专题08 几何最值模型之逆等线模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题08.几何最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 1 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 6 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 9 模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 11 14 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 证明思路：① AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出EF=CD； ④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线； ⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。 注意：题中的角度，在八年级能解决的只有一些特殊角度，如：30，45，60等。 例1．（24-25九年级上·广东·阶段练习）在边长为4的等边中，分别为边上的动点，且总满足则的最小值 ． 【答案】 【详解】解：是等边三角形，， ，，， 当时，即时，最短，则有最小值， 此时，，， 的最小值为，故答案为：． 例2．（23-24七年级下·四川·期末）如图，在中，，，点为上一动点，在上取点，使，连接，，当的值最小时，的度数为 ．    【答案】 【详解】解：过点作，使，连接，交于点，    ∵，∴，∴，∴， 当且仅当三点共线时，的值最小，此时点与点重合， ∵，，∴， ∴，∴， ∴；故答案为：． 例3．（2024·安徽·二模）如图，在中，，，，分别为边AB，AC上的两个动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点作AB的垂线，在垂线上截取，作于点，分别连接CE，PE． ，． ，的最小值为，即的最小值为CE． ，，，，， ，，． 在中，，即的最小值为．故选：D． 例4．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，点E与点D分别在射线与射线上，且，则的最小值为 ，的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图所示，过作交的于， ∵，， ∴∴，， ∵，∴，∴ 如图所示，作且，连接，，∵ ∴∴∴， 当在上时，取得最小值，如图所示，过点作交的延长线于点， ∵，∴，∵∴ ∵在中，，∴ ∴，即的最小值为； 如图所示，作关于的对称点，连接,则 ∵则∴， ∵对称，∴∴都是等边三角形，连接， ∵，∴，则， 又∵∴∴， ∴∴是等边三角形，∴ ∴当在上时，， 如图所示 此时取得最小值，最小值 故答案为：，． 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。 证明思路：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG； ④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。 例1．（2024·福建厦门·八年级校考期中）如图，等边中，为边上的高，点分别在上，且，连，当最小时，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图1中，作，使得，连接，．       是等边三角形，，， ， ，， ，，，， ，，，共线时，的值最小， 如图2中，当，，共线时，，， ，，， 当的值最小时，，故选：． 例2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在三角形中，，，于点，，分别是线段，上的动点，，当最小时， 度．    【答案】 【详解】解：在下方作，使，连接．则，．    ∴，即最小值为，此时A、N、三点在同一直线上． ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴，故答案为：． 例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ． 【答案】4 【详解】解：∵等腰中，，∴， ∵平分，∴，如图，作，使，连接， ∴，∵，，， ∴，∴，，∴， ∴当三点共线时，最小，即， ∵，，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：4． 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 条件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE， 求CD+CE的最小值。 证明思路：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD； ④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线； ⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。 例1．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，，是边上的两个动点，满足，连接、，求的最小值 .    【答案】8 【详解】过点，分别作的垂线和的垂线交于点，连接，，    ，，，，，， ，，，， ，，，， 当，，三点不共线时，；当，，三点共线时，． 的最小值是的长，，，， ，，，的最小值是8．故答案为：8． 例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是 ．    【答案】17 【详解】解：如图，连接，， 四边形是矩形，，，，， ，，，，， 又，为矩形的对角线，， 是直角三角形，，，， 移项得， 配方得，，解得，或 ，，，故答案为：17．    模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。 条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF， 求AF+AE的最小值。 证明思路：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG； ④AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。先利用相似求出DH和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两条线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。 例1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，的下方作，截取，使得，连接，． 四边形是菱形，，，， ，，，，， ，， ，， ，，的最小值为，故答案为． 例2．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：过点作，使，过点作，交的延长线于点，连接、、，交于点，∴，∵矩形中，，， ∴，，， ∴，∴，∴是等边三角形， ∴，∴， 在和中，∴，∴， ∵点、分别是对角线和边上的动点，∴， 当、、三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长， 在中，，，，∴， ∴，∴， 在中，，∴的最小值是，故答案为：． 例3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，、分别从、同时出发，以相同的速度向点运动，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接，∵矩形中，，，    ∴，，依题意，，∴∴， 作点关于的对称点，连接，，则， ∵，则三点共线时，取得最小值， ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 1．（2024·山东淄博·二模）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是BC，CD边上的动点，并且满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接DE，根据正方形的性质及BE=CF，∴DF=CE，AD=CD， ∴△DCE≌△ADF（SAS），∴DE=AF，∴AE+AF=AE+DE， 作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，则AE=A′E，即AE+AF=AE+DE=A'E+DE， 当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，AA′=2AB=4， 此时，在Rt△ADA′中，DA′=，故AE+AF的最小值为．故选：C． 2．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，已知，，，，点D，E分别是，边上的动点，满足．连接，，则的最小值为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】解：过A作，垂足为A，使，过点F作交延长线于点G，连接，则， ∴四边形是矩形，∴，， ∵，，， ∴，∴，∴，即当C、D、F共线时，取得最小值，最小值为的长， ，即的最小值为13．故选：B 3．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线上有两动点和，连接和，若，，则的最小值是（    ）    A．4 B．10 C．6 D．20 【答案】B 【详解】解：如图，连接，，      四边形是矩形，，，，， ，，， ，，又，为矩形的对角线，， 是直角三角形，，， 移项得，解得，或 ，则不符合题意，，，故选B． 4．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，使，连接，，则，． ∵菱形的边长为2，∴．， ∴．∴．∴． 在和中，，∴． ∴．∴．即． ∴的最小值为．故答案为：． 5．（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为 ；的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，使得，过点作于点，连接， 在中，，∴，∴， ∴，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长， ∵，，，∴ ∵，∴， 在中，，∴， ∴，如图所示，延长至使得，连接，则， ， ∴，故答案为：，． 6．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为 ，点分别是线段上的动点，且，则的长为 ；当的值取最小值时，点的坐标为 ．    【答案】 5 【详解】解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点， ∴，，∴， ∵点的坐标为，∴∴，∴， 过点C作轴于点C，且，连接， ∵，，∴， 在和中∵，∴，∴， ∴的最小值转化为的最小值，当A，G，E三点共线时，取得最小值， 连接，交于点，当E与Q重合时，取得最小值， ∵，设直线的解析式，根据题意，得，解得，故解析式为， 设直线的解析式为，根据题意，得，解得，故解析式为， 根据题意，得，解得，∴，∴，∴， ∴，故点． 故答案为：5；．    7．（23-24八年级下·贵州遵义·期中）如图，在中，，点分别是上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：延长，取，连接，在上取，连接，过点D作，取，连接，如图所示： ∵，，∴，垂直平分， ∴，∴，∵，，∴，∴， ∵，，∴，∵，，∴， ∴，∴，∵，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴当最小时，最小，∴当C、H、G三点共线时，最小，且最小值为， ∴的最小值为：．故答案为：． 8．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）中，，，点、分别为和两条边上的动点，且满足，则线段的长度的最小值是 ．    【答案】 【详解】解：如图所示，过点作交于D，连接，过点作于点    ∵，∴，， ∴是等腰直角三角形，∴， 又∵，，∴，∴四边形是平行四边形， 又∵∴四边形是矩形，∴ ∵当时，即时，最短，即最短，∴的最小值为，故答案为：． 9．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，D、E分别是边上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过点C作，且，过点B作交的延长线于点H，连接交于点F，∵，∴， ∵∴∴，∵，∴， ∴当G，E，B三点共线时，取得最小值即点E与点F重合，取得最小值， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴，故答案为：． 10．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的两个动点，且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，∵四边形是正方形，∴，， ， ， ∵，∴，∴，∴的最小值等于的最小值， 如图，作点关于的对称点，连接，则、、三点共线， 连接，与的交点即为所求的点，根据对称性可得，∴， 在中，，，∴， ∴的最小值为，故答案为：． 11．（2024九年级下·广东·专题练习）如图，在菱形中，，，点E，F分别在，上，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：如图，连接，作关于直线的对称点，连接，，，， ∴，，，∵菱形， ∴，，， ∵，，∴，， ∴四边形为平行四边形，∴，∴， 当三点共线时，此时取等于号，最小， ∵菱形，，∴，，∴为等边三角形，∴， ∵，∴，∵，，∴， ∴，，∵，∴，∴三点共线， ∴当三点共线时，重合，∵，∴，即最小值为4．故答案为：4 12．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，点P、Q分别从点D、B同时出发以相同的速度向点C运动，则的最小值为 ． 【答案】13 【详解】解：如图，延长至H，使，连接， ∵点P、Q分别从点D、B同时出发以相同的速度向点C运动，∴， 又∵，，∴，∴，∴， ∴当点D，点Q，点H三点共线时，有最小值为的长， 在中，由勾股定理可得：，故答案为：13． 13．（2024·陕西咸阳·二模）如图，和关于点O中心对称，，，，点P是上一动点，点Q是上一动点（点P、Q不与端点重合），且．连接，，则的最小值为 ． 【答案】18 【详解】解：∵和关于点O中心对称，∴， ∵，，∴，又，∴， ∵，∴， ∴过D作，且，连接，，如图， 则四边形是平行四边形，，∴， ∴，当B、Q、K共线时取等号，此时最小，最小值为的长． ∵，，∴为等边三角形， ∴，即的最小值为18，故答案为：18． 14．（23-24九年级下·河南新乡·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：延长到，使，连接，， 四边形是矩形，∴，，，．． ，，．，， 当点、、共线时，最小，最小值为的长．最小值为． ，．在中，，， ．最小值为．故答案为：． 15．（2024·陕西西安·一模）如图，已知正方形边长为4，O为对角线的交点，M、N分别是边、上的动点，且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作于点F，延长到点E，使，连接、、、， ∵四边形是边长为4的正方形，∴，，，，且，，则垂直平分，，， ∴，，∴.∵，∴， 在和中，，∴（），∴，∴， ∴，∴，∴的最小值为.故答案为：． 16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为5的菱形中，，，分别是，上的动点，，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，过点作，使，连接，，则，． ∵菱形的边长为5，∴．∵，∴． ∴．∴．∴． 在和中，，∴．∴． ∴．即．∴的最小值为．故答案为：． 17．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，矩形AOCD的顶点A（0，2），C（2，0）． (1)如图一，E是OC边的中点，将△AOE沿AE翻折后得到△AEF，延长AF交CD于点G，求CG的长； (2)如图二，∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，F为BE的中点，连接CF，求∠ACF的大小；(3)如图三，M，N分别是边CD和对角线AC上的动点，且AN=CM，则OM+ON的最小值=____________．（直接写出结果） 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）如图一：连接EG，∵矩形AOCD的顶点 ∵点E是OC的中点，∵四边形AOCD是矩形， 由折叠可知， 在和中，（HL） 设则 在中，即 （2）如图二，连接AF，DF，的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E， ∵F为BE的中点， (SAS) （3）如图三，连接OD交AC于点Q， 和都是等边三角形， 过CD中点R作交RP于点P，连接OP，MP， ∴当点M在OP上时，此时的值最小， 的最小值为．故答案为： 18．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期中）如图1，已知等边，以为直角顶点向右作等腰直角，连接．(1)若，求点到边的距离；(2)如图2，过点作的垂线，分别交，于点，，探索，，之间的数量关系并证明；(3)如图3，点，分别为线段，上一点，，连接，，若，当取得最小值时，直接写出的面积．(提示：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方) 【答案】(1)(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）解：过点作延长线于点， 是等边三角形，，， 是等腰直角三角形，，， ，，即点到边的距离为； （2）解： 证明：证明：在上取，连接，， 是等边三角形，，， 是等腰直角三角形，，，， ，，，，， ，，垂直平分，， ，，，， ，，垂直平分，， ，，， ，， 在和中，，，，； （3）解：过点作，且，连接，过点作于点， ，，，， ，，当、、三点共线时，最小， 由（2）知，，，，，， ，是等腰直角三角形，， 过点作于点，则是等腰直角三角形，， ，，， ，，，， ，即，解得：，． 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08.几何最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 1 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 3 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 5 模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 6 8 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 证明思路：① AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出EF=CD； ④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线； ⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。 注意：题中的角度，在八年级能解决的只有一些特殊角度，如：30，45，60等。 例1．（24-25九年级上·广东·阶段练习）在边长为4的等边中，分别为边上的动点，且总满足则的最小值 ． 例2．（23-24七年级下·四川·期末）如图，在中，，，点为上一动点，在上取点，使，连接，，当的值最小时，的度数为 ．    例3．（2024·安徽·二模）如图，在中，，，，分别为边AB，AC上的两个动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例4．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，点E与点D分别在射线与射线上，且，则的最小值为 ，的最小值为 ． 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。 证明思路：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG； ④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。 例1．（2024·福建厦门·八年级校考期中）如图，等边中，为边上的高，点分别在上，且，连，当最小时，则（    ）    A． B． C． D． 例2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在三角形中，，，于点，，分别是线段，上的动点，，当最小时， 度．    例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ． 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 条件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE， 求CD+CE的最小值。 证明思路：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD； ④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线； ⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。 例1．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，，是边上的两个动点，满足，连接、，求的最小值 .    例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是 ．    模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。 条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF， 求AF+AE的最小值。 证明思路：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG； ④AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。先利用相似求出DH和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两条线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。 例1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ． 例2．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 例3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，、分别从、同时出发，以相同的速度向点运动，则的最小值为 ．    1．（2024·山东淄博·二模）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是BC，CD边上的动点，并且满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，已知，，，，点D，E分别是，边上的动点，满足．连接，，则的最小值为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 3．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线上有两动点和，连接和，若，，则的最小值是（    ）    A．4 B．10 C．6 D．20 4．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为 ． 5．（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为 ；的最大值为 ． 6．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为 ，点分别是线段上的动点，且，则的长为 ；当的值取最小值时，点的坐标为 ．    7．（23-24八年级下·贵州遵义·期中）如图，在中，，点分别是上的动点，且，则的最小值为 ． 8．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）中，，，点、分别为和两条边上的动点，且满足，则线段的长度的最小值是 ．    9．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，D、E分别是边上的动点，且，则的最小值为 ． 10．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的两个动点，且，连接、，则的最小值为 ． 11．（2024九年级下·广东·专题练习）如图，在菱形中，，，点E，F分别在，上，且，连接，，则的最小值为 ． 12．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，点P、Q分别从点D、B同时出发以相同的速度向点C运动，则的最小值为 ． 13．（2024·陕西咸阳·二模）如图，和关于点O中心对称，，，，点P是上一动点，点Q是上一动点（点P、Q不与端点重合），且．连接，，则的最小值为 ． 14．（23-24九年级下·河南新乡·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为 ． 15．（2024·陕西西安·一模）如图，已知正方形边长为4，O为对角线的交点，M、N分别是边、上的动点，且，连接、，则的最小值为 ． 16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为5的菱形中，，，分别是，上的动点，，连接，，则的最小值为 ． 17．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，矩形AOCD的顶点A（0，2），C（2，0）． (1)如图一，E是OC边的中点，将△AOE沿AE翻折后得到△AEF，延长AF交CD于点G，求CG的长； (2)如图二，∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，F为BE的中点，连接CF，求∠ACF的大小；(3)如图三，M，N分别是边CD和对角线AC上的动点，且AN=CM，则OM+ON的最小值=____________．（直接写出结果） 18．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期中）如图1，已知等边，以为直角顶点向右作等腰直角，连接．(1)若，求点到边的距离；(2)如图2，过点作的垂线，分别交，于点，，探索，，之间的数量关系并证明；(3)如图3，点，分别为线段，上一点，，连接，，若，当取得最小值时，直接写出的面积．(提示：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方) 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$