专题09 三角形中的倒角模型之双角平分线模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题09 三角形中的倒角模型之-双角平分线模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.倍长中线模型 1 模型2.截长补短模型 20 36 模型1双角平分线模型（双内角） 双角平分线模型1：当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 例1．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）如图中，，平分，平分，则 度． 【答案】 【详解】解：∵，，∴， ∵平分，平分， ∴， ∴．故答案为：115． 例2．（2023·山东济南·校考模拟预测）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析(2)AE+CD=AC，证明见解析 【详解】（1）证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC， ∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA， ∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC， ∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），即∠AOC=90°+∠ABC； （2）解：AE+CD=AC， 证明：如图2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，∴∠EOA=45°， 在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON， 则在△AEO和△AMO中，，∴△AEO≌△AMO， 同理△DCO≌△NCO，∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON， ∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，∴∠MON=∠MOA=45°， 过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L， ∴MK=ML，S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML，∴， ∵，∴，∵AO=3OD，∴，∴，∴AN=AM=AE， ∵AN+NC=AC，∴AE+CD=AC． 例3．（2023·天津河西·八年级期中）探究一：已知：如图1，与分别为的两个外角． 试探究与的数量关系_____(即列出一个含有，，的等式，直接写出答案即可)； 探究二：已知：如图2，在中，分别平分和，求：与的数量关系； 探究三：若将探究2中的改为任意四边形呢？ 即：如图3，在四边形中，分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系． 【答案】探究一：；探究二：；探究三： 【详解】解：探究一：∵，， ∴；故答案为：； 探究二：∵分别平分和，∴，， ∴ ； 探究三：∵分别平分和，∴，， ∴ ． 例4．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105 【详解】解：（1）∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴ ． （2）∵、是的三等分线，、是的三等分线， ∴，， ∴ ．故答案为： （3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线， ∴，， ∴ ．故答案为： （4）∵、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，∴，，，， ∴ ， ， ∴． 故答案为： （5）∵、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线， ∴，，，， ∴ ， ， ∴， ∵∴，∴， 同理可得．故答案为：105 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 双角平分线模型2：当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半。 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 例1．（2024·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC，∠A＝70°，则∠BDC＝（　　） A．35° B．25° C．70° D．60° 【答案】A 【详解】解：∵CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE， 由三角形的外角性质得，∠DCE＝∠D＋∠CBD，∠ACE＝∠A＋∠ABC， ∴∠D＋∠CBD＝（∠A＋∠ABC）∴∠D＝∠A，∵∠A＝70°，∴∠D＝×70°＝35°．故选：A． 例2．（2023·福建莆田·八年级统考期中）如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D； （1）若∠ABC=60°，∠DCE=70°，则∠D= °；（2）若∠ABC=70°，∠A=80°，则∠D= °； （3）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含∠A的式子表示∠D） 【答案】（1）40° （2）40° （3）见解析 【详解】试题分析：（1）和（2）根据角平分线的定义求出∠PBC和∠PCD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；（3）根据BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，可知，∠A=180°-∠1-∠3，∠D=180°-∠4=∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1），两式联立可得2∠D=∠A． 试题解析：（1）40° （2）40° （3）∠D=∠A 理由：∠DCE=∠DBC+∠D即∠D=∠DCE-∠DBC ∵∠ACE=∠ABC+∠A即∠A=∠ACE-∠ABC 又∵BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线 ∵∠DCE=∠ACE ∠DBC=∠ABC∴∠D=∠A 例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）∠ACD是△的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点An． 设∠A＝．则＝ ，∠A2021＝ ． 【答案】 【详解】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线， ∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1， ∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A， ∵∠A=，∴∠A1=，同理可得：∠An=，∴∠A2021=，故答案为：，． 模型3.双角平分线模型（双外角） 双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差。 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 例1．（2023秋·成都市·八年级专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 【答案】61° 【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°， ∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°， ∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°， ∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF， ∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°， ∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案为：61°． 例2．（2024春·江苏·八年级统考期末）⑴如图①，在△ABC中， P是△ABC内任意一点，∠BPC与∠A有怎样的大小关系？证明你的结论．⑵①如图②，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的角平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数．②已知∠A=n°，求∠BOC的度数． 【答案】（1）∠BPC＞∠BAC；证明见解析；（2）①70°；②90°-n°. 【详解】试题分析：（1）连接AP并延长到M，根据三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角可分别判断出∠BPM＞∠BAM，∠CPM＞∠CAM，从而得到∠BPC与∠A的大小关系； （2）①利用角平分线的性质和三角形内角和是180度以及外角的性质求算即可；②同①的求算方法相似，直接把∠A=n°代入即可表示． 试题解析：（1）∠BPC＞∠BAC．连接AP并延长到M． ∵在△ABP中，∠BPM＞∠BAM，在△ACP中，∠CPM＞∠CAM， ∴∠BPM+∠CPM＞∠BAM+∠CAM，∴∠BPC＞∠BAC； （2）解：①∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=140°， ∴∠OBC+∠OCB=（∠DBC+∠ECB）=（360°-140°）=110°，∴∠BOC=180°-110°=70°； ②由①可知∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠DBC+∠ECB）=180°-[（360°-（180°-∠A）] 即∠BOC=90°-n°. 例3．（2023春·重庆万州·八年级校考阶段练习）已知，如图，中，，，点、分别在、延长线上，平分，平分，连接，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作于点，于点，于点，利用角平分线的性质得到，进而证明平分，利用三角形外角的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：作于点，于点，于点， 平分，平分，，，， ，，平分，，， ，．故选：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与判定，三角形外角的性质，证明平分是解题的关键． 例4．（2024·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图（1），，是的外角，的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的平分线交于点E．(1)若，则 度；(2)若，求∠E的度数；(3)在图（1）的条件下，沿作射线，连接，如图（2）．求证：平分． 【答案】(1)(2)(3)见解析 【详解】（1）解：∵平分，平分，∴，， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴；故答案为： （2）∵平分，平分，∴，， ∴，∴， ∵，∵，∴，∴； （3）  如图2，过点D作于点H，于点K，于点I， ∵平分，平分，∴，，∴， ∵于点K，于点I，∴平分． 例5．（2024·广东·七年级统考期末）已知在△ABC中，图1，图2，图3中的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，（1）如图1，点O是△ABC的两个内角平分线的交点，猜想∠O与∠A之间的数量关系，并加以证明．（2）请直接写出结果．如图2，若，△ABC的内角平分线与外角平分线交于点O，则∠O＝________；如图3，若，△ABC的两个外角平分线交于点O，则∠O＝_________． 【答案】（1），证明见解析；（2）；． 【详解】解：（1）． 证明：∵平分，平分，∴，， ∴ ．即． （2）；．如图2所示： ∵平分，平分，∴，， ∴． ∵∴．即． 如图3所示：∵平分，平分，∴，， ∴ ． ∵∴． 即．故答案为：；． 1．（2024·江苏·八年级统考期末）中，点是内一点，且点到三边的距离相等；，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：到三角形三边距离相等，是内心，即三条角平分线交点，，，都是角平分线，，， ，，．故选：． 2．（2024·四川成都·七年级校考期中）如图，在中，、分别是，的角平分线，连接并延长交于点，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、分别是，的角平分线，平分， ，，， ，，故选：． 3．（2024·云南大理·八年级校考期中）如图，在中，平分，平分，连接，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过P作， ∵平分，平分，∴，∴． ∵，，∴，， ∴，． ∵，， ∴，∴，∴．故选A． 4．（2024·四川绵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于（    ） A．10° B．15° C．20° D．30° 【答案】B 【详解】解答：解：∵的平分线与的平分线交于点D，∴，， ∵，即，∴， ∵，∴．故选：B． 5．（2024·河北张家口·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC与∠A的大小关系是（    ） A．∠BOC=2∠A B．∠BOC=90°+∠A C．∠BOC=90°+∠A D．∠BOC=90°－∠A 【答案】C 【详解】∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB））=（180°-∠A）=90°−∠A， 根据三角形的内角和定理，可得∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°， ∴90°-∠A+∠BOC=180°，∴∠BOC=90°+∠A．故选C． 6．（2024·四川达州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴在正半轴、轴正半轴分别交两点，在的延长线上，平分，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， 平分，， 平分，， ，故选：B． 7．（2024·江苏扬州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A=52°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．52° B．60° C．64° D．68° 【答案】C 【详解】∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=128°．∵BD和CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=64°．故选C． 8.（2024.广东七年级期中）在四边形中，的平分线与的平分线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴，∵的平分线与的平分线交于点， ∴，， ∴， 在中，，∴，故选：． 9．（2024·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A=．则：（1）∠A1= ；（2）∠An= ． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）∵A1B是∠ABC的平分线，A2B是∠A1BC的平分线， ∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD．又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1， ∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1．∴∠A1=∠A．∵∠A=，∴∠A1=． （2）同理可得∠A2=∠A1=，∠A3=∠A2=，···，∴∠An=． 10．（2024·广东·九年级专题练习）如图，在中，和的平分线交于点.和的平分线相交于点.若，求与的度数. 【答案】，. 【详解】解:∵PB平分,PC平分,∴, ∵,,∴,∴, ∵PC平分, OC平分,∴, ∴, ∵, ∴. 11．（2024·浙江杭州·八年级期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则 ．（用含字母的代数式表示） 【答案】 【详解】解：∵∠A+∠D=m°，且四边形内角和为360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-m°， ∵PB、PC是∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠PBC=，∠BCP=， ∴∠PBC+∠BCP= ∴∠P=180°-（∠PBC+∠BCP）= 故答案为：． 12．（2024·河南·七年级专题练习）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝ ． 【答案】36° 【详解】由题意得：∠NCM=∠MBN=×180°=90°， ∴∠CMB+∠CNB=180°， 又∠CMB：∠CNB=3：2，∴∠CMB=108°，∴（∠ACB+∠ABC）=180°-∠CMB=72°， ∴∠ACB+∠ABC=144°，∴∠CAB=180°-（∠ACB+∠ABC）=36°． 13．（2024·山东·统考一模）在中，，．点M在的延长线上，的平分线交于点D．的平分线与射线交于点E． (1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线；(2)求的度数．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）解：∵，，∴， ∵是的平分线，∴， ∵，是的平分线， ∴，∴． 14．（2024·山东八年级期中）如图，在中，角平分线、、相交于点，过点作于点，成立吗？说明理由. 【答案】  成立，见解析. 【详解】解：成立．理由如下：∵在中，角平分线AD、BE、CF相交于点O， 由三角形内角平分线的交角的基本图形和结论得，． 由三角形的外角性质得，， ， 15．（2024·黑龙江八年级课时练习）（1）如图（1）所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．（2）如图（2）所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？ 【答案】(1)∠BOC=∠A+90°；理由见解析；(2)∠BOC=∠A；理由见解析 【详解】(1)∠BOC=∠A+90°．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， 在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°， 又∵ BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴ ∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB． ∴ ∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°．∴ ∠BOC=180°﹣ (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠A)= 90°+∠A． (2)∠BOC=∠A． ∵ ∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE， ∴ ∠A=∠ACE-∠ABC， ∠BOC=∠OCE-∠OBC 又∵ BO，CO分别是∠ABC和∠ACE的平分线， ∴ ∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE． ∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=∠ACE-∠ABC= (∠ACE-∠ABC)= ∠A． 16．（2024·广东八年级期中）如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E． （1）若∠A=70°，求∠D的度数；（2）若∠A=a，求∠E；（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ． 【答案】（1）35°；（2）90°-α；（3）β 【详解】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∴∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC， ∵∠ACG=∠A+∠ABC，∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC， ∵∠DCG=∠D+∠DBC，∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∴∠D=∠A=35°； （2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF， ∴∠DBC+∠CBE=（∠ABC+∠CBF）=90°，∴∠DBE=90°， ∵∠D=∠A，∠A=α，∴∠D=α，∵∠DBE=90°，∴∠E=90°-α； （3）如图，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴AD平分∠MAC，∠ABD=∠ABC，∴∠DAM=∠MAC， ∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β， ∴∠ADB=∠ACB=β．故答案为：β． 17．（2024·福建泉州·七年级阶段练习）在中，已知. （1）如图1，的平分线相交于点．①当时，度数= 度（直接写出结果）； ②的度数为 （用含的代数式表示）； （2）如图2，若的平分线与角平分线交于点,求的度数（用含的代数式表示）． （3）在（2）的条件下，将以直线BC为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点（如图3），求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1）①；②；(2) （3） 【详解】：（1）①；②； （2）∵和分别平分和∴, ∴   即 （3）由轴对称性质知： 由（1）②可得 ∴． 18．（2024·江苏盐城·七年级阶段练习）如图，△ABC的角平分线相交于P，∠A=m°,（1）若∠A=40°,求∠BPC的度数；（2）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于Q， 且∠A=m°，求∠BQC的度数 （3）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的n等分线相交于R，且∠A=m°，∠CBR=∠CBD，∠BCR=∠BCE，求∠BRC的度数 【答案】（1）110°（2）90°+m°（3）×180°-（此结果形式可以不同，只要正确皆可） 【详解】试题分析：（1）根据三角形内角和定理和角平分线的性质解答即可； （2）（3）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质解答即可． 试题解析：解：（1）∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°．∵BP、CP是角平分线，∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）==×140°=70°，∴∠P=180°－70°=110°． （2）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCD=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°=m+180°．∵BQ，CQ是角平分线，∴∠DBC=2∠QBC，∠BCE=2∠BCQ，∴∠QBC+∠BCQ=（∠DBC+∠ECB）=（m+180°）=90°+m．在△BCQ中，∠Q=180°－（∠QBC+∠BCQ）=180°-（90°+m）=90°-m． （3）由（2）得：∠DBC+∠BCD=m+180°，∠RBC+∠BCR=（∠DBC+∠ECB）=（m+180°）．在△BCR中，∠R=180°－（∠RBC+∠BCR）=180°-（m+180°）= ． 19．（23-24七年级下·河北张家口·期末）在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页，曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题改编】（1）如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； 【问题推广】（2）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数； （3）如图3，在中，分别平分、，M、N、Q分别在的延长线上，分别平分、，分别平分、．若，则的度数为______．（结果用含n的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1），， 平分，平分，，， ，即； （2）平分，平分，，， ，，，， ，， ，， ，即，； （3）、分别平分、，，， 、分别平分、，，， 、分别平分、，，， ，，， ，， 又，，， 即， ， 又∵，，， ， ． 20．（2023·江苏镇江·七年级校考期中）（1）如图1，BO、CO分别是中和的平分线，则与的关系是______（直接写出结论）； （2）如图2，BO、CO分别是两个外角和的平分线，则与的关系是______，请证明你的结论．（3）如图3，BO、CO分别是一个内角和一个外角的平分线，则与的关系是______，请证明你的结论．（4）利用以上结论完成以下问题：如图4，已知：，点A、B分别是射线OF、OD上的动点，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P，猜想的大小是否变化？请证明你的猜想． 【答案】（1）；（2）．证明见解析；（3）；证明见解析；（4）的大小不会变化始终为45°，证明见解析． 【详解】（1）．理由如下： 如图1，∵，BO、CO分别是、的角平分线， ∴，∴；答案：； （2）． 证明：如图2，∵BO平分，∴． 同理可证：．∴， ∵，， ∴， ∴；故答案是：； （3）；证明：∵CO平分，BO平分∴ ∵是的外角∴ ∵是的外角∴∴；故答案是：； （4）的大小没有变化．证明：∵的外角的平分线与内角的平分线相交于点P，∴，， ∵是的外角，∴， ∵是的外角，∴，∴； ∵∴∴的大小不会变化始终为45°． 3 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09.三角形中的倒角模型之双角平分线模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.倍长中线模型 1 模型2.截长补短模型 20 36 模型1双角平分线模型（双内角） 双角平分线模型1：当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 例1．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）如图中，，平分，平分，则 度． 例2．（2023·山东济南·校考模拟预测）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明． 例3．（2023·天津河西·八年级期中）探究一：已知：如图1，与分别为的两个外角． 试探究与的数量关系_____(即列出一个含有，，的等式，直接写出答案即可)； 探究二：已知：如图2，在中，分别平分和，求：与的数量关系； 探究三：若将探究2中的改为任意四边形呢？ 即：如图3，在四边形中，分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系． 例4．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 双角平分线模型2：当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半。 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 例1．（2024·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC，∠A＝70°，则∠BDC＝（　　） A．35° B．25° C．70° D．60° 例2．（2023·福建莆田·八年级统考期中）如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D； （1）若∠ABC=60°，∠DCE=70°，则∠D= °；（2）若∠ABC=70°，∠A=80°，则∠D= °； （3）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含∠A的式子表示∠D） 例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）∠ACD是△的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点An． 设∠A＝．则＝ ，∠A2021＝ ． 模型3.双角平分线模型（双外角） 双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差。 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 例1．（2023秋·成都市·八年级专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 例2．（2024春·江苏·八年级统考期末）⑴如图①，在△ABC中， P是△ABC内任意一点，∠BPC与∠A有怎样的大小关系？证明你的结论．⑵①如图②，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的角平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数．②已知∠A=n°，求∠BOC的度数． 例3．（2023春·重庆万州·八年级校考阶段练习）已知，如图，中，，，点、分别在、延长线上，平分，平分，连接，则的度数为（  ） A． B． C． D． 例4．（2024·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图（1），，是的外角，的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的平分线交于点E．(1)若，则 度；(2)若，求∠E的度数；(3)在图（1）的条件下，沿作射线，连接，如图（2）．求证：平分． 例5．（2024·广东·七年级统考期末）已知在△ABC中，图1，图2，图3中的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，（1）如图1，点O是△ABC的两个内角平分线的交点，猜想∠O与∠A之间的数量关系，并加以证明．（2）请直接写出结果．如图2，若，△ABC的内角平分线与外角平分线交于点O，则∠O＝________；如图3，若，△ABC的两个外角平分线交于点O，则∠O＝_________． 1．（2024·江苏·八年级统考期末）中，点是内一点，且点到三边的距离相等；，则　　 A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·七年级校考期中）如图，在中，、分别是，的角平分线，连接并延长交于点，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 3．（2024·云南大理·八年级校考期中）如图，在中，平分，平分，连接，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 4．（2024·四川绵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于（    ） A．10° B．15° C．20° D．30° 5．（2024·河北张家口·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC与∠A的大小关系是（    ） A．∠BOC=2∠A B．∠BOC=90°+∠A C．∠BOC=90°+∠A D．∠BOC=90°－∠A 6．（2024·四川达州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴在正半轴、轴正半轴分别交两点，在的延长线上，平分，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 7．（2024·江苏扬州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A=52°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．52° B．60° C．64° D．68° 8.（2024.广东七年级期中）在四边形中，的平分线与的平分线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A=．则：（1）∠A1= ；（2）∠An= ． 10．（2024·广东·九年级专题练习）如图，在中，和的平分线交于点.和的平分线相交于点.若，求与的度数. 11．（2024·浙江杭州·八年级期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则 ．（用含字母的代数式表示） 12．（2024·河南·七年级专题练习）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝ ． 13．（2024·山东·统考一模）在中，，．点M在的延长线上，的平分线交于点D．的平分线与射线交于点E． (1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线；(2)求的度数．    14．（2024·山东八年级期中）如图，在中，角平分线、、相交于点，过点作于点，成立吗？说明理由. 15．（2024·黑龙江八年级课时练习）（1）如图（1）所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．（2）如图（2）所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？ 16．（2024·广东八年级期中）如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E． （1）若∠A=70°，求∠D的度数；（2）若∠A=a，求∠E；（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ． 17．（2024·福建泉州·七年级阶段练习）在中，已知. （1）如图1，的平分线相交于点．①当时，度数= 度（直接写出结果）； ②的度数为 （用含的代数式表示）； （2）如图2，若的平分线与角平分线交于点,求的度数（用含的代数式表示）． （3）在（2）的条件下，将以直线BC为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点（如图3），求的度数（用含的代数式表示）． 18．（2024·江苏盐城·七年级阶段练习）如图，△ABC的角平分线相交于P，∠A=m°,（1）若∠A=40°,求∠BPC的度数；（2）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于Q， 且∠A=m°，求∠BQC的度数 （3）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的n等分线相交于R，且∠A=m°，∠CBR=∠CBD，∠BCR=∠BCE，求∠BRC的度数 19．（23-24七年级下·河北张家口·期末）在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页，曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题改编】（1）如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； 【问题推广】（2）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数； （3）如图3，在中，分别平分、，M、N、Q分别在的延长线上，分别平分、，分别平分、．若，则的度数为______．（结果用含n的代数式表示） 20．（2023·江苏镇江·七年级校考期中）（1）如图1，BO、CO分别是中和的平分线，则与的关系是______（直接写出结论）； （2）如图2，BO、CO分别是两个外角和的平分线，则与的关系是______，请证明你的结论．（3）如图3，BO、CO分别是一个内角和一个外角的平分线，则与的关系是______，请证明你的结论．（4）利用以上结论完成以下问题：如图4，已知：，点A、B分别是射线OF、OD上的动点，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P，猜想的大小是否变化？请证明你的猜想． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$