专题08 特殊的平行四边形中的图形变换模型之翻折（折叠）模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京版）

专题08. 特殊的平行四边形中的图形变换模型之翻折（折叠）模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.矩形的翻折模型 2 模型2.菱形的翻折模型 8 模型3.正方形的翻折模型 14 21 【知识储备】 折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。 折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。 模型1.矩形的翻折模型 例1．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在矩形中，是的中点，将沿翻折得到，延长交于点，若，，则的长度为（    ）    A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】连接，为矩形， 是的中点 由 翻折得到， ，， ，设 ，则 . 在和中 在 中即 解得：故选A    例2．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，是一张长方形纸片，且．沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在上（如图中的点），折痕交于点G，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：取的中点E，连接，∵四边形为矩形，∴，，    根据折叠的性质可得，， ∵，∴，在中，， ∵点E为的中点，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴．故选：B． 例3．（2023春·河北承德·八年级统考期末）如图，在矩形中，，翻折，使点落在对角线上处．(1)__________；是的__________．（中线、角平分线、高线）(2)求和的长．    【答案】(1)，角平分线(2)， 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，∴， ∵，∴在中，， ∵翻折，使点落在对角线上处，∴, ∴是的角平分线,故答案为：，角平分线； （2）解：由折叠知：，∴ 设，在中，运用勾股定理得：解得：即： 例4．（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）在矩形中，，，点M在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点N，若点N为的中点，则的长度为 ．    【答案】 【详解】解：点N为的中点，∴， ∵是矩形，∴，，∴， 又∵沿翻折，得到，∴，，， ∴，∴，在中，， ∴，故答案为：． 例5．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，现将矩形沿折叠，点C翻折后交于点G，点D的对应点为点H，当时，线段的长为 ．    【答案】5 【详解】解：由矩形的性质可知：， 由折叠可知：，，则，∴， ∵，，，∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即，解得， ∴，，∴，∴，故答案为：5． 例6．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，矩形中，，，E，F分别为边和上的两个动点，满足．将四边形沿直线翻折，得到四边形，其中G为A的对称点．当点G落在直线上时，的长为 ．      【答案】2 【详解】解：连接交于点O，连接、、， ∵四边形是矩形，∴，且， ∵点G和点A关于对称，∴垂直且平分，∴， ∵，∴，∵，∴， 又∵，∴，∴， ∴点O是矩形的中心，∴，∴， ∴当点G落在直线上时，点D与点G重合，∴，， ∵,∴，故答案为：2．    例7．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，点P，Q分别为AB，AD上的动点，将沿翻折得到，将沿翻折得到在动点P，Q所有位置中，当F，E，P三点共线，时， ．    【答案】3 【详解】解：在矩形中，，，∴，， ∵翻折，∴，，，，∴， 又，∴，设，则，，， ∴，∴，∴．故答案为：3．    例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝        °，＝        ； (2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长； (3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ． 【答案】(1)45；2(2)；(3)2或 【详解】（1）∵，四边形是矩形，∴四边形是正方形，∴，， ∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H， ∴，，∵，∴， ∵F为的中点，∴， ∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H， ∴，，设，则，∴， ∵，∴，∴，∴．故答案为：45；2； （2）如图2，延长，交于点M， ∵平分，∴，由折叠的性质可知，，， ∴，∴， ∵，，∴和均为等腰直角三角形， ∴，，∴，即，解得． （3）分两种情况：①当时，如图3，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，，∴， ∵，∴，，∴， 在和中， ，∴，∴， 设，，，∴，解得，∴． ②当时，如图4，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，，∴， ∵，∴，，设，，， ∵，∴，解得，∴． 综上可知，的长为2或． 模型2.菱形的翻折模型 例1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与、重合，折痕为，若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：作于，由折叠的性质可知，，由题意得，， 四边形是菱形，，， 为等边三角形，，设，则， 在中，，， 在中，，即， 解得，，即，故答案为：． 例2．（2023·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到，连接，则线段长度的最小值是（    ） A．－1 B．－1 C．－1 D．2 【答案】B 【详解】解：如图所示： 由折叠可知M=MA，∵M为AD中点，∴2MA=2MD=AD=2，∴M= MA=1是定值， ∵M+C≥MC，∴当线段长度是最小值时，在MC上， 过点M作MF⊥DC于点F，∵菱形ABCD，∴CDAB ∴∠FDM=∠A=60°， ∴∠FMD=30°，∴FD=MD=，∴FC=FD+CD=，FM=， ∴MC=，∴C=MC-M=-1．故选：B． 例3．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，菱形中，，M为边上的一点，将菱形沿折叠后，点A恰好落在的中点E处，则 ．    【答案】 【详解】解：如图所示，延长交延长线于N， ∵四边形是菱形，∴， ∴， ∵E为的中点，∴，∴， ∴，由折叠的性质可得， ∴，∴，∴， ∴，∴，故答案为：．    例4．（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：连接，∵四边形是菱形，∴，，∴是等边三角形， ∵E是边的中点，∴，∴， 由折叠得，∴，∵，∴，故①正确； ∵，∴，∴， ∴，即，故②正确；连接，由折叠得，∴， ∵，∴，∴，故③正确； 过点F作于点M，∵， ∴，由折叠得，∴，∴， ∵，∴，设，则， ∴，， ∵，∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴，故④错误；故选：B． 例5．（2023·重庆巴南·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，，M，N分别在AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折能与四边形EMNF重合，且线段EF经过顶点D，若，，则△DFC的面积为 ． 【答案】/ 【详解】延长EF交BC于点P，如图， 根据翻折的性质有：EF=AB，ME=AM，∠E=∠A，在菱形ABCD中，有AD=CD=AB，， ∵∠A=60°，∴∠ADC=120°，∠E=60°，∵EF⊥AD，， ∴∠ADP=∠EDM=∠CPD=90°，∴∠CDP=∠ADC-∠ADP=120°-90°=30°， ∵在Rt△DEM中，∠E=60°，∠EDM=90°，，∴，EM=2DE=2， ∴AM=EM=2，∴AD=AM+DM=2+，∴DC=AD=AB=2+，DF=EF-DE=AB-1=2+-1=1+， ∵在Rt△DCP中，∠CDP=30°，∠CPD=90°，DC=AD=2+，∴， ∴△CDF的面积为：，故答案为：． 例6．（2023春·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在菱形中，对角线交于点O，，菱形的面积为24，点E是边上一点，将菱形沿折叠，使B、C的对应点分别是、，若，则点到BC的距离为 ．    【答案】 【详解】解：过作于，过作于，      由已知，，菱形的面积为24，∴， ∴，，∴， ∵，∴，， 由折叠可知，，， ∵，∴，∵， ∴，∴，∴， ∵，  ∴， ∵，∴，∴，∴， ∴点到的距离是．故答案为：． 模型3.正方形的翻折模型 例1．（2023·湖南郴州·八年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD边的中点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折至△FBE，延长EF交CD于点G，则CG的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接BG，∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝DC＝4，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°， 由折叠的性质可得，AB＝BF＝BC＝4，AE＝FE＝AD＝2＝DE，∠A＝∠BFE＝90°＝∠C， ∵∠BFE+∠BFG＝180°，∴∠C＝∠BFG＝90°，又∵BG＝BG，∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL），∴FG＝CG， 设CG＝FG＝x，则DG＝4﹣x，EG＝2+x，在Rt△DEG中，由勾股定理得， EG2＝DE2+DG2，∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，解得x＝，即CG＝，故选C． 例2．（2023春·吉林白城·八年级统考期末）如图，在正方形中，E为边上一点，将沿着AE翻折得到，点D的对应点F恰好落在对角线上，连接，若，则 ．    【答案】 【详解】解：如图，作，交于点G， ， ∵四边形是正方形，∴，， 由折叠可知：，∴是等腰直角三角形，∴， 在中， ，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴ 在中，，解得： ∵，∴， 在中， ，故答案为：． 例3．（2023·湖北襄阳·八年级统考期中）如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是AD，BC的中点，点P在CD上，将沿BP翻折后点C的对应点Q落在MN上，若，则PD的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接CQ，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=AB，，∠D=90°， ∵M、N分别是AD、BC的中点，∴， ∴四边形CNMD是矩形，∴∠QNB=∠QNC=90°， 在△QNB和△QNC中，，∴△QNB≌△QNC（SAS），∴QB=QC， 由折叠的性质可知BC=BQ，∠QBP=∠CBP，∴BC=BQ=CQ，∴△QBC是等边三角形， ∴∠QBC=60°，∴∠PBC=30°，∴PB=2PC，∵，∴，∴， ∴，故答案为：． 例 4．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为 ．    【答案】 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，        ∵正方形的边长为1，四边形与四边形的面积比为3∶5， ∴，设，则，则 ∴即 ∴∴，∴， ∵折叠，∴，∴， ∵，∴，又, ∴，∴ 在中， 即解得：，故答案为：． 例5．（2023春·江苏徐州·八年级期中）如图，正方形ABCD中，，点E在边CD上，且．将沿AE对折至，延长EF交边BC于点G．连结AG、CF．下列结论：①；②；③是正三角形；④的面积为90，其中正确的是 （填所有正确答案的序号） 【答案】①②④ 【详解】在正方形ABCD中，， 又沿AE对折至，延长EF交边BC于点G ，即有， 在直角和直角中，，；①正确． ，点E在边CD上，且，， 不妨设，则， 在中， 解得，于是；②正确． ，是等腰三角形， ，，则，不是正三角形．③错误． ，，．④正确． 正确的结论有①②④．故答案为：①②④． 例6．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若，则 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，由折叠可知，，， ∵，， ∴，即：，∴， ∴，故答案为：． 例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处． (1)如图2，当点落在对角线上时，求的长．(2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．    (3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析．(3) 【详解】（1）根据折叠的性质可知，，∴． ∵，∴为等腰直角三角形．∴． ∴．∴．∴． ∴．∴． （2），理由如下：如图所示，连接，交于点．       根据题意可知为线段的垂直平分线，∴． ∵为中点，∴，即． （3）如图所示，在线段上取一点，使，连接，． 在和中，∴．∴．∴． 观察图形可知，当点，，在同一条直线上时，最小，最小值为． ∴． 1．（2024春·安徽·九年级专题练习）矩形中，，，点是边上一动点，沿翻折，若点的对称点恰好落在矩形的对称轴上，则折痕的长是（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：分两种情况：①如图1所示：当恰好在矩形的对称轴上时， 又∵，，∴，，，， 由折叠的性质得：，，∵， ∴点与点重合，点与点重合，∴；       ②如图2所示：当恰好在矩形的对称轴上时，过作    交于，交于， ∴，，，，， ∵四边形是矩形，∴，由折叠的性质得：，， 在中，，∴， 设，则，在中，， ∴，解得：，即，∴； 综上所述，当点恰好在矩形的对称轴上时，折痕的长是或，故选：C． 2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考期中）如图，在矩形纸片中，E为上一点，将沿翻折至，若点F恰好落在上，，，则（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：∵在矩形纸片中，E为上一点，将沿翻折至， ∴， ∴，∴，设，则， 由勾股定理，得：，即：，解得：；∴；故选A． 3．（2023春·广东中山·八年级校联考期中）如图，矩形中，点、分别为边、上两动点，且，，沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为（      ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：如图：连接， 以翻折后，点与点重合，，，， 四边形为矩形，，，， 当的最小时，最小，由图可知，当点与点重合时，最小， 设，则，，在中，， ，解得：，的最小值为．故选：C． 4．（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，E是边AD上一动点，将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，则△BCF面积的最大值是（   ） A．8 B． C．16 D． 【答案】A 【详解】解：在菱形ABCD中，BC=CD=AB=4 又∵将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，∴FC=CD=4 由此，△BCF的底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当FC⊥BC时，三角形有最大面积∴△BCF面积的最大值是故选：A． 5．（2023·浙江·八年级期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将沿AE对折至，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：①；②BG＝CG；③；④；⑤∠AGB+∠AED＝135°．其中正确的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】解：∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴RtΔABG≌RtΔAFG（HL），故①正确； ∴BG＝GF，∠BGA＝∠FGA，设BG＝GF＝x，若BG＝CG＝x， 在Rt△EGC中，EG＝x+2，CG＝x，CE＝4，由勾股定理可得（x+2）2＝x2+42， 解得x＝3，此时BG＝CG＝3，BG+CG＝6，满足条件，∴②正确； ∵GC＝GF，∴∠GFC＝∠GCF，且∠BGF＝∠GFC+∠GCF＝2∠GCF， ∴2∠AGB＝2∠GCF，∴∠AGB＝∠GCF，∴AG∥CF，∴③正确； ∵S△EGC＝GC•CE＝×3×4＝6，S△AFE＝AF•EF＝×6×2＝6，∴S△EGC＝S△AFE，∴④正确； 在五边形ABGED中，∠BGE+∠GED＝540°﹣90°﹣90°﹣90°＝270°， 即2∠AGB+2∠AED＝270°，∴∠AGB+∠AED＝135°，∴⑤正确；∴正确的有五个，故选：A． 6．（2023·广东深圳·一模）如图，将正方形翻折，使点、分别与点、重合，折痕为，交于点，交于点，连接、．给出以下结论：①垂直平分；②；③；④的周长等于的2倍．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，， ∵将正方形沿翻折，∴垂直平分，故结论①正确；∴， 如图，过点作于， ∴，∴，∴， ∵，∴四边形是矩形，∴，， ∵，∴，又∵，∴，∴， ∵，∴，故结论②正确；如图，过点作于， ∵将正方形沿翻折，∴， 又∵，，∴，∴，，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，故结论③正确； 如图，延长至，使，连接， ∵，，，∴，∴，， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴的周长，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有①②③④，共计4个．故选：D． 7．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，正方形沿BE翻折，延长交于G，正方形边长为12，E是中点， ．    【答案】4 【详解】解：∵是正方形，∴， 由折叠得，，，， ∵，∴∴， 又∵，∴，∴，设，则， 在中，由勾股定理得，，∴， 解得，即，故答案为4． 8．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在矩形ABCD中，，，将矩形翻折，使边AD与边BC重合，展开后得到折痕MN，E是AD的中点，动点F从点D出发，沿的方向在DC和CB上运动，将矩形沿EF翻折，点D的对应点为G，点C的对应点为，当点G恰好落在MN上时，点F运动的距离为 ．    【答案】或 【详解】解 ：①当点再线段上运动时：由题意得：∴       ∵∴四边形为矩形 ∴∴， 设，则 在 ∴解得： 点F运动的距离为： ②当点再线段上运动时： 由题意得：∴ ∵ ∴，∴ 设，，则 在∴ 在∴解得： 点F运动的距离为：，故答案为：或9 9．（2023春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，矩形中，，，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再以为折痕，将进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为 ． 【答案】或 【详解】∵四边形为矩形，∴，， ∵沿对角线翻折得到，∴，， ∵以为折痕，将进行翻折，得到，∴，， ①当点恰好落在上时，如图， 在和中，∴ ∴，即为等腰三角形，∵∴点为中点，∴， 在中，有，即，解得 ②当点恰好落在上时，如图，∵∴四边形为矩形，∴，∵沿进行翻折，得到，∴ 在中，， 在和中，∴， ∴∴．故答案为：或． 10．（2023秋·海南海口·九年级统考期末）如图，将矩形沿直线翻折，使点与边上的点重合，若，则 ．      【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，∴， ∵沿着过点D的直线折叠，使点D落在边上，落点为E，∴， 在中，，∴， 设，则， 在中，， ∴，解得，∴，故答案为：． 11．（2023·四川·九年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则的值为 ． 【答案】 【详解】连接，， ∵为中点，，∴为等边三角形，∴，． 设，则，，在中，， ，解得，∴，，∴． 12．（2023秋·重庆·九年级专题练习）如图，在菱形中，，在上，将沿翻折至，且刚好过的中点，则 ． 【答案】30° 【详解】解：连接AC，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠C=120°，∴△ABC是等边三角形， ∵AD'刚好过BC的中点P，∴AD⊥BC，∴∠D'PC=90°， 由翻折变换的性质得：=∠D=60°，∴∠CME=∠PMD'=30°， ∴∠D'EC=180°-∠C-∠CME=30°；故答案为：30°． 13．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）如图，在正方形中，点E是边的中点，将沿翻折得到．延长交于点H，连接．(1)求证：；(2)若，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵正方形中，点E是边的中点，∴， ∵将沿翻折得到，∴，∴， 又，∴； （2）解：∵将沿翻折得到，∴，， ∵，∴，∵， ∴，即：，∵，∴，， 在中，，设，则：， 在和中：， 即：，解得：；∴． 14．（2023春·吉林长春·八年级统考期末）将边长为2的正方形纸片按如下操作： 【操作一】如图①，将正方形纸片对折，使点A与点B重合，点D与点C重合，再将正方形纸片展开，得到折痕EF．则点B、点F之间的距离为_____________． 【操作二】如图②，G为正方形边上一点，连接，将图①的正方形纸片沿翻折，使点B的对称点H落在折痕上．连接．   　   （1）求证：是等边三角形．（2）求四边形的周长． 【答案】操作一：；操作二，（1）证明见解析；（2） 【详解】解：操作一：如图，连接，由题知，    由翻折，知，由勾股定理，得， 操作二：（1）由翻折知是的垂直平分线，， 又，，是等边三角形； （2）∵是等边三角形．∴，． ∴，∴， ∴四边形的周长． 15．（2023春·福建厦门·八年级统考期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，．将矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点．      (1)若直线与线段交于点． ①如图1，当点正好落在对角线和的交点处时，则的度数是______； ②如图2，若点是的中点，点落在矩形内部时，延长交边于点．若，请探究，之间的数量关系，并说明理由； (2)已知，，若直线与射线交于点，且是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)①；②，理由见解析；(2)或 【详解】（1）①：点正好落在对角线和的交点处，四边形为矩形， ，，是等边三角形， ，，故答案为： ②：如下图，连接    四边形为矩形，点是的中点，点落在矩形内部，延长交边于点，，，，,， ，， ，即， ∵，，，，即 （2）情况一：如下图，当点在线段上，时．         四边形为矩形，矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点，，， ，，，，， 点、、三点共线，， 在和中，，， ，， 情况二：如下图，当点在延长线上，时，此时点、、三点共线． 四边形为矩形，矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点，，， ，，，，， 在和中，，，， ，综上所述，的长为或 16．（2023春·湖南·八年级校考阶段练习）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，顶点为原点，顶点，分别在轴和轴上，点坐标为，动点在边上（不与端点重合），将沿翻折，点的对称点为点． (1)如图①，当平分时，的度数为______；(2)如图②，过点作轴交于点，交于点．当为等腰直角三角形时，求点的坐标；(3)如图③，延长交于点，当点在边上移动时，的周长是否发生变化？如果是，请求出变化范围，如果不是，请说明理由．    【答案】(1)(2)(3)不变，见解析 【详解】（1）解：由折叠的性质可知，，， ∵平分，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，故答案为：； （2）解：∵轴，为等腰直角三角形， ∴，∴，如图②，连接，       ∵正方形，点坐标为，∴，， ∴三点共线，∴是等腰直角三角形，设，则，， 由勾股定理得，，即，解得，∴； （3）解：不变，理由如下：如图③，连接， 由折叠、正方形的性质可知，，， ∵，，∴，∴， ∴， ∴的周长不变． 17．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图1，在正方形中，E为的中点，将正方形沿着翻折得到四边形，直线与直线相交于点F，连接．    (1)的度数是 　 　；(2)若将正方形变为菱形，①如图2，若，，求的长度；②如图3，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)90(2)①；②是定值，为 【详解】（1）解：∵正方形中，E为的中点，∴， ∵将正方形沿着翻折得到四边形，∴， ∵，∴，    ∴,设, 则，∴， ∴，故答案为：． （2）①作于H，于G， ∵菱形中，E为的中点，，，∴， ∵将菱形沿着翻折得到菱形， ∴，， ∵，∴，∴，； ∵，∴，∴，∴， 设，则，, 在中，由勾股定理得，，解方程得即， 作于T，∵，∴， ∴，∴． ②的度数是定值，为．理由如下： 由①同理得，，得设, 则， ∴，∴， 故的度数是定值，为． 18．（2023·广东深圳·校考三模）在四边形中，E是上一点，连接，将沿翻折得到，落在对角线上．将绕点A旋转，使得落在直线上，点C的对应点为M，点E的对应点为N． (1)【特例探究】如图1，数学兴趣小组发现，当四边形是正方形，且旋转角小于时，会有，请你证明这个结论； (2)【再探特例】如图2，当四边形是菱形，且旋转角小于时，若，．连接交于点．求的长； (3)【拓展应用】如图3，当四边形是矩形时，当到点、点的距离，两段距离比为时，请直接写出的值．       图1                       图2 图3                  备用图 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）∵四边形是正方形，是对角线，∴，， ∵沿翻折得到，∴，， 又∵绕点A旋转得到，∴，， 又∵，，∴，同理， 又∵，，∴，∴． （2）∵四边形是菱形，是对角线，， ∴，， ∵沿翻折得到，∴，，， 又∵绕点A旋转得到，∴，， ∴，即是的角平分线， 又∵，，∴，∴． ∵，，∴，∴，∴． ∵，，∴， ∴， ∵，∴，∴． 在中，，即，解得． （3）当时，如图：    即，令，则，在中，， ∴，即，故，∴． 当时，∵是矩形的对角线，∴，， ∵，，三点共线，且，，故，即该情况不存在． 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08. 特殊的平行四边形中的图形变换模型之翻折（折叠）模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.矩形的翻折模型 2 模型2.菱形的翻折模型 8 模型3.正方形的翻折模型 14 21 【知识储备】 折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。 折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。 模型1.矩形的翻折模型 例1．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在矩形中，是的中点，将沿翻折得到，延长交于点，若，，则的长度为（    ）    A． B． C． D．3 例2．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，是一张长方形纸片，且．沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在上（如图中的点），折痕交于点G，则（    ）    A． B． C． D． 例3．（2023春·河北承德·八年级统考期末）如图，在矩形中，，翻折，使点落在对角线上处．(1)__________；是的__________．（中线、角平分线、高线）(2)求和的长．    例4．（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）在矩形中，，，点M在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点N，若点N为的中点，则的长度为 ．    例5．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，现将矩形沿折叠，点C翻折后交于点G，点D的对应点为点H，当时，线段的长为 ．    例6．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，矩形中，，，E，F分别为边和上的两个动点，满足．将四边形沿直线翻折，得到四边形，其中G为A的对称点．当点G落在直线上时，的长为 ．      例7．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，点P，Q分别为AB，AD上的动点，将沿翻折得到，将沿翻折得到在动点P，Q所有位置中，当F，E，P三点共线，时， ．    例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝        °，＝        ； (2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长； (3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ． 模型2.菱形的翻折模型 例1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与、重合，折痕为，若，，则的长为 ． 例2．（2023·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到，连接，则线段长度的最小值是（    ） A．－1 B．－1 C．－1 D．2 例3．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，菱形中，，M为边上的一点，将菱形沿折叠后，点A恰好落在的中点E处，则 ．    例4．（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 例5．（2023·重庆巴南·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，，M，N分别在AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折能与四边形EMNF重合，且线段EF经过顶点D，若，，则△DFC的面积为 ． 例6．（2023春·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在菱形中，对角线交于点O，，菱形的面积为24，点E是边上一点，将菱形沿折叠，使B、C的对应点分别是、，若，则点到BC的距离为 ．    模型3.正方形的翻折模型 例1．（2023·湖南郴州·八年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD边的中点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折至△FBE，延长EF交CD于点G，则CG的长度是（　　） A． B． C． D． 例2．（2023春·吉林白城·八年级统考期末）如图，在正方形中，E为边上一点，将沿着AE翻折得到，点D的对应点F恰好落在对角线上，连接，若，则 ．    例3．（2023·湖北襄阳·八年级统考期中）如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是AD，BC的中点，点P在CD上，将沿BP翻折后点C的对应点Q落在MN上，若，则PD的长为 ．    例 4．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为 ． 例5．（2023春·江苏徐州·八年级期中）如图，正方形ABCD中，，点E在边CD上，且．将沿AE对折至，延长EF交边BC于点G．连结AG、CF．下列结论：①；②；③是正三角形；④的面积为90，其中正确的是 （填所有正确答案的序号） 例6．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若，则 ．    例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处． (1)如图2，当点落在对角线上时，求的长．(2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．    (3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由． 1．（2024春·安徽·九年级专题练习）矩形中，，，点是边上一动点，沿翻折，若点的对称点恰好落在矩形的对称轴上，则折痕的长是（    ）    A． B． C．或 D．或 2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考期中）如图，在矩形纸片中，E为上一点，将沿翻折至，若点F恰好落在上，，，则（    ） A． B． C．4 D．5 3．（2023春·广东中山·八年级校联考期中）如图，矩形中，点、分别为边、上两动点，且，，沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为（      ） A． B． C． D．2 4．（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，E是边AD上一动点，将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，则△BCF面积的最大值是（   ） A．8 B． C．16 D． 5．（2023·浙江·八年级期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将沿AE对折至，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：①；②BG＝CG；③；④；⑤∠AGB+∠AED＝135°．其中正确的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（2023·广东深圳·一模）如图，将正方形翻折，使点、分别与点、重合，折痕为，交于点，交于点，连接、．给出以下结论：①垂直平分；②；③；④的周长等于的2倍．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，正方形沿BE翻折，延长交于G，正方形边长为12，E是中点， ．    8．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在矩形ABCD中，，，将矩形翻折，使边AD与边BC重合，展开后得到折痕MN，E是AD的中点，动点F从点D出发，沿的方向在DC和CB上运动，将矩形沿EF翻折，点D的对应点为G，点C的对应点为，当点G恰好落在MN上时，点F运动的距离为 ．    9．（2023春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，矩形中，，，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再以为折痕，将进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为 ． 10．（2023秋·海南海口·九年级统考期末）如图，将矩形沿直线翻折，使点与边上的点重合，若，则 ．      11．（2023·四川·九年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则的值为 ． 12．（2023秋·重庆·九年级专题练习）如图，在菱形中，，在上，将沿翻折至，且刚好过的中点，则 ． 13．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）如图，在正方形中，点E是边的中点，将沿翻折得到．延长交于点H，连接．(1)求证：；(2)若，求的长．    14．（2023春·吉林长春·八年级统考期末）将边长为2的正方形纸片按如下操作： 【操作一】如图①，将正方形纸片对折，使点A与点B重合，点D与点C重合，再将正方形纸片展开，得到折痕EF．则点B、点F之间的距离为_____________． 【操作二】如图②，G为正方形边上一点，连接，将图①的正方形纸片沿翻折，使点B的对称点H落在折痕上．连接． （1）求证：是等边三角形．（2）求四边形的周长．   　   15．（2023春·福建厦门·八年级统考期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，．将矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点．      (1)若直线与线段交于点．①如图1，当点正好落在对角线和的交点处时，则的度数是______；②如图2，若点是的中点，点落在矩形内部时，延长交边于点．若，请探究，之间的数量关系，并说明理由；(2)已知，，若直线与射线交于点，且是直角三角形时，求的长． 16．（2023春·湖南·八年级校考阶段练习）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，顶点为原点，顶点，分别在轴和轴上，点坐标为，动点在边上（不与端点重合），将沿翻折，点的对称点为点． (1)如图①，当平分时，的度数为______；(2)如图②，过点作轴交于点，交于点．当为等腰直角三角形时，求点的坐标；(3)如图③，延长交于点，当点在边上移动时，的周长是否发生变化？如果是，请求出变化范围，如果不是，请说明理由．    17．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图1，在正方形中，E为的中点，将正方形沿着翻折得到四边形，直线与直线相交于点F，连接．    (1)的度数是 　 　；(2)若将正方形变为菱形，①如图2，若，，求的长度；②如图3，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 18．（2023·广东深圳·校考三模）在四边形中，E是上一点，连接，将沿翻折得到，落在对角线上．将绕点A旋转，使得落在直线上，点C的对应点为M，点E的对应点为N． (1)【特例探究】如图1，数学兴趣小组发现，当四边形是正方形，且旋转角小于时，会有，请你证明这个结论； (2)【再探特例】如图2，当四边形是菱形，且旋转角小于时，若，．连接交于点．求的长； (3)【拓展应用】如图3，当四边形是矩形时，当到点、点的距离，两段距离比为时，请直接写出的值．       图1                       图2 图3                  备用图 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$