专题06 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题06 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 1 模型2.风筝（鹰爪）模型 7 模型3.角内（外）翻模型 13 17 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞镖（回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。 图1 图2 图3 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 拓展模型2：条件：如图3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 例1．（2024·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 有趣的“飞镖图” 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . . 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ； (2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； (3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小． 例2．（2024·湖北八年级期中）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 例3．（2024·福建三明·八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．    探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； 应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则 ；②如图3，、的2等分线（即角平分线）、相交于点，若，，求的度数； 拓展：（3）如图4，，分别是、的2020等分线（），它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 度． 变式1．（2024·河南南阳·七年级校考阶段练习）互动学习课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究. 小亮：已知，如图①，在中，点D是内一点，连接，试探究与之间的关系． 小红：以用三角形内角和定理去解决．小明：外角的相关结论也能解决． (1)请你在横线上补全小红的探究过程： ∵（___________________）∴（等式性质） ∵________，∴________． ∴．（________________） (2)请你按照小明的思路完成探究过程． (3)利用探究的结果填空．如图②，，则_______．       变式2.（2024·浙江·八年级假期作业）如图所示，在中，，在上，，是上的任意一点，求证． 模型2.风筝（鹰爪）模型 图1 图2 1）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 例1．（2024·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中，、、分别为、、的外角判断下列大小关系何者正确？（ ） A． B． C． D． 例2．（2024·山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． （1）【定理证明】    已知：如图①，求证：． （2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点． （3）若，，则_______．（4）若，则_______． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点． （5）若，，则_________． （6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为__________． （7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，说明理由．    例3．（2024·河南鹤壁·七年级统考期末）中，，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令，，． 初探：(1)如图1，若点P在线段AB上，且，则_____________； (2)如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2，之间的关系为_____________； (3)如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1，∠2，之间的关系为_____________； 再探：(4)如图4，若点P运动到的内部，写出此时∠1，∠2，之间的关系，并说明理由． 变式1．（2024·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将沿折叠，使点 A落在的内部的点 M处，当，时，求的度数； （2）如图，将沿 折叠，使点 A 落在的外部的点 M 处．求图中，，之间的数量关系；（3）如图 ，将、一起沿折叠，使点 A、点B的对应点 M、N 分别落在射线 的左右两侧，，，、的数量关系 ． (直接写结果，不需要过程） 模型3.角内（外）翻模型 图3 图4 条件：如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 例1.（2023春·广东·七年级专题练习）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 例2．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外面时，此时测得，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3．（2024·江苏宿迁·七年级校考期中）（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则之间的数量关系为：_______； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时之间的数量关系为：_________； （3）如图3，将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数；（4）在图3中作出的平分线，试判断射线的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？      变式1．（2024·河北廊坊·八年级校考期中）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为（    ）    A． B． C． D． 1．（2024·河南·八年级假期作业）如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南洛阳·七年级统考期末）如图，在五边形中，若去掉一个的角后得到一个六边形，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·广东广州·八年级统考期中）如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系式是（    ） A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3 C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3 5．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，四边形中，，，，则的度数是 （含的式子表示）． 6．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）如图把三角形沿折叠，使点B落在点处．，，则 度．    7．（22-23八年级上·浙江台州·开学考试）如图：的度数为 ． 8．（2024·北京·八年级校考期中）如图，△中沿将四边形翻折，使点、点分别落在点和点处，再将△AEF沿AF翻折，使点落在点处，若，，则的度数为 ． 9．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，D是上一点将沿B折叠，使C点落在边上的点处，则 °． 10．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，把沿折叠，使点A落在点D处， (1)若，试判断与的数量关系，并说明理由；(2)若，求的度数． 11．（2023春·福建福州·七年级校考期末）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”， (1)如图①，在规形中，若，，，则______°； (2)如图②，将沿，翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若，则______°； (3)如图③，在规形中，、的角平分线、交于点E，且，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 12．（2024·江苏淮安·八年级校考期末）如图，在中，，D是上一点，将沿折叠，使点B落在边上的E处，求的度数．    13．（2023·广西·八年级专题练习）如图，中， (1)若、的三等分线交于点、，请用表示、；(2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，． 14．（23-24八年级上·山东·期中）如图，(1)如图①②，请直接写出，与，之间的数量关系． (2)用你发现的结论解决下列问题：如图③，，分别是四边形的外角，的平分线，，求的度数． 15．（23-24八年级上·湖北·期中）在中，，、分别是边、上的点，点平面内是一动点．(1)如图1，当点P在线段上时，①若， __________度； ②试写出、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点在边的延长线上时，连接交于点，探索、、之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点在到形外部时，直接写出、、之间的数量关系． 16．（2024·四川达州·中考模拟预测）箭头四角形,模型规律:如图1，延长CO交AB于点D，则．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用: （1）直接应用：①如图2， ．②如图3，的2等分线（即角平分线）交于点F，已知，则 ③如图4，分别为的2019等分线．它们的交点从上到下依次为．已知，则 度 17．（2024·吉林白城·八年级统考阶段练习）[题目]如图①，∠BAC内部有一点D．连接BD，CD．着∠A=68°，∠ABD= 16°．∠ACD=24°，求∠BDC的大小； [应用]如图②，在五角星中，∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=____度； [扩展]如图③，在∠BAD内部有两个向上突起的角，若∠ABE= 20°，∠ECF =45°，∠ADF =15°，∠A=70°，则∠BEC+∠CFD = 度． 18．（2024·浙江·八年级期末）如图（1）是一个三角形的纸片，点D、E分别是边上的两点， 研究（1）：如果沿直线折叠，写出与的关系，并说明理由． 研究（2）：如果折成图2的形状，猜想和的关系，并说明理由． 研究（3）：如果折成图3的形状，猜想和的关系，并说明理由． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06.三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 1 模型2.风筝（鹰爪）模型 7 模型3.角内（外）翻模型 13 17 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞镖（回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。 图1 图2 图3 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 拓展模型2：条件：如图3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 例1．（2024·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 有趣的“飞镖图” 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . . 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ； (2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； (3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小． 【答案】(1)三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°）；(2)见解析；(3)70° 【详解】（1）解：三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°） （2）证明：连接 CD 并延长至 F， ∵∠1 和∠2 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B， ∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB ； （3）解：由（2）得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C， ∵∠ADB=150°，∠AGB=110°，∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°， ∴∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C， ∵AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，∴∠CAD =2∠CAE，∠CBD=2∠CBF， ∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF），∴150°-∠C=2（110°-∠ C），解得：∠C=70°． 例2．（2024·湖北八年级期中）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F， ∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，∵∠AFB＝∠PFC，∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF， ∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D， ∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD， ∵PB、PC是角平分线∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，∴2∠P＝∠A−∠D ∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P＝19°． 法二：延长DC，与AB交于点E． ∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°，∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC． ∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°， ∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°，整理得∠ACD−∠ABD＝58°． 设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC， ∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，即∠P＝48°−（∠ACD−∠ABD）＝19°．故选A. 例3．（2024·福建三明·八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．    探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； 应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则 ；②如图3，、的2等分线（即角平分线）、相交于点，若，，求的度数； 拓展：（3）如图4，，分别是、的2020等分线（），它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 度． 【答案】（1），理由见详解； （2）①30；②95°；（3） 【详解】（1）如图，连接AD并延长至点E ∵    又∵∴ （2）①由（1）可知 ∵，∴ ②由（1）可知 ∵，∴ 平分 ，CF平分 （3）由（1）可知 ∵， ∴ ∵，分别是、的2020等分线（） ∴ ∴ 变式1．（2024·河南南阳·七年级校考阶段练习）互动学习课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究. 小亮：已知，如图①，在中，点D是内一点，连接，试探究与之间的关系． 小红：以用三角形内角和定理去解决．小明：外角的相关结论也能解决． (1)请你在横线上补全小红的探究过程： ∵（___________________）∴（等式性质） ∵________，∴________． ∴．（________________） (2)请你按照小明的思路完成探究过程． (3)利用探究的结果填空．如图②，，则_______．       【答案】(1)三角形的内角和定理，，，等量代换(2)过程见解析(3) 【详解】（1）解：∵（三角形的内角和定理）， ∴（等式性质），∵， ∴，∴．（等量代换）， 故答案为：三角形的内角和定理，，，等量代换． （2）解：如图①，延长交于，    由题意知，，∴； （3）解：由（1）可知，， ∵，∴，故答案为：． 变式2.（2024·浙江·八年级假期作业）如图所示，在中，，在上，，是上的任意一点，求证． 【详解】作点关于的对称点，则点落在线段CD上．连接交于点，连接． 由轴对称图形的性质可得，． 在中，，在中，． 因此，所以． 模型2.风筝（鹰爪）模型 图1 图2 1）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 例1．（2024·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中，、、分别为、、的外角判断下列大小关系何者正确？（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连结BD，延长AD到E， ，，， 故选项A正确，符合题意；B不正确，不符合题意； 多边形的外角和是，∴∴ 故选项C不正确，不符合题意；选项D不正确，不符合题意．故选：A． 例2．（2024·山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． （1）【定理证明】    已知：如图①，求证：． （2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点． （3）若，，则_______．（4）若，则_______． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点． （5）若，，则_________． （6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为__________． （7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），理由见解析 【详解】（1）证明：如图，过点作，    ∵，，， ，． （2），， ．故答案为：． （3），，， ；故答案为：； （4），，， ，， ．故答案为：． （5）如图，连接，，， ，      ，， ．故答案为：． （6）如图，过点作，则， 由（1）知，，， ，，，， 、分别是和，， ，．故答案为：． （7），理由如下： 由（1）知，，， 、分别为和的角平分线， ，， ，， ，即． 例3．（2024·河南鹤壁·七年级统考期末）中，，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令，，． 初探：(1)如图1，若点P在线段AB上，且，则_____________； (2)如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2，之间的关系为_____________； (3)如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1，∠2，之间的关系为_____________； 再探：(4)如图4，若点P运动到的内部，写出此时∠1，∠2，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)，见解析． 【详解】（1）解：如图，连接， ，， ， ，，，故答案为：； （2）解：由（1）可知，，故答案为：； （3）解：如图，，，， 即，故答案为：； （4）解：，证明如下：如图，连接， ，， ，． 变式1．（2024·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将沿折叠，使点 A落在的内部的点 M处，当，时，求的度数； （2）如图，将沿 折叠，使点 A 落在的外部的点 M 处．求图中，，之间的数量关系；（3）如图 ，将、一起沿折叠，使点 A、点B的对应点 M、N 分别落在射线 的左右两侧，，，、的数量关系 ． (直接写结果，不需要过程） 【答案】（1），（2），（3） 【详解】解：（1）如图，，，，， ∵翻折，∴，， ∵，，， ∴，整理得，， ∵，，∴，即； （2）如图，，，，， ∵翻折，∴，， ∵，∴， 整理得，，即；故答案为：； （3）如图，，，，， ∵翻折，∴，， ∵，∴， 整理得，，即． 模型3.角内（外）翻模型 图3 图4 条件：如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 例1.（2023春·广东·七年级专题练习）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】D 【详解】解：如图，连接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB， ∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-120°=60°， ∵沿DE折叠，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A， ∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'， ∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，故选：D． 例2．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外面时，此时测得，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，设与交于点，，根据折叠的性质，， ，，， ，，故选：． 例3．（2024·江苏宿迁·七年级校考期中）（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则之间的数量关系为：_______； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时之间的数量关系为：_________； （3）如图3，将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数；（4）在图3中作出的平分线，试判断射线的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？      【答案】（1），（2）；（3）；（4）位置不改变，． 【详解】（1）结论： 理由：连接，         沿折叠A和重合，∴ ∵， ∴． （2） 理由：连接， 沿折叠A和重合，∴ ∵， ∴； （3）如图，延长，交于点Q，延长，交于点，则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ∴，∴，∵，∴； （4），理由见解析 如图，平分，平分， ∴，，    由对折可得：，， 由（2）的结论可得：，即∴， ∴， ∴， ∴，∴． 变式1．（2024·河北廊坊·八年级校考期中）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴， ∴， ∵，∴，故B正确．故选：B．    1．（2024·河南·八年级假期作业）如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=160°， ∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB，∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACD， ∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1，∴∠ABD2=∠ABD1=∠ABC，∠ACD2=∠ACD1=∠ACB， 同理可得∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB，∴∠ABD5+∠ACD5=160×=5°，∴∠BCD5+∠CBD5=155°， ∴∠BD5C=180-∠BCD5-∠CBD5=25°，故选B． 2．（2024·河南洛阳·七年级统考期末）如图，在五边形中，若去掉一个的角后得到一个六边形，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴， ∵，∴．故选D． 3．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由折叠得， ∵，且∠1=100°，∴，∴， ∵，且， ∴，∴， ∴，故选：B． 4．（2024·广东广州·八年级统考期中）如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系式是（    ） A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3 C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3 【答案】D 【详解】解：∵∠6是△ABC的外角，∴∠1+∠4=∠6①， 又∵∠2是△CDF的外角，∴∠6=∠2-∠3②，由①和②得：∠1+∠4=∠2-∠3．故选D． 5．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，四边形中，，，，则的度数是 （含的式子表示）． 【答案】 【详解】解：延长交于点，如图， ，，是的外角，， 是的外角，，．故答案为：． 6．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）如图把三角形沿折叠，使点B落在点处．，，则 度．    【答案】 【详解】解：如图，设与交于点F，    ∵，，由折叠可得，，∴， 又∵，，∴，∴．故答案为：28． 7．（22-23八年级上·浙江台州·开学考试）如图：的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示：∵ ∴故答案为： 8．（2024·北京·八年级校考期中）如图，△中沿将四边形翻折，使点、点分别落在点和点处，再将△AEF沿AF翻折，使点落在点处，若，，则的度数为 ． 【答案】85°/85度 【详解】解：根据题意，在中，，∴，∴， 由折叠的性质，则，在中，， ∵，∴， ∴，∴；故答案为：85° 9．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，D是上一点将沿B折叠，使C点落在边上的点处，则 °． 【答案】40 【详解】解：∵在中，，，∴， 由折叠的性质可得出：，，， 在中，， ∴，∴，故答案为：40． 10．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，把沿折叠，使点A落在点D处， (1)若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析(2) 【详解】（1）解：，理由如下：∵是由翻折得到，∴， ∵，∴，∴． （2）解：∵，，∴， ∵，∴，∴． 11．（2023春·福建福州·七年级校考期末）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”， (1)如图①，在规形中，若，，，则______°； (2)如图②，将沿，翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若，则______°； (3)如图③，在规形中，、的角平分线、交于点E，且，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)20(2)54(3)；理由见解析 【详解】（1）解：如图1，连接，并延长到点E， 则、，∴，即， ∵，，，∴，故答案为：20； （2）解：∵将沿，翻折，顶点A，B均落在点O处， ∴，，∴，∵，∴， ∵，∴，∴． （3）解：；理由如下：如图3，由（1）知， ∵平分，∴， ∵平分，∴，∵，， ∴ 即． 12．（2024·江苏淮安·八年级校考期末）如图，在中，，D是上一点，将沿折叠，使点B落在边上的E处，求的度数．    【答案】40° 【详解】解：∵将沿折叠，使点B落在边上的E处，∴， ∵，∴，∴， ∵,∴． 13．（2023·广西·八年级专题练习）如图，中， (1)若、的三等分线交于点、，请用表示、；(2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，． 【答案】(1)，， (2)， 【详解】（1）解：∵，∴， ∵、的三等分线交于点、， ∴ ∴， ； （2）解：∵，∴， ∵、的等分线交于点、， ∴ ∴， ． 14．（23-24八年级上·山东·期中）如图， (1)如图①②，请直接写出，与，之间的数量关系． (2)用你发现的结论解决下列问题：如图③，，分别是四边形的外角，的平分线，，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：根据题意得：，∴， ∵，∴； （2）解：由（1）得：， ∵，∴， ∵，分别是四边形的外角，的平分线， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24八年级上·湖北·期中）在中，，、分别是边、上的点，点平面内是一动点． (1)如图1，当点P在线段上时，①若， __________度； ②试写出、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点在边的延长线上时，连接交于点，探索、、之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点在到形外部时，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)①140；②，理由见解析 (2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：①， ，， ，，．故答案为：140． ②，理由如下：由①可知，， ，． （2）解：，理由如下： ，，． （3）解：，理由如下：设与相交于点，如图， ，，． 16．（2024·四川达州·中考模拟预测）箭头四角形,模型规律:如图1，延长CO交AB于点D，则．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用: （1）直接应用：①如图2， ．②如图3，的2等分线（即角平分线）交于点F，已知，则 ③如图4，分别为的2019等分线．它们的交点从上到下依次为．已知，则 度 【答案】（1）①，②，③； 【详解】解：（1）①如图2，在凹四边形ABOC中，， 在凹四边形DOEF中，， ②如图3，，且 ，，； ③如图4，由题意知, 则 代入得 解得： ，； 故答案为①；②；③（）； 17．（2024·吉林白城·八年级统考阶段练习）[题目]如图①，∠BAC内部有一点D．连接BD，CD．着∠A=68°，∠ABD= 16°．∠ACD=24°，求∠BDC的大小； [应用]如图②，在五角星中，∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=____度； [扩展]如图③，在∠BAD内部有两个向上突起的角，若∠ABE= 20°，∠ECF =45°，∠ADF =15°，∠A=70°，则∠BEC+∠CFD = 度． 【答案】∠BDC= 108°；180；150． 【详解】解：（1）连接BC．∵三角形内角和是180°∴∠A+∠ABC+∠ACB= 180° 又∵∠ABD= 16°，∠ACD = 24°，∠A=68°∴∠DBC+∠DCB = 72° 又∵∠D+∠DBC +∠DCB = 180°∴∠BDC= 108°． （2）连接BC，∵∠ODE+∠OED=180°-∠DOE ∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC ∠DOE=∠BOC ∴∠ODE+∠OED=∠OBC+∠OCB 又∵三角形内角和是180°∴∠A+∠ABE+∠ACD=180°-∠OBC-∠OCB ∴∠A+∠ABE+∠ACD=180°-∠ODE-∠OED ∴∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=180° （3）由（1）的结论可知 ∵∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠AEC ∠CFD=∠CAD+∠ADF +∠ACF ∴∠BEC+∠CFD =∠BAC+∠ABE+∠AEC+∠CAD+∠ADF+∠ACF ∠BEC+∠CFD=∠A+∠ABE+∠ADF +∠ECF =150° 18．（2024·浙江·八年级期末）如图（1）是一个三角形的纸片，点D、E分别是边上的两点， 研究（1）：如果沿直线折叠，写出与的关系，并说明理由． 研究（2）：如果折成图2的形状，猜想和的关系，并说明理由． 研究（3）：如果折成图3的形状，猜想和的关系，并说明理由． 【答案】（1）∠BDA′=2∠A，理由见解析；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由见解析；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由见解析 【详解】解：（1）∠BDA′=2∠A；根据折叠的性质可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A； （2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由：在四边形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA=360°， ∴∠A+∠DA′E=360°-∠ADA′-∠A′EA，∵∠BDA′+∠ADA′=180°，∠CEA′+∠A′EA=180°， ∴∠BDA′+∠CEA′=360°-∠ADA′-∠A′EA，∴∠BDA′+∠CEA′=∠A+∠DA′E， ∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，∴∠A=∠DA′E，∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A； （3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由：如图3，DA′交AC于点F， ∵∠BDA′=∠A+∠DFA，∠DFA=∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′=∠A+∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′-∠CEA′=∠A+∠A′， ∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，∴∠A=∠DA′E，∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A． 9 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$