专题08 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题08.特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型 将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.将军遛马模型 1 模型2.将军造桥（过桥）模型 8 13 模型1.将军遛马模型 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 例1．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路的一侧有，两个工厂，，到公路的垂直距离分别为和，，之间的水平距离为．现需把厂的产品先运送到公路上然后再转送到厂，则最短路线的长是_____． 问题探究（2）如图（2），和是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，，点，重合，点，重合，将沿直线平移，得到，连接，．试探究在平移过程中，是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 问题解决（3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是和，，的水平距离是．游客在景点游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游轮沿河航行到达码头乙，再乘坐大巴到达景点．请问码头甲，乙建在何处才能使从到的旅游路线最短，并求出最短路线的长． 【答案】（1）（2）存在，最小值为（3）最短路线长为 【详解】解：（1） 如图 （1）， 点 是公路上的一点， 假设先把产品运送到点 处， 再转送到 厂， 作点 关于 的 对称点， 连接，， 连接 交于点， 则 ，， 当点与点重合时，取得最小值，为的长． 连接， 交于点， 过点 作 于点， 过点 作， 垂足为点， 则，四边形 是矩形，，， 又，，即最短路线的长是．故答案为：． （2） 存在．理由如下，如图 （2）， 过点 作直线， 作点 关于直线的对称点， 连接 ，，交直线于点， 过点 作交直线 于点， 连接，，， 则． 由平移知，．又 ，四边形 是平行四边形， ，由平移知， 又，四边形 是平行四边形， 当点 与点重合时， 最小， 最小值为 的长． 过点 作 交 的延长线于点， 则 为等腰直角三角形． ，，， 的最小值为．故答案为：存在，最小值为． （3） 如图 （3），设码头乙为点， 码头甲为点， 连接，， 过点 作， 且， 作点 关于 的对称点， 连接 交于点． 连接， 则．是平行四边形， ， 点 ，N重合时，旅游路线最短． 过点 作直线， 过点 作 于点， 则 ，，，， ．故答案为：最短路线长为． 例2．（2022·统考一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连接AH，CG．若，，，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图：延长DA到点O，使AO=HE=4，连接OE、EG， ，，，又，四边形AOEH是平行四边形，， 当点E、点G在OC上时，最小，即最小，， ，， ，故的最小值为，故答案为：． 例3．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________． 【答案】 【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小， ∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF， ∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF， ∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3， ∴，即的最小值为．故答案为： 例4．（2023年陕西中考模试）如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且ED＝OF，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，∴AC＝6，AC⊥BD，BO＝DO， ∴AO＝AC＝3，∴BD＝＝18，∵ED＝OF，∴EF＝OD＝9， 如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝9，连接CH交BD于E，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小． ∵AH＝EF，AH∥EF，∴四边形FEHA是平行四边形，∴FA＝EH，∵EA＝EC，∴AF+AE＝EH+CE＝CH， ∵菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝6， ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°， 在Rt△CAH中，CH＝＝3，∴AE+AF的最小值3， ∴△AEF的周长的最小值＝3+9，故答案为：3+9． 例5．（2023·江苏·校考一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，连接对角线AC，将△ADC沿射线CA的方向平移得到△A'D'C'，分别连接BC'，AD'，BD'，则BC'＋BD'的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，连接，当等腰在直线上运动时，点运动轨迹为直线， ，且，四边形为平行四边形，， 作点关于直线DD'对称到点，， 构造，根据勾股定理，得．故答案为． 例6．（2023·天津河东·校考模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在边长为4的菱形中，，∴，， 将沿射线的方向平移得到，∴，， ∵四边形是菱形，∴，，∴， ∴，，∴四边形是平行四边形，∴， ∴的最小值的最小值，∵点在过点且平行于的定直线上， ∴作点关于定直线的对称点，连接交定直线于， 则的长度即为的最小值，在中，，， ∴，∴，∴，∵， ∴，∴．故答案为：． 模型2.将军造桥（过桥）模型 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1．（2023.山东八年级月考）有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄和村庄，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【详解】解：根据轴对称确定最短路线问题，过村庄作河岸的垂线并且等于河的宽度， 然后与村庄连接与河岸相交于一点，过点作与相交于点， 连接，则即为最短路径， 如图  所示，故选：D． 例2．（2022上·湖北襄阳·九年级联考自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　    A． B． C．14 D．12 【答案】C 【详解】解：延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小．    ∴四边形是平行四边形，∴，同理：=， 延长交的延长线于点．∴，， ∴，， 在中，， ， 的最小值为14．故选：C． 例3．（2023·江苏·八年级校联考期末）如图，已知直线a∥b，a，b之间的距离为4，点P到直线a的距离为4，点Q到直线b的距离为2，PQ=2．在直线a上有一动点A，直线b上有一动点B，满足AB⊥b，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ＝ ． 【答案】10 【详解】作QD∥b,PD⊥QD. 如图，当AB∥PC时，AB又等于PC，所以四边形PABC是平行四边形，PA=BC，所以PA+BQ＝BC＋BQ，当Q、B、C三点一线时，PA+AB+BQ最小.在直角三角形PQD中，根据勾股定理得QD==8.在直角三角形QDC中，根据勾股定理得QC=10，所以PA+BQ＝BC＋BQ=BC=10. 例4．（2023.广东省深圳市八年级期中）如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=4，OC=10，∠A=60°，线段EF垂直平分OD，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E'关于x轴对称，连接BP、E'M，则BP+PM+ME'的长度的最小值为 ． 【答案】 【详解】解:如图：连接OP 在Rt△ADO中，∠A=60°，AD=4，∴OD=4，∴A（-4，4） ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=OC=10，∴DB=10-4=6，∴B（6，4） ∵线段EF垂直平分OD∴OE=OD=2，∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°， ∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=2， ∵OE=OE'∴PM=OE'，PM//OE'，∴四边形OPM E'是平行四边形，∴OP=EM， ∵PM=2是定值，∴PB+ME'=OP+PB的值最小时，BP+PM+M E'的长度最小， ∴当O、P、B共线时，BP+PM+M E'的长度最小 ∴BP+PM+M E'的最小值为OB+PM=．故答案为． 例5．（2022·山东滨州·统考中考真题）如图，在矩形中，．若点E是边AD上的一个动点，过点E作且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，的最小值为 ． 【答案】 【详解】过点D作交BC于M，过点A作，使，连接NE， 四边形ANEF是平行四边形，，当N、E、C三点共线时，最小， 四边形ABCD是矩形，，， ，四边形EFMD是平行四边形，，， ，，， ，， ，即，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ，， 的最小值为，故答案为：． 1．（2024下·江苏无锡·八年级统考期末）如图，E为正方形中边上的一点，且，，M、N分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为（  ）    A．8 B．8 C．8 D．12 【答案】C 【详解】解：过点D作，交于点H，过点E作，过点M作，直线交于点G，连接，如图，      ∵四边形是正方形，∴， ∵，，∴， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴， ∵，∴， ∴，∴， 在和中，∴， ∴，∴， ∵，，∴四边形是平行四边形， ∴，∴， ∴当点A，点M，点G三点共线时，的最小值为，∴．故选：C． 2．（2024下·安徽滁州·八年级统考期末）如图，在矩形中，边的长分别为4和3，点E在上，点F在的延长线上，且，连接，当点E在边上移动时，的最小值为（    ）      A．7 B． C．10 D． 【答案】B 【详解】如图所示，连接，∵四边形是矩形，∴，    ∵∴四边形是平行四边形∴，∴， 设点B关于的对称点为，连接，交于点E， 此时最小，即最小，即为的长， ∵，∴，又，∴， 即的最小值为．故选：B． 3．（2024下·广东广州·八年级统考期末）如图，在边长为10的正方形对角线上有E，F两个动点，且，点P是中点，连接，则最小值为（    ）    A． B． C． D．10 【答案】A 【详解】解：取的中点Q，连接，，如下图所示：    ∵正方形的边长为10，∴,， ∵是正方形的对角线，∴， ∵是的角平分线，∴， ∵，，∴，∴， ∵，即，∴四边形为平行四边形，∴，∴， ∴当A、E、Q三点共线时，的值最小，最小值就是的长， ∵点Q时的中点，∴，由勾股定理得，，故选：A． 4．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为的中点，E、F是边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，点E的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵矩形，，，∴，，，∴， ∵为的中点，∴，的长为定值，在上截取，连接，则：，， ∵，∴四边形为平行四边形，∴， ∵四边形的周长，且的长为定值， ∴当最小时，四边形的周长最小，作点关于轴的对称点，连接，则：， ∵∴当三点共线时，最小，四边形的周长最小， 设直线的解析式为：，则：，解得：，∴， 当时，；∴；故答案为：． 5．（2024·山东·模拟预测）如图，在矩形中，点、分别为、上的动点，连接，恒等于．点为的中点，连接．为线段的中点．点为线段上的一个动点．连接、．若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，则，， ∵，四边形是矩形，∴，，， ∵为线段的中点．∴，∴， ∵恒等于，点为的中点，，∴， ∵，，，∴， 根据两点之间线段最短得，即， ∴，∴的最小值为． 6．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线剪开，得到与，将沿方向平移得到，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，如图，连接，， 由平移的性质可知，，，， ∴在直线上运动，四边形是平行四边形，∴， 如图，作关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，， ∴，，，∴，∴， ∴当三点共线时，最小为， ∴，，∴， ∵，∴，∴三点共线，∴， ∴，由勾股定理得，∴最小值为，故答案为：． 7．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，点在上，且，点和点为边上的两个动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解: 过点作交于点，则四边形是平行四边形， ∴，，∵，∴， 作点关于对称点，连接，则，， ∴，∴， 当，，三点共线时，的值最小，为，∴的最小值为， 在中，，∴的最小值为，故答案为：. 8．（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且，两点之间的水平距离为12米，则的最小值是 米．    【答案】18 【详解】作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一条河岸， 过点A作交的延长线于点C， 则且，于是为平行四边形，故，    当时，最小，也就是最短， ∵（米），（米），（米） ∴在中，（米）， ∴的最小值为：（米） 故答案为：18 ． 9．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是 ．    【答案】 【详解】作交于点E，在取，连接，延长至点，使，连接，作于点，如下图：    ，，为等边三角形，， ，，四边形为平行四边形， 同理得四边形与四边形为平行四边形，，，， ， 中，， 中， ，的最小值是． 10．（2024.广东省深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M． （1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____； （2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____； 【答案】（1）（﹣2，2），（4，2）；（2）（2，）； 【详解】解：（1）如图1中， 在Rt△ADO中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°．∵AD=2，∴OD =2，∴A（﹣2，2）， ∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）； （2）如图1中，连接OP． ∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=． ∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形，∴OP=EM， ∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小．∵直线OB的解析式为y=x，∴P（2，）．故答案为（2，）． 11．（2023上·北京西城·八年级校考期中）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为 ．    【答案】16 【详解】解：构造矩形，连接，，交于点，如图所示：    则，，，，，四边形为平行四边形， ，，中，，，， ，，故答案为：16． 12．（2023上·福建漳州·八年级校考阶段练习）如图，在正方形中，，点E是的中点，P，Q为边上的两点，且，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，，点E为中点， ∴为定长，∴， ，∴四边形周长最小只要最小即可； 取中点F，连接，在上取，连接， 则四边形是矩形，四边形为平行四边形，， ，，最小，只要最小即可； 作点A关于的对称点，连接交于点，则，， ，即最小时，点P位于处， 由作图可知，，，∴， ∴四边形周长的最小值为：，故答案为：． 13．（2023下·四川绵阳·八年级统考期中）如图，在平行四边形中，，，连接，且，平分交与于点．点在边上，，若线段（点在点的左侧）在线段上运动，，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在上截取，连接，过点作，使，连接交于点，连接，过点作于点，过点作于点，连接， ∵四边形是平行四边形，，∴，， ∵，∴， ∵，，∴， ∴，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，，∴，∴，∴，∵，，∴， ，∴， ∴， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴， 在和中，，∴，∴， ∵线段（点在点的左侧）在线段上运动，∴， ∴当点在线段上时，的最小值为，∴的最小值为， ∵，，∴最小值为：， 即最小值为，故答案为：． 13．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，在矩形中，，．若点E是边上的一个动点，过点E作，交直线于点F，则点E移动的过程中，的最小值为 ．    【答案】5 【分析】过点D作交于M，过点A作，使，连接，可得是平行四边形，则：，当N、E、C三点共线时，的值最小，即为的长度，求出的长度即可得解． 【详解】   过点D作交于M，过点A作，使，连接， 四边形是平行四边形，， ∴ 当N、E、C三点共线时，最小， 四边形是矩形，，， ，四边形是平行四边形，，， ，，，， ，，即，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得，即：的最小值为5；故答案为：5． 【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键． 14．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得到，根据平移的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值的最小值，根据平移的性质得到点在过点A且平行于的定直线上，作点D关于定直线的对称点E，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，求得，得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，∵在边长为2的菱形中，，∴， ∵将沿射线的方向平移，得到，∴， ∵四边形是菱形，∴，∴， ∴四边形是平行四边形，∴，∴的最小值的最小值， ∵点在过点A且平行于的定直线上， ∴作点D关于定直线的对称点E，连接交定直线于，则的长度即为的最小值， 在中，， ∴，∴，∴， ∵∴，∴故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，菱形的性质，解直角三角形，平移的性质，求得的最小值的最小值，是解题的关键． 15．（2023下·安徽芜湖·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在AB上，BE＝2，点M，N为AC上动点，且，连接BN，EM，则四边形BEMN周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接BD、DN，作点E关于BD的对称点F，则BE=BF=2，连接NF、DF， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，DB⊥AC，BN=DN，点F在BC上， ∴EF∥AC，EF= =MN，∴四边形MEFN是平行四边形，∴ME=NF， ∴ME+BN=NF+DN≥DF（当D、N、F共线时取等号）， 在Rt△DCF中，CD=8，CF=8-2=6，则DF= =10， ∴ME+BN≥10，∴MN+BE+ME+BN≥+2+10=12+ ， 即则四边形BEMN的周长的最小值为12+ ，故答案为：12+ ． 16．（2023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．    【答案】见解析 【详解】解：如图所示，   ， 将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点，；过点作于点D，过点作于点，则，即为两桥的位置． 17．（2023·江苏·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，求的周长最小值；(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标. 【答案】(1) (2)， 【解析】（1）解：如图，作点D关于x轴的对称点，连接与x轴交于点E，连接DE，由模型可知的周长最小， ∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，∴D（0，2），C（3，4），， 设直线为y=kx＋b，把C（3，4），代入， 得，，解得k=2，，∴直线为， 令y=0，得x=1，∴点E的坐标为（1，0）.∴OE=1，AE=2， 利用勾股定理得，，， ∴△CDE周长的最小值为：． （2）解：如图，将点D向右平移1个单位得到，作关于x轴的对称点，连接交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，连接，此时四边形CDEF周长最小，理由如下：∵四边形CDEF的周长为CD＋DE＋EF＋CF，CD与EF是定值， ∴DE＋CF最小时，四边形CDEF周长最小， ∵，且，∴四边形为平行四边形， ∴，根据轴对称可知，，∴， 设直线的解析式为y=kx＋b，把C（3，4），代入， 得，解得，∴直线的解析式为， 令y=0，得，∴点F坐标为，∴点E坐标为． 18．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）（1）如图①，在边长是1的网格中，点A、B、C、D都在格点上，在线段上找一点P，使得最短．（2）如图②，在正方形中，，E是中点，P是对角线AC上一动点，求的最小值．（3）如图③，在正方形中， ，E、F是对角线上的两个动点，且，则的最小值是 ．          【答案】（1）见解析；（2）的最小值为；（3） 【详解】解：（1）如图，点P即为所求；            （2）如图②，连接交于P，连接，， ∵四边形是正方形，，∴点B和点D关于对称，，∴， ∴根据两点之间线段最短知的长为的最小值，∵E是中点，∴， 在中，，故的最小值为； （3）在图3中，过D作，，则四边形是平行四边形，∴ 连接，，，∵点B和点D关于对称，∴， ∴，当B、E、H共线时，取等号，则的长是的最小值， ∵，，∴，在中，， ∴，故答案为：． 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08.特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型 将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.将军遛马模型 1 模型2.将军造桥（过桥）模型 8 13 模型1.将军遛马模型 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 例1．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路的一侧有，两个工厂，，到公路的垂直距离分别为和，，之间的水平距离为．现需把厂的产品先运送到公路上然后再转送到厂，则最短路线的长是_____． 问题探究（2）如图（2），和是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，，点，重合，点，重合，将沿直线平移，得到，连接，．试探究在平移过程中，是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 问题解决（3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是和，，的水平距离是．游客在景点游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游轮沿河航行到达码头乙，再乘坐大巴到达景点．请问码头甲，乙建在何处才能使从到的旅游路线最短，并求出最短路线的长． 例2．（2022·统考一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连接AH，CG．若，，，则的最小值为______． 例3．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________． 例4．（2023年陕西中考模试）如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且ED＝OF，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是 ． 例5．（2023·江苏·校考一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，连接对角线AC，将△ADC沿射线CA的方向平移得到△A'D'C'，分别连接BC'，AD'，BD'，则BC'＋BD'的最小值为 ． 例6．（2023·天津河东·校考模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为 ． 模型2.将军造桥（过桥）模型 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1．（2023.山东八年级月考）有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄和村庄，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（    ） A．  B．  C．   D．   例2．（2022上·湖北襄阳·九年级联考自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　    A． B． C．14 D．12 例3．（2023·江苏·八年级校联考期末）如图，已知直线a∥b，a，b之间的距离为4，点P到直线a的距离为4，点Q到直线b的距离为2，PQ=2．在直线a上有一动点A，直线b上有一动点B，满足AB⊥b，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ＝ ． 例4．（2023.广东省深圳市八年级期中）如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=4，OC=10，∠A=60°，线段EF垂直平分OD，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E'关于x轴对称，连接BP、E'M，则BP+PM+ME'的长度的最小值为 ． 例5．（2022·山东滨州·统考中考真题）如图，在矩形中，．若点E是边AD上的一个动点，过点E作且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，的最小值为 ． 1．（2024下·江苏无锡·八年级统考期末）如图，E为正方形中边上的一点，且，，M、N分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为（  ）    A．8 B．8 C．8 D．12 2．（2024下·安徽滁州·八年级统考期末）如图，在矩形中，边的长分别为4和3，点E在上，点F在的延长线上，且，连接，当点E在边上移动时，的最小值为（    ）      A．7 B． C．10 D． 3．（2024下·广东广州·八年级统考期末）如图，在边长为10的正方形对角线上有E，F两个动点，且，点P是中点，连接，则最小值为（    ）    A． B． C． D．10 4．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为的中点，E、F是边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，点E的坐标为 ． 5．（2024·山东·模拟预测）如图，在矩形中，点、分别为、上的动点，连接，恒等于．点为的中点，连接．为线段的中点．点为线段上的一个动点．连接、．若，则的最小值为 ． 6．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线剪开，得到与，将沿方向平移得到，连接、，则的最小值为 ． 7．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，点在上，且，点和点为边上的两个动点，且，则的最小值为 ． 8．（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且，两点之间的水平距离为12米，则的最小值是 米．    9．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是 ．    10．（2024.广东省深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M． （1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____； （2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____； 11．（2023上·北京西城·八年级校考期中）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为 ．    12．（2023上·福建漳州·八年级校考阶段练习）如图，在正方形中，，点E是的中点，P，Q为边上的两点，且，则四边形周长的最小值为 ． 13．（2023下·四川绵阳·八年级统考期中）如图，在平行四边形中，，，连接，且，平分交与于点．点在边上，，若线段（点在点的左侧）在线段上运动，，连接，，则的最小值为 ． 13．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，在矩形中，，．若点E是边上的一个动点，过点E作，交直线于点F，则点E移动的过程中，的最小值为 ．    14．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，则的最小值为 ． 15．（2023下·安徽芜湖·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在AB上，BE＝2，点M，N为AC上动点，且，连接BN，EM，则四边形BEMN周长的最小值为 ． 16．（2023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．    17．（2023·江苏·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，求的周长最小值；(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标. 18．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）（1）如图①，在边长是1的网格中，点A、B、C、D都在格点上，在线段上找一点P，使得最短．（2）如图②，在正方形中，，E是中点，P是对角线AC上一动点，求的最小值．（3）如图③，在正方形中， ，E、F是对角线上的两个动点，且，则的最小值是 ．          2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$