第18章 平行四边形 复习自测题&复习检测题-【数理报期末复习】2024-2025学年八年级数学下册升级突破（人教版 广东专用）

书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．如图１，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ，ＢＤ相 交于点Ｏ．若ＡＣ＝８，则线段ＡＯ的长是（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．１６ ２．矩形具有而菱形不一定具有的性质是 （　　） Ａ．对角相等 Ｂ．对角线相等 Ｃ．对边相等 Ｄ．对角线互相平分 ３．如图２，直线ｌ１∥ｌ２，∠１＝１５０°，且ＡＢ＝ ４ｃｍ，则两平行线ｌ１和ｌ２之间的距离是 （　　） Ａ．４ｃｍ Ｂ．３ｃｍ Ｃ．２ｃｍ Ｄ．１ｃｍ ４．在四边形 ＡＢＣＤ中，两组对边分别相等． 若∠Ｂ＝７０°，则∠Ｃ的度数是 （　　） Ａ．１００° Ｂ．１１０° Ｃ．１２０° Ｄ．１３０° ５．如图３，点Ｅ，Ｆ分别是菱形ＡＢＣＤ边ＡＤ， ＣＤ的中点，ＥＧ⊥ＢＣ交ＣＢ的延长线于点Ｇ．若 ∠ＧＥＦ＝６６°，则∠Ａ的度数是 （　　） Ａ．２４° Ｂ．３３° Ｃ．４８° Ｄ．６６° ６．如图４，将三角尺ＡＢＣ沿边 ＢＣ所在直线 平移后得到△ＤＣＥ，连接ＡＤ，ＡＥ，下列结论错误 的是 （　　） Ａ．△ＡＢＥ是等腰三角形 Ｂ．四边形ＡＢＣＤ是平行四边形 Ｃ．四边形ＡＣＥＤ是矩形 Ｄ．四边形ＡＢＣＤ是菱形 ７．如图５，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１２， ∠ＡＢＣ＝６０°，ＢＥ平分∠ＡＢＣ，交ＡＤ边于点Ｅ， 连接ＣＥ．若ＡＥ＝２ＥＤ，则ＣＥ的长是 （　　） Ａ．１０ Ｂ．６ 槡 槡Ｃ．６３ Ｄ．３６ ８．如图６，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，点 Ｅ 是ＢＡ延长线上一点，２ＣＦ＝ＢＦ，ＡＥ＝ＣＦ，则线 段ＤＧ的长是 （　　） Ａ． 槡３ １０２ 槡Ｂ．２５ 槡Ｃ． １０ Ｄ． 槡 ３ １３ ２ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图７，某居民小区为了美化居住环境， 要在一块三角形ＡＢＣ空地上围一个四边形花坛 ＢＣＦＥ，已知点Ｅ，Ｆ分别是边 ＡＢ，ＡＣ的中点，量 得ＢＣ＝１６米，则ＥＦ的长是 米． １０．如图８，∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ａ＝２０°，点Ｄ是 ＡＢ的中点，则∠ＤＣＢ的度数是 ． １１．如图９，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分 别为ＡＢ，ＣＤ上的点，要使ＡＦ＝ＣＥ，需添加一个 条件为 （写出一个即可）． １２．如图１０，两张等宽的纸条交叉叠放在一 起，重合部分构成一个四边形 ＡＢＣＤ，ＡＤ＝１０， ＢＤ＝１２，则ＡＣ的长为 ． １３．如图１１，Ｅ是正方形ＡＢＣＤ内一点，满足 ∠ＡＥＢ＝９０°，连接ＣＥ．若ＡＢ＝２，则ＣＥ长的最 小值为 ． １４．如图１２，矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６ｃｍ，ＢＣ ＝８ｃｍ，Ｅ，Ｆ是对角线ＡＣ上的两个动点，分别从 Ａ，Ｃ同时出发，相向而行，速度均为２ｃｍ／ｓ，运动 时间为ｔ（０≤ｔ≤５）秒，若Ｇ，Ｈ分别是ＡＢ，ＤＣ的 中点，且ｔ≠２．５，当Ｅ，Ｇ，Ｆ，Ｈ为顶点的四边形为 矩形时，ｔ的值为 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（６分）如图１３，在平行四边形ＡＢＣＤ中， ＢＥ⊥ＡＣ于点 Ｅ，ＤＦ⊥ ＡＣ于点 Ｆ．求证：ＡＦ＝ ＣＥ． １６．（８分）如图１４，在四边形ＡＢＣＤ中，对角 线ＡＣ⊥ ＢＤ，Ｅ，Ｆ分别是 ＡＢ，ＣＤ的中点，连接 ＥＦ．若ＡＣ＝４ｃｍ，ＢＤ＝６ｃｍ，求ＥＦ的长度． １７．（８分）如图１５，在矩形ＡＦＣＧ中，ＢＤ垂 直平分对角线ＡＣ，交ＣＧ于点Ｄ，交ＡＦ于点Ｂ，交 ＡＣ于点Ｏ，连接ＡＤ，ＢＣ． （１）求证：四边形ＡＢＣＤ是菱形； （２）若Ｅ为ＡＢ的中点，ＤＥ⊥ＡＢ，求∠ＢＤＣ 的度数． １８．（１０分）如图１６，在平行四边形 ＡＢＣＤ 中，Ｏ是对角线 ＡＣ，ＢＤ的交点，延长边 ＣＤ到点 Ｆ，使ＤＦ＝ＤＣ，过点Ｆ作ＥＦ∥ＡＣ交ＯＤ的延长 线于点Ｅ，连接ＯＦ，ＥＣ． （１）求证：△ＯＤＣ≌△ＥＤＦ； （２）若ＯＤ＝ＤＣ且∠ＢＥＣ＝４５°，请判断四 边形ＯＣＥＦ的形状，并证明你的结论． １９．（１２分）如图 １７，在菱形 ＡＢＣＤ中， ∠ＢＡＤ＝１２０°，Ｅ是ＣＢ延长线上一点，连接ＤＥ， 交 ＡＢ于点Ｆ，Ｇ是ＤＥ上一点且∠ＢＧＤ＝１２０°， 连接ＡＧ，ＢＧ＝２，ＡＧ＝５，求 ＤＧ的长（提示：作 ∠ＧＡＨ＝１２０°，交ＢＧ的延长线于点Ｈ）                                                                                                                                                                           ． !" ! " # $ ! " # $ % ! ! & ! " ' $ ( % ! " ! # ( " ! $ % " ! ' % ( ! $ ! % ! " $ % !( % " ' $ ! & " $ ( ! % ! !! ! !' " ) $ ' ( & ! % " ' $ ! ( % ! !# ' ! ( % # " $ & ! !( " $ % ' ! & ( ! !$ " ( $ ' # % ! ! !) " $ ( % ! ! ( ! ) " ' ! & $ % ( ! !* ! " $ % " ' $ ( % ! ! !" * + * ! % ! ! + ! !"#$%& !"#!$ '( )* %+,-*. 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．在ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝３２°，则∠Ｃ的度数 为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１５８° Ｂ．１４８° Ｃ．５８° Ｄ．３２° ２．已知正方形ＡＢＣＤ对角线的长为槡２，则这 个正方形的面积为 （　　） 槡 槡Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．２ Ｄ．２２ ３．如图１，已知点 Ｄ，Ｅ，Ｆ分 别是 ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ的中点，△ＡＢＣ 的周长为１２，则 △ＤＥＦ的周长 是 （　　） Ａ．６ 　　　　Ｂ．７ Ｃ．８ 　　　　Ｄ．１０ ４．在菱形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ与ＢＤ交于点 Ｏ，则ＯＡ∶ＯＢ∶ＢＣ的值可以是 （　　） Ａ．１∶１∶２ Ｂ．１∶２∶３ Ｃ．２∶３∶４ Ｄ．３∶４∶５ ５．在平行四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ，ＢＤ交于点 Ｏ，设∠ＤＢＣ＝θ，∠ＢＯＣ＝β，若β关于θ的函数 解析式是β＝１８０°－２θ（０°＜θ＜９０°），则下列 说法正确的是 （　　） Ａ．ＢＯ＝ＢＣ Ｂ．ＯＣ＝ＢＣ Ｃ．四边形ＡＢＣＤ是菱形 Ｄ．四边形ＡＢＣＤ是矩形 ６．如图２，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，ＢＤ＝２ＡＤ，点 Ｅ，Ｆ分别是 ＯＣ，ＡＢ的中点，连接ＢＥ，ＦＥ，若∠ＡＢＥ＝４２°，则 ∠ＡＥＦ的度数为 （　　） Ａ．４２° Ｂ．４５° Ｃ．４８° Ｄ．５８° ７．如图３，四边形 ＥＦＧＨ是由矩形 ＡＢＣＤ的 外角平分线围成的，则四边形ＥＦＧＨ的形状是 （　　） Ａ．矩形 Ｂ．菱形 Ｃ．平行四边形 Ｄ．正方形 ８．如图４，在 ＡＢＣＤ 中，Ｅ，Ｆ分别为边 ＡＢ，ＣＤ 的中点，ＢＤ是对角线，ＡＧ ∥ＤＢ，交 ＣＢ的延长线于 Ｇ，连接 ＧＦ，若 ＡＤ⊥ ＢＤ． 下列结论：①ＤＥ∥ ＢＦ；② 四边形ＢＥＤＦ是菱形；③Ｓ△ＢＦＧ ＝ １ ４ＳＡＢＣＤ；④ＦＧ ⊥ＡＢ，其中正确的是 （　　） Ａ．①②③④ Ｂ．①②③ Ｃ．①②④ Ｄ．①③④ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图５，点Ａ，Ｂ在直线ｌ上，Ｄ为直线ｌ外一 点，连接ＡＤ，分别以点Ｂ，Ｄ为圆心，ＡＤ，ＡＢ的长 为半径画弧，两弧交于点Ｃ，连接ＣＤ，ＢＣ，则四边 形ＡＢＣＤ是平行四边形的理由是 ． １０．如图６，点 Ｐ是正方形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ上的一点，ＰＥ⊥ＡＤ于点Ｅ，ＰＥ＝３，则点Ｐ到 直线ＡＢ的距离为 ． １１．如图７，四边形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ 相交于点Ｏ，且互相垂直，添加一个条件能判定 四边形 ＡＢＣＤ为菱形．你添 加 的 条 件 是 ． １２．如图８，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２ＢＣ，在 ＣＤ上取一点Ｅ，使ＡＥ＝ＡＢ，则∠ＥＢＣ的度数为 ． １３．如图 ９，已知菱形 ＡＢＣＤ的边长为 ４， ∠ＤＡＢ＝６０°，Ｅ为ＡＢ的中点，Ｆ为ＣＥ的中点， ＡＦ与ＤＥ相交于点Ｇ，则ＧＦ的长等于 ． １４．如图１０，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ｂ ＝６０°，ＢＣ＝４，点Ｐ为斜边ＡＢ上的一个动点（不 与点Ａ，Ｂ重合），过点Ｐ作ＰＤ⊥ＡＣ，ＰＥ⊥ＢＣ， 垂足分别为点Ｄ和点Ｅ，连接ＤＥ，ＰＣ交于点Ｑ， 连接ＡＱ，当△ＡＰＱ为直角三角形时，ＡＰ的长是 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（６分）如图１１，在同一平面内的平行四 边形ＡＢＣＤ和平行四边形ＣＤＥＦ的周长相等，且 ∠ＢＡＤ＝６０°，∠Ｆ＝１１０°，求∠ＤＡＥ的度数． １６．（８分）如图１２，在ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分 别在ＢＣ，ＡＤ上，ＢＥ＝ＤＦ，ＡＣ＝ＥＦ．求证：四边 形ＡＥＣＦ是矩形． １７．（８分）如图１３，一张矩形纸片ＡＢＣＤ，将 点Ｂ翻折到对角线ＡＣ上的点Ｍ处，折痕ＣＥ交 ＡＢ于点Ｅ，将点Ｄ翻折到对角线ＡＣ上的点Ｈ处， 折痕ＡＦ交ＤＣ于点Ｆ，折叠出四边形ＡＥＣＦ． （１）求证：ＡＦ∥ＣＥ； （２）当 ∠ＢＡＣ ＝ 度时，四边形 ＡＥＣＦ是菱形？请说明理由． １８．（１０分）如图１４，在ＡＢＣＤ中，点Ｏ是 对角线ＢＤ的中点，点Ｅ在边ＢＣ上，ＥＯ的延长线 与边ＡＤ交于点Ｆ，连接ＢＦ，ＤＥ． （１）求证：四边形ＢＥＤＦ是平行四边形； （２）如图１５，若ＤＥ＝ＤＣ，∠ＣＢＤ＝４５°，过 点Ｃ作ＤＥ的垂线，与ＤＥ，ＢＤ，ＢＦ分别交于点Ｇ， Ｈ，Ｐ．当ＣＤ＝６，ＣＥ＝４时，求ＰＧ的长． １９．（１２分）如图１６，四边形ＡＢＣＤ和四边形 ＢＥＦＧ都是正方形，点Ｅ在射线ＣＤ上，ＡＣ交ＢＥ 于点Ｏ，ＧＨ⊥ＡＢ交ＡＢ的延长线于点Ｈ． （１）若Ｄ为ＣＥ的中点，求证：ＯＥ＝２ＯＢ； （２）求证：                                                                                                                                                                           ＡＢ＝ＢＨ． ! " # $ !" ! " # $ % & ! ! & $ ' " # % ! ! " ! # (! % & ) $ * # + " , - & ! , $ % " # ! $ . & ! # " ! % ! & & " ' # ! ! & $ " # ! ' # ! ( " , $ % ! & ! & ) # $ " ! ) ! !* ! ) $ - & " # ! & $ + * % " # ! !# & $ ' " % # ! & $ ' " % # ! , + ) ! !$ ! !% +! , & ' # " $ % ! !) $ % " # ! & ! !! & $ ! " %# ! !" !"#$%& !"#!$ '( )* %+,-*. 书 《勾股定理》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ｂ 二、９．５；　１０．真；　１１．３－槡５；　１２．２０；　１３．直角； １４．２或 槡２７． 三、１５．根据题意，得５２＋（ｘ－２）２＝（ｘ＋１）２．解得ｘ＝１４３． １６．△ＡＢＤ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ⊥ＢＣ，所以∠Ｃ＝９０°．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ＝ ２，由勾股定理，得ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２＝８．因为ＡＢ２＋ＢＤ２＝８＋ ２２ ＝１２，ＡＤ２ ＝１２，即ＡＢ２＋ＢＤ２＝ＡＤ２，所以△ＡＢＤ是直角三 角形． １７．因为ＭＮ⊥ＡＢ，所以∠ＡＮＭ＝∠ＢＮＭ＝９０°．所以ＢＮ２ ＝ＢＭ２－ＭＮ２，ＡＮ２ ＝ＡＭ２－ＭＮ２．所以 ＡＮ２－ＢＮ２ ＝ＡＭ２－ ＢＭ２．因为∠Ｃ＝９０°，所以ＡＭ２ ＝ＡＣ２＋ＣＭ２．所以ＡＮ２－ＢＮ２ ＝ＡＣ２＋ＣＭ２－ＢＭ２．因为ＡＭ是中线，所以ＢＭ＝ＣＭ．所以ＡＮ２ －ＢＮ２ ＝ＡＣ２． １８．（１）△ＡＢＣ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ２＋ＢＣ２ ＝１６０２＋１２０２ ＝４００００，ＡＢ２ ＝２００２ ＝ ４００００，即ＡＣ２＋ＢＣ２ ＝ＡＢ２，所以△ＡＢＣ是直角三角形． （２）甲方案所修的水渠较短．理由如下： 因为Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＢ·ＣＨ＝ １ ２ＡＣ·ＢＣ，所以ＣＨ＝ ＡＣ·ＢＣ ＡＢ ＝９６ｍ．因为ＡＣ＋ＢＣ＝２８０ｍ，ＣＨ＋ＡＢ＝２９６ｍ，即ＡＣ＋ＢＣ ＜ＣＨ＋ＡＢ，所以甲方案所修的水渠较短． １９．（１）因为 ＡＢ＝ＢＣ，ＡＣ＞ＡＢ，所以 ａ＝ｃ，ｂ＞ｃ．因为 △ＡＢＣ是“类勾股三角形”，所以ａｃ＋ａ２＝ｂ２，即ｃ２＋ａ２＝ｂ２．所 以△ＡＢＣ是等腰直角三角形．所以∠Ａ＝４５°． （２）过点Ｃ作ＣＧ⊥ＡＢ于点Ｇ，图略．由题意，得ＡＤ＝ＣＤ＝ ＢＣ＝ａ．所以ＤＢ＝ＡＢ－ＡＤ＝ｃ－ａ．因为ＣＧ⊥ＡＢ，所以ＤＧ＝ ＢＧ＝ １２（ｃ－ａ）．所以ＡＧ＝ＡＤ＋ＤＧ＝ａ＋ １ ２（ｃ－ａ）＝ １ ２（ａ ＋ｃ）．在Ｒｔ△ＡＣＧ中，ＣＧ２ ＝ＡＣ２－ＡＧ２＝ｂ２－［１２（ａ＋ｃ）］ ２． 在Ｒｔ△ＢＣＧ中，ＣＧ２＝ＢＣ２－ＢＧ２＝ａ２－［１２（ｃ－ａ）］ ２．所以ｂ２ －［１２（ａ＋ｃ）］ ２＝ａ２－［１２（ｃ－ａ）］ ２．整理，得ｂ２＝ａｃ＋ａ２． 所以△ＡＢＣ是“类勾股三角形”． 《平行四边形》专项练习 １．Ｄ；　２．Ａ；　３．３；　４．２０；　５．Ｂ；　６．Ｃ． ７．连接ＣＥ，图略．因为Ｄ是ＡＣ边的中点，所以ＡＤ＝ＣＤ．因 为ＤＥ＝ＢＤ，所以四边形ＡＢＣＥ是平行四边形．所以ＡＥ＝ＢＣ，ＡＥ ∥ＢＣ．因为ＣＦ＝ＢＣ，所以ＣＦ＝ＡＥ．所以四边形ＡＣＦＥ是平行 四边形． ８．Ｄ；　９．Ｄ；　１０．Ｃ； 槡　１１．２２；　１２．２；　１３．２５°． １４．（１）因为ＡＢ∥ＤＥ，所以∠Ａ＝∠Ｄ．因为ＡＣ＝ＦＤ，所 以ＡＣ－ＣＦ＝ＤＦ－ＣＦ，即 ＡＦ＝ＤＣ．在 △ＡＢＦ和 △ＤＥＣ中， ＡＦ＝ＤＣ， ∠Ａ＝∠Ｄ， ＡＢ＝ＤＥ { ， 所以△ＡＢＦ≌△ＤＥＣ（ＳＡＳ）． （２）因为△ＡＢＦ≌△ＤＥＣ，所以ＢＦ＝ＥＣ，∠ＢＦＡ＝∠ＥＣＤ． 所以１８０°－∠ＢＦＡ＝１８０°－∠ＥＣＤ，即∠ＢＦＣ＝∠ＥＣＦ．所以 ＥＣ∥ＢＦ．所以四边形ＢＣＥＦ是平行四边形．因为∠ＣＥＦ＝９０°， 所以四边形ＢＣＥＦ是矩形． １５．Ｄ；　１６．（１）６，（２）６． １７．（１）因为 △ＡＯＥ≌ △ＤＯＣ，所以 ＯＡ＝ＯＤ，ＡＥ＝ＣＤ， ∠Ｅ＝∠ＤＣＯ．所以ＣＤ∥ＡＢ．因为点Ａ为ＢＥ的中点，所以ＡＥ＝ ＡＢ．所以ＣＤ＝ＡＢ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形．因为ＯＤ＝ １ ２ＤＣ，ＯＤ＝ １ ２ＡＤ，所以ＡＤ＝ＤＣ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． （２）过点Ｃ作ＣＦ⊥ＡＢ于点Ｆ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是 菱形，所以ＡＢ＝ＢＣ＝６．因为菱形ＡＢＣＤ的面积等于 槡１８３，所以 ＡＢ边上的高ＣＦ＝ 槡１８３÷６＝ 槡３３．因为∠Ｅ＝３０°，所以ＥＣ＝ ２ＣＦ＝ 槡６３． １８．（１）因为ＡＤ＝ＣＤ，ＢＤ⊥ＡＣ，所以ＯＡ＝ＯＣ．因为ＯＥ＝ ＯＤ，所以四边形ＡＥＣＤ是平行四边形．因为ＡＣ⊥ ＢＤ，所以四边 形ＡＥＣＤ是菱形． （２）因为ＡＢ平分∠ＥＡＣ，ＣＦ⊥ＡＥ，ＯＥ⊥ＯＡ，所以ＢＦ＝ＯＢ ＝３，∠ＡＯＥ＝９０°．所以Ｒｔ△ＡＦＢ≌Ｒｔ△ＡＯＢ（ＨＬ）．所以ＡＦ＝ ＯＡ．因为ＢＥ＝５，所以ＥＦ＝ ＢＥ２－ＢＦ槡 ２ ＝４，ＯＥ＝ＯＢ＋ＢＥ ＝８．在Ｒｔ△ＡＯＥ中，根据勾股定理，得ＯＡ２＋ＯＥ２＝ＡＥ２，即（ＡＥ －４）２＋８２＝ＡＥ２．解得ＡＥ＝１０．因为四边形ＡＥＣＤ是菱形，所以 ＡＤ＝ＡＥ＝１０． １９．Ｂ． ２０．因为ＢＧＢＥ＝ ３ ４，所以设ＢＧ＝３ｘ，则ＢＥ＝４ｘ．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以∠Ｂ＝９０°．所以ＥＧ＝ ＢＧ２＋ＢＥ槡 ２＝５ｘ． 因为ＦＧ是ＡＥ的垂直平分线，所以ＡＧ＝ＥＧ＝５ｘ．所以ＡＢ＝ＡＧ ＋ＢＧ＝８ｘ． （１）因为正方形ＡＢＣＤ的边长为４，所以８ｘ＝４．解得 ｘ＝ １ ２．所以ＢＧ＝３ｘ＝ ３ ２． （２）连接ＡＦ，ＥＦ，图略．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ＝８ｘ，∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°．所以ＣＥ＝ＢＣ－ＢＥ＝ ４ｘ．因为ＦＧ是ＡＥ的垂直平分线，所以ＡＦ＝ＥＦ．所以ＡＤ２＋ＤＦ２ ＝ＣＥ２＋ＣＦ２，即（８ｘ）２＋ＤＦ２＝（４ｘ）２＋（８ｘ－ＤＦ）２．解得ＤＦ ＝ｘ．所以ＣＦ＝ＣＤ－ＤＦ＝７ｘ．所以ＤＦＣＦ＝ １ ７． ２１．Ｂ． ２２．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＣＤ ＝ＡＢ＝４．因为ＣＥ∥ＤＢ，所以四边形ＥＣＤＢ是平行四边形．所以 ＢＥ＝ＣＤ＝４．因为２ＢＯ＝４，所以ＢＯ＝２．所以ＯＥ＝ＢＥ－ＢＯ ＝２． （２）由（１）得ＯＢ＝ＯＥ＝２．因为ＣＥ∥ＤＢ，所以∠ＣＥＯ＝ ∠ＦＢＯ，∠ＥＣＯ＝∠ＢＦＯ．所以△ＣＯＥ≌△ＦＯＢ（ＡＡＳ）．所以ＯＣ ＝ＯＦ．所以四边形 ＢＣＥＦ是平行四边形．因为 ＡＢ∥ ＣＤ，ＣＦ⊥ ＣＤ，所以ＣＦ⊥ＯＢ．所以四边形ＢＣＥＦ是菱形．因为ＢＥ＝ＣＤ，ＣＦ ＝ＣＤ，所以ＢＥ＝ＣＦ．所以四边形ＢＣＥＦ是正方形． 《平行四边形》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ 二、９．８；　１０．７０°；　１１．答案不惟一，如ＤＦ＝ＢＥ； １２．１６；　１３．槡５－１；　１４．０．５或４．５． 三、１５．因为四边形ＡＢＣＤ为平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ ＝ＢＣ．所以 ∠ＤＡＦ＝∠ＢＣＥ．因为 ＢＥ⊥ ＡＣ，ＤＦ⊥ ＡＣ，所以 ∠ＣＥＢ＝∠ＡＦＤ＝９０°．所以△ＡＤＦ≌△ＣＢＥ（ＡＡＳ）．所以ＡＦ＝ ＣＥ． １６．取 ＢＣ的中点 Ｈ，连接 ＥＨ，ＦＨ，图略．因为 Ｅ，Ｆ分别是 ＡＢ，ＣＤ的中点，所以ＥＨ＝ １２ＡＣ＝２ｃｍ，ＦＨ＝ １ ２ＢＤ＝３ｃｍ， ＥＨ∥ ＡＣ，ＦＨ∥ ＢＤ．因为 ＡＣ⊥ ＢＤ，所以 ∠ＥＨＦ＝９０°．在 Ｒｔ△ＥＨＦ中，由勾股定理，得ＥＦ＝ ＥＨ２＋ＦＨ槡 ２ ＝槡１３ｃｍ． １７．（１）因为ＢＤ垂直平分ＡＣ，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＡＤ＝ＣＤ，ＡＢ ＝ＢＣ．因为四边形ＡＦＣＧ是矩形，所以ＣＧ∥ＡＦ．所以∠ＣＤＯ＝ ∠ＡＢＯ，∠ＤＣＯ＝∠ＢＡＯ．所以△ＣＯＤ≌△ＡＯＢ（ＡＡＳ）．所以ＣＤ ＝ＡＢ．所以ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． （２）因为Ｅ为ＡＢ的中点，ＤＥ⊥ＡＢ，所以ＡＤ＝ＤＢ．因为ＡＤ ＝ＡＢ，所以△ＡＤＢ为等边三角形．所以∠ＤＢＡ＝６０°．因为ＣＤ∥ ＡＢ，所以∠ＢＤＣ＝∠ＤＢＡ＝６０°． １８．（１）因为ＥＦ∥ＡＣ，所以∠ＥＦＤ＝∠ＯＣＤ．在△ＯＤＣ和 △ＥＤＦ中， ∠ＯＣＤ＝∠ＥＦＤ， ＤＣ＝ＤＦ， ∠ＣＤＯ＝∠ＦＤＥ { ， 所以△ＯＤＣ≌△ＥＤＦ（ＡＳＡ）． （２）四边形ＯＣＥＦ是正方形．证明如下： 因为△ＯＤＣ≌△ＥＤＦ，所以ＯＤ＝ＥＤ．因为ＤＦ＝ＤＣ，所以 四边形ＯＣＥＦ是平行四边形．因为ＯＤ＝ＤＣ，所以ＥＤ＝ＤＣ，ＯＥ ＝ＣＦ．所以四边形 ＯＣＥＦ是矩形．因为 ∠ＢＥＣ＝４５°，所以 ∠ＤＣＥ＝４５°．所以∠ＣＤＥ＝１８０°－∠ＤＥＣ－∠ＤＣＥ＝９０°．所 以ＯＥ⊥ＣＦ．所以四边形ＯＣＥＦ是正方形． １９．作∠ＧＡＨ＝１２０°，交ＢＧ的延长线于点Ｈ，作ＡＴ⊥ＢＨ于 点Ｔ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ＝ＡＤ．因为∠ＢＡＤ ＝１２０°，所以∠ＧＡＨ＋∠ＧＡＢ＝∠ＢＡＤ＋∠ＧＡＢ，即 ∠ＢＡＨ＝ ∠ＤＡＧ．由对顶角相等，得∠ＡＦＤ＝∠ＢＦＧ．因为∠ＢＧＤ＝１２０°， 所以１８０°－∠ＡＦＤ－∠ＢＡＤ＝１８０°－∠ＢＦＧ－∠ＢＧＤ，即∠ＡＤＦ ＝∠ＧＢＦ．所以△ＨＡＢ≌△ＧＡＤ（ＡＳＡ）．所以ＡＨ＝ＡＧ＝５，ＢＨ ＝ＤＧ．因为ＡＴ⊥ＢＨ，所以ＧＨ＝２ＴＨ，∠ＨＡＴ＝６０°．所以∠Ｈ＝ ３０°．所以 ＡＴ＝ １２ＡＨ＝ ５ ２．根据勾股定理，得 ＴＨ＝ＴＧ＝ ＡＨ２－ＡＴ槡 ２ ＝ 槡 ５３ ２．所以ＧＨ＝ 槡５３．所以ＤＧ＝ＢＨ＝ＢＧ＋ＧＨ ＝２＋ 槡５３． 《平行四边形》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ａ Ａ Ｄ Ｄ Ｃ Ｄ Ｂ 二、９．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； １０．３；　１１．答案不惟一，如ＡＣ，ＢＤ互相平分；　１２．１５°； １３．槡１９２ ；　１４．６或 槡４３． 三、１５．因为平行四边形ＡＢＣＤ与平行四边形 ＣＤＥＦ的周长 相等，所以 ＡＢ∥ ＣＤ，ＡＤ＝ＤＥ．所以 ∠ＤＡＥ＝∠ＤＥＡ．因为 ∠ＢＡＤ＝６０°，∠Ｆ＝１１０°，所以∠ＡＤＣ＝１８０°－∠ＢＡＤ＝１２０°， ∠ＣＤＥ＝∠Ｆ＝１１０°．所以∠ＡＤＥ＝３６０°－∠ＡＤＣ－∠ＣＤＥ＝ １３０°．所以∠ＤＡＥ＝ １２（１８０°－∠ＡＤＥ）＝２５°． １６．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ＝ＢＣ，ＡＤ∥ ＢＣ．因为ＢＥ＝ＤＦ，所以ＡＤ－ＤＦ＝ＢＣ－ＢＥ，即ＡＦ＝ＥＣ．所以 四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．因为ＡＣ＝ＥＦ，所以四边形ＡＥＣＦ是 矩形． １７．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ为矩形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ．所以 ∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ．由折叠的性质，得 ∠ＨＡＦ ＝ １２∠ＤＡＣ ＝ １ ２∠ＢＣＡ＝∠ＭＣＥ．所以ＡＦ∥ＣＥ． （２）３０．理由如下： 因为四边形ＡＢＣＤ为矩形，所以ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝９０°．又ＡＦ ∥ＣＥ，所以四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．因为∠ＢＡＣ＝３０°，所以 ∠ＡＣＢ＝９０°－∠ＢＡＣ＝６０°．所以∠ＭＣＥ＝３０°．所以ＡＥ＝ＣＥ． 所以四边形ＡＥＣＦ是菱形． １８．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，点 Ｏ是 ＢＤ的中 点，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＢＯ＝ＤＯ．所以∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ．在△ＢＯＥ和 △ＤＯＦ中， ∠ＥＢＯ＝∠ＦＤＯ， ＢＯ＝ＤＯ， ∠ＢＯＥ＝∠ＤＯＦ { ， 所以△ＢＯＥ≌△ＤＯＦ（ＡＳＡ）．所以 ＤＦ＝ＢＥ．所以四边形ＢＥＤＦ是平行四边形． （２）过点Ｄ作ＤＮ⊥ＥＣ于点Ｎ，图略．因为ＤＥ＝ＤＣ＝６， ＤＮ⊥ＥＣ，ＣＥ＝４，所以ＥＮ＝ＣＮ＝２．所以ＤＮ＝ ＤＣ２－ＣＮ槡 ２ ＝ 槡４２．因为∠ＤＢＣ＝４５°，ＤＮ⊥ＢＣ，所以∠ＢＤＮ＝∠ＤＢＣ＝ ４５°．所以ＢＮ＝ＤＮ＝ 槡４２．所以ＢＥ＝ＢＮ－ＥＮ＝ 槡４２－２．因为 ＳＢＥＤＦ ＝ＢＥ·ＤＮ＝ＤＥ·ＰＧ，所以ＰＧ＝ ＢＥ·ＤＮ ＤＥ ＝ １６－ 槡４２ ３ ． １９．（１）取ＯＣ的中点Ｍ，连接ＤＭ．因为四边形ＡＢＣＤ是正方 形，所以 ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ ＣＤ，∠ＢＡＯ ＝∠ＤＣＭ ＝４５°．所以 ∠ＣＥＯ＝∠ＡＢＯ．因为Ｄ为ＣＥ的中点，Ｍ为ＯＣ的中点，所以ＯＥ ＝２ＭＤ，ＤＭ∥ ＯＥ．所以 ∠ＣＤＭ ＝∠ＣＥＯ．所以 ∠ＡＢＯ ＝ ∠ＣＤＭ．在△ＡＢＯ和△ＣＤＭ中， ∠ＢＡＯ＝∠ＤＣＭ， ＡＢ＝ＣＤ， ∠ＡＢＯ＝∠ＣＤＭ { ， 所以△ＡＢＯ ≌△ＣＤＭ（ＡＳＡ）．所以ＯＢ＝ＭＤ．所以ＯＥ＝２ＯＢ． （２）因为四边形ＡＢＣＤ和四边形ＢＥＦＧ都是正方形，所以ＡＢ ＝ＢＣ，∠ＢＣＥ＝∠ＥＢＧ＝９０°，ＢＥ＝ＢＧ．所以∠ＢＥＣ＋∠ＥＢＣ ＝９０°，∠ＡＢＥ＋∠ＧＢＨ＝９０°．由（１）得∠ＢＥＣ＝∠ＡＢＥ．所以 ∠ＥＢＣ＝∠ＧＢＨ．因为ＧＨ⊥ＡＢ，所以∠ＢＨＧ＝９０°．所以△ＢＥＣ ≌△ＢＧＨ（ＡＡＳ）．所以ＢＣ＝ＢＨ．所以ＡＢ＝ＢＨ． 《一次函数》专项练习 １．Ａ；　２．ｘ＞１；　３．Ｄ；　４．Ｂ；　５．８４０；　６．Ｄ；　７．Ｂ； ８．Ａ；　９．－２；　１０．Ｃ；　１１．＞；　１２．３；　１３．Ｄ； １４．ｙ＝４ｘ－５；　１５．Ａ；　１６．３；　１７．Ｃ． １８．（１）设 Ａ，Ｂ两种品牌小电器每台的进价分别为 ｘ元、 ｙ元．根据题意，得 ２ｘ＋３ｙ＝９０， ３ｘ＋ｙ＝６５{ ．解得 ｘ＝１５， ｙ＝２０{ ． 答：Ａ，Ｂ两种品牌小电器每台进价分别为１５元、２０元． （２）设购进Ａ种品牌小电器 ａ台，则购进 Ｂ种品牌小电器 （１５０－ａ）台．根据题意，得２７５０≤１５ａ＋２０（１５０－ａ）≤２８５０． 解得３０≤ａ≤５０． 答：购进Ａ种品牌小电器数量的取值范围为３０≤ａ≤５０． （３）设获利ｗ元．根据题意，得ｗ＝３ａ＋４（１５０－ａ）＝－ａ ＋６００．因为所购进的Ａ，Ｂ两种品牌小电器全部销售完后获得的 总利润不少于５６５元，所以－ａ＋６００≥５６５．解得ａ≤３５．所以３０ ≤ａ≤３５．所以甲合理的采购方案有６种，方案一：购进Ａ种品牌 小电器３０台，Ｂ种品牌小电器１２０台；方案二：购进Ａ种品牌小电 器３１台，Ｂ种品牌小电器１１９台；方案三：购进 Ａ种品牌小电器 ３２台，Ｂ种品牌小电器 １１８台；方案四：购进 Ａ种品牌小电器 ３３台，Ｂ种品牌小电器 １１７台；方案五：购进 Ａ种品牌小电器 ３４台，Ｂ种品牌小电器 １１６台；方案六：购进 Ａ种品牌小电器 ３５台，Ｂ种品牌小电器１１５台．因为 －１＜０，所以ｗ随ａ的增大而减 小．所以当ａ＝３０时，获利最大，最大利润为：－３０＋６００＝５７０元． 答：购进Ａ种品牌小电器３０台，Ｂ种品牌小电器１２０台，获得 的利润最大，最大利润是５７０元． 《一次函数》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ｂ Ｄ 二、９．日期；　１０．±２；　１１． ｘ＝２， ｙ＝４{ ；　１２．４２                                                                                                                                                                                         ； ! 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