数学（江苏卷01）-学易金卷：2025年高考第三次模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（江苏专用）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若全集，则（ ） A. B. C. D. 2．若复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3．已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 4．延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 的最大值为1 C. 在上单调递增 D. 方程有2个实数解 5．北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（ ） A. 35 B. 34 C. 31 D. 30 6．当时，方程的解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7．设为双曲线的右焦点，，分别为的两条渐近线的倾斜角，已知点到其中一条渐近线的距离为1，且满足，则双曲线的焦距为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8．已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（ ） A. 已知一组数据，，，的方差为3，则，，，的方差也为3 B. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 C. 已知随机变量X服从正态分布，若，则 D. 已知随机变量X服从二项分布，若，则 10．已知数列是首项为2的等比数列，其前项和为，若，则（ ） A. B. C. ， D. 11．已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则（ ） A. 当时， B. 当时， C 当时， D. 一定能被3整除 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则__________. 13．小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为__________. 14．已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线的方程为，且的平分线经过点，设内切圆的半径分别为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若为的中点，且的长为2，求的最大值，并求此时的值． 16．（15分） 一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球，标号分别为，现采用有放回的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为，第二次摸到的小球号码为. （1）记“”为事件，求； （2）完成两次摸球后，再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为，号码中出现偶数的个数记为，求的分布列及数学期望. 17．（15分） 如图，在中，，，是边上一点，将沿翻折至，且平面平面.当面积最大时： （1）求； （2）求二面角的余弦值. 18．（17分） 已知，且曲线在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）设的导函数为，求的单调区间； （3）证明：当时，. 19．（17分） 已知抛物线的焦点为F，在第一象限内的点和第二象限内的点都在抛物线C上，且直线过焦点F．按照如下方式依次构造点：过点作抛物线C的切线与x轴交于点，过点作x轴的垂线与抛物线C相交于点，设点的坐标为．用同样的方式构造点，设点的坐标为． （1）证明：数列都是等比数列； （2）记，求数列的前n项和； （3）证明：当时，直线都过定点． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（江苏专用）01·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A B D C D D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD BC ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）在中，由及正弦定理得，（2分） 由余弦定理得，（4分） 而， 所以.（6分） （2）在中，由余弦定理得，（8分） 则， 即，当且仅当时取等号，（11分） 此时， 所以的最大值为8，.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）两次摸球，摸出的小球号码的所有情况共种，（2分） 其中，满足“”的情形有： 时，；时，；时，；共5种情况，（5分） 故；（7分） X的可能取值为， 则，， ，，（11分） 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P （13分） 故（15分） 17．（15分） 【解析】（1）因为， 所以当时，即 面积最大，（2分） 又当时，因为平面， 所以平面，而平面， 所以平面平面，符合题意， 显然，（5分） 因为，， 所以，因此设， 由余弦定理可知： （7分） （2）建立如图所示的空间直角坐标系， ， 由（1）可知平面， 所以平面的法向量为，（9分） 设平面的法向量为，， 于是有，（13分） 所以二面角的余弦值为. （15分） 18．（17分） 【解析】（1）因为，所以，（2分） 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，解得；（4分） （2）由（1）可得，所以， 则，定义域为， 所以，（6分） 因为，令，即，解得； 令，即，解得，（8分） 所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（9分） （3）由（2）可知在上单调递增， 又，， 又， 所以，即， 所以，使得，（12分） 所以当时，即，所以在上单调递减； 当时，即，所以在上单调递增；（14分） 又，， 所以， 所以当时，.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）抛物线C的方程可化为，求导可得， 将点的坐标代入抛物线C的方程，有， （2分） 过点的切线的方程为，代入，有， 整理为，（3分） 令，可得，有， 故数列是公比为的等比数列， 同理，数列也是公比为的等比数列；（4分） （2）由焦点，设直线的方程为， 联立方程消去y后整理为，有，（6分） 由数列是公比为的等比数列，有， 有，（8分） 有， 两边乘以，有， 两式作差，有， 有，可得；（11分） （3）由（2）知，点的坐标为，点的坐标为， 直线的斜率为， （13分） 直线的方程为， （15分） 令，有， 故当时，直线过定点．（17分） 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2025年高考第三次模拟考试 高三数学·答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A ] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 选择题 （ 全部选对的得 6 分，部分选对的得 部分 分，有选错的得0分 ，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________ ________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四 、解答题（共 77 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（17分） ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第三次模拟考试 高三数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（江苏专用）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若全集，则（ ） A. B. C. D. 2．若复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3．已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 4．延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 的最大值为1 C. 在上单调递增 D. 方程有2个实数解 5．北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（ ） A. 35 B. 34 C. 31 D. 30 6．当时，方程的解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7．设为双曲线的右焦点，，分别为的两条渐近线的倾斜角，已知点到其中一条渐近线的距离为1，且满足，则双曲线的焦距为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8．已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（ ） A. 已知一组数据，，，的方差为3，则，，，的方差也为3 B. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 C. 已知随机变量X服从正态分布，若，则 D. 已知随机变量X服从二项分布，若，则 10．已知数列是首项为2的等比数列，其前项和为，若，则（ ） A. B. C. ， D. 11．已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则（ ） A. 当时， B. 当时， C 当时， D. 一定能被3整除 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则__________. 13．小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为__________. 14．已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线的方程为，且的平分线经过点，设内切圆的半径分别为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若为的中点，且的长为2，求的最大值，并求此时的值． 16．（15分） 一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球，标号分别为，现采用有放回的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为，第二次摸到的小球号码为. （1）记“”为事件，求； （2）完成两次摸球后，再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为，号码中出现偶数的个数记为，求的分布列及数学期望. 17．（15分） 如图，在中，，，是边上一点，将沿翻折至，且平面平面.当面积最大时： （1）求； （2）求二面角的余弦值. 18．（17分） 已知，且曲线在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）设的导函数为，求的单调区间； （3）证明：当时，. 19．（17分） 已知抛物线的焦点为F，在第一象限内的点和第二象限内的点都在抛物线C上，且直线过焦点F．按照如下方式依次构造点：过点作抛物线C的切线与x轴交于点，过点作x轴的垂线与抛物线C相交于点，设点的坐标为．用同样的方式构造点，设点的坐标为． （1）证明：数列都是等比数列； （2）记，求数列的前n项和； （3）证明：当时，直线都过定点． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（江苏专用）01·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 若全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得，，所以， 故选：A 2.若复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以， 故选：A. 3. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】因为，， 所以， 因为， 所以，解得， 故选：B 4. 延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 的最大值为1 C. 在上单调递增 D. 方程有2个实数解 【答案】D 【解析】对A，定义域为R，∵，则为偶函数，A错误； 对BC，又∵，根据，在R上均单调递增， 则在在R上单调递增，且， 则当时，则，当时，则， ∴的单调递减区间为，单调递增区间为，故C错误； 则，即的最小值为，B错误； 对D，令,， 再结合指数函数性质知方程有2个实数根,故D正确. 故选：D 5. 北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（ ） A. 35 B. 34 C. 31 D. 30 【答案】C 【解析】从这七个点任意选取三个点有个， 其中共线的四点中有个不能构成三角形， 所以不同的三角形个数有31个， 故选：C. 6.当时，方程的解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】由，得， 即，所以， 解得，则或， 因为， 当时，则或， 当时，则， 因此共有三个解. 故选：D. 7. 设为双曲线的右焦点，，分别为的两条渐近线的倾斜角，已知点到其中一条渐近线的距离为1，且满足，则双曲线的焦距为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】双曲线，其渐近线方程为，不妨设，. 右焦点到渐近线（不妨取这条）的距离为. 根据双曲线的性质，则，已知点到其中一条渐近线的距离为，所以. 因为，分别为的两条渐近线的倾斜角，且，又，所以，解得. 可得，即，解得. 可得，所以. 双曲线的焦距为. 故选：D. 8. 已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】外接球半径，则． ， 设外接球球心，在即 在即 则， ， 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 已知一组数据，，，的方差为3，则，，，的方差也为3 B. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 C. 已知随机变量X服从正态分布，若，则 D. 已知随机变量X服从二项分布，若，则 【答案】BCD 【解析】对于A：设的平均数为，方差为， 则，， 所以，，，的平均数为， 所以方差为 ，故选项A不正确； 对于B：因为线性回归直线过样本点中心，所以，可得， 故选项B正确； 对于C：因为随机变量服从正态分布，所以对称轴为，又， 而，所以， 则，故选项C正确； 对于D：因为服从二项分布，所以， 所以，则，故选项D正确. 故选：BCD 10.已知数列是首项为2的等比数列，其前项和为，若，则（ ） A. B. C. ， D. 【答案】BC 【解析】设公比为，根据题意有， 所以或， 当时，，， 当时，，故A错误，B正确； 当时，，， 当时，，， 所以，，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：BC. 11.已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则（ ） A. 当时， B. 当时， C 当时， D. 一定能被3整除 【答案】ABC 【解析】由题意可知为二次函数，且为的零点， 由得或， 当时，令，解得或；令，解得， 所以在内单调递增，在内单调递减， 则为极大值点，为极小值点， 所以，即， 若，则，此时，与矛盾，故，A说法正确； 所以有2个根，有1个根，可知，B说法正确； 当时，令，解得，令，解得或， 所以在内单调递增，在内单调递减， 则为极大值点，为极小值点， 所以，即， 若，则，此时，与矛盾，故， 当，即时，可知，，此时，， 当，即时，可知，，此时，， 当，即时，可知，，此时，， 综上C说法正确，D说法错误； 故选：ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，则______. 【答案】 【解析】， ． 故答案为：． 13. 小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为__________. 【答案】 【解析】设第一次投篮成功为事件B，通过测试为事件A， 则， 所以， 所以， 故答案为： 14.已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线的方程为，且的平分线经过点，设内切圆的半径分别为，则__________. 【答案】5 【解析】由题意可知， 所以由， 由上得，且 所以， 所以，所以即， 令得，故直线经过点， 联立， 所以， 所以同理可得， 所以. 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若为的中点，且的长为2，求的最大值，并求此时的值． 【答案】(1)；(2)的最大值为8，. 【解析】（1）在中，由及正弦定理得，（2分） 由余弦定理得，（4分） 而， 所以.（6分） （2）在中，由余弦定理得，（8分） 则， 即，当且仅当时取等号，（11分） 此时， 所以的最大值为8，.（13分） 16． （15分） 一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球，标号分别为，现采用有放回的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为，第二次摸到的小球号码为. （1）记“”为事件，求； （2）完成两次摸球后，再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为，号码中出现偶数的个数记为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析；. 【解析】（1）两次摸球，摸出的小球号码的所有情况共种，（2分） 其中，满足“”的情形有： 时，；时，；时，；共5种情况，（5分） 故；（7分） （2） X的可能取值为， 则，， ，，（11分） 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P （13分） 故（15分） 17．（15分） 如图，在中，，，是边上一点，将沿翻折至，且平面平面.当面积最大时： （1）求； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为， 所以当时，即 面积最大，（2分） 又当时，因为平面， 所以平面，而平面， 所以平面平面，符合题意， 显然，（5分） 因为，， 所以，因此设， 由余弦定理可知： （7分） （2）建立如图所示的空间直角坐标系， ， 由（1）可知平面， 所以平面的法向量为，（9分） 设平面的法向量为，， 于是有，（13分） 所以二面角的余弦值为. （15分） 18．（17分） 已知，且曲线在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）设的导函数为，求的单调区间； （3）证明：当时，. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为； （3）证明见解析 【解析】（1）因为，所以，（2分） 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，解得；（4分） （2）由（1）可得，所以， 则，定义域为， 所以，（6分） 因为，令，即，解得； 令，即，解得，（8分） 所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（9分） （3）由（2）可知在上单调递增， 又，， 又， 所以，即， 所以，使得，（12分） 所以当时，即，所以在上单调递减； 当时，即，所以在上单调递增；（14分） 又，， 所以， 所以当时，.（17分） 19．（17分） 已知抛物线的焦点为F，在第一象限内的点和第二象限内的点都在抛物线C上，且直线过焦点F．按照如下方式依次构造点：过点作抛物线C的切线与x轴交于点，过点作x轴的垂线与抛物线C相交于点，设点的坐标为．用同样的方式构造点，设点的坐标为． （1）证明：数列都是等比数列； （2）记，求数列的前n项和； （3）证明：当时，直线都过定点． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】（1）抛物线C的方程可化为，求导可得， 将点的坐标代入抛物线C的方程，有， （2分） 过点的切线的方程为，代入，有， 整理为，（3分） 令，可得，有， 故数列是公比为的等比数列， 同理，数列也是公比为的等比数列；（4分） （2）由焦点，设直线的方程为， 联立方程消去y后整理为，有，（6分） 由数列是公比为的等比数列，有， 有，（8分） 有， 两边乘以，有， 两式作差，有， 有，可得；（11分） （3）由（2）知，点的坐标为，点的坐标为， 直线的斜率为， （13分） 直线的方程为， （15分） 令，有， 故当时，直线过定点．（17分） 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$