精品解析：广东省茂名市龙岭学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

茂名市龙岭教育共同体2024-2025-2初三中考模拟质量检测 ( 一 ) 数学试卷 (满分120分，用时120分钟) 一．选择题(本大题共10小题，每小题3分，共3分) 1. 计算（﹣5）﹣（﹣3）的结果等于（　　） A. ﹣8 B. 8 C. ﹣2 D. 2 2. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 球 3. 如图，点 都在正方形网格的格点上，则 的值是（ ） A. B. 1 C. D. 4. 下面计算中，正确的是（　　） A. （a+b）2=a2+b2 B. 3a+4a=7a2 C. （ab）3=ab3 D. a2•a5=a7 5. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在体育课上，甲，乙两名同学分别进行了5次跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 7. 上海与北京之间的铁路距离约为1400km，乘坐高铁列车比乘坐普通列车能提前4h到达．已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的2倍，设普通快车的平均行驶速度为xkm/h，根据题意所列出的方程为（　　） A. B. C. D. 8. 若关于x的方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 分解因式：__________． 12. 2024年3月24日，无锡马拉松盛况空前，共吸引了约260000名选手踊跃报名．数据260000用科学记数法表示为______． 13. 二次根式有意义的条件是____________ 14. 已知α、β均为锐角，且满足+=0，则α+β= ___________． 15. 如图，点A，B分别在反比例函数 的图像上，点C在x轴的负半轴上，若平行四边形ACOB 的面积是4，则k的值为____． 三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中 ． 18. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 四．解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分) 19. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图中的信息解答以下问题： （1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整； （2）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人； （3）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 20. 【观察发现】折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．折纸过程中的折痕相当于图形的对称轴，可以由作一对对应点连线段的垂直平分线得到，如图1，在中，，①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧；②两弧相交于两点，作直线，交于点，交于点；③连接． 【操作体验】（1）根据“观察发现”中的步骤，用尺规作图； 【推理论证】（2）在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题展开探究活动．如图2，①将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片；②再沿着过点的直线折叠纸片，使点的对应点落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与BC边交于点，连．小亮根据上面步骤得出 ，请你补全括号里的证明依据； 证明： （ 依据1 ） （ 依据2 ） 【拓展探究】（3）对称的性质在日常生活中也有重要的应用．如图3，某地有两个村庄和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库（在内），希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该仓库P．（保留作图痕迹，不写作法） 21. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点，使 的周长最小，求点的坐标； （3）点是第四象限内抛物线上的一个动点，试求四边形面积的最大值． 五 ．解答题(三)(本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分) 22. 如图，是的直径，点D在直径上（D与A，B不重合），且，连接，与交于点F，在上取一点E，使与相切． （1）求证：； （2）若D是的中点，，求的长． 23. 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且 ，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． （2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上， ，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，， ，点，分别在边，上， ，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 茂名市龙岭教育共同体2024-2025-2初三中考模拟质量检测 ( 一 ) 数学试卷 (满分120分，用时120分钟) 一．选择题(本大题共10小题，每小题3分，共3分) 1. 计算（﹣5）﹣（﹣3）的结果等于（　　） A. ﹣8 B. 8 C. ﹣2 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】分析：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 依此计算即可求解． 详解：（-5）-（-3）=-2． 故选C． 点睛：考查了有理数的减法，方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）． 2. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 球 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆，即可判断该几何体为圆锥． 【详解】解：长方体的三视图都是圆锥， 故选：B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟知基本几何体的三视图，正确判断几何体． 3. 如图，点 都在正方形网格的格点上，则 的值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了求角的正切值，熟悉正切的概念是解答本题的关键． 设小正方形的边长为1，由图可知： ，，根据正切的概念求解即可． 【详解】解：如图： 设小正方形的边长为1，由图可知： ，， ∴， 故选：B． 4. 下面计算中，正确的是（　　） A. （a+b）2=a2+b2 B. 3a+4a=7a2 C. （ab）3=ab3 D. a2•a5=a7 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案． 【详解】A. (a+b)2=a2+b2+2ab，故此选项错误； B. 3a+4a=7a，故此选项错误； C. (ab)3=a3b3，故此选项错误； D. a2a5=a7，正确． 故选D. 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，解题的关键是掌握它们的概念进行求解. 5. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义，根据分母不为0进行分析，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴ ， ∴， 故选：D． 6. 在体育课上，甲，乙两名同学分别进行了5次跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与其平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散程度越小，稳定性越好。 【详解】由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生立定跳远成绩的方差． 故选D． 7. 上海与北京之间的铁路距离约为1400km，乘坐高铁列车比乘坐普通列车能提前4h到达．已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的2倍，设普通快车的平均行驶速度为xkm/h，根据题意所列出的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可直接列出方程． 【详解】解：由题意可列出方程为； 故选D． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意． 8. 若关于x的方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式，即可求出答案．本题考查一元二次方程的解以及根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，属于基础题型． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 且， 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作 与的垂线，两垂线的交点即为 的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的交点即为所求的 的外心， 的外心坐标是． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形外心的知识，解题的关键是注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 10. 如图，在边长为的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作点关于的对称点，过点作于，交于点，连接 ，，根据折叠的性质可得点在上，推得的最小值为的长，根据折叠的性质可得为线段的垂直平分线，根据勾股定理可得和的值，根据同位角相等，两直线平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是菱形可得四边形为菱形，根据菱形的对角线互相平分可得，，求得的值，根据两组对角相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可求得 的值，即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，过点作于，交于点，连接 ，，如图： 由折叠的性质知是 的平分线， ∴点在上， ∵， ∴的最小值为的长， 由折叠的性质知为线段的垂直平分线， ∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵为线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， 即 ， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的应用——最短路径问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线的判定和性质等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式分解因式，即可． 【详解】解：， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 12. 2024年3月24日，无锡马拉松盛况空前，共吸引了约260000名选手踊跃报名．数据260000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，将260000写成的形式即可，注意，n的值与小数点移动位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 二次根式有意义的条件是____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出3x-1≥0，求出即可． 【详解】∵要使有意义，必须3x-1≥0， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件的应用，注意：要使有意义，必须a≥0． 14. 已知α、β均为锐角，且满足+=0，则α+β= ___________． 【答案】75°##75度 【解析】 【分析】根据非负数的性质得到sinα=，tanβ=1，利用特殊角的三角函数值分别求出α、β，计算即可． 【详解】由已知得sinα－=0，tanβ－1=0， ∴α=30°，β=45°， ∴α+β=75°． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键． 15. 如图，点A，B分别在反比例函数 的图像上，点C在x轴的负半轴上，若平行四边形ACOB 的面积是4，则k的值为____． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，先求出，，得到，根据反比例函数系数k的几何意义即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D，连接， ∵平行四边形的面积是4， ∴ ∵点A在反比例函数的图象上， ∴ ∴， ∵点B在的图象上， ∴ 故答案为：6 三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据乘方、零指数幂、负整数指数幂的意义，实数的性质，特殊角的三角函值化简，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函值是解答本题的关键． 17. 先化简，再求值：，其中 ． 【答案】，. 【解析】 【分析】根据分式的除法和平方差公式可以化简题目中的式子，然后代入 即可解答本题． 【详解】解：原式= 当 时， 原式 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 18. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 【答案】 ；非负整数解为0、1、2、3 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集，最后找出非负整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得： ， 解不等式②，得： ， 原不等式组的解集是 ， 非负整数解为0、1、2、3． 【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，解本题的关键在熟练掌握求解一元一次不等式组的一般步骤． 四．解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分) 19. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图中的信息解答以下问题： （1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整； （2）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人； （3）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】（1），， 补全条形统计图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由等级人数除以其人数占比即可得出本次抽取的学生总人数，用乘以等级人数占比即可得出扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数，用本次抽取的学生总人数减去其他各等级人数即可得出等级人数，然后补全条形统计图即可； （2）利用样本估计总体即可； （3）先画出树状图，展示从这人中随机抽取人所有等可能的结果，再找出被抽取的人恰好是名男生名女生的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生人数共有： （人）， 扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数是： ， 等级人数为： （人）， 故答案为：，， 【小问2详解】 解：书写能力等级达到优秀的学生大约有： （人）， 故答案为： ； 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有 种等可能的结果，其中被抽取的人恰好是名男生名女生的结果有种， 被抽取的人恰好是名男生名女生的概率． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，由扇形统计图求总量，求扇形统计图的圆心角，求条形统计图的相关数据，画条形统计图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握条形统计图和扇形统计图信息关联及列表法或树状图法求概率是解题的关键． 20. 【观察发现】折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．折纸过程中的折痕相当于图形的对称轴，可以由作一对对应点连线段的垂直平分线得到，如图1，在中，，①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧；②两弧相交于两点，作直线，交于点，交 于点；③连接． 【操作体验】（1）根据“观察发现”中的步骤，用尺规作图； 【推理论证】（2）在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题展开探究活动．如图2，①将长方形纸片对折，使 与重合，得到折痕，展平纸片；②再沿着过点的直线折叠纸片，使点的对应点落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与BC边交于点，连．小亮根据上面步骤得出 ，请你补全括号里的证明依据； 证明： （ 依据1 ） （ 依据2 ） 【拓展探究】（3）对称的性质在日常生活中也有重要的应用．如图3，某地有两个村庄和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库（在内），希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该仓库P．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 （1）解：如图，所示即为所求， ； （2）证明： （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） （等量代换）， （3）如图所示，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，性质，角平分线的作法，熟知相关性质是解题的关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）根据折叠的性质和垂直平分线的性质求出结果即可； （3）作的垂直平分线和的平分线交于点，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 21. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点 ，使 的周长最小，求点 的坐标； （3）点是第四象限内抛物线上的一个动点，试求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）连接 交对称轴于点 ，当三点共线时， 的周长最小，直线与对称轴的交点即为所求 点； （3）过点轴于点．设点坐标为，则，当t时，四边形的面积最大，最大值． 【小问1详解】 解：将点代入 ， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：连接 交对称轴于点 ， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵ 关于对称轴对称， ∴， ∴， 当三点共线时， 的周长最小， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在第四象限内抛物线上取点，连接 做轴交直线于点， 设点坐标为， 则， ∴， ∵， ∴ t2t＋6， ∴当t时，四边形的面积最大， 最大值（）2． 【点睛】此题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距离的方法，铅锤法求三角形的面积是解题的关键． 五 ．解答题(三)(本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分) 22. 如图， 是 的直径，点D在直径 上（D与A，B不重合），且，连接 ，与 交于点F，在上取一点E，使与 相切． （1）求证：； （2）若D是的中点，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， 是 的半径，是 的切线， ∴ ， ∴ ， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂直定义可得 ，从而可得 ，然后利用等腰三角形的性质可得，由切线的性质得，继而得到，即可解答； （2）连接，根据已知可得，，从而在中，利用勾股定理求出，，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而可证，进而利用相似三角形的性质可求出的长，最后进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：解：连接， ， ， 是的中点， ， ， 在中， ， ， 是 的直径， ， ，， ， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23. 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且 ，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． （2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上， ，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，， ，点，分别在边，上， ，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）， 理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ， ，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ， ，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得 ， ，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到 ，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明 ，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得 ， ，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到 ，即得答案． 【小问1详解】 解：绕点A顺时针旋转，得到， ， ，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为： ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $