专题08 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题08.特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型 将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.将军遛马模型 2 模型2.将军造桥（过桥）模型 2 3 模型1.将军遛马模型 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 例1．（2023·西安·统考一模）问题提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE＝1；BF＝2．（1）如图①，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为 ； （2）如图②，P、M是AB边上两动点，且PM＝2，现要求计算出EP、PM、MF和的最小值．九年级一班某兴趣小组通过讨论得出一个解决方法：在DA的延长线上取一点E'，使AE'＝AE，再过点E'作AB的平行线E'C，在E'C上E”的下方取点M，使E'M'＝2，连接M'F，则与AB边的交点即为M，再在边AB上点M的上方取P点，且PM＝2，此时EP+PM+MF的值最小．但他们不确定此方法是否可行，便去请教数学田老师，田老师高兴地说：“你们的做法是有道理的”．现在请你根据叙述作出草图并计算出EP+PM+MF的最小值； 问题解决：（3）聪聪的爸爸是供电公司的线路设计师，公司准备架设一条经过农田区的输电线路，为M、N两个村同时输电．如图所示，农田区两侧AB与CD平行，且农田区宽为0.5千米，M村到AB的距离为2千米，N村到CD的距离为1千米，M、N所在的直线与AB所夹锐角恰好为45°，根据架线要求，在农田区内的线路要与AB垂直．请你帮助聪聪的爸爸设计出最短的线路图，并计算出最短线路的长度．（要求：写出计算过程，结果保留根号） 例2．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在矩形中，，点P、点Q分别在边上，且，连接和，则的最小值是_______． 例3．（2023下·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 例4．（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______． 例5．（2023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为的正方形中将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为______． 例6．（2023下·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，连接，，，则的最小值为 ． 模型2.将军造桥（过桥）模型 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1．（2023.北京西城八年级期中）作图题（不写作法） （）如图，一个牧童从点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线；（）如图，直线是一条河，，是两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向，两地供水，要使所需管道的长度最短，在图中标出点．（保留作图过程）；（）如图，在一条河的两岸有，两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段表示．试问：桥建在何处，才能使到的路程最短呢？请在图中画出桥的位置．（保留作图过程） 例2．（2022上·湖北襄阳·九年级联考自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　    A． B． C．14 D．12 例3．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为(   ) A．2 B．1+3 C．3+ D． 例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    例6．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是________．    1．（2024安徽二模）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且EF＝2，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是（    ） A．4 B．4+ C．2+2 D．6 2．（2024·重庆·统考一模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为（　　） A．2 B．4 C．2 D．4 3．（2023·安徽合肥·校考三模）在边长为2的正方形中，点E、F是对角线上的两个动点，且始终保持，连接、，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 4．（2024下·广东深圳·八年级校考期中）如图，中，，若D，E是边上的两个动点，F是边上的一个动点，，则的最小值为 ． 5．（2024上·河南郑州·九年级校联考期末）如图，矩形中，，G是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为 ． 6．（2024上·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是 ． 7．（2024·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __． 8．（2024·四川成都·模拟预测）如图，菱形的边在轴上，顶点坐标为，顶点坐标为，点在轴上，线段轴，且点坐标为，若菱形沿轴左右运动，连接、，则运动过程中，四边形周长的最小值是________． 9．（2024.广东深圳九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M． （1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____； （2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____； 10．（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，，在边上有一线段由B向C运动，点F到达点C后停止运动，E在F的左侧，，连接，则周长的最小值为______．    11．（2023·山东泰安·模拟预测）如图，在菱形中，，，点，在上，且，连接，，则的最小值为________． 12．（2024·山东·八年级专题练习）如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．    13．（2023·陕西西安·校考二模）如图，矩形中，，，点E是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为___________． 14．（2023·江苏盐城·统考三模）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是 ．    15．（2024下·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且，两点之间的水平距离为12米，则的最小值是 米．    16．（2023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．    17．（2023·陕西咸阳·校考一模）【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，A、B两点的水平距离，点P是直线l上的一个动点，则的最小值是________； 【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值； 【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在和上分别选取点M、N，沿、和修建地下水管，为了节约成本，要使得线段、与之和最小． 已测出，，，，，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．    18．（2023·广东深圳·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，B、C在第一象限内，且OA＝6，OC＝3，∠AOC＝45°． （1）顶点B的坐标为　　，顶点C的坐标为　　；（2）设对角线AC、OB交于点E，在y轴上有一点D（0，﹣1），x轴上有一长为1个单位长度的可以左右平移的线段MN，点M在点N的左侧，连接DM、EN，求DM+EN的最小值；（3）如图2，若直线l：y＝kx+b过点P（0，﹣2），且把平行四边形OABC的面积分成1：2的两部分，请直接写出直线l的函数解析式． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08.特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型 将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.将军遛马模型 2 模型2.将军造桥（过桥）模型 2 3 模型1.将军遛马模型 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 例1．（2023·西安·统考一模）问题提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE＝1；BF＝2．（1）如图①，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为 ； （2）如图②，P、M是AB边上两动点，且PM＝2，现要求计算出EP、PM、MF和的最小值．九年级一班某兴趣小组通过讨论得出一个解决方法：在DA的延长线上取一点E'，使AE'＝AE，再过点E'作AB的平行线E'C，在E'C上E”的下方取点M，使E'M'＝2，连接M'F，则与AB边的交点即为M，再在边AB上点M的上方取P点，且PM＝2，此时EP+PM+MF的值最小．但他们不确定此方法是否可行，便去请教数学田老师，田老师高兴地说：“你们的做法是有道理的”．现在请你根据叙述作出草图并计算出EP+PM+MF的最小值； 问题解决：（3）聪聪的爸爸是供电公司的线路设计师，公司准备架设一条经过农田区的输电线路，为M、N两个村同时输电．如图所示，农田区两侧AB与CD平行，且农田区宽为0.5千米，M村到AB的距离为2千米，N村到CD的距离为1千米，M、N所在的直线与AB所夹锐角恰好为45°，根据架线要求，在农田区内的线路要与AB垂直．请你帮助聪聪的爸爸设计出最短的线路图，并计算出最短线路的长度．（要求：写出计算过程，结果保留根号） 【答案】（1）；（2）EP+PM+MF的最小值是7；（3）km 【详解】解：（1）如图①，延长至，使，连接，过作于， 矩形，，， 当，，三点共线时，最小，即最小； 由勾股定理得：，故答案为； （2）如图②，延长至，使，在下方作，在上截取，连接交于，在上截取，连接，， 矩形，即， ，四边形是平行四边形， ，，三点共线，为最小值，即为最小值． （3）如图③，过作于，过作于，作交于，交于， 在上截取，连接交于，作交于，连接， ，， 四边形是平行四边形， 由题意知，，，，，， 在△中，， 最短线路长度为． 例2．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在矩形中，，点P、点Q分别在边上，且，连接和，则的最小值是_______． 【答案】13 【详解】解：∵四边形是矩形，∴， ∵，∴四边形是平行四边形，∴，作点A关于的对称点E， 则，，当B、Q、E在同一直线上时，取得最小值， 此时，，∴的最小值是13，故答案为：13． 例3．（2023下·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将沿着向左平移使与重合，得到，如图所示： 由平移性质得到，， 作关于的对称点，连接，如图所示：       由对称性得到，， 由图可知，，此时，当三点共线时，有最小值，为线段长，，， 在长方形中，，，由矩形性质可得， ， 是的中点，， 与关于的对称，，在长方形中，， 在中，，，，由勾股定理得到，的最小值，故选：C． 例4．（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______． 【答案】/ 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，． ，．，，∴四边形为平行四边形，． ，，三点共线，此时的周长最小． ，，即，， 周长的最小值为：．故答案为：． 例5．（2023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为的正方形中将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为______． 【答案】 【详解】如图，将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE， ∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，∴四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形， ∴AE∥BG，CG=DE，∴AE⊥CC′，由作图易得，点C与点C′关于AE对称，C′E=CE， 又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小， 此时，在Rt△C′D′E中，C′B′=4，B′D=4+4=8， C′D=， 即EC+GC的最小值为，故答案为：． 例6．（2023下·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，连接，，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接交于点O，∵四边形为菱形，∴， ∵，∴，根据勾股定理可得，∴， 整理得：，∵，∴，则为等边三角形那个，∴， ∵在边长为4的菱形中，，∴，， ∵将沿射线的方向平移得到∴，， ∵四边形是菱形，∴，，∴， ∴，，∴四边形是平行四边形，∴， ∴的最小值的最小值，∵点E在过点A且平行于的定直线上， ∴作点D关于定直线的对称点M，连接交定直线于E，则的长度即为的最小值， 根据轴对称的性质可得：，∵，∴，∵，， ∴， ，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴， ∴．故答案为：． 模型2.将军造桥（过桥）模型 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1．（2023.北京西城八年级期中）作图题（不写作法） （）如图，一个牧童从点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线；（）如图，直线是一条河，，是两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向，两地供水，要使所需管道的长度最短，在图中标出点．（保留作图过程）；（）如图，在一条河的两岸有，两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段表示．试问：桥建在何处，才能使到的路程最短呢？请在图中画出桥的位置．（保留作图过程） 【答案】作图见解析 【详解】（）如图，点到直线垂线段最短． （）如图． （）如图。 例2．（2022上·湖北襄阳·九年级联考自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　    A． B． C．14 D．12 【答案】C 【详解】解：延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小．    ∴四边形是平行四边形，∴，同理：=， 延长交的延长线于点．∴，， ∴，， 在中，， ， 的最小值为14．故选：C． 例3．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为(   ) A．2 B．1+3 C．3+ D． 【答案】A 【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN． 根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短． ∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT△ABC中，， 在RT△AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝千米；故选A． 例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    【答案】 【详解】解：如图，过点E作交于点I，连接．      ∵中，，，∴，∴， ∴，．∵，，∴． ∵，∴四边形为平行四边形，∴．同理可得出． ∵，，∴四边形为平行四边形， ∴，∴四边形为平行四边形，   ∴，∴，∴当最小时，最小． ∵当点I，H，C三点共线时，最小，∴此时最小，如图， ∵，∴．∵∴四边形为平行四边形，∴，， ∵，，∴，∴，∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 例6．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是________．    【答案】 【详解】作交于点E，在取，连接，延长至点，使，连接，作于点，如下图：    ，，为等边三角形，， ，，四边形为平行四边形， 同理得四边形与四边形为平行四边形，，，， ， 中，， 中， ，的最小值是． 1．（2024安徽二模）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且EF＝2，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是（    ） A．4 B．4+ C．2+2 D．6 【答案】D 【详解】解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小．∵AH＝EF，AH∥EF，∴四边形EFHA是平行四边形，∴EA＝FH，∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH， ∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2， ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°， 在Rt△CAH中，CH＝ ∴AE+AF的最小值4， ∴△AEF的周长的最小值＝4+2＝6，故选：D． 2．（2024·重庆·统考一模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为（　　） A．2 B．4 C．2 D．4 【答案】B 【详解】如图，连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH． 由平移的性质可知，．∵四边形ABCD为菱形， ∴，，， ∴，，∴四边形CDEG为平行四边形，∴． 由轴对称的性质可知，，，∴， ∴，即CH的长为的最小值． ∵，，∴四边形为平行四边形，∴， ∴，∴，∴为等边三角形， ∴，，∴，∴， 即为顶角是120°，底角为30°的等腰三角形， 结合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求．故选B． 3．（2023·安徽合肥·校考三模）在边长为2的正方形中，点E、F是对角线上的两个动点，且始终保持，连接、，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作使，则：四边形为平行四边形，    ∴，∴，∴当三点共线时，有最小值即为的长， ∵四边形为正方形，∴，，， ∴，，∴，即：的最小值为3．故选B． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是构造平行四边形，进行线段的转化． 4．（2024下·广东深圳·八年级校考期中）如图，中，，若D，E是边上的两个动点，F是边上的一个动点，，则的最小值为 ． 【答案】 作于F，交于E，的长度即为所求最小值， ∵，∴四边形是平行四边形，∴， 又∵关于对称，∴，∴， ∵，∴，∴，， 过作，则，∴，  ∴， ∵，∴， 在中，，∴， ∴， ∴． 即：的最小值为． 5．（2024上·河南郑州·九年级校联考期末）如图，矩形中，，G是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：如图，作G关于的对称点，在上截取，然后连接交于E，在上截取，此时的值最小， ∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴， ∵，G为边的中点，∴， 由勾股定理得∶，即的最小值为5．故答案为： 5． 6．（2024上·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，． ，．，，∴四边形为平行四边形，． ，，三点共线，此时的周长最小． ，，即，， 周长的最小值为：．故答案为：． 7．（2024·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __． 【答案】     平行四边形     2 【详解】（1）如图2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC，∴四边形A′BCD′是平行四边形，故答案为：平行四边形． （2）如图2，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H． ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC=AB=2， ∵BJ⊥AC，∴AJ=JC，∴BJ=AC=，∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，∴四边形BHCJ是矩形， ∵BJ=CJ，∴四边形BHCJ是正方形，∴BH=CH=，在Rt△BHC″中，BH=，HC″=3， ∴， ∵四边形A′BCD′是平行四边形，∴A′B=CD′，∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″， ∴A′B+BD′≥2，∴A′B+D′B的最小值为2，故答案为：2． 8．（2024·四川成都·模拟预测）如图，菱形的边在轴上，顶点坐标为，顶点坐标为，点在轴上，线段轴，且点坐标为，若菱形沿轴左右运动，连接、，则运动过程中，四边形周长的最小值是________． 【答案】13+ 【详解】∵点坐标为，点坐标为，∴OC＝4，OD＝3， ∴在Rt△COD中，CD＝5，∵四边形是菱形，∴AD＝CD＝5， ∵坐标为，点 在轴上，线段轴，∴EF＝8， 连接OA，过点A作AF1∥DF交EF于点F1， 则四边形ADFF1是平行四边形，FF1=AD=5，∴EF1=EF-FF1=3，∵点E，O关于AD对称，∴OA=AE， 当O，A，F1三点共线时，AE+DF=OA+AF1=OF1，为所求线段和的最小值， 在Rt△OEF1中，OF1＝，∴四边形周长的最小值： AD＋EF＋AE＋DF＝ AD＋EF＋ OF1＝5＋8＋＝13+． 9．（2024.广东深圳九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M． （1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____； （2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____； 【答案】（1）（﹣2，2），（4，2）；（2）（2，）； 【详解】解：（1）如图1中，在Rt△ADO中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°． ∵AD=2，∴OD =2，∴A（﹣2，2）， ∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）； （2）如图1中，连接OP．∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°， ∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=． ∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形，∴OP=EM， ∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小．∵直线OB的解析式为y=x，∴P（2，）．故答案为（2，）． 10．（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，，在边上有一线段由B向C运动，点F到达点C后停止运动，E在F的左侧，，连接，则周长的最小值为______．    【答案】8 【详解】解：如图，过点作交于点，则四边形为平行四边形， ，，再作点关于的对称点，连接，则，连接与交于点，当运动到点时，，，三点共线，此时取最小值，即取最小值，则此时的周长最小．    过点作，过点作交于点，， ，，连接，，，四边形为矩形，   ，，， 周长的最小值，故答案为：． 11．（2023·山东泰安·模拟预测）如图，在菱形中，，，点，在上，且，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【详解】解：连接BD交AC于点O，如图， ∵四边形ABCD是菱形，AC=8∴ 又 在Rt△AOB中， ∴ ∴DO=5 当点O为MN的中点时，BM+DN的值最小，∵MN=1∴ 在Rt△DON中， ∴ 在Rt△DON和Rt△BOM中， ∴ ∴DN=BM∴ ∴的最小值为故答案为 另解：该题也可采用平移的思路，构造平行四边形，将不相邻的线段转移成首位相连的折线，在利用两点之间线段最短找到最值，最后利用勾股定理求解即可。 12．（2024·山东·八年级专题练习）如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．    【答案】 【详解】如下图，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，∴，， 此时四边形的周长为， 当点、、三点共线时，四边形的周长最小， ，，，经过点，，， ，，， ，四边形周长的最小值为，故答案为：． 13．（2023·陕西西安·校考二模）如图，矩形中，，，点E是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为___________． 【答案】/ 【详解】解：作E关于的对称点，在上截取，连接，，， 则，∵四边形是矩形，∴，，，∴， ∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴， ∵，E为的中点，∴， 由勾股定理得，即的最小值为．故答案为：． 14．（2023·江苏盐城·统考三模）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是 ．    【答案】/ 【详解】解：作交于点E，在取，连接，延长至点，使，连接，作于点，如下图：    ，，为等边三角形，， ，，四边形为平行四边形，   同理得四边形与四边形为平行四边形， ，，， ， 中，，， 中，， ，即的最小值是．故答案为：． 15．（2024下·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且，两点之间的水平距离为12米，则的最小值是 米．    【答案】18 【详解】作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一条河岸， 过点A作交的延长线于点C， 则且，于是为平行四边形，故，    当时，最小，也就是最短， ∵（米），（米），（米） ∴在中，（米）， ∴的最小值为：（米） 故答案为：18 ． 16．（2023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．    【答案】见解析 【详解】解：如图所示，   ， 将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点，；过点作于点D，过点作于点，则，即为两桥的位置． 17．（2023·陕西咸阳·校考一模）【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，A、B两点的水平距离，点P是直线l上的一个动点，则的最小值是________； 【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值； 【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在和上分别选取点M、N，沿、和修建地下水管，为了节约成本，要使得线段、与之和最小． 已测出，，，，，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．    【答案】（1）10；（2）；（3）能实现，最小值为． 【详解】.解：（1）如图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于P，则的值最小，且的最小值，过作于E，则，，         ∴，∴即的最小值是10； （2）如图，作G关于的对称点，在上截取， 连接，，，则， ，，四边形是平行四边形，， ，，，G为的中点， ，，由勾股定理得， ，即的最小值为：； （3）管理人员的想法能实现， 作点P关于、的对称点E、F，连接，分别交、于点O、H， ，，连接，与、的交点即为点M、N的位置，连接，，此时，，的长就是的最小值，过点E作交的延长线于点G， ，，，，，， ，，，， ，，， ，，，， ，，，. 在中，，的最小值为. 18．（2023·广东深圳·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，B、C在第一象限内，且OA＝6，OC＝3，∠AOC＝45°． （1）顶点B的坐标为　　，顶点C的坐标为　　；（2）设对角线AC、OB交于点E，在y轴上有一点D（0，﹣1），x轴上有一长为1个单位长度的可以左右平移的线段MN，点M在点N的左侧，连接DM、EN，求DM+EN的最小值；（3）如图2，若直线l：y＝kx+b过点P（0，﹣2），且把平行四边形OABC的面积分成1：2的两部分，请直接写出直线l的函数解析式． 【答案】（1）（9，3），（3，3）；（2）DM+EN的最小值为；（3）直线l的函数解析式为：y＝x–2或y＝x﹣2． 【详解】（1）延长BC交y轴于点G， ∵在平行四边形OABC中，OA＝6，OC＝3 ，∠AOC＝45°， ∴∠COG＝45°，OG＝CG，BC＝OA＝6，∴在 中， ，即 ， 解得： ，即CG=3，∴BG＝BC+CG＝9， ∴顶点B的坐标为（9，3），顶点C的坐标为（3，3），故答案为：（9，3），（3，3）； （2）将点D向右平移1个单位长度得点F，连接EF交x轴于点N，∵MN＝DF＝1，∴F（1，–1）， 又由平移性质可得DF∥MN，∴将点D向右平移1个单位长度得点F，连接EF交x轴于点N， ∴DM＝FN，∴当点E，N，F三点共线时，DM+EN有最小值，此时DM+EN＝FN+EN＝EF， ∵四边形OABC是平行四边形，∴E是AC的中点，∵A（6，0），C（3，3），∴E（4.5，1.5）， ∵F（1，–1），∴EF＝ ，∴DM+EN的最小值为； （3）设直线l分别交x轴于点Q，交直线BC于点R，∵直线l：y＝kx+b过点P（0，−2），∴b＝–2， 在y＝kx﹣2中，当y＝0时，x＝ ，当y＝3时，x＝， ∴Q（，0），R（，3），∴OQ＝，CR＝，∴S四边形OQRC＝（OQ+CR）×3＝ ， ①当S四边形OQRC＝ S四边形QABR时，＝ ，解得：k＝1， ∴直线l的函数解析式为：y＝x–2， ②当S四边形OQRC＝2S四边形QABR时，＝，解得：k＝ ， ∴直线l的函数解析式为：y＝x﹣2，综上，直线l的函数解析式为：y＝x–2或y＝x﹣2． 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$