精品解析：广东省珠海市金湾区2024—2025学年九年级上学期期末考试数学试题

金湾区2024-2025学年度第一学期期末学生学业水平检测 九年级数学试题 本试卷共6页，满分120分．考试用时120分钟． 说明： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的学校、姓名、班级、考号等考生信息．用2B铅笔把对应考号栏的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔、涂改液、涂改带等．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁，切勿折叠． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是一元二次方程的一个实数根，则c等于（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知⊙O的直径是10，圆心O到直线l的距离是5，则直线l和⊙O的位置关系是（　　） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定 5. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A、B、C在上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将（其中，）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 8. 在研究反比例函数图象与性质时，小明因粗心误认为、、、四个点在同一个反比例函数的图象上，后来经检查发现其中有一个点不在，这个点是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，将二次函数图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在半径为2的中，点A、B、P是圆上的三个点，且满足，则弦长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式_____． 12. 如图，在中，圆心O到弦的距离为1，，则的半径长为______． 13. 如图，点M为双曲线上一点，若轴于点P，则的面积为______． 14. 参加足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛，共要比赛72场，共有_____个队参加比赛． 15. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①；②；③若，则；④不论m取任何实数，均有．其中正确的有______． 三、解答题（一）：共3小题，每小题7分，共21分． 16. 17. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求I与R的函数关系式； （2）若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过电流，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 18. 2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，，，，滨河体育队小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是（滑板）的概率是______． （2）体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（滑板）和（运动攀岩）的概率． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 顶点均在格点上，请在网格中按要求作图． （1）在图中以点B为旋转中心，作绕点B逆时针旋转后得到的； （2）直接写出线段与的位置关系：______； （3）图中用无刻度的直尺作出的外心O．（保留作图痕迹） 20. 综合与实践 如图，某生物学社团计划在学校闲置空地上开垦一个面积为矩形地块作为观察番茄生长的实践基地，地块一边靠墙（墙的长度不限），另外三边用木栅栏围住，若木栅栏总长为，能否围出符合要求的矩形地块实践基地? A同学利用所学方程知识来解决这个问题：设为xm，则的长为，依题意得…… B同学则尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；由木栅栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象在第一象限内的交点坐标． （1）请把A同学的解答过程补充完整； （2）请根据B同学的分析思路，在图中画出一次函数的图象，并借助图象判断是否能围出符合要求的实践基地?如果能，请直接写出此时和的长度；如果不能，请说明理由． 21. 如图，以为直径的经过的顶点C，点E是的内心，连接并延长交于点D，连接． （1）试判断的形状并证明； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合探究 操作一：折叠正方形纸片，使顶点落在边上点处，得到折痕，把纸片展平（如图）； 操作二：折叠正方形纸片，使顶点也落在边上点处，得到折痕，与交于点，连接（如图）． （1）根据以上操作，直接写出图中与线段相等的两条线段：______； （2）探究发现：把上题图中的纸片展平，得到图，通过观察发现无论点在线段上任何位置，线段与线段始终相等，请你直接用第一问发现的结论写出完整的证明过程； （3）拓展应用：已知正方形纸片的边长为，在以上探究过程中当点到的距离是时，求线段的长． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的最大距离； （3）如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线与该图形有交点，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 金湾区2024-2025学年度第一学期期末学生学业水平检测 九年级数学试题 本试卷共6页，满分120分．考试用时120分钟． 说明： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的学校、姓名、班级、考号等考生信息．用2B铅笔把对应考号栏的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔、涂改液、涂改带等．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁，切勿折叠． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的”进行求解即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是中心对称图形，故不符合题意； D、是中心对称图形，故符合题意； 故选D． 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．据此求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为． 故选A． 3. 已知是一元二次方程的一个实数根，则c等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键．把代入原方程即可解出c的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴把代入原方程，得， ∴， 故选：D． 4. 已知⊙O的直径是10，圆心O到直线l的距离是5，则直线l和⊙O的位置关系是（　　） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系即当圆的半径为r，圆心到直线的距离为d时，时相离、时相切、时相交判断即可； 【详解】∵⊙O的直径是10， ∴⊙O的半径r=5， ∵圆心O到直线l的距离d是5， ∴， ∴直线l和⊙O的位置关系是相切； 故选C． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，准确分析判断是解题的关键． 5. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程−配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，未知移到左边，二次项系数化为1，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方即可求出解． 【详解】解：，即， 方程两边同时加1，可得，即， 故选：B． 6. 如图，点A、B、C在上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理进行计算，即可解答．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：C． 7. 如图，将（其中，）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求旋转角，邻补角互补，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据点C、A、在同一条直线上，得到，然后利用邻补角互补求解即可． 【详解】解：∵点C、A、在同一条直线上， ∴ ∵， ∴． ∴旋转角等于． 故选：C． 8. 在研究反比例函数图象与性质时，小明因粗心误认为、、、四个点在同一个反比例函数图象上，后来经检查发现其中有一个点不在，这个点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数中的特点进行解答即可．熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：， 这个点是． 故选：B． 9. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何变换，根据二次函数上加下减，左加右减的平移规律进行求解即可．解题的关键是正解掌握平移规律． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数图象的解析式为， 故选：B． 10. 如图，在半径为2中，点A、B、P是圆上的三个点，且满足，则弦长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．首先连接，，，在优弧上任取点E，连接，根据圆内接四边形的性质求出，由圆周角定理即可求得，又由，利用勾股定理即可求得弦的长． 【详解】解：连接，，，在优弧上任取点E，连接， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式_____． 【答案】，答案不唯一． 【解析】 【分析】根据二次函数的性质写出一个符合的即可． 【详解】解：抛物线的解析式为： 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．． 12. 如图，在中，圆心O到弦的距离为1，，则的半径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，先根据垂径定理得到，然后根据勾股定理计算出的长即可．熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 【详解】解：为圆心到弦的距离， ， ， 在中，，， ． 故答案为：． 13. 如图，点M为双曲线上一点，若轴于点P，则的面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，根据反比例函数值的几何意义解答即可．熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：点为双曲线上一点，若轴于点， ． 故答案为：4． 14. 参加足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛，共要比赛72场，共有_____个队参加比赛． 【答案】9 【解析】 【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场，等量关系为：队的个数×（队的个数-1）=72；接下来设有x队参加比赛，根据等量关系列方程求解即可. 【详解】设有x队参加比赛. x(x-1)=72， (x-9)(x+8)=0， 解得x1=9，x2=-8（不合题意，舍去）. 即共有9个队参加比赛. 故答案为9. 【点睛】本题是有关一元二次方程应用的题目，关键是找到题中的等量关系列出方程. 15. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①；②；③若，则；④不论m取任何实数，均有．其中正确的有______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征及抛物线与轴的交点，根据所给函数图像，得出，，的符号，再结合抛物线的对称性及增减性对所给结论依次进行判断即可．熟知二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】解：由所给图像可知， ，，， 所以． 故①正确． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 则． 故②正确． 因为点坐标为， 由得，， 所以点的坐标为， 则， 所以． 因为抛物线的对称轴为直线，且点坐标为， 所以点的坐标为． 由得， ， 所以． 故③正确． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 所以当时，二次函数有最大值， 即对于抛物线上的任意一点（横坐标为，总有，即． 故④错误． 故答案为：①②③． 三、解答题（一）：共3小题，每小题7分，共21分． 16. 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程． 【详解】解： 因式分解为 ∴． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法，并能根据每个一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键． 17. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求I与R的函数关系式； （2）若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过电流，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】（1） （2）用电器可变电阻应不低于3.6Ω 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的实际应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键． （1）设电流与电阻之间的函数表达式为，将点代入求解即可； （2）根据题意得出，即，解不等式即可得出结果． 【小问1详解】 解：设， 将，代入，得：， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得：，即， 解得：， ∴用电器可变电阻应不低于． 18. 2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，，，，滨河体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是（滑板）的概率是______． （2）体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（滑板）和（运动攀岩）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，熟练掌握概率公式，正确画出树状图是解题的关键． （1）直接运用概率公式求解即可； （2）先画出树状图，可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是共“B”和“D”的结果有2种，最后由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩， ∴小明想从中随机抽取一张，恰好抽到是滑板的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“B”和“D”的结果数为2， ∴． 故体育老师抽到的两张卡片恰好是滑板和运动攀岩的概率是 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 的顶点均在格点上，请在网格中按要求作图． （1）在图中以点B为旋转中心，作绕点B逆时针旋转后得到的； （2）直接写出线段与的位置关系：______； （3）图中用无刻度的直尺作出的外心O．（保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形外接圆与外心，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据旋转的性质即可在图1中以点为旋转中心，作绕点逆时针旋转后得到的； （2）结合（1）根据网格即可得线段与的位置关系； （3）作，的垂直平分线，两条线交于一点，即可得的外心． 【小问1详解】 解：如图1，即为所求； 【小问2详解】 解：根据作图可知：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图2，点即为所求． 20. 综合与实践 如图，某生物学社团计划在学校闲置空地上开垦一个面积为的矩形地块作为观察番茄生长的实践基地，地块一边靠墙（墙的长度不限），另外三边用木栅栏围住，若木栅栏总长为，能否围出符合要求的矩形地块实践基地? A同学利用所学方程知识来解决这个问题：设为xm，则的长为，依题意得…… B同学则尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；由木栅栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象在第一象限内的交点坐标． （1）请把A同学的解答过程补充完整； （2）请根据B同学的分析思路，在图中画出一次函数的图象，并借助图象判断是否能围出符合要求的实践基地?如果能，请直接写出此时和的长度；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）能，AB长为1米，BC的长为8米，AB长为4米，BC的长为2米，图见解析． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能根据题意画出函数图象是关键. （1）依题意得，从而，又，进而可以判断； （2）根据题意，即可作图然后进行判断得出答案． 【小问1详解】 解：依题意得：， ∴能围出符合要求的矩形地块实践基地． 【小问2详解】 解：由题意，作图如下： ∵图象过，， 根据图象可知，能围出符合要求的矩形地块实践基地，当长为1米时，的长为8米；当长为4米时，的长为2米． 21. 如图，以为直径的经过的顶点C，点E是的内心，连接并延长交于点D，连接． （1）试判断的形状并证明； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）为等腰直角三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，考查了扇形的面积，勾股定理，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，由点是的内心，得到、分别平分、，根据角平分线的定义得到，，得到，根据等腰直角三角形的判定定理得到结论； （2）连接、，与交于点，由（1）可知△为等腰直角三角形，根据勾股定理得到，根据平分，，求得，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：为等腰直角三角形，理由如下： ∵为直径， ∴， ∵点E是的内心， ∴分别平分、， ∴，， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：如图，连接与交于点F， 由（1）可知为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合探究 操作一：折叠正方形纸片，使顶点落在边上点处，得到折痕，把纸片展平（如图）； 操作二：折叠正方形纸片，使顶点也落在边上的点处，得到折痕，与交于点，连接（如图）． （1）根据以上操作，直接写出图中与线段相等的两条线段：______； （2）探究发现：把上题图中的纸片展平，得到图，通过观察发现无论点在线段上任何位置，线段与线段始终相等，请你直接用第一问发现的结论写出完整的证明过程； （3）拓展应用：已知正方形纸片的边长为，在以上探究过程中当点到的距离是时，求线段的长． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（）由折叠的性质可得点是关于直线的对称，点是关于直线的对称，据此即可求解； （）过点作，交于，交于，可证，得到，进而可得，即可求证； （）过点作，交于，交于，分点在点的右侧和左侧两种情况解答即可求解． 【小问1详解】 解：由折叠的性质可知，点是关于直线的对称，点是关于直线的对称， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 证明：如图，过点作，交于，交于， ∵四边形为正方形 ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点作，交于，交于， 当点在点的右侧时， ∵，， ∴， ∵点到距离是， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在点的左侧时，， 综上所述：或． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，轴对称性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的最大距离； （3）如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线与该图形有交点，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）证明，得到，即可求解； （3）根据“心形图”关于直线对称可知：当时，直线与“心形图”左下方只有一个交点，由图可知，当时，直线与“心形图”有交点，即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数与轴分别交于点、两点， 当时，，则 当时，可得，解得，则， 将，代入抛物线，可得： ， 解得， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：设，， 过点作于点，过点作轴交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，最大为， 点到直线的最大值为； 【小问3详解】 解：当直线与抛物线只有一个交点时， 令， 则， ， ， 当时，直线与“心形图”右上方只有一个交点，此时， 直线解析式的值与直线解析式的值相同，为， 直线与直线平行， 根据“心形图”关于直线对称可知， 上方直线与下方直线关于直线对称且平行于直线， 上方直线到直线的距离与下方直线到直线的距离相等， 根据平行线分线段成比例可得， 故当时，直线与“心形图”左下方只有一个交点， 由图可知，当时，直线与“心形图”有交点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$