专题08 几何最值模型之逆等线模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题08. 几何最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 1 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 5 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 8 10 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 证明思路：① AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出EF=CD； ④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线； ⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。 注意：题中的角度，在八年级能解决的只有一些特殊角度，如：30，45，60等。 例1．（24-25九年级上·广东·阶段练习）在边长为4的等边中，分别为边上的动点，且总满足则的最小值 ． 例2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，点E和点F分别为和上的动点，且，连接，，当的值最小时，点F到的距离为 ． 例3．（23-24八年级上·陕西·期中）在中，，，，点，分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ． 例4．（23-24八年级下·浙江·期中）在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值 ． 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。 证明思路：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG； ④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。 例1．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图，为等腰的高，其中分别为线段上的动点，且，当取最小值时，的度数为 ． 例2．（2023·四川成都·一模）如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时， ． 例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ． 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 条件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE， 求CD+CE的最小值。 证明思路：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD； ④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线； ⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。 例1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，，D、E为边上的两个动点（不与A、B点重合），且，连接、，若，则的最小值为 ．    例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是 ． 1．（24-25八年级上·湖北鄂州·期中）如图，AD 为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F 分别为线段AD，AC 上的动点，且 AE=CF， 当 BF＋CE 取最小值时，∠AFB的度数为（    ） A．75° B．90° C．95° D．105° 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知直线：分别交轴、轴于点两点，，分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线上有两动点和，连接和，若，，则的最小值是（    ）    A．4 B．10 C．6 D．20 4．（23-24九年级下·江苏泰州·期中）平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴、轴分别交于两点，点，点坐标分别为，则的最小值为 ． 5．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，为等边的BC边上的高，E、F分别为线段上的动点，且，若时，则的最小值为 ，若时，的最小值为 ． 6．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，为等腰的高，，，E、F分别为线段、上的动点，且，则的最小值为 ． 7．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，于点D，于点C，．点E，点F分别在线段上，，连接．当取最小值时 ． 8．（23-24八年级上·辽宁营口·期末）如图：已知是等腰三角形，，，点是上的中点，点是射线上的一动点，点是射线上的一动点，且，连接、，则的最小值 ． 9．（23-24八年级下·福建宁德·期中）如图，在等边△ABC中，，点E在边BC上，点F在△ABC的角平分线CD上，，则的最小值是 ． 10．（24-25九年级上·成都·课后作业）如图，在等边中，，点M，N分别在边上，且，则线段的最小值为 ． 11．（23-24八年级下·广东深圳·统考期末）如图，在中，，，为平行四边形对角线上一点，为边上一点，且，连接、，则的最小值为 ． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形中，分别为边、上的点，且，连接，则的最小值为 ． 13．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为 ． 14．（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为 ；的最大值为 ． 15．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等边中，点E是边上一点，点F是的角平分线上的一点，且满足，连接，当取得最小值时， ．    16．（23-24八年级下·重庆大渡口·期末）在中，于点D，点E是上一点， (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，若，连接，且，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若，，点F是线段上一点，且，连接交于点P，连接，当取最小值时，直接写出的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08. 几何最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 1 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 5 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 8 10 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 证明思路：① AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出EF=CD； ④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线； ⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。 注意：题中的角度，在八年级能解决的只有一些特殊角度，如：30，45，60等。 例1．（24-25九年级上·广东·阶段练习）在边长为4的等边中，分别为边上的动点，且总满足则的最小值 ． 【答案】 【详解】解：是等边三角形，， ，，， 当时，即时，最短，则有最小值， 此时，，， 的最小值为，故答案为：． 例2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，点E和点F分别为和上的动点，且，连接，，当的值最小时，点F到的距离为 ． 【答案】 【详解】解：过点C作，取，连接，，交于点H，过点H作于点I，如图所示：∵，∴，∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∴当A、F、G在同一直线上时，最小，即最小， ∴点最小时，点F于点H重合， ∵，∴，，∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴．即当的值最小时，点F到的距离为． 故答案为：． 例3．（23-24八年级上·陕西·期中）在中，，，，点，分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，过点B作，使得，连接，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在中，，当点A、Q、M三点共线时，，∴， ∵，，，∴， ∵，，∴， ∴，即的最小值为．故答案为：。 例4．（23-24八年级下·浙江·期中）在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值 ． 【答案】 【详解】解：如图作，使得．作交的延长线于，连接． ，，，，，， ，的最小值为的长，∵，∴， ∵，∴，， 在中，，，，， ∴， 在中，．故答案为：． 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。 证明思路：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG； ④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。 例1．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图，为等腰的高，其中分别为线段上的动点，且，当取最小值时，的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图1，作，且，连接交于M，连接， 是等腰三角形，，，， ，，， ，在与中，， ，∴当F为与的交点时，如图2，的值最小， 此时，，故答案为：． 例2．（2023·四川成都·一模）如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时， ． 【答案】 【详解】解：在下方作，使，连接． 则，．∴， 即最小值为，此时A、N、三点在同一直线上． ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴，故答案为：． 例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ． 【答案】4 【详解】解：∵等腰中，，∴， ∵平分，∴，如图，作，使，连接， ∴，∵，，， ∴，∴，，∴， ∴当三点共线时，最小，即， ∵，，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：4． 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 条件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE， 求CD+CE的最小值。 证明思路：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD； ④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线； ⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。 例1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，，D、E为边上的两个动点（不与A、B点重合），且，连接、，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意知，∴， 如图，分别过、作、的垂线交于，则四边形是矩形，连接， ∴，，，∴， ∵，，，∴，∴，∴， ∴当三点共线时，最小，最小为，∴， ∴的最小值为，故答案为：． 例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是 ．    【答案】17 【详解】解：如图，连接，， 四边形是矩形，，，，， ，，，，， 又，为矩形的对角线，， 是直角三角形，，，， 移项得， 配方得，，解得，或 ，，，故答案为：17．    1．（24-25八年级上·湖北鄂州·期中）如图，AD 为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F 分别为线段AD，AC 上的动点，且 AE=CF， 当 BF＋CE 取最小值时，∠AFB的度数为（    ） A．75° B．90° C．95° D．105° 【答案】C 【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH=BC，连接HB，交AC于F，此时△BCH是等腰直角三角形且FH+BF最小，∵AC=BC，∴CH=AC，∵∠HCB=90°，AD⊥BC， ∴AD//CH， ∵∠ACB=50°，∴∠ACH=∠CAE=40°，∴△CFH≌△AEC，∴FH=CE，∴FH+BF=CE+BF最小， 此时∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°．故选：C． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知直线：分别交轴、轴于点两点，，分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于直线：， 当时，可有，当时，可有，解得，∴， 又∵，∴，如下图，取点，连接， ∵，∴，∴，∵，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴的最小值为线段的长，即当共线时，的值最小， 设直线的解析式为，将点代入， 可得，解得，∴直线的解析式为，令，则，∴点， ∴当的值最小时，点的坐标为．故选：C． 3．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线上有两动点和，连接和，若，，则的最小值是（    ）    A．4 B．10 C．6 D．20 【答案】B 【详解】解：如图，连接，，      四边形是矩形，，，，， ，，， ，，又，为矩形的对角线，， 是直角三角形，，， 移项得，解得，或 ，则不符合题意，，，故选B． 4．（23-24九年级下·江苏泰州·期中）平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴、轴分别交于两点，点，点坐标分别为，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：当，当，∴， 如图，取点，连接，，作，垂足为点，即， 在和中，∵，∴，， ，当点三点共线时，有最小值， 在中，由勾股定理得，，∴的最小值为． 5．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，为等边的BC边上的高，E、F分别为线段上的动点，且，若时，则的最小值为 ，若时，的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：当时，取得最小值，∵是边长为2的等边三角形，∴， ∴；即的最小值为； 如图，作，且，连接交于M，连接， ∵是等边三角形，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴当B、F、H共线时，如图2，的值最小，即的长， 此时是等腰直角三角形，且，∴，故答案为：；． 6．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，为等腰的高，，，E、F分别为线段、上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，过点C作，且，并在的同侧，连接，交于点G， 连接，∵为等腰的高，∴，∴，∴， 又∵，∴，∴ ∵为等腰的高，，∴，∴， 当F与点G重合时，取得最小值， ∴，∴，∴，∴， ∴． 7．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，于点D，于点C，．点E，点F分别在线段上，，连接．当取最小值时 ． 【答案】97 【详解】解： ，∴， ∵于点D，于点C，∴，，∵∴， ∵，∴，∴，∴， ∴当和共线时，和最小，如下图，此时与交于点， ∵，∴， ∴．故答案为：97． 8．（23-24八年级上·辽宁营口·期末）如图：已知是等腰三角形，，，点是上的中点，点是射线上的一动点，点是射线上的一动点，且，连接、，则的最小值 ． 【答案】12 【详解】解：延长BA到G，使AG=AC=6，如图， ∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠GAC=60°,∠ABC=∠ACB=30°， ∵AG=AC∴△ACG是等边三角形∴CG=AC=6，∠ACG=60°， ∵D是BC的中点，AB=AC∴∠DAC=∠BAC=60°=∠ACG，又AE=CF∴△ACE≌△CGF∴CE=GF∴BF+CE=BF+GF 要使BF+CE最小，只要使BF+GF最小即可，根据两点之间线段最短可得：BF+GF≥BG=AB+AG=6+6=12 即BF+CE的最小值为12，故答案为：12． 9．（23-24八年级下·福建宁德·期中）如图，在等边△ABC中，，点E在边BC上，点F在△ABC的角平分线CD上，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图：过点C作CG⊥AC，并截取CG=AC，连接EG，如图所示： ∵为等边三角形，∴，， ∵CD平分，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，， ，当A、G、E三个点在同一直线上时，的和最小，即最小， 的值最小为：．故答案为：． 10．（24-25九年级上·成都·课后作业）如图，在等边中，，点M，N分别在边上，且，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如解图，过点C，M分别作的平行线，并交于点P，作射线． ，∴四边形是平行四边形，， 又，，， 是等边三角形，，． ∵四边形是平行四边形，， ∴当时，有最小值，此时，最小值是．故答案为 11．（23-24八年级下·广东深圳·统考期末）如图，在中，，，为平行四边形对角线上一点，为边上一点，且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】7 【详解】解：如图所示，以为边作，在上取，过点作、，垂足为、，则四边形是矩形，∴，， ∵四边形是平行四边形，∴， ∵∴， ∵在和中，∴∴， ∴当、、三点共线时，最小值即的最小值为的长， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴最小值为， 故答案为： 12．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形中，分别为边、上的点，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接，作点C关于的对称点H，连接，如图所示： ∵平行四边形，， ∴，，， ∵，∴四边形为平行四边形，∴， ∵点C、H关于对称，∴，，， 当点B、E、H三点共线时， 的最小值为的长， ，，，， ，，故答案为：． 13．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，使，连接，，则，． ∵菱形的边长为2，∴．， ∴．∴．∴． 在和中，，∴． ∴．∴．即． ∴的最小值为．故答案为：． 14．（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为 ；的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，使得，过点作于点，连接， 在中，，∴，∴， ∴，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长， ∵，，，∴ ∵，∴， 在中，，∴， ∴，如图所示，延长至使得，连接，则， ， ∴，故答案为：，． 15．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等边中，点E是边上一点，点F是的角平分线上的一点，且满足，连接，当取得最小值时， ．    【答案】/45度 【详解】解：过点C作，使，连接，如图，    ∵是等边三角形，∴，， ∵平分，∴，∵，∴，∴， 又∵，，∴，∴，∴， 当三个点在同一直线上时，的值最小，即有最小值， 此时，故答案为：． 16．（23-24八年级下·重庆大渡口·期末）在中，于点D，点E是上一点， (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，若，连接，且，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若，，点F是线段上一点，且，连接交于点P，连接，当取最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1)(2)；见解析(3)12 【详解】（1），，，，， ，，． （2）；证明：如图，过作，作，两线交于点，则四边形是平行四边形．作于点， 设，则，，四边形是平行四边形，，， ，，，， ，，，，， ，，，，， ，． （3）过作，且， ，，，，， ，，当、、三点共线时，最小 ，，，，， ，，是等腰直角三角形，，，． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$