精品解析： 新疆和田市第三中学2024—2025学年下学期第一次学情检测九年级数学试题

和田市第三中学2024-2025学年第二学期第一次学情检测 数学试卷（九年级） （满分150分） 注意事项： 1．本卷6页，由两部分组成，其中试卷3页，答卷3页．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在指定的位置上． 3．所有答案必须用0.5毫米的黑色字迹的签字笔按照题号顺序在答卷上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效． 4．作图可先用2B铅笔绘出图，确定后必须用0.5毫米的黑色字迹的签字笔描黑． 5．考试不得使用计算器． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 在、0、－1、π这四个数中，最小的数是（ ） A. B. －1 C. 0 D. π 2. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是（　　） A. B. C. D. 3. “绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放牧问题，投入资金实施湿地生态效益补偿，完成季节性限牧还湿万亩，使得湿地生态环境状况持续向好．其中数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为 ，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是 的直径，C，D是 上的两点，连接，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：① ；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（　　） A. ①② B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 函数中自变量x的取值范围是________． 11. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角______ ． 12. 将分别标有汉字“鲜”“灵”“东”“港”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“东港”的概率是______． 13. 如图在矩形中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，边于点，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交边于点，再以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，反比例函数，的图像分别经过点，，则的值为__________． 15. 如图，点A在y轴上，点B在x轴上，，点C是线段的中点，点D坐标，连接，向外以为边作正方形，当取最大值时，点F的坐标是______． 三、解答题（本大题共8道题，共90分） 16. （1）计算： （2）化简：， 17. （1）先化简再求值：，再从1、2、3中选一个合适的数代入求值． （2）2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜欢，某商场第一次用2400元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了，同样用2400元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱 18. 如图，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作 交的延长线于F，交于，连接． （1）求证： ； （2）若，试判断四边形 的形状，并证明你的结论． 19. 在全国节能宣传周期间，某校组织开展主题为“节能降碳，你我同行”的社会实践活动．某组同学在甲、乙两个小区各随机抽取50户居民，获得了他们1月份的用电量（单位：kW·h），分别将两个小区居民用电量的数据分成5组：，，，，，并对数据进行整理和分析，下面给出部分信息： 信息一： 信息二：乙小区居民1月份用电量在这一组的数据是 106 118 120 122 123 125 125 127 128 130 130 131 133 133 133 134 137 140 142 143 149 信息三：甲、乙两个小区居民1月份用电量的平均数、中位数如下． 甲小区 乙小区 平均数/kW· h 120 130 中位数/kW·h 118 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，___________． （2）在扇形统计图中，“”所在扇形圆心角的度数为__________°． （3）若甲小区共有1000户居民，乙小区共有800户居民，试估计这两个小区1月份用电量大于150 kW·h的总户数． （4）请选择―种统计量分析这两个小区1月份的用电情况，并提出一条能够节能降碳的建议． 20. 每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m． （1）若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长． （2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由． （参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3） 21. 某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元， （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，且限定商店销售B型电脑的利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台电脑销售总利润最大的进货方案． 22. 如图，是 的直径，点在 上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：EF与 相切； （2）若，求的长． 23. （1）用数学的眼光观察． 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． （2）用数学的思维思考． 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接 ，若，试判断的形状，并进行证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 和田市第三中学2024-2025学年第二学期第一次学情检测 数学试卷（九年级） （满分150分） 注意事项： 1．本卷6页，由两部分组成，其中试卷3页，答卷3页．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在指定的位置上． 3．所有答案必须用0.5毫米的黑色字迹的签字笔按照题号顺序在答卷上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效． 4．作图可先用2B铅笔绘出图，确定后必须用0.5毫米的黑色字迹的签字笔描黑． 5．考试不得使用计算器． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 在、0、－1、π这四个数中，最小的数是（ ） A. B. －1 C. 0 D. π 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数大小的比较法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小，据此即可解答． 【详解】解：， ， 又， 这四个数中，最小的数是， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数大小的比较，无理数的估算，确定的取值范围是解决本题的关键． 2. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据三视图中主视图的定义即可判断． 【详解】根据几何体三视图中主视图的定义； 正方体的主视图是矩形，不符合题意； 圆柱体的主视图是矩形，不符合题意； 圆锥的主视图是三角形，符合题意； B、球的主视图是圆，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了几何体的三视图的主视图，解题的关键是：掌握三视图中主视图的定义，是由正面往后看． 3. “绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放牧问题，投入资金实施湿地生态效益补偿，完成季节性限牧还湿万亩，使得湿地生态环境状况持续向好．其中数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：万， 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、除法，积的乘方，去括号法则等知识点，逐项判断即可解答． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、除法，积的乘方，去括号法则，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 5. 如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为 ，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是 ， 由相似三角形的性质得到：， 解得， 即蜡烛火焰的高度是． 故选：C． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 由①得，得：， 由②得：， 则不等式组的解集为 ， 在数轴上表示为： 故选：D． 7. 如图， 是的直径，C，D是上的两点，连接，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，直角三角形两锐角互余，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论． 连接，根据直径所对圆周角可得 ，由同弧所对圆周角相等可求出度数，利用直角三角形两锐角互余求出 的度数即可． 【详解】解：连接， ∵ 是的直径， ， ∵， ∴，  ， 故选：A． 8. 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x，根据1月份的销售量（增长率）3月份的销售量，列出方程即可． 【详解】解：设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x，根据题意得： ， 故选：B． 9. 如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：① ；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（　　） A. ①② B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象开口向上可得：， 由于图象与轴交于负半轴，可知： ， 根据对称轴公式：可知： ， ， ， ，故①正确； 抛物线过点， ， ， ， 即：，故②正确； 当时，取得最小值， ， （为任意实数），故③错误； 抛物线开口向上，对称轴为直线，若点是图象上任意两点，且， 则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离， 根据图象可知：，故④正确； 其中正确的结论是：①②④， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 函数中自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解． 【详解】解：由题意可知：，解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 11. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角______ ． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的外角问题，由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可． 【详解】解：正八边形的外角和为， ， 故答案为：45． 12. 将分别标有汉字“鲜”“灵”“东”“港”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“东港”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用画树状图法解答即可． 本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：设鲜用A表示、灵用B表示、东用C表示、港用D表示， 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中C和D的有2种， ∴两次摸出的球上的汉字组成“东港”的概率是． 故答案为：． 13. 如图在矩形中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，边于点， ，分别以， 为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交边于点 ，再以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】由作图可知，为 的平分线，结合矩形的性质可得，则，再利用勾股定理求出的长，利用弧长公式求出的长，可知的长即为该圆锥底面的周长，根据圆的周长公式可得答案． 【详解】解：由作图可知，为 的平分线， 四边形为矩形， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 设该圆锥的底面半径为， 则， 解得：， 该圆锥底面半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，角平分线的定义，矩形的性质，勾股定理，圆锥的弧长公式等知识，解答本题的关键是熟练掌握以上知识点． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，反比例函数，的图像分别经过点，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，易证△OCB∽△ADO，利用相似三角形的性质可得面积比，从而可求出k的值． 【详解】如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C， ∵，的图像分别经过点，， ∴ ∵ ∴△OCB∽△ADO ∴ ∴ ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数问题、相似三角形的判定与性质，构造K型相似是解决本题的关键． 15. 如图，点A在y轴上，点B在x轴上，，点C是线段的中点，点D坐标，连接，向外以为边作正方形，当取最大值时，点F的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得出解答． 根据勾股定理得出，进而利用正方形的性质得出，，取最大值解答即可． 【详解】解：设，， 则， 即，， ， ， 四边形是正方形， 在轴上，在轴上，， ， ， 当时取等号， ，，取最大值为， ，， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8道题，共90分） 16. （1）计算： （2）化简：， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式利用零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值以及绝对值的意义化简，计算即可得到结果； （2）原式利用完全平方公式以及平方差公式计算，去括号合并同类项即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ， ． 17. （1）先化简再求值：，再从1、2、3中选一个合适的数代入求值． （2）2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜欢，某商场第一次用2400元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了，同样用2400元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】（1）先通分括号内，再运算除法然后化简得，注意故把代入，得，即可作答． （2）依题意，先设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元，结合某商场第一次用2400元购进一批“龙辰辰”玩具以及该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了，同样用2400元购进的数量比第一次少10件等内容进行列方程，再解方程，注意验根，即可作答． 本题考查了分式化简求值以及分式方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1） ， ∵ ∴ ∴把代入，得； （2）设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元， 依题意，， 解得， 当时，，故是原分式方程的解， ∴第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元， 18. 如图，在 中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作 交的延长线于F，交于，连接． （1）求证： ； （2）若，试判断四边形 的形状，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵点 是的中点， ∴， ∵ ， ∴ ， 在和 中， ， ∴， ∴ ； （2） 四边形 是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴四边形 是平行四边形， ∵，是边上的中线， ∴ ， ∴四边形 是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质、直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． （1）由“”证得，即可得出结论； （2）先证明四边形 是平行四边形，再证明邻边相等，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 在全国节能宣传周期间，某校组织开展主题为“节能降碳，你我同行”的社会实践活动．某组同学在甲、乙两个小区各随机抽取50户居民，获得了他们1月份的用电量（单位：kW·h），分别将两个小区居民用电量的数据分成5组：，，，，，并对数据进行整理和分析，下面给出部分信息： 信息一： 信息二：乙小区居民1月份用电量在这一组的数据是 106 118 120 122 123 125 125 127 128 130 130 131 133 133 133 134 137 140 142 143 149 信息三：甲、乙两个小区居民1月份用电量的平均数、中位数如下． 甲小区 乙小区 平均数/kW· h 120 130 中位数/kW·h 118 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，___________． （2）在扇形统计图中，“”所在扇形圆心角的度数为__________°． （3）若甲小区共有1000户居民，乙小区共有800户居民，试估计这两个小区1月份用电量大于150 kW·h的总户数． （4）请选择―种统计量分析这两个小区1月份的用电情况，并提出一条能够节能降碳的建议． 【答案】（1）16；125 （2）108 （3）380户 （4）答案不唯一，合理即可，如拔掉家中一切不用的电源 【解析】 【分析】对于（1），根据总户数为50，分别减去4组的频数可求出a，再确定乙小区的第25,26个数，求平均数即可得出中位数； 对于（2），先求出所占的百分数，再乘以； 对于（3），分别求出两个小区用电量大于150的户数，再求和即可； 对于（4），符合题意即可． 【小问1详解】 ． 根据题意可知乙小区第25,26个数在之间，这两个数是125，125，则． 故答案为：16，125； 【小问2详解】 根据题意可知， 所以“”所在扇形圆心角的度数为． 故答案为：； 【小问3详解】 甲小区用电量大于的百分比为，乙小区用电量大于的百分比为，所以这两个小区1月份用电量大于的总户数为； 【小问4详解】 拔掉家中一切不用的电源.（答案不唯一，合理即可）． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，求中位数，样本估计总体的思想，从频数分布直方图中获取信息是解题的关键． 20. 每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m． （1）若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长． （2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由． （参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3） 【答案】（1）15m （2） 解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处， 理由：由题意得： DE=BC=2m， ∵AE=19m， ∴AD=AE-DE=19-2=17（m）， 在Rt△ABD中，BD=9m， ∴AB= （m）， ∵m＜20m， ∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处． 【解析】 【分析】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答； （2）根据题意可得DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答． 【小问1详解】 解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m， ∴AB==15（m）， ∴此时云梯AB的长为15m； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 21. 某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元， （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，且限定商店销售B型电脑的利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台电脑销售总利润最大的进货方案． 【答案】（1）每台A型电脑销售利润为200元，每台B型电脑的销售利润为250元；（2）①y＝−50x＋20000，②商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大；（3）①0＜m＜50时，商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大，②m＝50时，商店购进A型电脑数量满足26≤x≤40的整数时，均获得最大利润，③当50＜m＜100时，商店购进40台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大． 【解析】 【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解； （2）①据题意得，y＝−50x＋20000；②利用不等式求出x的范围，再根据y＝−50x＋20000的增减性，即可得到答案； （3）据题意得，y＝（200＋m）x＋250（80−x），即y＝（m−50）x＋20000，分三种情况讨论，①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，②m＝50时，m−50＝0，y＝20000，③当50＜m＜100时，m−50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解． 【详解】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得 ，解得， 答：每台A型电脑销售利润为200元，每台B型电脑的销售利润为250元； （2）①据题意得，y＝200x＋250（80−x），即y＝−50x＋20000， ②据题意得，80−x≤2x，解得x≥26， ∵y＝−50x＋20000，−50＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数， ∴当x＝27时，y取最大值，则80−x＝53， 即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大； （3）据题意得，y＝（200＋m）x＋250（80−x），即y＝（m−50）x＋20000， ∵250（80−x）≥10000，解得：x≤40， 26≤x≤40，且为正整数， ①0＜m＜50时，y随x的增大而减小， ∴当x＝27时，y取最大值， 即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大． ②m＝50时，m−50＝0，， 即商店购进A型电脑数量满足26≤x≤40的整数时，均获得最大利润； ③当50＜m＜100时，m−50＞0，y随x的增大而增大， ∴当x＝40时，y取得最大值． 即商店购进40台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性． 22. 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：EF与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴EF与相切； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）设半径为x，则，在 中，利用正弦函数求得半径的长，再在 中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设半径为x，则， ∵，， ∴， 在 中，，， ∴，即， 解得， 经检验，是所列方程的解， ∴半径为4，则， 在 中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23. （1）用数学的眼光观察． 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点， 是的中点，求证：． （2）用数学的思维思考． 如图，延长图中的线段交的延长线于点 ，延长线段交的延长线于点，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图，在 中，，点在上，，是的中点， 是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接 ，若，试判断的形状，并进行证明． 【答案】 证明：（1） 的中点，是的中点， . 同理，. ， . . （2） 的中点，是的中点， ， . 同理，. 由（1）可知， . （3）是直角三角形，证明如下： 如图，取的中点，连接，， 是的中点， ，. 同理，，. ， . . ， ， . ， . 又， 是等边三角形， . 又， . ， . 是直角三角形. 故答案为：是直角三角形. 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理即可求出 ，利用等腰三角形的性质即可证明； （2）根据中位线定理即可求出和，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明； （3）根据中位线定理推出和从而求出，证明是等边三角形，利用中点求出，从而求出度数，即可求证的形状. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $