第四单元《比例》单元复习—六年级下学期数学易错盘点+典例分析+规避策略+举一反三（人教版）

易错盘点+典例分析+规避策略+举一反三 第四单元《比例》 ( 目录 易错点1： 对比例的概念理解不清晰 ，混淆比、比值和比例的概念； 易错点2： 没有掌握比例的各部分名称 ； 易错点 3 ： 对比例的基本性质理解不透彻 ； 比例基本性质：比例式改写乘积式（比例式 → 乘积式） 比例基本性质的逆运用：乘积式改写比例式（乘积式 → 比例式） 易错点 4 ： “ 交叉相乘积相等 ” 与分数乘法混淆 ； 易错点 5 ： 正比例和反比例的判断 ； 易错点 6 ： 对正比例图像认识不深刻 ； 易错点 7 ：比例尺问题 — 颠倒图上距离与实际距离 ； 易错点 8 ：比例尺问题 — 未统一单位 ； 易错点 9 ：分不清是放大图形，还是缩小图形 ; 易错点 10 ：将图形各边按比放大 ( 缩小 ) ，误认为面积也按同样的比放大 ( 缩小 )。 ) 易错点1：对比例的概念理解不清晰，混淆比、比值和比例的概念 规避策略： ①比：由两个数组成，表示两个数相除； ②比例：由四个数组成，表示两个比相等的式子。 例1：（判断）∶=是比，而不是比例。（ ） 例2：比例是一个（ ）。 A. 比 B. 等式 C. 方程 D. 以上答案都不对 1． （判断）两个比不一定能组成比例。（ ） 2． （判断）任意四个数一定能组成比例。（ ） 3． （判断）表示两个式子相等的算式叫做比例。（ ） 4． 下面的式子中，（ ）是比例。 A. 6∶3=2 B. ∶3=1∶30 C. 4∶3=∶ D. 1∶5=5∶1 5． 下面各比中，能与∶6组成比例的是（ ）。 A. 2.5∶16 B. 0.1∶ C. 3∶2.4 D. ∶4 6． 李梅为了布置教室墙报，剪了四张大小不同的长方形剪纸。下面图（ ）的长与宽的比与5∶4正好能组成比例。 7． 中国首颗太阳探测科学技术试验卫星“羲和号”，能够24小时连续对太阳进行观测。其搭载的成像光谱仪通过对太阳的日面扫描，获得光谱的数量情况大约如下表。 时长/秒 5 10 20 46 获得光谱/条 500 1000 2000 4600 根据表中的数据组成比例，正确的是（ ）。 A. 5∶500=1000∶10 B. 2000∶20=10∶1000 C. 500∶5=4600∶46 易错点2：没有掌握比例的各部分名称 规避策略：在比例中，两端的两项是比例的外项，中间的两项是比例的内项。 例题：（判断）在比例中，等号左边的两项是比例的外项，等号右边的两项是比例的内项。（ ） 1． （判断）2.4∶1.6=60∶40中，2.4和60是比例的外项，1.6和40是比例的内项。（ ） 2． （判断）一个比例中，两个内项的积除以两个外项的积，商为1。（ ） 3． （判断）一个比例中，两个内项的积减去两个外项的积，差为0。（ ） 4． （判断）在一个比例中，若交换一个比的前项和后项的位置，则比例关系仍成立。（ ） 5． （判断）在一个比例中，若交换两个外项或两个内项的位置，则比例关系仍成立。（ ） 6． （判断）在比例中，任意两项互换位置，比例都成立。（ ） 7． 一个比例的两个内项互为倒数，一个外项是，另一个外项是（ ）。 易错点3：对比例的基本性质理解不透彻 比例基本性质：比例式改写乘积式（比例式→乘积式）； 比例基本性质的逆运用：乘积式改写比例式（乘积式→比例式）。 规避策略：由1个比例式可写成1个乘积式；由1个乘积式可写成8个比例式。 比例式→乘积式 外项积=内项积：已知a∶b=c∶d，则ad=bc； 交叉相乘积相等：已知=，则ad=bc。 乘积式→比例式 已知ab=cd（相乘的2个字母必须同时作比例的外项或内项） ①当a、b为外项，则c、d为内项 a∶（ c ）=（ d ）∶ b a∶（ d ）=（ c ）∶ b b∶（ c ）=（ d ）∶ a b∶（ d ）=（ c ）∶ a ②当c、d为外项，则a、b为内项 c∶（ a ）=（ b ）∶ d c∶（ b ）=（ a ）∶ d d∶（ a ）=（ b ）∶ c d∶（ b ）=（ a ）∶ c 例1：甲数×=乙数×60%，甲∶乙= 4∶（ ）。 例2：在比例7∶2＝28∶8中，如果内项2增加4，要使比例仍然成立，那么外项7增加（ ）。 1． 甲数的等于乙数的（甲、乙两数均不为0），甲数∶乙数=（ ）。 A. ∶ B. 2∶3 C. 3∶2 D. 3∶1 2． 如图，三角形a边上的高为b，c边上的高为d。根据这些信息，下面式子中（ ）不成立。 A. a∶c=d∶b B. a∶c=b∶d C. D. 3． 如果2a=6b，那么a∶b=（ ）∶（ ）。 4． 把下面的等式改写成比例式（写出四个即可）。 1.5×12=20×0.9 （ ）（ ）（ ）（ ） 5． 250千克∶0.35吨，化简后是（ ），比值是（ ）。化简后的比可以与（ ）∶组成比例。 6． 已知4.5∶6=5.1∶6.8，如果两个外项不变，内项6减去0.6，那么5.1应该加上（ ），两个比例依然成立。 7． 在一个比例中，两个外项分别是12和8，两个比的比值是，写出这个比例（ ）。 易错点4：“交叉相乘积相等”与分数乘法混淆 规避策略：当比例是分数形式时，根据比例的基本性质，“交叉相乘积相等”得到乘积式，不能用分子乘分子，分母乘分母。 例题：解方程。 【错误解答】 【正确解答】 解：0.5x=2.4×0.6 →分子乘分子，分母乘分母 0.5x÷0.5=2.4×0.6÷0.5 x=2.88 解：0.6x=2.4×0.5 →交叉相乘积相等 0.6x÷0.6=2.4×0.5÷0.6 x=2 1． 解比例 ① ② ③ 2． 解比例 ① （*验算） ② 0.8∶ 易错点5：正比例和反比例的判断 规避策略：“相关联”+“正商反积” ①找变量→两个量是否相关联，也就是看这两个量是否都是变量，且一个量随着另一个量的变化而变化； ②找定量→分析相关联的两个量，看它们之间的关系是比值一定、乘积一定，还是都不一定； ③判断→比值（商）一定成正比例；乘积一定成反比例；比值和乘积都不一定，不成比例。 例1：（判断）X和Y是两种相关联的量，X-Y=0，那么X与Y不成比例。（ ） 例2：（判断）任何一个非0自然数，与它的倒数成反比例。（ ） 1． （判断）用正方形方砖铺地，铺地面积一定时，方砖的边长和所需方砖的块数成反比例。（ ） 2． （判断）用同一规格的方砖铺地，铺地的面积和所需方砖的块数成正比例。（ ） 3． （判断）圆的面积和半径不是相关联的量。（ ） 4． （判断）半径越大，圆的面积就越大，所以圆的面积与半径成正比例。（ ） 5． （判断）正方体的体积与棱长不成比例。（ ） 6． （判断）妈妈今年的年龄是小敏的3倍，她的年龄与小敏的年龄正成比例关系。（ ） 7． （判断）如果2x=6y（x、y均不为0），那么x与y成正比例关系。（ ） 8． 以下说法正确的是（ ）。 A. 人的近视度数和年龄成正比例 B. A+B=100，那么A和B成反比例 C.（M+2）x=y，且x和y都不为0，当M一定时，x和y不成比例 D. 圆锥的高一定时，体积和底面积成正比例 9． 下面的各种关系中，成反比例关系的是（ ）。 A圆柱的侧面积一定，高和底面直径 B. 长方体的高一定，体积和底面积 C. 被减数一定，减数与差 D. 除数一定，商和被除数 10． 下表中a和b两个量成反比例关系，则△是（ ）。 a 60 △ b 15 50 A. 18 B. 12.5 C. 200 易错点6：对正比例图像认识不深刻 规避策略： ①正比例图象是一条从原点出发无限延伸的射线，且呈上升趋势； ②线上所有点对应的两个数的比值都相等； ③从图象上可以直观地看出两个量的变化情况。借助图象，可以由一个量的值直接找到对应的另一个量的值。 例题：下列每组两个量的关系可以用下图表示的是（ ）。 A. 六年级一班今天的出勤人数和缺勤人数 B. 路程一定时，速度和时间 C. 圆的周长与该圆的直径 D. 等底等高的圆柱体积和圆锥体积 1． 下面各图中都表示了x、y两种变量，（ ）中的两种量成成比例。 2． 平遥牛肉是山西特产。下图表示的是半自动封口机封袋牛肉的数量和封袋时间的关系。 ( M ) （1） 从图中可知封袋的数量和封袋的时间成（ ）比例；点M的含义是（ ）分钟封了（ ）袋牛肉。 （2） 山西平遥牛肉集团是国家级农业产业化重点龙头企业，2022年完成销售收入7.1亿元，2023年山西平遥牛肉集团力争销售收入比上年增加二成，“二成”改写成百分数是（ ），那么2023年山西平遥牛肉集团销售收入预计是（ ）亿元。 3． 一根弹簧挂上物体（质量不超过20kg）后会伸长。下图表示弹簧伸长的长度和所挂物体的质量之间的关系。 （1）弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成（ ）比例。 （2）根据图象判断，如果挂上7kg的物体，那么弹簧将伸长（ ）cm。 （3）要使弹簧伸长2.25cm，应挂上（ ）kg的物体。 4． 下表是鸵鸟奔跑的距离与所用时间的关系表，看表回答问题。 距离/km 70 140 210 280 350 420 … 时间/h 1 2 3 4 5 6 … （1）把下图补充完整。 （2）鸵鸟奔跑的距离与所用时间成什么关系？ （3）4.5时鸵鸟能奔跑多少千米？跑525千米要用多长时间？ 5． 一种药水中药粉与水的质量如下表所示。 药粉/克 0 1 2 3 4 5 …… 水/克 0 200 400 600 800 1000 …… （1） 这种药水中水与药粉的质量成正比例吗？为什么？ （2） 先根据上表描点，再顺次连接。 （3） 点（6，1200）在这条直线上吗？这一点表示什么含义？ 易错点7：比例尺问题—颠倒图上距离与实际距离 规避策略：比例尺=图上距离∶实际距离，比的前项和后项不能调换位置。 例题：在一张图纸上，用6厘米的线段表示3毫米，这样图纸的比例尺是（ ）。 1． （判断）比例尺一定，实际距离与图上距离成正比例。（ ） 2． （判断）一幅地图的比例尺是1∶5000米。（ ） 3． 图上5厘米的距离表示实际距离40千米，这幅地图的比例尺是（ ）。在这幅地图上，7.5厘米表示实际距离（ ）千米。 4． 东村到西村的实际距离是5千米，画在一幅平面上是2厘米，这幅图的比例尺是（ ）；一个精密零件，画在比例尺是20∶1的设计图纸上，长度是2厘米，它的实际长度是（ ）毫米。 5． 在一幅地图上，图上14厘米的距离表示的实际距离是4900千米。这幅地图的比例尺是 （ ），把相距700千米的A、B两地画在这幅地图上应画（ ）厘米。 易错点8：比例尺问题—未统一单位 规避策略： ①在求比例尺时，图上距离和实际距离要化成同级单位； ②要清楚千米和厘米之间的进率是100000（5个0），米和厘米之间的进率是100。换算时要查清数位，注意0的个数。 例题：下面这种解法对吗？若不对，请改正。 一条公路实际长120km，在一幅地图上的长度是12cm，这幅图的比例尺是多少？ 12∶120=1∶10 答：这幅地图的比例尺是1∶10。（ ） 1． 芯片相当于电子科技产品的大脑，在当今信息科技时代扮演着极为关键的角色。一个长方形芯片的长是1.5毫米，宽是0.9毫米，画在图纸上长是6厘米，宽是3.6厘米，这张图纸的比例尺是（ ）。 A. 1∶4 B. 4∶1 C. 1∶40 D. 40∶1 2． ，表示图上1厘米相当于实际距离（ ）千米，把这个比例尺改写成数值比例尺是（ ）。 3． 2021年是中国共产党成立100周年，小华打算国庆节和父母一起到北京。他在一幅比例尺为1∶20000000的地图上量得成都到北京的距离约为9厘米，成都到北京的实际距离大约是（ ）千米。 4． 盘山风景名胜区位于天津市蓟区西北12公里处，因雄踞北京之东，故有“京东第一山”之誉。东西长20千米，南北宽10千米，画在比例尺是1∶200000的地图上，东西画（ ）厘米，南北画（ ）厘米。 5． 小红家在公园正东方向，距离公园400m；小英家在公园北偏东60°方向距离是300m；小青家在小英家正西方向200m处。在图中画出他们三家和公园的位置平面图（比例尺是1∶10000）。 易错点9：分不清是放大图形，还是缩小图形 规避策略：关联放大比例尺和缩小比例尺。 ①都是和原图形比，比原图形大，就是放大图形；比原图形小，就是缩小图形； ②变化后图形边长∶原图形边长，比的前项表示变化后图形边长，比的后项表示原图形边长。 ③描述图形放大，一般用后项是1的比表示，即n∶1（前项＞后项，比值＞1）； 描述图形缩小，一般用前项是1的比表示，即1∶n（前项＜后项，比值＜1）； 【注意】n∶1与1∶n表示的意义不同。 3∶1→图形按3∶1放大，也就是图形的每条边放大到原来的3倍； 1∶3→图形按1∶3缩小，也就是图形的每条边缩小到原来的。 例题：如下图所示，图②是图（ ）按3∶1的比放大后的图形；图②是图（ ）按（ ）∶（ ）的比缩小后的图形。 1． （判断）图形的放大与缩小就是把原图形各边加上或减去一个相同的数。（ ） 2． 图形按一定的比放大时，这个比的比值比1大，图形按一定的比缩小时，这个比的比值比1小。（ ） 3． （判断）“按2∶1把图形画下来”，是把图形缩小到原来的。（ ） 4． 把一张长方形的图按1∶20的比例缩小后，长和宽的比（ ）。 A. 不变 B. 变了 C. 无法确定 5． 下面图（ ），是图形A按2∶1放大后的图形。 A. A B. B C. C D. D 6． 如下图： （1） 图形A按（ ）∶（ ）的比例缩小可以得到图形B； （2） 图形A与图形B的面积比是（ ）。 易错点10：将图形各边按比放大（缩小），误认为面积也按同样的比放大（缩小） 规避策略：①图形放大或缩小是指长度变化，每条边的长度放大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一； ②若题目求变化后的面积或体积，可先求出变化后各边的长度，再代入相应的公式求解； ③将一个图形按一定的比放大或缩小，周长比等于边长比，面积比等于边长的平方比。 例1：把一个半径是3cm的圆按2∶1放大，放大后的圆的周长是（ ）。 A. 12.56 B. 18.84 C. 28.26 D. 37.68 例2：把直角△ABC按照1∶2进行缩小，得到一个新的三角形△DEF，已知△DEF的面积是8cm²，那么△ABC的面积是（ ）。 A. 32cm² B. 16cm² C. 4cm² D. 2cm² 1． 把一个图形按4∶1变化后，得到的图形与原图形比较，正确的说法是（ ）。 A. 面积扩大到原来的4倍 B. 面积缩小到原来的 C. 周长扩大到原来的4倍 D. 周长缩小到原来的 2． 将一个周长12厘米的正方形变换成面积为36平方厘米的正方形，是按（ ）的比放大的。 A. 2∶1 B. 3∶1 C. 4∶1 3． 把一个底是9厘米，高是6厘米的平行四边形各边按1∶3缩小，缩小后底是（ ）厘米，高是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。缩小后平行四边形与原来平行平行四边形面积的比是（ ）。 4． 一块长方形地，长与宽的比是6∶5，按1∶1000的比例尺画在图上，其周长是22厘米。计划在这块地上盖一幢楼，占地面积是这块地的50%，这幢楼的占地面积是多少平方米？ 5． 下面是一个圆柱形不锈钢平的设计图。这个不锈钢瓶制作完成后的实际高度是1.2米，图上只标明图上高和图上底面直径的长度，没有标明比例尺，请你想办法计算出它的实际容积是多少升？（瓶的厚度忽略不计） 6． 按要求画一画、填一填。（π取3.14） （1） 按1∶2的比画出平行四边形缩小后的图形。 （2） 以点O为圆心，按3∶1的比画出圆放大后的图形。放大前与放大后两个圆的面积比是（ ），它们所组成的圆环的面积是（ ）平方厘米。 （3） 已知图中三角形ABC是一个等边三角形，那么点A在点B的（ ）偏（ ）（ ）°方向（ ）厘米处。 ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错盘点+典例分析+规避策略+举一反三 第四单元《比例》 ( 目录 易错点1： 对比例的概念理解不清晰 ，混淆比、比值和比例的概念； 易错点2： 没有掌握比例的各部分名称 ； 易错点 3 ： 对比例的基本性质理解不透彻 ； 比例基本性质：比例式改写乘积式（比例式 → 乘积式） 比例基本性质的逆运用：乘积式改写比例式（乘积式 → 比例式） 易错点 4 ： “ 交叉相乘积相等 ” 与分数乘法混淆 ； 易错点 5 ： 正比例和反比例的判断 ； 易错点 6 ： 对正比例图像认识不深刻 ； 易错点 7 ：比例尺问题 — 颠倒图上距离与实际距离 ； 易错点 8 ：比例尺问题 — 未统一单位 ； 易错点 9 ：分不清是放大图形，还是缩小图形 ; 易错点 10 ：将图形各边按比放大 ( 缩小 ) ，误认为面积也按同样的比放大 ( 缩小 )。 ) 易错点1：对比例的概念理解不清晰，混淆比、比值和比例的概念 规避策略： ①比：由两个数组成，表示两个数相除； ②比例：由四个数组成，表示两个比相等的式子。 例1：（判断）∶=是比，而不是比例。（ × ） 【答案】：× 【分析】：比有两种写法，a∶b或。是6与4的比，且6∶4=1.5，∶=1.5，两个比的比值相等，因此∶和可以组成比例。原题干说法错误，答案为：×。 例2：比例是一个（ B ）。 A. 比 B. 等式 C. 方程 D. 以上答案都不对 【答案】：B 【分析】：比值相等的两个比组成的式子叫作比例，比例是一个等式，故选B。 1． （判断）两个比不一定能组成比例。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：根据比例的意义判断，表示两个比相等的式子叫作比例。判断两个比能否组成比例，关键看两个比的比值是否相等，比值相等，则能组成比例，反之不能。如1∶2和2∶1，比值不相等，不能组成比例。因此，两个比不一定能组成比例。 原题干说法正确，答案为：√。 2． （判断）任意四个数一定能组成比例。（ × ） 【答案】：× 【分析】：根据比例的意义判断，表示两个比相等的式子叫作比例。判断两个比能否组成比例，关键看两个比的比值是否相等，比值相等，则能组成比例，反之不能。如1∶2和2∶1，比值不相等，不能组成比例。因此，任意四个数不一定能组成比例。 原题干说法正确，答案为：×。 3． （判断）表示两个式子相等的算式叫做比例。（ × ） 【答案】：× 【分析】：根据比例的意义判断，表示两个比相等的式子叫作比例。 原题干说法错误，答案为：×。 4． 下面的式子中，（ B ）是比例。 A. 6∶3=2 B. ∶3=1∶30 C. 4∶3=∶ D. 1∶5=5∶1 【答案】：B 【分析】：根据比例的意义解答。3个条件：①两个比；②比值相等；③等式。 选项A，没有两个比，2是6∶3的比值，不是比，不符； 选项B，有两个比，关键看比值是否相等。∶3=÷3=，1∶30 =1÷30=，比值相等，符合； 选项C，关键看比值是否相等。 4∶3=4÷3=，∶=÷=，≠，比值不相等，不符； 选项D，关键看比值是否相等。1∶5=，5∶1=5÷1=5，≠5，比值不相等，不符。 综上，故选B。 5． 下面各比中，能与∶6组成比例的是（ D ）。 A. 2.5∶16 B. 0.1∶ C. 3∶2.4 D. ∶4 【答案】：D 【分析】：三种方法：①看比值；②看最简比；③看外项积和内项积。 比 ①看比值 ②看最简比 ③看外项积和内项积 ∶6 ∶6=÷6= ∶6=1∶8 2.5∶16 2.5∶16=2.5÷16= ≠，比值不相等； 2.5∶16=5∶32 最简比不相等； 外项积：×16=12；内项积：6×2.5=15。 外项积≠内项积； 0.1∶ 0.1∶=0.1÷= ≠，比值不相等； 0.1∶=1∶4 最简比不相等； 外项积：×=；内项积：6×0.1=0.6。 外项积≠内项积； 3∶2.4 3∶2.4=3÷2.4= ≠，比值不相等； 3∶2.4=5∶4 最简比不相等； 外项积：×2.4=1.8；内项积：6×3=18。 外项积≠内项积； ∶4 ∶4=÷4= 比值相等。 ∶4=1∶8 最简比相等。 外项积：×4=3；内项积：6×=3。 外项积=内项积。 综上，故选D。 6． 李梅为了布置教室墙报，剪了四张大小不同的长方形剪纸。下面图（ D ）的长与宽的比与5∶4正好能组成比例。 【答案】：D 【分析】：要与“5∶4”能组成比例，则长∶宽=5∶4。 选项A，长∶宽=16∶10=（16÷2）∶（10÷2）=8∶5≠5∶4，无法组成比例； 选项B，长∶宽=18∶15=（18÷3）∶（15÷3）=6∶5≠5∶4，无法组成比例； 选项C，长∶宽=12∶9=（12÷3）∶（9÷3）=4∶3≠5∶4，无法组成比例； 选项D，长∶宽=15∶12=（15÷3）∶（12÷3）=5∶4，两个比的最简整数比相等，也就是比值相等，可组成比例。故选D。 7． 中国首颗太阳探测科学技术试验卫星“羲和号”，能够24小时连续对太阳进行观测。其搭载的成像光谱仪通过对太阳的日面扫描，获得光谱的数量情况大约如下表。 时长/秒 5 10 20 46 获得光谱/条 500 1000 2000 4600 根据表中的数据组成比例，正确的是（ C ）。 A. 5∶500=1000∶10 B. 2000∶20=10∶1000 C. 500∶5=4600∶46 【答案】：C 【分析】：方法1：化成最简比，最简比相等，则能组成比例。 选项A，5∶500=1∶100；1000∶10=100∶1，最简比不相等，不能组成比例； 选项B，2000∶20=100∶1；10∶1000=1∶100，最简比不相等，不能组成比例； 选项C，500∶5=100∶1，4600∶46=100∶1，最简比相等，能组成比例。故选C。 方法2：观察表中数据发现，，因此要想组成比例，两个比的前项和后项对应的量需一致。 以选项A为例，等号左边是时长∶获得光谱条数；等号右边是获得光谱条数∶时长，因此比值不相等，无法组成比例，选项B和A的情况相似； 选项C两个比都是获得光谱条数∶时长，比值相等，因此能组成比例。 易错点2：没有掌握比例的各部分名称 规避策略：在比例中，两端的两项是比例的外项，中间的两项是比例的内项。 例题：（判断）在比例中，等号左边的两项是比例的外项，等号右边的两项是比例的内项。（ × ） 【答案】：× 【分析】：组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项是比例的外项，中间的两项是比例的内项，如下图所示： 原题干说法错误，答案为：×。 1． （判断）2.4∶1.6=60∶40中，2.4和60是比例的外项，1.6和40是比例的内项。（ × ） 【答案】：× 【分析】：“两端的两项是比例的外项 ，中间的两项是比例的内项”，据此判断。所以，2.4和40是比例的外项，1.6和60是比例的内项。原题干说法错误，答案为：×。 2． （判断）一个比例中，两个内项的积除以两个外项的积，商为1。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：比例的基本性质，外项积=内项积，则外项积÷内项积=1。 原题干说法正确，答案为：√。 3． （判断）一个比例中，两个内项的积减去两个外项的积，差为0。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：比例的基本性质，外项积=内项积，则内项积-外项积=0。 原题干说法正确，答案为：√。 4． （判断）在一个比例中，若交换一个比的前项和后项的位置，则比例关系仍成立。（ × ） 【答案】：× 【分析】：交换一个比的前项和后项后，外项积≠外项积，因此比例关系不成立。 举例：2∶3=4∶6，此时外项积=内项积；交换2和3的位置后，得到3∶2和4∶6，3×6≠2×4，比例关系不成立。综上，原题干说法错误，答案为：×。 5． （判断）在一个比例中，若交换两个外项或两个内项的位置，则比例关系仍成立。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：交换两个外项或两个内项的位置后，外项积=内项积，因此比例关系成立。 举例：2∶3=4∶6。 交换两个外项，6∶3=4∶2，外项积=内项积=12，比例关系成立； 交换两个内项，2∶4=3∶6，外项积=内项积=12，比例关系成立。 综上，原题干说法正确，答案为：√。 6． （判断）在比例中，任意两项互换位置，比例都成立。（ × ） 【答案】：× 【分析】：比例中任意两项互换位置，比例不一定成立。原题干说法错误，答案为：×。 7． 一个比例的两个内项互为倒数，一个外项是，另一个外项是（ ）。 【答案】： 【分析】：一个比例的两个内项互为倒数，“乘积是1的两个数互为倒数”，则该比例的内项积=1；根据比例的基本性质，外项积=内项积=1，也就是该比例的两个外项也互为倒数，已知一个外项是，则另一个外项是。 易错点3：对比例的基本性质理解不透彻 比例基本性质：比例式改写乘积式（比例式→乘积式）； 比例基本性质的逆运用：乘积式改写比例式（乘积式→比例式）。 规避策略：由1个比例式可写成1个乘积式；由1个乘积式可写成8个比例式。 比例式→乘积式 外项积=内项积：已知a∶b=c∶d，则ad=bc； 交叉相乘积相等：已知=，则ad=bc。 乘积式→比例式 已知ab=cd（相乘的2个字母必须同时作比例的外项或内项） ①当a、b为外项，则c、d为内项 a∶（ c ）=（ d ）∶ b a∶（ d ）=（ c ）∶ b b∶（ c ）=（ d ）∶ a b∶（ d ）=（ c ）∶ a ②当c、d为外项，则a、b为内项 c∶（ a ）=（ b ）∶ d c∶（ b ）=（ a ）∶ d d∶（ a ）=（ b ）∶ c d∶（ b ）=（ a ）∶ c 例1：甲数×=乙数×60%，甲∶乙= 4∶（ 5 ）。 【答案】：5 【分析】：方法1：比例基本性质的逆运用，乘积式→比例式。 根据甲∶乙=4∶（ ），可知甲是外项，则与甲相乘的也是外项，写在外项位置；乙是内项，则与乙相乘的60%也是内项，写在内项位置。可得： 甲∶乙=60%∶=∶=（×）∶（×）=4∶5； 方法2：设数法，设算式结果为1。甲数×=乙数×60%=1，则甲、乙分别是、的倒数，甲是、乙是，甲∶乙=∶=4∶5。 例2：在比例7∶2＝28∶8中，如果内项2增加4，要使比例仍然成立，那么外项7增加（ 14 ）。 【答案】：14 【分析】：由题可知，内项2增加4，且28和8都不变，用字母a表示比例成立下的第一个外项，a∶（2+4）=28∶8，根据“外项积=内项积”，（2+4）×28=8a，则a=（2+4）×28÷8=21； 外项原来是7，现在是21，增加了21-7=14。 1． 甲数的等于乙数的（甲、乙两数均不为0），甲数∶乙数=（ B ）。 A. ∶ B. 2∶3 C. 3∶2 D. 3∶1 【答案】：B 【分析】：方法1：比例基本性质的逆运用，乘积式→比例式。 “甲数的等于乙数的”，即：甲×=乙×。 求甲∶乙=（ ）∶（ ），据此可知甲是外项，则与甲相乘的也是外项；乙是内项，则与乙相乘的也是内项，所以甲∶乙=∶=（×6）∶（×6）=2∶3，故选B； 方法2：设数法。由题可得：甲×=乙×，设算式结果为1，则甲×=乙×=1，甲、乙分别是、的倒数，甲=2，乙=3，则甲∶乙=2∶3。 2． 如图，三角形a边上的高为b，c边上的高为d。根据这些信息，下面式子中（ B ）不成立。 A. a∶c=d∶b B. a∶c=b∶d C. D. 【答案】：B 【分析】：由题可知，三角形以a为底，对应的高是b；以c为底，对应的高为d； 根据“三角形面积=底×高÷2”可得：ab÷2=cd÷2，也就是ab=cd。 选项A，根据“外项积=内项积”可得：ab=cd，符合； 选项B，根据“外项积=内项积”可得：ad=cb，不符合； 选项C，根据“交叉相乘积相等”可得：ab=cd，符合； 选项D，根据“交叉相乘积相等”可得：ab=cd，符合。 综上，故选B。 3． 如果2a=6b，那么a∶b=（ 6 ）∶（ 2 ）。 【答案】：6∶2 【分析】：比例基本性质的逆运用，乘积式→比例式。 求a∶b=（ ）∶（ ），据此可知a是外项，则与a相乘的2也是外项；b是内项，则与b相乘的6也是内项，所以a∶b=6∶2。 4． 把下面的等式改写成比例式（写出四个即可）。 1.5×12=20×0.9 （ 1.5∶20=0.9∶12 ）（ 1.5∶0.9=20∶12 ）（ 12∶20=0.9∶1.5 ）（ 12∶0.9=20∶1.5 ） 【答案】：1.5∶20=0.9∶12 ；1.5∶0.9=20∶12 ；12∶20=0.9∶1.5 ；12∶0.9=20∶1.5 【分析】：三个步骤：①确定两个外项；②内项随便写；③换比。 1.5和12为外项，则20和0.9为内项： 1.5在前，12在后→1.5∶20=0.9∶12； 1.5∶0.9=20∶12； 12在前，1.5在后→12∶20=0.9∶1.5； 12∶0.9=20∶1.5； 20和0.9为外项，则1.5和12为内项： 20在前，0.9在后→20∶1.5=12∶0.9； 20∶12=1.5∶0.9； 0.9在前，20在后→0.9∶1.5=12∶20； 0.9∶12=1.5∶20。可写成8个比例式，答案不唯一。 5． 250千克∶0.35吨，化简后是（ 5∶7 ），比值是（ ）。化简后的比可以与（ ）∶组成比例。 【答案】：5∶7；； 【分析】：250千克∶0.35吨=250千克∶350千克=250∶350=（250÷50）∶（350÷50）=5∶7=，所以化简后是5∶7，比值是。 由题可得，5∶7=（ ）∶，能组成比例，说明两个比的比值相等，即：（ ）∶=，根据“前项=后项×比值”，则（ ）=×=。所以化简后的比可以与∶组成比例。 6． 已知4.5∶6=5.1∶6.8，如果两个外项不变，内项6减去0.6，那么5.1应该加上（ ），两个比例依然成立。 【答案】： 【分析】：由题可知，两个外项不变，且内项6减去0.6，用字母a表示比例成立下的第二个内项，可得：4.5∶（6-0.6）=a∶6.8。 根据“外项积=内项积”可得，（6-0.6）a=4.5×6.8=，a=4.5×6.8÷（6-0.6）=； 内项由5.1变成，求5.1应该加上多少，作差即可。-5.1=-==。 所以 5.1应该加上，两个比例依然成立。 7． 在一个比例中，两个外项分别是12和8，两个比的比值是，写出这个比例（ 12∶16=6∶8 ）。 【答案】：12∶16=6∶8 【分析】：由题可知，两个外项是12和8，且比值是，设两个内项分别是a和b，根据12和8的位置分两种情况： ①当比例是12∶a=b∶8时。 12∶a=，根据“后项=前项÷比值”可得，a=12÷=16；b∶8=，根据“前项=后项×比值”可得，b=8×=6；此时，这个比例是12∶16=6∶8。 ②当比例是8∶a=b∶12时。 8∶a=，根据“后项=前项÷比值”可得，a=8÷=；b∶12=，根据“前项=后项×比值”可得，b=12×=9；此时，这个比例是8∶=9∶12。 综上，这个比例是12∶16=6∶8或8∶=9∶12（答案不唯一，二选一填写）。 易错点4：“交叉相乘积相等”与分数乘法混淆 规避策略：当比例是分数形式时，根据比例的基本性质，“交叉相乘积相等”得到乘积式，不能用分子乘分子，分母乘分母。 例题：解方程。 【错误解答】 【正确解答】 解：0.5x=2.4×0.6 →分子乘分子，分母乘分母 0.5x÷0.5=2.4×0.6÷0.5 x=2.88 解：0.6x=2.4×0.5 →交叉相乘积相等 0.6x÷0.6=2.4×0.5÷0.6 x=2 1． 解比例 ① 解：5x=1.25×6 5x÷5=1.25×6÷5 x=1.5 ② 解： 0.1x=100×0.01 0.1x=1 0.1x÷0.1=1÷0.1 x=10 ③ 解： 3x=2×（1+20%） 3x÷3=2×1.2÷3 x=0.8 【答案】：x=1.5；x=10；x=0.8 【分析】：①交叉相乘积相等，把比例转化为方程，可得：5x=1.25×6； 根据等式的性质，左右两边同时除以5。 ②交叉相乘积相等，把比例转化为方程，可得：0.1x=100×0.01； 根据等式的性质，左右两边同时除以0.1。 ③交叉相乘积相等，把比例转化为方程，可得： 3x=2×（1+20%）； 根据等式的性质，左右两边同时除以3。 2． 解比例 ① （*验算） 解：3.6x=4×4.8 3.6x÷3.6= x= 【验算】：把x=代入原比例， 左边==3.6÷4.8=，右边==4÷= 左边=右边，比例成立，所以x=是原比例的解。 ② 0.8∶ 解：（50-x）∶4=0.8∶ ×（50-x）=4×0.8 ×（50-x）÷=4×0.8×2 50-x=6.4 50-x+x=6.4+x 6.4+x=50 6.4+x-6.4=50-6.4 x=43.6 【答案】：x=；x=43.6 【分析】：①交叉相乘积相等，把比例转化为方程，可得：3.6x=4×4.8； 根据等式的性质，左右两边同时除以3.6。 ②先统一成比号形式→（50-x）∶4=0.8∶； 外项积=内项积，把比例转化为方程，可得： ×（50-x）=4×0.8；根据等式的性质，左右两边同时除以，可得：50-x=6.4； “-x”，将减法转化为加法，左右两边同加x，得到：6.4+x=50 根据等式的性质，左右两边同时减6.4。 易错点5：正比例和反比例的判断 规避策略：“相关联”+“正商反积” ①找变量→两个量是否相关联，也就是看这两个量是否都是变量，且一个量随着另一个量的变化而变化； ②找定量→分析相关联的两个量，看它们之间的关系是比值一定、乘积一定，还是都不一定； ③判断→比值（商）一定成正比例；乘积一定成反比例；比值和乘积都不一定，不成比例。 例1：（判断）X和Y是两种相关联的量，X-Y=0，那么X与Y不成比例。（ × ） 【答案】：× 【分析】：X-Y=0，则X=Y，=1（一定），X和Y的比值一定，所以X和Y成正比例。原题干说法正确，答案为：×。 例2：（判断）任何一个非0自然数，与它的倒数成反比例。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：两种相关联的量，对应的乘积一定时成反比例，即xy=k（一定）。 根据倒数的定义，乘积是1的两个数互为倒数，用字母a表示该自然数，可得：a×=1（一定），乘积一定，所以成反比例。原题干说法正确，答案为：√。 1． （判断）用正方形方砖铺地，铺地面积一定时，方砖的边长和所需方砖的块数成反比例。（ × ） 【答案】：× 【分析】：由题可知，每块方砖面积×块数=铺地面积（一定），乘积一定，所以每块方砖面积和所需方砖块数成反比例。原题干说法错误，答案为：×。 方砖边长和所需方砖的块数不成比例。 2． （判断）用同一规格的方砖铺地，铺地的面积和所需方砖的块数成正比例。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：由题可知，同一规格的方砖，也就是每块方砖的面积一定。 铺地面积÷块数=每块方砖面积（一定），比值一定，所以铺地面积和所需方砖的块数成正比例。 原题干说法正确，答案为：√。 3． （判断）圆的面积和半径不是相关联的量。（ × ） 【答案】：× 【分析】：根据“S=πr²”可知，圆面积随着半径的变化而变化，所以圆面积和半径是相关联的量。原题干说法错误，答案为：×。 4． （判断）半径越大，圆的面积就越大，所以圆的面积与半径成正比例。（ × ） 【答案】：× 【分析】：根据“S=πr²”可得，圆面积÷半径²=π（一定），比值一定，所以圆面积和半径的平方成正比例。原题干说法错误，答案为：×。 圆面积和半径不成比例。 5． （判断）正方体的体积与棱长不成比例。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：根据“V=a³”可得，（不一定），比值不一定；V×a=a³×a（不一定），乘积不一定。体积和棱长的比值与乘积都不一定，所以正方体的体积和棱长不成比例。原题干说法正确，答案为：√。 6． （判断）妈妈今年的年龄是小敏的3倍，她的年龄与小敏的年龄正成比例关系。（ × ） 【答案】：× 【分析】：小敏年龄增长，妈妈的年龄也在增长，两人的年龄差不变，即妈妈年龄-小敏年龄=年龄差（一定），而年龄的倍数关系是变化的，所以妈妈的年龄与小敏的年龄不成比例。 原题干说法错误，答案为：×。 举反例：设小敏今年12年，妈妈年龄是小敏的3倍，则妈妈年龄是36岁。次年，两人各长1岁，小敏13岁，妈妈37岁，37÷13≈2.8≠3。 7． （判断）如果2x=6y（x、y均不为0），那么x与y成正比例关系。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：两种相关联的量，对应的比值一定时成正比例，即x÷y=k（一定）。 由题可知，2x=6y，乘积式→比例式，==3（一定），所以x与y成正比例关系。原题干说法正确，答案为：√。 8． 以下说法正确的是（ D ）。 A. 人的近视度数和年龄成正比例 B. A+B=100，那么A和B成反比例 C.（M+2）x=y，且x和y都不为0，当M一定时，x和y不成比例 D. 圆锥的高一定时，体积和底面积成正比例 【答案】：D 【分析】：两种相关联的量，对应的比值一定时，成正比例；对应的乘积一定时，成反比例。 选项A，“近视度数”和“年龄”不是相关联的两种量，近视度数不会随着年龄的变化而变化，所以不成比例。说法错误； 选项B，A+B=100（一定），A和B的和一定，所以A和B不成比例。说法错误； 选项C，已知（M+2）x=y，左右两边同时除以x，=M+2，M一定，（M+2）也一定，即：=M+2（一定），y和x的比值一定，所以x和y成正比例。说法错误； 选项D，根据“圆锥体积=×底面积×高”可得，体积÷底面积=×高（一定），体积和底面积的比值一定，所以成正比例。说法正确。 综上，故选D。 9． 下面的各种关系中，成反比例关系的是（ A ）。 A圆柱的侧面积一定，高和底面直径 B. 长方体的高一定，体积和底面积 C. 被减数一定，减数与差 D. 除数一定，商和被除数 【答案】：A 【分析】：两种相关联的量，对应的比值一定成正比例，对应的乘积一定成反比例，据此判断。 选项A，根据“圆柱侧面积=底面周长×高”可得，底面直径×π×高=圆柱侧面积，即：底面直径×高=（一定），乘积一定，所以高和底面直径成反比例关系； 选项B，根据“长方体体积=底面积×高”可得，体积÷底面积=高（一定），比值一定，所以体积和底面积成正比例关系； 选项C，根据“被减数-减数=差”可得，减数+差=被减数（一定），和一定，所以减数和差不成比例； 选项D，根据“被除数÷除数=商”可得，被除数÷商=除数（一定），比值一定，所以商和被除数成正比例关系。 综上，故选A。 10． 下表中a和b两个量成反比例关系，则△是（ A ）。 a 60 △ b 15 50 A. 18 B. 12.5 C. 200 【答案】：A 【分析】：a和b两个量成反比例关系，也就是a和b的乘积一定，即50×△=60×15，则△=60×15÷50=18。故选A。 易错点6：对正比例图像认识不深刻 规避策略： ①正比例图象是一条从原点出发无限延伸的射线，且呈上升趋势； ②线上所有点对应的两个数的比值都相等； ③从图象上可以直观地看出两个量的变化情况。借助图象，可以由一个量的值直接找到对应的另一个量的值。 例题：下列每组两个量的关系可以用下图表示的是（ D ）。 A. 六年级一班今天的出勤人数和缺勤人数 B. 路程一定时，速度和时间 C. 圆的周长与该圆的直径 D. 等底等高的圆柱体积和圆锥体积 【答案】：D 【分析】：图象是一条从原点出发无限延伸的射线，说明这两个量成正比例；另，观察图象发现，线上的点（1,3），横轴上对应的数是1，纵轴上对应的数是3，根据“线上所有点对应的两个数比值都相等”，说明两个量的比值是3或。 选项A，六年级一班，总人数一定，即出勤人数+缺勤人数=总人数（一定），和一定，所以不成比例； 选项B，速度×时间=路程（一定），乘积一定，所以成反比例； 选项C，根据“C=πd”可得，圆周长÷直径=π（一定），比值一定，所以成正比例。但两个量的比值是π，π≠3，所以不符合； 选项D，根据“等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍”可得，等底等高下，圆柱体积÷圆锥体积=3，比值一定，所以成正比例，且比值也符合。 综上，故选D。 1． 下面各图中都表示了x、y两种变量，（ B ）中的两种量成成比例。 【答案】：B 【分析】：方法1：看图象。正比例图象是一条从原点出发无限延伸的射线。 选项A、C、D均不符合，直接排除，故选B。 方法2：看比值。两种相关量的量，对应的比值一定时成正比例，因此正比例图象线上所有点对应的两个数的比值都相等。 选项A，当x=2时，y=4，则=4÷2=2；当x=3时，y=8，则=8÷3=。2≠，x、y对应的比值不一定，所以不成正比例； 选项B，======4，x、y对应的比值一定，所以成正比例； 选项C，当x=2时，y=6，则=6÷2=3；当x=4时，y=4，则=4÷4=1。3≠1，x、y对应的比值不一定，所以不成正比例； 选项D，xy=2×6=3×4=4×3=6×2=12，x、y对应的乘积一定，所以成反比例。 综上，故选B。 2． 平遥牛肉是山西特产。下图表示的是半自动封口机封袋牛肉的数量和封袋时间的关系。 ( M ) （1） 从图中可知封袋的数量和封袋的时间成（ 正 ）比例；点M的含义是（ 8 ）分钟封了（ 160 ）袋牛肉。 （2） 山西平遥牛肉集团是国家级农业产业化重点龙头企业，2022年完成销售收入7.1亿元，2023年山西平遥牛肉集团力争销售收入比上年增加二成，“二成”改写成百分数是（ 20% ），那么2023年山西平遥牛肉集团销售收入预计是（ 8.52 ）亿元。 【答案】：（1）正、8、160；（2）20%、8.52 【分析】：（1）由图可知，横轴表示封袋时间，纵轴表示封袋数量，两个量对应数据所描的点在一条直线上，根据“正比例的图象是一条从原点出发无限延伸的射线，且呈上升趋势”判断，封装数量和封袋时间成正比例； 点M横轴对应的是8分钟，纵轴对应的是160袋，所以点M的含义是8分钟封了160袋牛肉。 （2）成数，表示一个数是另一个数的十分之几，二成===20%，改写成百分数是20%； “2023年销售收入比上年增加二成”，把上一年的销售收入看作单位“1”，则2023年销售收入是上一年的（1+20%），求2023的销售收入，也就是求7.1亿元的（1+20%）是多少，用乘法，列式为：7.1×（1+20%）=8.52（亿元）。 3． 一根弹簧挂上物体（质量不超过20kg）后会伸长。下图表示弹簧伸长的长度和所挂物体的质量之间的关系。 （1）弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成（ 正 ）比例。 （2）根据图象判断，如果挂上7kg的物体，那么弹簧将伸长（ 1.75 ）cm。 （3）要使弹簧伸长2.25cm，应挂上（ 9 ）kg的物体。 【答案】：（1）正；（2）1.75 ；（3）9 【分析】：（1）由图可知，弹簧伸长的长度随着所挂物体质量的变化而变化，弹簧伸长的长度和所挂物体质量是两种相关联的量； =====4（一定），所挂物体质量和伸长长度的比值一定，所以弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比例； （2）挂上7kg物体，7kg＜20kg，弹簧会成比例伸长。已知=4，且所挂物体质量=7kg，则伸长长度=所挂物体质量÷4=7÷4=1.75（cm）； （3）已知=4，且伸长长度=2.25cm，则所挂物体质量=伸长长度×4=2.25×4=9（kg）。 4． 下表是鸵鸟奔跑的距离与所用时间的关系表，看表回答问题。 距离/km 70 140 210 280 350 420 … 时间/h 1 2 3 4 5 6 … （1）把下图补充完整。 （2）鸵鸟奔跑的距离与所用时间成什么关系？ （3）4.5时鸵鸟能奔跑多少千米？跑525千米要用多长时间？ 【答案】：（1）见右上图；（2）正比例；（3）4.5时奔跑315千米、跑525千米用7.5小时 【分析】：（1）由图可知，横轴表示时间，竖轴表示距离，结合表中数据，在对应的横轴和纵轴的位置上描出点，再连线即可，如右上图所示； （2）======70，距离和时间的比值一定，所以鸵鸟奔跑的距离与所用时间成正比例关系； （3）1小时行驶70km，即速度是70÷1=70（km/h），已知时间4.5h，求距离，代入“距离=速度×时间”；已知距离是525km，求时间，代入“时间=距离÷速度”即可解答。 【解】：（2）======70，即距离÷时间=70（一定），比值一定，所以鸵鸟奔跑的距离与所用时间成正比例关系。 （3）速度：70÷1=70（km/h） 奔跑距离：70×4.5=315（千米） 需要时间：525÷70=7.5（小时） 答：4.5时鸵鸟能奔跑315千米；跑525千米要用7.5小时。 5． 一种药水中药粉与水的质量如下表所示。 药粉/克 0 1 2 3 4 5 …… 水/克 0 200 400 600 800 1000 …… （1） 这种药水中水与药粉的质量成正比例吗？为什么？ （2） 先根据上表描点，再顺次连接。 （3） 点（6，1200）在这条直线上吗？这一点表示什么含义？ 【答案】：（1）见详解；（2）见右上图； （3）在这条直线上，点（6，1200）表示药水中有6克药粉兑了1200克水。 【分析】：（1）判断两个相关联的量是否正成比例，关键看两个量对应的比值是否一定，比值一定，则成正比例。由表格数据可得： ======200（一定），药水中水质量与药粉质量的比值一定，所以成正比例。 （2）由图可知，横轴代表药粉质量，纵轴代表水质量，根据统计表中的数据描出对应的点，再连线即可，如右上图所示。 （3）根据正比例图象“线上所有点所对应的两个数的比值都相等”这一特点判断。（6，1200）表示药水中有6克药粉，1200克水，==200，比值没变，因此点（6，1200）在这条直线上。 【解】：（1）======200（一定），药水中水质量与药粉质量的比值一定，所以成正比例。 （3）==200，比值没变，所以点（6，1200）在这条直线上； 点（6，1200）表示药水中有6克药粉兑了1200克水。 易错点7：比例尺问题—颠倒图上距离与实际距离 规避策略：比例尺=图上距离∶实际距离，比的前项和后项不能调换位置。 例题：在一张图纸上，用6厘米的线段表示3毫米，这样图纸的比例尺是（ 20∶1 ）。 【答案】：20∶1 【分析】：已知实际距离和图上距离，求比例尺，代入“比例尺=图上距离∶实际距离”。 图上距离6cm，实际距离3mm，可得： 比例尺=6cm∶3mm =60mm∶3mm =60∶3 =20∶1 所以这样图纸的比例尺是20∶1。 1． （判断）比例尺一定，实际距离与图上距离成正比例。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：=比例尺（一定），比值一定，所以实际距离与图上距离成正比例。原题干说法正确，答案为：√。 2． （判断）一幅地图的比例尺是1∶5000米。（ × ） 【答案】：× 【分析】：比例尺是一个比，表示图上距离和实际距离的倍比关系，不带计量单位。原题干说法错误，答案为：×。 3． 图上5厘米的距离表示实际距离40千米，这幅地图的比例尺是（ 1∶800000 ）。在这幅地图上，7.5厘米表示实际距离（ 60 ）千米。 【答案】：1∶800000 ；60 【分析】：方法1：根据比例尺、图上距离、实际距离三者之间的关系解答。 已知图上距离5cm，实际距离40km，求比例尺，代入“比例尺=图上距离∶实际距离”。 比例尺=5cm∶40km =5cm∶4000000cm =5∶4000000 =1∶800000 所以这幅地图的比例尺是1∶800000。 已知比例尺和图上距离7.5cm，求实际距离，代入“实际距离=图上距离÷比例尺”计算。 7.5÷=6000000（cm），6000000cm=60千米，所以在这幅地图上，7.5厘米表示实际距离60千米。 方法2：比例法解答。 结合第（1）问可知，=，已知图上距离7.5cm，求实际距离。 解：设7.5厘米表示实际距离x厘米。 = x=7.5×800000 x=6000000 6000000cm=60km，所以7.5厘米表示实际距离60千米。 4． 东村到西村的实际距离是5千米，画在一幅平面上是2厘米，这幅图的比例尺是（ 1∶250000 ）；一个精密零件，画在比例尺是20∶1的设计图纸上，长度是2厘米，它的实际长度是（ 1 ）毫米。 【答案】：1∶250000 ；1 【分析】：（1）已知实际距离和图上距离，求比例尺，代入“比例尺=图上距离∶实际距离”。 图上距离2cm，实际距离5km，可得： 比例尺=2cm∶5km =2cm∶500000cm =2∶500000 =1∶250000 所以这幅图的比例尺是1∶250000。 （2）已知图上距离和比例尺，求实际距离，代入“实际距离=图上距离÷比例尺”计算即可。 图上距离2cm，比例尺是20∶1，则实际距离=2÷=0.1（cm），0.1cm=1mm。所以实际长度是1毫米。 5． 在一幅地图上，图上14厘米的距离表示的实际距离是4900千米。这幅地图的比例尺是 （ 1∶ 35000000 ），把相距700千米的A、B两地画在这幅地图上应画（ 2 ）厘米。 【答案】：1∶ 35000000 ；2 【分析】：根据比例尺、图上距离、实际距离三者之间的关系解答。 已知图上距离14cm，实际距离4900km，求比例尺，代入“比例尺=图上距离∶实际距离”。 比例尺=14cm∶4900km =14cm∶490000000cm =14∶490000000 =1∶35000000 所以这幅地图的比例尺是1∶35000000。 已知比例尺和实际距离700km，求图上距离，代入“图上距离=实际距离×比例尺”计算。 700km=70000000cm 70000000×=2（cm），所以相距700km的A、B两地画在这幅地图上应画2厘米。 易错点8：比例尺问题—未统一单位 规避策略： ①在求比例尺时，图上距离和实际距离要化成同级单位； ②要清楚千米和厘米之间的进率是100000（5个0），米和厘米之间的进率是100。换算时要查清数位，注意0的个数。 例题：下面这种解法对吗？若不对，请改正。 一条公路实际长120km，在一幅地图上的长度是12cm，这幅图的比例尺是多少？ 12∶120=1∶10 答：这幅地图的比例尺是1∶10。（ × ） 【答案】：×；这幅图的比例尺是1∶1000000 【分析】：上面的解法没有统一图上距离和实际距离的单位，一个是cm，一个是km。 已知图上距离12cm，实际距离120km，求比例尺，代入“比例尺=图上距离∶实际距离”。 【解】：比例尺=12cm∶120km =12cm∶12000000cm =12∶12000000 =1∶1000000 答：这幅图的比例尺是1∶1000000。 1． 芯片相当于电子科技产品的大脑，在当今信息科技时代扮演着极为关键的角色。一个长方形芯片的长是1.5毫米，宽是0.9毫米，画在图纸上长是6厘米，宽是3.6厘米，这张图纸的比例尺是（ D ）。 A. 1∶4 B. 4∶1 C. 1∶40 D. 40∶1 【答案】：D 【分析】：结合题意可知，图上距离＞实际距离，放大比例尺，比的后项是1，据此可直接排除A和C； 以该芯片的长为例，实际长1.5mm，图上长6cm，代入“比例尺=图上距离∶实际距离”即可。 比例尺=6cm∶1.5mm =60mm∶1.5mm =60∶1.5 =40∶1 这张图纸的比例尺是40∶1，故选D。 2． ，表示图上1厘米相当于实际距离（ 60 ）千米，把这个比例尺改写成数值比例尺是（ 1∶6000000 ）。 【答案】：60；1∶6000000 【分析】：该线段比例尺表示图上1厘米相当于实际距离60千米。 线段比例尺改写成数值比例尺，已知图上距离1厘米，实际距离60千米，代入“比例尺=图上距离∶实际距离”。 比例尺=1cm∶60km =1cm∶6000000cm =1∶6000000 所以把这个比例尺改写成数值比例尺是1∶6000000。 3． 2021年是中国共产党成立100周年，小华打算国庆节和父母一起到北京。他在一幅比例尺为1∶20000000的地图上量得成都到北京的距离约为9厘米，成都到北京的实际距离大约是（ 1800 ）千米。 【答案】：1800 【分析】：已知图上距离和比例尺，求实际距离，代入“实际距离=图上距离÷比例尺”计算。 9÷=180000000（cm），180000000cm=1800km，所以成都到北京的实际距离大约是1800千米。 4． 盘山风景名胜区位于天津市蓟区西北12公里处，因雄踞北京之东，故有“京东第一山”之誉。东西长20千米，南北宽10千米，画在比例尺是1∶200000的地图上，东西画（ 10 ）厘米，南北画（ 5 ）厘米。 【答案】：10；5 【分析】：已知东西长、南北宽的实际距离和比例尺，求图上距离，代入“图上距离=实际距离×比例尺”计算。东西长20km，20km=2000000cm；南北宽10km，10km=1000000cm； 图上东西长=2000000×=10（cm）；图上南北宽=1000000×=5（cm），所以东西画10cm，南北画5cm。 5． 小红家在公园正东方向，距离公园400m；小英家在公园北偏东60°方向距离是300m；小青家在小英家正西方向200m处。在图中画出他们三家和公园的位置平面图（比例尺是1∶10000）。 【答案】：见详解 【分析】：第1步：确定比例尺。由题可知，比例尺是1∶10000，需要把数值比例尺转化为线段比例尺。 1∶10000，表示图上1cm表示实际距离10000cm，10000cm=100m，所以改写成线段比例尺是：； 第2步，求图上距离。已知图上1cm表示实际距离100m，则： 小红家距离公园400m，图上距离=400÷100=4（cm）； 小英距离公园300m，图上距离=300÷100=3（cm）； 小青家距离小英家200m，图上距离200÷100=2（cm）。 第3步：画图。找准观测点，根据方向和距离确定位置。 第4步：标注信息。如下图所示。 易错点9：分不清是放大图形，还是缩小图形 规避策略：关联放大比例尺和缩小比例尺。 ①都是和原图形比，比原图形大，就是放大图形；比原图形小，就是缩小图形； ②变化后图形边长∶原图形边长，比的前项表示变化后图形边长，比的后项表示原图形边长。 ③描述图形放大，一般用后项是1的比表示，即n∶1（前项＞后项，比值＞1）； 描述图形缩小，一般用前项是1的比表示，即1∶n（前项＜后项，比值＜1）； 【注意】n∶1与1∶n表示的意义不同。 3∶1→图形按3∶1放大，也就是图形的每条边放大到原来的3倍； 1∶3→图形按1∶3缩小，也就是图形的每条边缩小到原来的。 例题：如下图所示，图②是图（ ① ）按3∶1的比放大后的图形；图②是图（ ③ ）按（ 1 ）∶（ 2 ）的比缩小后的图形。 【答案】：①；③；1∶2 【分析】：按3∶1的比放大后得到图②，也就是原图的每条边放大到原来的3倍，则原图应比图②小，因此图②是图①按3∶1的比放大后的图形； 原图按一定的比缩小后得到图②，也就是原图应比图②大，所以图②是图③按一定的比缩小后的图形。 以长边为例，图③长36cm，图②长18cm，图②长∶图③长=18∶36=1∶2，所以图②是图③按1∶2的比缩小后的图形。 1． （判断）图形的放大与缩小就是把原图形各边加上或减去一个相同的数。（ × ） 【答案】：× 【分析】：把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1；把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n。原题干说法错误，答案为：×。 2． 图形按一定的比放大时，这个比的比值比1大，图形按一定的比缩小时，这个比的比值比1小。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：比的前项表示变化后的图形边长，比的后项表示原图形边长。 图形按一定的比放大时，变化后的图形边长＞原图形边长，即前项＞后项，比值大于1； 图形按一定的比缩小时，变化后的图形边长＜原图形边长，即前项＜后项，比值小于1。 原题干说法正确，答案为：√。 3． （判断）“按2∶1把图形画下来”，是把图形缩小到原来的。（ × ） 【答案】：× 【分析】：比的前项表示变化后的图形边长，比的后项表示原图形边长。 变化后图形边长∶原图形边长=2∶1，变化后图形边长＞原图形边长，因此是把图形扩大到原来的2倍。原题干说法错误，答案为：×。 4． 把一张长方形的图按1∶20的比例缩小后，长和宽的比（ A ）。 A. 不变 B. 变了 C. 无法确定 【答案】：A 【分析】：把一张长方形的图按1∶20的比例缩小，就是把这个长方形的长和宽都缩小到原来的，长和宽都除以20，相当于把原长方形的长和宽的比的前项和后项都除以20，如下： 原长∶原宽=（原长÷20）∶（原宽÷20） 根据比的基本性质，比的前项和后项都乘或除以一个数（0除外），比值不变。 因此，一个长方形放大或缩小后，长和宽的比不变。故选A。 5． 下面图（ D ），是图形A按2∶1放大后的图形。 A. A B. B C. C D. D 【答案】：D 【分析】：由图可知，图A青蛙长3格、宽2格，按2∶1放大，则放大后的图形长3×2=6（格）、宽2×2=4（格），据此可知图D符合，故选D。 6． 如下图： （1） 图形A按（ 1 ）∶（ 3 ）的比例缩小可以得到图形B； （2） 图形A与图形B的面积比是（ 9∶1 ）。 【答案】：（1）1∶3；（2）9∶1 【分析】：（1）由图可知，图形A缩小后得到图形B，算出对应边前后的长度比即可。 注意一点，图形A缩小后得到图形B，比的前项是缩小后图形边长，后项是原图形边长。 以高为例，图形A是9cm，图形B是3cm，图形B高∶图形A高=3∶9=1∶3，所以图形A按1∶3的比例缩小可以得到图形B； （2）方法1：根据题目已知条件，代入“面积=底×高÷2”计算出图形A和B的面积，再比较。 图形A的底是12cm，高是9cm，面积是12×9÷2=54（cm²）; 图形B的底是4cm，高是3cm，面积是4×3÷2=6（cm²）; 图形A面积∶图形B面积=54∶6=9∶1。 方法2：结合第（1）问可知，图形A边长∶图形B边长=3∶1，则图形A面积∶图形B面积=9∶1。 易错点10：将图形各边按比放大（缩小），误认为面积也按同样的比放大（缩小） 规避策略：①图形放大或缩小是指长度变化，每条边的长度放大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一； ②若题目求变化后的面积或体积，可先求出变化后各边的长度，再代入相应的公式求解； ③将一个图形按一定的比放大或缩小，周长比等于边长比，面积比等于边长的平方比。 例1：把一个半径是3cm的圆按2∶1放大，放大后的圆的周长是（ D ）。 A. 12.56 B. 18.84 C. 28.26 D. 37.68 【答案】：D 【分析】：方法1：求出放大后圆半径，再根据圆周长公式求解。 圆半径按2∶1放大，放大后半径∶原半径=2∶1，又知原半径3cm，则放大后半径（3×2）cm； 根据“C=2πr”可得，放大后圆周长是2×3.14×3×2=37.68（cm），故选D。 方法2：放大后圆半径∶原半径=2∶1，则放大后圆周长∶原周长=2∶1，也就是放大后圆周长是原来圆周长的2倍，求出原来圆周长后乘2即可，列式为：2×3.14×3×2=37.68（cm）。 例2：把直角△ABC按照1∶2进行缩小，得到一个新的三角形△DEF，已知△DEF的面积是8cm²，那么△ABC的面积是（ A ）。 A. 32cm² B. 16cm² C. 4cm² D. 2cm² 【答案】：A 【分析】：△ABC按1∶2缩小得到△DEF，据此可得，△DEF边长∶△ABC边长=1∶2，则： S△DEF∶S△ABC=1∶4，也就是S△ABC是S△DEF的4倍； 已知S△DEF是8cm²，S△ABC=8×4=32（cm²），故选A。 1． 把一个图形按4∶1变化后，得到的图形与原图形比较，正确的说法是（ C ）。 A. 面积扩大到原来的4倍 B. 面积缩小到原来的 C. 周长扩大到原来的4倍 D. 周长缩小到原来的 【答案】：C  【分析】：先根据“4∶1”判断是扩大还是缩小。4∶1=变化后的图形边长∶原图形边长，即变大后图形边长＞原图形边长，因此是放大，据此可排除B和D； 按4∶1的比放大，则放大后图形周长∶原图形周长=4∶1；放大后图形面积∶原图形面积=16∶1。 因此，周长扩大到原来的4倍，面积扩大到原来的16倍。故选C。 2． 将一个周长12厘米的正方形变换成面积为36平方厘米的正方形，是按（ A ）的比放大的。 A. 2∶1 B. 3∶1 C. 4∶1 【答案】：A 【分析】：求出放大前后的正方形边长，再计算。 原边长是12÷4=3（cm）；放大后面积为36平方厘米，6×6=36，则放大后的边长是6cm， 放大后图形边长∶原图形边长=6∶3=2∶1，所以是按2∶1的比放大的，故选A。 3． 把一个底是9厘米，高是6厘米的平行四边形各边按1∶3缩小，缩小后底是（ 3 ）厘米，高是（ 2 ）厘米，面积是（ 6 ）平方厘米。缩小后平行四边形与原来平行平行四边形面积的比是（ 1∶9 ）。 【答案】：3；2；6；1∶9 【分析】：按1∶3缩小，即缩小后图形边长∶原图形边长=1∶3，即缩小后图形各边长度是原图形的。 已知原图形的底是9cm，则缩小后底是9×=3（cm）； 已知原图形的高是6cm，则缩小后高是6×=2（cm），缩小后面积=底×高=3×2=6（cm²）； 缩小后图形面积∶原图形面积=6∶（9×6）=6∶54=1∶9； 也可根据“面积比等于边长的平方比”解答，缩小后图形边长∶原图形边长=1∶3，则缩小后图形面积∶原图形面积=1∶3²=1∶9。 4． 一块长方形地，长与宽的比是6∶5，按1∶1000的比例尺画在图上，其周长是22厘米。计划在这块地上盖一幢楼，占地面积是这块地的50%，这幢楼的占地面积是多少平方米？ 【答案】：1500平方米 【分析】：求这幢楼的占地面积，又知占地面积是这块地的50%，关键在于算出这块地的实际面积。“面积=长×宽”，要算实际面积，要先找出长方形的实际长与宽。 已知图上周长是22cm，根据“周长=（长+宽）×2”可得，长宽和是22÷2=11（cm），且长与宽的比是6∶5，则图上长是11÷（6+5）×6=6（cm），图上宽是11-6=5（cm）； 已知图上长、宽和比例尺，求实际长、宽，代入“实际距离=图上距离÷比例尺”计算。 实际长是6÷=6000（cm），6000cm=60m；实际宽是5÷=5000（cm），5000cm=50m。 则实际面积是（60×50）m²，占地面积是这块地的50%，因此这幢楼的占地面积是（60×50×50%）m²。 【解】：图上长宽和：22÷2=11（厘米） 图上长：11÷（6+5）×6=6（厘米） 图上宽：11-6=5（厘米） 实际长：6÷=6000（厘米），6000厘米=60米 实际宽：5÷=5000（厘米），5000厘米=50米 占地面积：60×50×50%=1500（平方米） 答：这幢楼的占地面积是1500平方米。 5． 下面是一个圆柱形不锈钢平的设计图。这个不锈钢瓶制作完成后的实际高度是1.2米，图上只标明图上高和图上底面直径的长度，没有标明比例尺，请你想办法计算出它的实际容积是多少升？（瓶的厚度忽略不计） 【答案】：150.72升 【分析】：根据体积比和边长比的关系解答。 由题可知，高图上长6cm，高实际长1.2m，代入“比例尺=图上距离∶实际距离”，求出该设计图的比例尺 6cm∶1.2m=6cm∶120cm=6∶120=1∶20，可得： 图上图形边长∶实际图形边长=1∶20，则图上图形体积∶实际图形体积=1∶20³，即实际图形体积是图上图形体积的20³倍，根据题目已知条件求出图上体积，再乘20³即可。 【解】：图上体积：3.14×（2÷2）²×6=18.84（cm³） 实际体积：18.84×20³=150720（cm³） 150720cm³=150.72L 答：实际容积是150.72升。 6． 按要求画一画、填一填。（π取3.14） （1） 按1∶2的比画出平行四边形缩小后的图形。 （2） 以点O为圆心，按3∶1的比画出圆放大后的图形。放大前与放大后两个圆的面积比是（ 1∶9 ），它们所组成的圆环的面积是（ 25.12 ）平方厘米。 （3） 已知图中三角形ABC是一个等边三角形，那么点A在点B的（ 北 ）偏（ 东 ）（ 30 ）°方向（ 4 ）厘米处。 【答案】：（1）见详解；（2） 1∶9、25.12；（3）北、东、30、4 【分析】：（1）平行四边形按1∶2缩小，就是将平行四边形的每条边缩小到原来的，且形状不变。 平行四边形的底4格→4×=2（格）；平行四边形的高2格→2×=1（格），据此画出缩小后的图形。 （2）圆按3∶1放大，就是将圆的半径放大到原来的3倍，圆半径1格→1×3=3（格），据此画出放大后的图形。 放大前半径∶放大后半径=1∶3，则放大前圆面积∶放大后圆面积=1∶9； 圆环面积=π（R²-r²），已知大圆半径是3cm，小圆半径是1cm，代入求解，则圆环面积=3.14×（3²-1²）=25.12（平方厘米）。 （3）△ABC是一个等边三角形，则BC=AB=4cm，∠B=60°，以点B为观测点，点A在点B的北偏东30°方向4厘米处。 ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$