析】根据等边对等角得出，再有三角形内角和定理及等量代换求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 5．【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：C． 6．【答案】 【分析】根据公式求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴, 故答案为：． 7．【答案】B 【分析】本题考查坐标系下的旋转．过点和点分别作轴的垂线，证明，得到，，据此求解即可． 【详解】解：过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵点的坐标为， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B． 8．【答案】A 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 9．【答案】 【分析】根据直角三角板的性质，得到，，结合得到，利用平角的定义计算即可． 【详解】解：如图，根据直角三角板的性质，得到，， ∵， ∴， ．    故答案为：． 10．【答案】 【分析】首先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11．【答案】C 【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可． 【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C， 故选：C． 12．【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定的方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论． 【详解】解：A、连接，    ∵，，， ∴， ∴     又∵点F为的中点 ∴，故不符合题意； B、连接，    ∵，，， ∴， ∴， 又∵点F为的中点， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； C、连接，    ∵点F为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； D、，无法得出题干结论，符合题意； 故选：D．13．【答案】3 【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用勾股定理即可得出，最后利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵在中，为斜边上的中线，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴ 故答案为：3． 14．【答案】 【分析】根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，依题意， 根据作图可知为的角平分线， ∵ ∴， 故答案为：． 14．【答案】 【分析】根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，依题意， 根据作图可知为的角平分线， ∵ ∴， 故答案为：． 二、填空题 16．【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】解：∵ ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 17．【答案】66 【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18．【答案】30 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据两直线平行，同位角相等，求出的度数，根据三角形的外角的性质，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：30． 19．【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 20．【答案】 【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解． 【详解】解：∵，过点作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 三、解答题 21．【答案】 【分析】先由角平分线的定义得到，再利用证明即可． ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴． 22．【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： （1）由中点，得到，由，得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证． 【详解】（1）证明：为的中点， ．            ；                              在和中，       ； （2）证明： 垂直平分， ． 23．【答案】见解析 【分析】根据是的中点，得到，再利用证明两个三角形全等． 【详解】证明：是的中点， ， 在和中， ， 24．【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质得出，然后证明，证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴ 即 在与中 ， ∴， ∴． 25．【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ． 26．【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线； （1）分别作的中线，交点即为所求； （2）根据三角形重心的性质可得，根据三角形中线的性质可得 【详解】（1）解：如图所示 作法：①作的垂直平分线交 于点 ②作的垂直平分线交于点 ③连接、相交于点 ④标出点 ，点 即为所求 （2）解：∵是的重心， ∴ ∴ ∵的面积等于， ∴ 又∵是的中点， ∴ 故答案为：． 27．【答案】见解析 【分析】根据已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：， 即． 在和中， ． 28．【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 29．【答案】见解析 【分析】要证明AC=BD，只要证明△AOC≌△BOD，根据AC//DB可得∠A=∠B，∠C=∠D，又知AO=BO，则可得到△AOC≌△BOD，从而求得结论． 【详解】（方法一） ∵AC//DB， ∴∠A=∠B，∠C=∠D． 在△AOC与△BOD中 ∵∠A=∠B，∠C=∠D，AO=BO， ∴△AOC≌△BOD． ∴AC=BD． （方法二）∵AC//DB， ∴∠A=∠B． 在△AOC与△BOD中， ∵， ∴△AOC≌△BOD． ∴AC=BD． 30．【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由求出，然后利用证明，可得，再由等边对等角得出结论； （2）过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点E作于F， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴．    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