【专项练】动态几何问题-沪科版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 动态几何问题 1．如图，已知在 ABC 中， 90ABC  ，点 P从点 A开始沿边 AB向点 B以1cm/s的速度 移动，点 Q从点 B开始沿边 BC向点 C以 2cm/s的速度移动．如果点 P，Q分别从点 A，B同 时出发，当 PBQ 的面积等于 28cm 时，共需的时间为（ ） A．1s B．2s或 4s C．3s D．3.5s 2．如图，在Rt ACB△ 中． 90C  ， 7AC  ， 5BC  ，点 P从点 B出发以每秒 1个单位 长度的速度向终点C移动，同时，点Q从点 C出发以每秒 2个单位长度的速度向终点 A移动．当 一点到达终点时，另一点也停止移动．若 PCQ△ 的面积等于 4，则它们移动的时间是（ ） A．1秒或 4秒 B．2秒或 4秒 C．2秒 D．1秒 3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点 P从点 A开始沿 AB边向点 B 以 1cm/s的速度移动，点 Q从点 B开始沿 BC边向点 C以 4cm/s的速度移动．点 Q到达点 C 后，点 P、Q停止运动．设 P、Q从点 A、B同时出发，经过多少秒后，△PBQ的面积是 10cm2？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 4．如图，在Rt ABC△ 中， 90B  ， 4 cmAB  ， 2 cmBC  ，点 P从点 A出发沿 AB 以1cm/s的速度向点 B移动，点 P出发几秒后， 3PA PC ？ 5．如图，在Rt ABC△ 中， 90 , 6cm, 8cmC AC BC     ，动点 P从点 B出发，沿 BC向 点C以1cm / s的速度匀速运动，另一动点Q从点C出发，沿CA向点A以2cm / s的速度匀速 运动，点 ,P Q同时出发，当有一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动时间为 st ， 那么经过多长时间， CPQ 的面积为 212cm ？ 6．如图所示，在 ABC 中， 90BÐ = °， 6cmAB  ， 3cmBC  ，点 P以1cm/s的速度从点 A开始沿边 AB向点 B移动，点 Q以 2cm/s的速度从点 B开始沿边 BC向点 C移动，且点 P， Q分别从点 A，B同时出发．若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使 P，Q两点 之间的距离等于4 2cm，则需要经过多少秒？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 7．如图 1，矩形 ABCD中，点E为 BC的中点，点 P沿 BC从点 B运动到点 C，设 B，P两 点间的距离为 x，PA PE y  ，图 2是点 P运动时 y随 x变化的关系图象，则 BC的长为 （ ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．如图，在 ABC 中， 90 , 12mm, 24mmB AB BC    ．动点 P从点A开始沿边 AB向 点 B以 2mm / s的速度移动，动点Q从点 B开始沿边 BC向点C以 4mm / s的速度移动，如果 ,P Q两点分别从 ,A B两点同时出发． (1)写出 PBQ 的面积S关于 t的函数解析式及 t的取值范围，并求出当 t为何值时，S最大； (2)经过几秒， PBQ 的面积为 232mm ； (3)出发几秒后， PQ的长度等于12mm？ 9．如图，A、 B、C、D为矩形的四个顶点， 8cmAB  ， 3cmAD ，动点 P、Q分别从 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 A、C同时出发，点 P以1cm / s的速度向点 B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点 P 到达点 B时，点 P、Q均停止运动，设运动时间为 t秒． (1)当 t  ________秒时，四边形 PBCQ为矩形． (2)运动过程中，四边形 PBQD可能为菱形吗？若能，求出运动时间 t，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点 P和点Q的距离可能是3 5 cm吗？若能，求出运动时间 t，若不能，请说 明理由． 10．如图，在Rt ABC△ 中， 90C  ， 6cmAC  ， 8cmBC  ，点M 从点 B开始沿 BC向 点C以1cm/s的速度运动，点N 从点C开始沿CA向点A以2cm/s的速度运动，M，N同时出 发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为 st ． (1)小明认为：MN可以平分 ABC 的周长，请判断他的说法是否正确，并说明理由； (2)小亮认为：MN可以平分 ABC 的面积，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 11．如图，在 ABC 中， 90C  ， 6cmAC  ， 8cmBC  ，点 D从点 C开始沿边CA运 动，速度为1cm/s，与此同时，点 E从点 B开始沿边 BC运动，速度为2cm/s，当点 E到达点 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 C时，点 D，E同时停止运动，连接 AE，DE，设运动时间为 st ， ADE 的面积为 2cmS ． (1)用含 t的代数式表示CD  cm；CE  cm； (2)当CD为何值时 1 8 ABC S S △ ？ (3)在点 D运动过程中， CDES△ 的值可能为 5吗？通过计算说明． 12．综合与实践 如图 1，在矩形 ABCD中， 8cm 4cmAB AD ， ，动点 P，Q分别以2cm/s 1cm/s， 的速度 从点 A，B同时出发，点 P沿着 AD DC CB  运动到点 B时停止，点 Q沿着BA运动到点 A时停止．设运动时间为 st ． (1)当点 P在 AD上运动时， AP  ________cm， AQ  ________cm；（用含 t的代数式表 示） (2)在（1）的条件下，当 27cmPAQS △ 时，求 t的值； (3)如图 2、图 3，点 P沿着DC CB 运动到点 B的过程中、当 PAQ△ 的面积为 21cm 时，求 t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 动态几何问题 1．B 【分析】本题考查一元二次方程的应用——几何问题，用运动路程表示相关线段的长度是解题 的关键． 运动 x秒后， 6PB x  ， 2BQ x ，根据三角形的面积公式建立一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设 x秒后 PBQ 的面积等于 28cm ，由题意得， 1 (6 ) 2 8 2 x x   ， 解得： 1 2x  ， 2 4x  ， 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设运动时间为 t秒，则BP t ， 2CQ t ，求出 5CP t  ，再根据 1 2PCQ S CP CQ  得出 2 5 4t t   ，求解即可． 【详解】解：设运动时间为 t秒， 由题意得：BP t ， 2CQ t ， ∴ 5CP BC BP t    ， ∴   21 1 5 2 5 4 2 2PCQ S CP CQ t t t t         ， 解得： 1t  或 4t  ， ∵7 2 3.5  ， ∴0 3.5t  ， ∴ 4t  不符合题意， ∴当 PCQ△ 的面积等于 4时，经过了 1秒， 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 3．1秒 【分析】可设经过 x秒后，△PBQ的面积是 10cm2，根据三角形面积公式建立等量关系，列出 方程求解即可． 【详解】解：设 x秒钟后，△PBQ的面积等于 10cm2，由题意可得： 4x（6﹣x）÷2＝10， 解得 x1＝1，x2＝5（不合题意舍去）． 答：经过 1秒钟后，△PBQ的面积等于 10cm2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语“△PBQ的面积是 10cm2”，找到等 量关系是解决问题的关键． 4．点 P出发 3秒后， 3PA PC 【分析】本题是动态几何问题，考查了解一元二次方程，勾股定理，掌握勾股定理内容是关键； 由题意得 cm (4 )cmPA t PB t  ， ，在Rt PBC 中，由勾股定理求得 2PC ；再由 3PA PC ， 得到关于 t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得 cm (4 )cmPA t PB t  ， ， 在Rt PBC 中， 90BÐ = °， 2 cmBC  ， 由勾股定理得 2 2 2 2 22 (4 ) 8 18PC BC PB t t t        ； ∵ 3PA PC ，即 2 23PA PC ， ∴ 2 23( 8 18)t t t   ， 整理得： 2 12 27 0t t   ， 解得： 1 23 9t t ， ； ∵ 4 1 4(s)  ，且9 4 ， ∴ 3t  ； 即点 P出发 3秒后， 3PA PC ． 5． 2s 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据 CPQ 的面积为 212cm 列方程求解即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【详解】解：由题意，得  8 cm, 2 cmPC t CQ t   ，  1 1 8 2 12 2 2CPQ S PC QC t t        ，  8 12t t   ， 整理，得 2 8 12 0t t   解得 1 22, 6t t  ，    8 1 8 s ,6 2 3 s    ，则 3t  ， 2t  ， 经过 2 s， CPQ 的面积为 212cm ． 6．需要经过 2 5 秒 【分析】本题主要考查勾股定理以及一元二次方程的应用．根据勾股定理列出方程是解题的关 键． 设经过 sx ， P、Q之间的距离等于4 2cm，先用含 x的代数式分别表示BP和 BQ的长度， 进一步利用勾股定理建立方程求得答案即可； 【详解】解：设经过 sx ， P、Q之间的距离等于4 2cm， 由已知可得： 3 2 x  1AP x x   ， 2BQ x ， 6BP AB AP x     ， 2 2 2BP BQ PQ  ，      22 26 2 4 2x x   ， 解得： 1 2 5 x  ， 2x  (不合题意，舍去)， 2 5 x  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 答：需要经过 2 5 秒； 7．C 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、矩形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等 知识，从函数图象中正确获取信息是解题关键．连接 AE，先根据当 0x  时， 1y  可得 1BA BE  ，再确定当点 P与点E重合时， y取得最大值 AE，从而可得 5AE  ，然后设  0BE a a  ，则 1BA a  ， 2BC a ，利用勾股定理求出a的值，由此即可得． 【详解】解：如图，连接 AE， 由函数图象可知，当 0x  时， 1y  ， ∴当点 P在点 B处时， 1y PA PE BA BE     ， ∴ 1BA BE  ， 由三角形的三边关系得： y PA PE AE   （当点 P与点E重合时，等号成立）， ∴ y的最大值为 AE， 由函数图象可知， y的最大值为5， ∴ 5AE  ， ∵矩形 ABCD中，点E为 BC的中点， ∴ 90B  ， 2BC BE ， 设  0BE a a  ，则 1BA a  ， 2BC a ， 在Rt ABE△ 中， 2 2 2AB BE AE  ，即  2 2 21 5a a   ， 解得 3a  或 4 0a    （不符合题意，舍去）， ∴ 2 3 6BC    ， 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 8．(1)  24 24 0 6S t t t     ， 3t  (2)2秒或 4秒 (3)2.4秒 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了动点问题，一元二次方程的解法，三角形的面积 等知识，根据动点的运动速度表示各线段的长是解题的关键． （1）根据路程=速度×时间，可得BP、 BQ的长，从而得出 PBQ 的面积，可得答案； （2）由（1）得，列方程为  1 12 2 4 32 2 t t   ，解一元二次方程即可，注意本题 x的取值范 围． （3）根据勾股定理可列方程为：    2 2 1212 2 4 12t t   ，解出 x即可 【详解】（1）解：S关于 t的函数解析式为：   21 1 12 2 4 4 24 2 2 S PB BQ t t t t        ； 所以 t的取值范围是：0 6t  ． 对于 24 24S t t   ，当 3t  时，S有最大值； （2）设经过 t秒， PBQ 的面积为 232mm ． 列方程为  1 12 2 4 32 2 t t   解得： 1 22, 4t t  答：设经过 2秒或 4秒， PBQ 的面积为 232mm ． （3）设 t秒后， PQ的长度等于 12mm，列方程为： 2 2 2(12 2 ) (4 ) 12t t   ， 解得 1 0t  （舍去）， 2 2.4t  ， 答：出发 2.4秒后， PQ的长度等于12mm． 9．(1)4 (2)能， 55 s 16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 (3)能，1s或7 s 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了动点在几何图形的运动，勾股定理矩形和菱形的性 质，灵活掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据当 BP CQ 时，四边形 PBCQ为矩形，列出方程，求出解即可； （2）根据当 BQ DQ 时，四边形PBQD为菱形，在Rt BCQ△ 中，根据勾股定理列出方程， 求出解即可； （3）先作出辅助线，表示PE，再根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵点 P、Q分别从点 A、C同时出发，速度相同． ∴ cmPA CQ t  ， ∵四边形 ABCD为矩形， ∴ 90B C    ，BP CQ∥ ， 8cmAB CD  ， ∴则  8 cmBP DQ t   ， 根据题意得， ∵四边形 ABCD为矩形， ∴ 90B C    ，BP CQ∥ ， ∴当 BP CQ 时，四边形 PBCQ为矩形， 8 t t  ， 解得 4t  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ∴ 4t  秒时，四边形 PBCQ为矩形， 故答案为：4； （2）解：运动过程中，四边形PBQD可以为菱形， 连接 BQ、 PD， ∵点 P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同， ∴ PA CQ ， ∵四边形 ABCD为矩形， ∴ AB CD∥ ， AB CD ∴ PB DQ∥ ，PB DQ ， ∴四边形PBQD为平行四边形， ∴当 BQ DQ 时，四边形 PBQD为菱形 在Rt BCQ△ 中， cmCQ t ，  8 cmDQ t  ， 3cmBC  ∴ 2 2 2CQ BC BQ  即  22 23 8t t   解得 55 16 t  ， ∴运动时间为 55 s 16 时，四边形 PBQD为菱形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 （3）点 P和点Q的距离可以是3 5 cm， 过点Q作 QE AB于点E， 则四边形EBCQ为矩形， ∴ cmCQ BE t  ， cmAP t ， ∴  8 2 cmPE AB AP BE t     ， 在Rt PEQ△ 中，有 2 2 2PE QE PQ  ， 即    22 28 2 3 3 5t   ， 解得 1 1t  ， 2 7t  ． ∴当运动时间为1s或7 s时，点 P和点Q的距离是3 5cm． 10．(1)说法错误，见解析 (2)说法正确，见解析 【分析】（1）根据动点M 以1cm/s的速度移动,动点 N 以2cm/s的速度移动,运动时间为 st ， 则 cmBM t ，  8 cmCM t  ， 2 cmCN t ，  6 2 cmAN AC CN t    ，根据题意， 点 N 运动  6 2 3 s  停止运动，点M 运动  8 1 8 s  停止运动，根据题意，MN平分 ABC 的周长，得到 AB BM AN CM CN    ，构造方程，若方程有正数解且小于 3秒即可判定 说法正确，反之错误． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 （2）根据题意，  21 · 24 cm2ABCS CACB  ，    21 · 8 cm 2CMN S CM CN t t   ，若MN 平分 ABC 的面积，得   18 24 2 t t   ，解方程解答即可． 【详解】（1）解：MN可以平分 ABC 的周长说法错误．理由如下： ∵ 90C  ， 6cmAC  ， 8cmBC  ， ∴ 2 2 10cmAB CA CB   ； ∵动点M 以1cm/s的速度移动,动点 N 以2cm/s的速度移动,运动时间为 st ， ∴ cmBM t ，  8 cmCM t  ， 2 cmCN t ，  6 2 cmAN AC CN t    ， 根据题意，点 N 运动  6 2 3 s  停止运动，点M 运动  8 1 8 s  停止运动， 根据题意，MN平分 ABC 的周长， ∴ AB BM AN CM CN    ， ∴10 6 2 8 2t t t t      ， 解得 4t  ， 大于了 3秒． 故MN平分 ABC 的周长的说法是错误的． （2）解：MN平分 ABC 的面积说法正确．理由如下： 根据题意，得  21 · 24 cm2ABCS CACB  ，    21 · 8 cm 2CMN S CM CN t t   ， 若MN平分 ABC 的面积，得   18 24 2 t t   ， 解得 1 22, 6t t  （舍去）． 故当 2st  时，MN平分 ABC 的面积． 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的周长，解一元一次方程，解一元二次 方程，熟练解方程是解题的关键． 11．(1)t， (8 2 ) t ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 (2)当 3cmCD  时， 1 8 ABC S S △ ； (3) CDES△ 的值不可能为 5；理由见解析； 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列方程是解答的关键： （1）根据题意以及路程、速度和时间的关系求解即可； （2）利用三角形的面积公式列方程求解即可； （3）利用三角形的面积公式列方程，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可 【详解】（1）解：∵点 D从点 C开始沿CA运动，速度为1cm/s， ∴ cmCD t ， ∵ 8cmBC  ，点 E从点 B开始沿 BC边运动，速度为2cm/s， ∴ (8 2 )cmCE t  ， 故答案为：t， (8 2 ) t ； （2）解：由题意可知，t的最大值为 8 4(s) 2  ，即0 4t  ， ∵ 6cmAC  ， 8cmBC  ， ∴ 21 1 1 6 8 3cm 8 8 2      ABCS S△ ， 由题意可知，CD t ， 2BE t ， 8 2CE t  ， 6AD t  ， ∴ 1 1 (6 ) (8 2 ) 3 2 2 S AD CE t t         ， 解得： 3st  ， 7st  （舍去）， ∴当 3cmCD  时， 1 8 ABC S S △ ； （3）解： CDES△ 的值不可能为 5；理由如下： 由题意可得，   21 1 8 2 4 2 2CDE S CD CE t t t t       ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 假设 CDES△ 的值可能为 5得， 2 4 5t t   ，即 2 4 5 0t t   ， ∵ 2( 4) 4 1 5 4 0        ， ∴方程无解， 故 CDES△ 的值不可能为 5． 12．(1)2t；  8 t (2)1 (3)7 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟 练运用矩形的性质解决问题． （1）根据路程等于速度乘以时间得到 2 cm, cm,AP t BQ t  则  8 cm,AQ AB BQ t    ； （2）根据矩形的性质得到 90A  ，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点 P在CD和点 P在 BC上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 2 cm, cm,AP t BQ t  ∴  8 cm,AQ AB BQ t    故答案为：2t；  8 t （2）解：∵四边形 ABCD是矩形， ∴ 90A  ， ∴ 21 7 2PAQ S AQ AP cm   ， ∴  1 2 8 7 2 t t   ， 解得 1t  或 7t  （舍去）； （3）解：当点 P在CD上运动时， 1 2APQ S AQ AD △ ， ∵ PAQ△ 的面积为 21cm ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 ∴  1 4 8 1 2 t   ， 解得 7.5t  ， 由矩形的性质可得 8cm, 4cm,CD AB BC AD    ∴点 P运动到点 C的时间为 8 4 6 2   秒， ∴此种情况不存在； 当点 P在 BC上运动时， 1 2APQ S AQ BP △ ， ∵ PAQ△ 的面积为 21cm ， ∴   1 8 4 4 2 8 1 2 t t     ， 解得 7t  或 9t  （舍去）； 综上所述， 7t  ．