【专项练】根的判别式的应用-沪科版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 根的判别式的应用 1. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解． 【详解】解：∵ 24 4 1 3 4 0( )        ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程 2 0ax bx c   ( 0a a b c ， ， ， 为常数)的根的判别式 2 4b ac   ，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当 0  时，方程有两个不 相等的实数根；当Δ 0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ 0 时，方程没有实数根． 2. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意得， 22 4 1 1 0      ， ∴方程有两个相等的实数根， 故选 B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程  2 0 0ax bx c a    ， 若 2 4 0b ac    ，则方程有两个不相等的实数根，若 2 4 0b ac    ，则方程有两个相等的 实数根，若 2 4 <0b ac   ，则方程没有实数根． 3. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列出不等式求解即可． 【详解】由题意得： 20, 4 4 4 0k b ac k       解得： 1k   且 0k  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．对于一般形式 2 0( 0)ax bx c a    有：（1）当 2 4 0b ac    时，方程有两个不相等的实数根；（2）当 2 4 0b ac    时，方程有两个相等的实数根；（3）当 2 4 0b ac    时，方程没有实数根． 4. 【答案】k＞3 【解析】 【分析】根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】∵关于 x的一元二次方程 2 2 3 0x x k   没有实数根， ∴  2 4 1 12 42 3 0k k      ＜ ， 解得：k＞3， 故答案为：k＞3． 【点睛】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能得出关于 k的不等式是解此题的关键． 5．【分析】利用一次函数的性质得到 a≤0，再判断Δ＝22﹣4a＞0，从而得到方程根的情况． 【解答】解：∵直线 y＝x+a不经过第二象限， ∴a≤0， 当 a＝0时，关于 x的方程 ax2+2x+1＝0是一元一次方程，解为 x＝﹣ ， 当 a＜0时，关于 x的方程 ax2+2x+1＝0是一元二次方程， ∵Δ＝22﹣4a＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有 如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质． 6.【答案】a=8或 8a   【解析】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【分析】根据一元二次方程根的判别式等于 0，即可求得 a的值． 【详解】∵关于 x的方程 2 16 0x ax   有两个相等的实数根， ∴ 2 4 1 16 0a      ，解得 2 64a  ，即 a=8或 8a   【点睛】本题考查了一元二次方程 2 0ax bx c   ( 0a a b c ， ， ， 为常数)的根的判别式 2 4b ac   ，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当 0  时，方程有两个不 相等的实数根；当Δ 0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ 0 时，方程没有实数根． 7．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，即可得出Δ＝（t﹣3）2≥0，进 而可证出：对于任意实数 t，方程都有实数根； （2）设方程的两根分别为 m，n，则 mn＝t﹣2，结合方程的两个根互为倒数，即可得出关 于 t的方程，解之即可得出 t的值． 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（t﹣1），c＝t+2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（t﹣1）]2﹣4×1×（t﹣2）＝t2﹣6t+9＝（t﹣3）2≥0， ∴对于任意实数 t，方程都有实数根． （2）解：设方程的两根分别为 m，n，则 mn＝t﹣2， ∵方程的两个根互为倒数， ∴mn＝1，即 t﹣2＝1， 解得：t＝3， ∴当 t＝3时，方程的两个根互为倒数． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0 时，方程有两个实数根”；（2）牢记“两根之和等于﹣ ，两根之积等于 ”． 8.【答案】 35 【解析】 【分析】根据不等式组只有 4个整数解得到 a的取值范围，结合一元二次方程有实数根判别式 大于或等于 0求出取值范围求解即可得到答案； 【详解】解：解不等式组得， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 10 6 4 ax x       ∵不等式组只有 4个整数解， ∴整数解为：3，2，1，0， ∴ 101 0 6 a     ， 解得： 4 10a  ， ∵于 x的方程   25 4 1 0a x x    有实数根， ∴ 24 4( 5) 1 16 4 20 4 36 0a a a          ， 解得： 9a  ， ∴ 354 4 a  ， ∵a是整数， ∴a的取值是：5，6，7，8，9， ∴5 6 7 8 9 35     ，故答案为： 35； 【点睛】本题考查不等式组整数解问题及一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌 握一元二次方程有实数解判别式大于或等于 0． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 根的判别式的应用 1. 一元二次方程 2 4 3 0x x   的根的情况是( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 2. 关于一元二次方程 2 2 1 0x x   根的情况，下列说法中正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 3. 若关于的一元二次方程 2 2 1 0kx x   有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. 1k   B. 1k   且 0k  C. 1k  D. 1k  且 0k  4. 已知关于 x 的一元二次方程 2 2 3 0x x k   没有实数根，则 k 的取值范围是____________． 5．直线 y＝x+a 不经过第二象限，则关于 x 的方程 ax2+2x+1＝0实数解的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或 2个 6. 已知关于 x 的方程 2 16 0x ax   ，有两个相等的实数根，求 a的值； 7．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0． （1）求证：对于任意实数 t，方程都有实数根； （2）当 t 为何值时，方程的两个根互为倒数？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 8. 使得关于 x 的不等式组 6 10 1 1 31 2 8 2 x a x x           有且只有 4 个整数解，且关于 x 的方程   25 4 1 0a x x    有实数根的所有整数 a 的值之和为_____________ .